This is a digital copy of a book thaï was prcscrvod for générations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project
to make the world's bocks discoverablc online.
It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject
to copyright or whose légal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books
are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover.
Marks, notations and other maiginalia présent in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journcy from the
publisher to a library and finally to you.
Usage guidelines
Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we hâve taken steps to prcvcnt abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automatcd qucrying. We also ask that you:
+ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use thèse files for Personal, non-commercial purposes.
+ Refrain fivm automated querying Do nol send aulomated queries of any sort to Google's System: If you are conducting research on machine translation, optical character récognition or other areas where access to a laige amount of text is helpful, please contact us. We encourage the use of public domain materials for thèse purposes and may be able to help.
+ Maintain attributionTht GoogX'S "watermark" you see on each file is essential for informingpcoplcabout this project andhelping them find additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.
+ Keep il légal Whatever your use, remember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is légal. Do not assume that just because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can'l offer guidance on whether any spécifie use of any spécifie book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search mcans it can bc used in any manner anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite seveie.
About Google Book Search
Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps rcaders discover the world's books while hclping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full icxi of ihis book on the web
at|http : //books . google . com/|
A propos de ce livre
Ceci est une copie numérique d'un ouvrage conservé depuis des générations dans les rayonnages d'une bibliothèque avant d'être numérisé avec
précaution par Google dans le cadre d'un projet visant à permettre aux internautes de découvrir l'ensemble du patrimoine littéraire mondial en
ligne.
Ce livre étant relativement ancien, il n'est plus protégé par la loi sur les droits d'auteur et appartient à présent au domaine public. L'expression
"appartenir au domaine public" signifie que le livre en question n'a jamais été soumis aux droits d'auteur ou que ses droits légaux sont arrivés à
expiration. Les conditions requises pour qu'un livre tombe dans le domaine public peuvent varier d'un pays à l'autre. Les livres libres de droit sont
autant de liens avec le passé. Ils sont les témoins de la richesse de notre histoire, de notre patrimoine culturel et de la connaissance humaine et sont
trop souvent difficilement accessibles au public.
Les notes de bas de page et autres annotations en maige du texte présentes dans le volume original sont reprises dans ce fichier, comme un souvenir
du long chemin parcouru par l'ouvrage depuis la maison d'édition en passant par la bibliothèque pour finalement se retrouver entre vos mains.
Consignes d'utilisation
Google est fier de travailler en partenariat avec des bibliothèques à la numérisation des ouvrages apparienani au domaine public cl de les rendre ainsi accessibles à tous. Ces livres sont en effet la propriété de tous et de toutes et nous sommes tout simplement les gardiens de ce patrimoine. Il s'agit toutefois d'un projet coûteux. Par conséquent et en vue de poursuivre la diffusion de ces ressources inépuisables, nous avons pris les dispositions nécessaires afin de prévenir les éventuels abus auxquels pourraient se livrer des sites marchands tiers, notamment en instaurant des contraintes techniques relatives aux requêtes automatisées. Nous vous demandons également de:
+ Ne pas utiliser les fichiers à des fins commerciales Nous avons conçu le programme Google Recherche de Livres à l'usage des particuliers. Nous vous demandons donc d'utiliser uniquement ces fichiers à des fins personnelles. Ils ne sauraient en effet être employés dans un quelconque but commercial.
+ Ne pas procéder à des requêtes automatisées N'envoyez aucune requête automatisée quelle qu'elle soit au système Google. Si vous effectuez des recherches concernant les logiciels de traduction, la reconnaissance optique de caractères ou tout autre domaine nécessitant de disposer d'importantes quantités de texte, n'hésitez pas à nous contacter Nous encourageons pour la réalisation de ce type de travaux l'utilisation des ouvrages et documents appartenant au domaine public et serions heureux de vous être utile.
+ Ne pas supprimer l'attribution Le filigrane Google contenu dans chaque fichier est indispensable pour informer les internautes de notre projet et leur permettre d'accéder à davantage de documents par l'intermédiaire du Programme Google Recherche de Livres. Ne le supprimez en aucun cas.
+ Rester dans la légalité Quelle que soit l'utilisation que vous comptez faire des fichiers, n'oubliez pas qu'il est de votre responsabilité de veiller à respecter la loi. Si un ouvrage appartient au domaine public américain, n'en déduisez pas pour autant qu'il en va de même dans les autres pays. La durée légale des droits d'auteur d'un livre varie d'un pays à l'autre. Nous ne sommes donc pas en mesure de répertorier les ouvrages dont l'utilisation est autorisée et ceux dont elle ne l'est pas. Ne croyez pas que le simple fait d'afficher un livre sur Google Recherche de Livres signifie que celui-ci peut être utilisé de quelque façon que ce soit dans le monde entier. La condamnation à laquelle vous vous exposeriez en cas de violation des droits d'auteur peut être sévère.
A propos du service Google Recherche de Livres
En favorisant la recherche et l'accès à un nombre croissant de livres disponibles dans de nombreuses langues, dont le français, Google souhaite contribuer à promouvoir la diversité culturelle grâce à Google Recherche de Livres. En effet, le Programme Google Recherche de Livres permet aux internautes de découvrir le patrimoine littéraire mondial, tout en aidant les auteurs et les éditeurs à élargir leur public. Vous pouvez effectuer des recherches en ligne dans le texte intégral de cet ouvrage à l'adressefhttp: //books .google. com|
î^avliari) Collcgf librarg
|
'"ist |
HK BKtOJMT |
|
JOHN |
FARRAR |
|
""'"" ''"''"'""n'J[„" |
Jthematics, AimT.n..my, rnid |
|
MADB H |
Y His wlnow |
|
ELIZA |
FARRAR |
|
--''T.Vol^^'.Xo' |
l^^.v:r.rp^,'j^^^»7i''' |
i
ŒUVRES
DE POURII
PUBUBES PAR LES SOO'S DE
M. GASTON DARBOUX,
SOfJS LES AUSPICES DU
MINISTÈRE DE L'INSTRUCTION PUBLIQUE
TOME PREMIER.
THÉORIE ANALTTIQOE DE LA CHAI.BUR.
PARIS,
GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES
DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHM Quai des Grand s- Augua lins, 53. , MDCCCLXXXVIII
ŒUVRES
DE FOURIER
, I
PARIS. - IMPRIMERIE DE GAUTHIER-VILLARS ET FILS. Quai des Grands- A iicuittns, 53.
ŒUVRES
DE FOURIER
■l'BUKEa P.tR LES SOI.NS W.
M. GASTON DARBOIIX,
MINISTERE DE L'INSTRUCTION PI'BIjyUE.
TOME PREMIER.
THËOnlE ANALYTIQUE DE LA CHALEUR.
PARIS,
(iAUTHIER-VILLARS ET FILS. IMPRIMEUKS-LIBKAIKES
DU nt'REAi; DES LONGITUDES, DE I.'É<:0LK P O L Y T E C II S I 0 U E, Quai dos Grands-Augusltns, 55.
HDCCCLXXXVIII
^^^'îtvy^ B^O . (f
NOV
1911
-1
• t
AVANT-PROPOS.
L'édition des Œuvres de Fourier, dont nous publions aujourd'hui le premier Volume, était réclamée depuis long- temps par les physiciens et les géomètres; entreprise avec l'appui bienveillant du Ministère de l'Instruction publique, elle prendra place dans la collection des Documents inédits, à côté des Œuvres de Laplace, de Lagrange, de Lavoisier, de Fresnel et de Cauchy. Par l'importance de ses découvertes, par l'influence décisive qu'il a exercée sur le développement de la Physique mathématique, Fourier méritait l'hommage qui est rendu aujourd'hui à ses travaux et à sa mémoire. Son nom figurera dignement à côté des noms, illustres entre tous, dont la liste, destinée à s'accroître avec les années, constitue dès à présent un véritable titre d'honneur pour notre pays.
La Théorie analytique de la Chaleur, qui forme à elle seule ce premier Volume, a paru en 1822. Ce bel Ouvrage, que l'on peut placer sans injustice à côté des écrits scientifiques les plus parfaits de tous les temps, se recommande par une expo- sition intéressante et originale des principes fondamentaux;
M AVANT-PROPOS.
il éclaire de la lumière la plus vive et la plus pénétrante toutes les idées essentielles que nous devons à Fourier et sur lesquelles doit reposer désormais la Philosophie naturelle; mais il con- tient, nous devons le reconnaître, beaucoup de négligences, des erreurs de calcul et de détail que Fourier a su éviter dans d'autres écrits. Guidé par les conseils de notre éminent édi- teur, M. Gauthier- Villars, nous nous sommes appliqué à faire disparaître les incorrections typographiques. Nous avons refait les calculs, corrigé avec le plus grand soin les renvois inexacts, les erreurs de notation et d'impression, mais en nous attachant toujours à respecter la forme si élégante et si pure que Fourier donne habituellement à sa pensée. Un membre distingué de l'Enseignement supérieur, M. Paul Morin, pro- fesseur à la Faculté des Sciences de Rennes, nous a beaucoup aidé dans cette partie essentielle de notre tâche : nous nous plaisons à lui adresser ici nos plus vifs remerciements. M. Morin veut bien nous continuer son concours pour le second Volume, dont l'impression est déjà commencée.
Les recherches de Fourier relatives à la théorie de la cha- leur remontent à la fin du xviii^ siècle; elles ont été commu- niquées à l'Académie des Sciences le 2 1 décembre 1 807. Cette première publication ne nous est pas parvenue ; on ne la con- naît que par un extrait de quatre pages inséré en 1808 au Bulletin de la Société philomathique ; elle a été lue et déposée, mais a, sans doute, été retirée par Fourier dans le courant de l'année 1810.
AVANT-PROPOS. » vu
L'Académie ayant mis au concours, pour i8i i , la question suivante :
ce Donner la théorie mathématique des lois de la propaga- » tion de la chaleur et comparer le résultat de cette théorie à » des expériences exactes »,
Fourier envoya, le 28 septembre 181 1 , un travail très étendu, formé, d'après ses propres déclarations, du Mémoire primi- tivement soumis à l'Académie et des notes qu'il y avait suc- cessivement ajoutées. Ce nouveau travail fut couronné dans la séance publique du 6 janvier 1812. Les juges du concours étaient Lagrange, Laplace, Malus, Haîiy et Legendre. Leur Rapport nous a été conservé. Toutes les appréciations, sauf une peut-être, y sont d'une rigoureuse exactitude, et, cepen- dant, il est permis de penser que, dans son ensemble, il ne rend pas pleine justice aux efforts et aux découvertes de Fou- rier.
a Cette pièce, dit le Rapporteur en parlant du Mémoire de » Fourier, renferme les véritables équations différentielles de » la transmission de la chaleur, soit à l'intérieur des corps, » soit à leur surface ; et la nouveauté du sujet, jointe à son » importance, a déterminé la Classe à couronner cet Ouvrage, » en observant cependant que la manière dont l'Auteur par- » vient à ses équations n'est pas exempte de difficultés, et que » son analyse, pour les intégrer, laisse encore quelque chose
VIII AVANT-PROPOS.
a à désirer, soit relativement à la généralité, soit même du
■
M côté de la rigueur. »
Le manuscrit de Fourier fait partie, aujourd'hui encore, des Archives deTAcadémie. Le grand géomètre, devenu Secrétaire perpétuel après la mort de Delambre, l'avait imprimer, sans y apporter aucun changement, dans les Volumes de Mémoires pour 1 819-1820 et 1 821-1822, deux ans après la publication de la Théorie de la Chaleur. Fourier désirait, sans doute, éta- blir ainsi d'une manière incontestable ses droits de priorité ; car ia première Partie du Mémoire de 1811, celle qui a paru dans le Volume pour 181 9-1820, ne diffère qu'en des points tout à fait secondaires de la rédaction définitive à laquelle il s'est arrêté dans la Théorie de la Clialeur. Nous avons donc renoncé à reproduire cette première Partie; mais la seconde, qui a été imprimée en 1826, dans le Volume des Mémoires pour 1821-1822, offre le plus vif intérêt; elle commencera notre second Volume et sera, croyons-nous, bien accueillie de tous.
Il y a aujourd'hui quatre-vingts ans que Fourier fit à l'Aca- démie des Sciences sa première Communication sur les études qui ont occupé toute sa vie. Les méthodes dont l'illustre savant a enrichi la Science trouvent maintenant devant elles un champ vaste et presque inexploré d'applications nouvelles dans la théorie moderne de l'électricité. Puisse notre édition les répandre encore, puisse-t-elle maintenir et accroître dans
AVANT-PROPOS. ix
notre pays et parmi nos jeunes géomètres le goût de la Phy-. sîque mathématique. « L'étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des découvertes mathématiques. Non seulement cette étude, en offrant aux recherches un but dé- terminé, a l'avantage d'exclure les questions vagues et les cal- culs sans issue, elle est encore un moyen assuré de former l'Analyse elle-même, et d'en découvrir les éléments qu'il nous importe le plus de connaître et que cette science doit toujours conserver : ces éléments fondamentaux sont ceux qui se repro- duisent dans tous les effets naturels. » C'est par ces réflexions, empruntées à l'admirable Discours préliminaire que l'on va lire, que nous terminerons ces quelques lignes dans lesquelles nous nous proposions surtout de remercier tous ceux qui ont pris part à notre publication ou qui l'ont rendue possible.
21 décembre 1887.
Gaston DARBOUX,
de rAcadémie des Science».
F.
THÉORIE ANALYTIQUE
l)K
LA CHALEUR
_S t
DEUXIEME EDITION
THEORIE
ANALYTIQUE
DE LA CHALEUR,
Par m. FOURIER.
A PARIS,
CHEZ FIRMIN DIDOT, PÈRE ET FILS,
LIBRAIRES POUR LES MATHÉMATIQUES, l'arcHITECTURE HTDRADLIQOE ET LA MARI»E, RUE JACOB, n" a4
DISCOURS PRÉLIMINAIRE.
Les causes primordiales ne nous soiit point connues, noais elles sont assujetties à des lois simples et constantes que l'on peut découvrir par Tobscrvation, et dont l'étude est l'objet de la Philosophie naturelle.
La chaleur pénètre, comme la gravité, toutes les substances de l'uni- vers; ses rayons occupent toutes les parties de l'espace. Le but de notre Ouvrage est d'exposer les lois mathématiques que suit cet élé- ment. Cette théorie formera désormais une des branches les plus im- portantes de la Physique générale.
Les connaissances que les plus anciens peuples avaient pu acquérir dans la Mécanique rationnelle ne nous sont point parvenues, et l'his- toire de cette science, si l'on excepte les premiers théorèmes sur l'har- monie, ne remonte point au delà des découvertes d'Archimède. Ce grand géomètre expliqua les principes mathématiques de l'équilibre des solides et des fluides. Il s'écoula environ dix-huit siècles avant que Galilée, premier inventeur des théories dynamiques, découvrît les lois du mouvement des corps graves. Newton embrassa dans cette science nouvelle tout le système de l'univers. Les successeurs de ces philoso- phes ont donné à ces théories une étendue et une perfection admira- bles; ils nous ont appris que les phénomènes les plus divers sont soumis à un petit nombre de lois fondamentales, qui se reproduisent dans tous les actes de la nature. On a reconnu que les mêmes prin- cipes règlent tous les mouvements des astres, leur forme, les inégalités
XVI DISCOURS PRÉLIMINAIRE.
de leurs cours, Téquilibre et les oscillations des mers, les vibrations harmoniques de Tair et des corps sonores, la transmission de la lumière, les actions capillaires, les ondulations des liquides, enfin, les effets les plus composés de toutes les forces naturelles; et Ton a con- firmé cette pensée de Newton : Quod tant paucis tam multa prœstet Geo- î7ietria gloriatur (*).
Mais, quelle que soit Tétendue des théories mécaniques, elles ne s'appliquent point aux effets de la chaleur. Ils composent un ordre spé- cial de phénomènes qui ne peuvent s'expliquer par les principes du mouvement et de l'équilibre. On possède depuis longtemps des instru- ments ingénieux propres à mesurer plusieurs de ces effets; on a recueilli des observations précieuses; mais on ne connaît ainsi que des résultats partiels, et non la démonstration mathématique des lois qui les comprennent tous.
J'ai déduit ces lois d'une longue étude et de la comparaison atten- tive des faits connus jusqu'à ce jour; je les ai tous observés de nouveau, dans le cours de plusieurs années, avec les instruments les plus précis dont on ait encore fait usage.
Pour fonder cette théorie, il était d'abord nécessaire de distinguer et de définir avec précision les propriétés élémentaires qui détermi- nent l'action de la chaleur. J'ai reconnu ensuite que tous les phéno- mènes qui dépendent de cette action se résolvent en un très petit nombre de faits généraux et simples; et, par là, toute question phy- sique de ce genre est ramenée à une recherche d'Analyse mathéma- tique. J'en ai conclu que, pour déterminer en nombre les mouvements les plus variés de la chaleur, il sufQt de soumettre chaque substance à trois observations fondamentales. En effet, les différents corps ne pos-
(») Philosophiœ naturalis principia mathematica. Prœfatio ad lectorem, Ac glorialur Geometria quod tam paucis principiis aliunde petitis tam multa praeslel. G. D.
DISCOURS PRÉLIMINAIRE. xvii
sèdent point au même degré la faculté de contenir la chaleur, de la recevoir ou de la transmettre à travers leur superficie, et de la conduire dans l'intérieur de la masse. Ce sont trois qualités spécifiques que notre théorie distingue clairement et qu'elle apprend à mesurer.
Il est facile de juger combien ces recherches intéressent les sciences physiques et l'économie civile, et quelle peut être leur influence sur les progrès des arts qui exigent l'emploi et la distribution du feu. Elles ont aussi une relation nécessaire avec le Système du monde, et l'on connaît ces rapports si l'on considère les grands phénomènes qui s'ac- complissent près de la surface du globe terrestre.
En effet, le rayon du Soleil dans lequel cette planète est incessam- ment plongée pénètre l'air, la terre et les eaux; ses éléments se di- visent, changent de directions dans tous les sens; et, pénétrant dans la masse du globe, ils en élèveraient de plus en plus la température moyenne, si cette chaleur ajoutée n'était pas exactement compensée par celle qui s'échappe en rayons de tous les points de la superficie, et se répand dans les cieux.
Les divers climats, inégalement exposés à l'action de la chaleur solaire, ont acquis, après un temps immense, des températures propres à leur situation. Cet effet est modifié par plusieurs causes accessoires, telles que l'élévation et la figure du sol, le voisinage et l'étendue des
continents et des mers, l'état de la surface, la direction des vents.
«
L'intermittence des jours et des nuits, les alternatives des saisons occasionnent, dans la terre solide, des variations périodiques qui se renouvellent chaque jour ou chaque année; mais ces changements sont d'autant moins sensibles que le point où on les mesure est plus distant de la surface. On ne peut remarquer aucune variation diurne à la pro- fondeur d'environ 3™; et les variations annuelles cessent d'être appré- ciables à une profondeur beaucoup moindre que 60™. La température
F.
c
XVIII DISCOURS PRÉLIMINAIRE.
des lieux profonds est donc sensiblement fixe dans un lieu donné ; mais elle n'est pas la même pour tous les points d'un même parallèle; en général, elle s'élève lorsqu'on s'approche de Téquateur.
La chaleur que le Soleil a communiquée au globe terrestre, et qui a produit la diversité des climats, est assujettie maintenant à un mouve- ment devenu uniforme. Elle s'avance dans l'intérieur de la masse qu'elle pénètre tout entière, et en même temps elle s'éloigne du plan de Téquateur, et va se perdre dans l'espace à travers les contrées polaires.
Dans les hautes régions de l'atmosphère, l'air, très rare et diaphane, ne retient qu'une faible partie de la chaleur des rayons solaires : c'est la cause principale du froid excessif des lieux élevés. Les couches infé- rieures, plus denses et plus échauffées par la terre et les eaux, se di- latent et s'élèvent; elles se refroidissent par l'effet même de la dila- tation. Les grands mouvements de l'air, comme les vents alizés qui soufflent entre les tropiques, ne sont point déterminés par les forces attractives de la Lune et du Soleil. L'action de ces astres ne produit sur un fluide aussi rare, à une aussi grande distance, que des oscilla- tions très peu sensibles. Ce sont les changements des températures qui déplacent périodiquement toutes les parties de l'atmosphère.
Les eaux de l'Océan sont différemment exposées par leur surface aux rayons du Soleil, et le fond du bassin qui les renferme est échauffé très inégalement depuis les pôles jusqu'à l'équateur. Ces deux causes, toujours présentes, et combinées avec la gravité et la force centrifuge, entretiennent des mouvements immenses dans l'intérieur des mers. Elles en déplacent et en mêlent toutes les parties, et produisent ces courants réguliers et généraux que les navigateurs ont observés.
La chaleur rayonnante qui s'échappe de la superficie de tous les corps et traverse les milieux élastiques ou les espaces vides d'air a des lois spéciales, et elle concourt aux phénomènes les plus variés. On
DISCOURS PRÉLIMINAIRE. xix
connaissait déjà l'explication physique de plusieurs de ces faits; la théorie mathématique que j'ai formée en donne la mesure exacte. Elle consiste, en quelque sorte, dans une seconde catoptrique, qui a ses théorèmes propres, et sert à déterminer par le calcul tous les effets de la chaleur directe ou réfléchie.
Cette énumération des objets principaux de la théorie fait assez con- naître la nature des questions que je me suis proposées. Quelles sont ces qualités élémentaires que, dans chaque substance, il est nécessaire d'observer, et. quelles expériences sont les plus propres à les déter- miner exactement? Si des lois constantes règlent la distribution de la chaleur dans la matière solide, quelle est l'expression mathématique de ces lois? et par quelle analyse peut-on déduire de cette expression la solution complète des questions principales?
Pourquoi les températures terrestres cessent-elles d'être variables à une profondeur si petite par rapport au rayon du globe? Chaque iné* galité du mouvement de cette planète devant occasionner au-dessous de la surface une oscillation de la chaleur solaire, quelle relation y a-t-il entre la durée de la période et la profondeur où les températures deviennent constantes?
Quel temps a dû s'écouler pour que les climats pussent acquérir les températures diverses qu'ils conservent aujourd'hui; et quelles causes peuvent faire varier maintenant leur chaleur moyenne? Pourquoi les seuls changements annuels de la distance du Soleil à la Terre ne cau- sent-ils pas à la surface de cette planète des changements très consi- dérables dans les températures?
A quel caractère pourrait-on reconnaître que le globe terrestre n'a pas entièrement perdu sa chaleur d'origine, et quelles sont les lois exactes de la déperdition?
Si cette chaleur fondamentale n'est point totalement dissipée.
XX DISCOURS PRÉLIMINAIRE.
comme l'indiquent plusieurs observations, elle peut être immense a de grandes profondeurs, et toutefois elle n'a plus aujourd'hui aucune influence sensible sur la température moyenne des climats : les effets que l'on y observe sont dus à l'action des rayons solaires. Mais, indé- pendamment de ces deux sources de chaleur, l'une fondamentale et primitive, propre au globe terrestre, l'autre due à la présence du So- leil, n'y a-t-il point une cause plus universelle, qui détermine la tempé- rature du ciel, dans la partie de l'espace qu'occupe maintenant le sys- tème solaire? Puisque les faits observés rendent cette cause nécessaire, quelles sont, dans cette question entièrement nouvelle, les consé- quences d'une théorie exacte? comment pourra-t-on déterminer cette valeur constante de la température de l'espace, et en déduire celle qui convient à chaque planète?
Il faut ajouter à ces questions celles qui dépendent des propriétés de la chaleur rayonnante. On connaît très distinctement la cause physique de la réflexion du froid, c'est-à-dire de la réflexion d'une moindre cha- leur; mais quelle est l'expression mathématique de cet eflet?
De quels principes généraux dépendent les températures atmo- sphériques, soit que le thermomètre qui les mesure reçoive immédia- tement les rayons du Soleil, sur une surface métallique ou dépolie, soit que cet instrument demeure exposé, durant la nuit, sous un ciel exempt de nuages, au contact de l'air, au rayonnement des corps ter- restres, et à celui des parties de l'atmosphère les plus éloignées et les plus froides.
L'intensité des rayons qui s'échappent d'un point de la superficie des corps échaufl'és variant avec leur inclinaison suivant une loi que les expériences ont indiquée, n'y a-t-il pas un rapport mathématique nécessaire entre cette loi et le fait général de l'équilibre de la chaleur; et quelle est la cause physique de cette inégale intensité?
DISCOURS PRÉLIMINAIRE. xxi
Enfin, lorsque la chaleur pénètre les masses fluides et y détermine des mouvements intérieurs, par les changements continuels de tempé- rature et de densité de chaque molécule, peut-on encore exprimer par des équations différentielles les lois d'un effet aussi composé; et quel changement en résulte-t-il dans les équations générales de l'Hydro- dynamique?
Telles sont les questions principales que j'ai résolues, et qui n'avaient point encore été soumises au calcul. Si l'on considère, de plus, les rapports multipliés de cette théorie mathématique avec les usages civils et les arts techniques, on reconnaîtra toute l'étendue de ses applications. Il est manifeste qu'elle comprend une série entière de phénomènes distincts, et qu'on ne pourrait en omettre l'étude sans retrancher une partie notable de la science de la nature.
Les principes de cette théorie sont déduits, comme ceux de la Méca- nique rationnelle, d'un très petit nombre de faits primordiaux, dont les géomètres ne considèrent point la cause, mais qu'ils admettent comme résultant des observations communes et confirmées par toutes les expériences.
Les équations différentielles de la propagation de la chaleur expriment les conditions les plus générales, et ramènent les questions physiques à des problèmes d'Analyse pure, ce qui est proprement l'objet de la théorie. Elles ne sont pas moins rigoureusement démontrées que les équations générales de l'écjuilibre et du mouvement. C'est pour rendre cette comparaison plus sensible que nous avons toujours préféré des démonstrations analogues a celles des théorèmes qui servent de fon- dement à la Statique et à la Dynamique. Ces équations subsistent encore, mais elles reçoivent une forme différente, si elles expriment la distribution de la chaleur lumineuse dans les corps diaphanes, ou les mouvements que les changements de température et de densité occa-
XXII DISCOURS PRÉLIMINAIRE.
sionnent dans l'intérieur des fluides. Les coefficients qu'elles ren* ferment sont sujets à des variations dont la mesure exacte n'est pas encore connue; mais, dans toutes les questions naturelles qu'il nous importe le plus de considérer, les limites des températures sont assez peu différentes pour que l'on puisse omettre ces variations des coeffi- cients.
Les équations du mouvement de la chaleur, comme celles qui expriment les vibrations des corps sonores, ou les dernières oscilla- tions des liquides, appartiennent à une des branches de la Science du calcul les plus récemment découvertes, et qu'il importait beaucoup de perfectionner. Âpres avoir établi ces équations différentielles, il fallait en obtenir les intégrales; ce qui consiste à passer d'une expression commune à une solution propre, assujettie à toutes les conditions don- nées. Cette recherche difficile exigeait une analyse spéciale, fondée sur des théorèmes nouveaux dont nous ne pourrions ici faire connaître l'objet. La méthode qui en dérive ne laisse rien de vague et d'indéter- miné dans les solutions; elle les conduit jusqu'aux dernières applica- tions numériques, condition nécessaire de toute recherche, et sans laquelle on n'arriverait qu'à des transformations inutiles.
Ces mêmes théorèmes qui nous ont fait connaître les intégrales des équations du mouvement de la chaleur s'appliquent immédiatement à des questions d'Analyse générale et de Dynamique dont on désirait depuis longtemps la solution.
L'étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des découvertes mathématiques. Non seulement cette étude, en offrant aux recherches un but déterminé, a l'avantage d'exclure les questions vagues et les calculs sans issue : elle est encore un moyen assuré de former l'Analyse elle-même, et d'en découvrir les éléments qu'il nous importe le plus de connaître» et que cette science doit toujours con-
DISCOURS PRÉLIMINAIRE. xxiii
server : ces éléments fondamentaux sont ceux qui se reproduisent dans tous les effets naturels.
On voit, par exemple, qu'une même expression, dont les géomètres avaient considéré les propriétés abstraites et qui, sous ce rapport, appartient à l'Analyse générale, représente aussi le mouvement de la lumière dans Tatmosphère, qu'elle détermine les lois de la diffusion de la chaleur dans la matière solide, et qu'elle entre dans toutes les ques- tions principales de la Théorie des probabilités.
Les équations analytiques, ignorées des anciens géomètres, que Descartes a introduites le premier dans l'étude des courbes et des surfaces, ne sont pas restreintes aux propriétés des figures et à celles . qui sont l'objet de la Mécanique rationnelle; elles s'étendent à tous les phénomènes généraux. Il ne peut y avoir de langage plus universel et plus simple, plus exempt d'erreurs et d'obscurités, c'est-à-dire plus digne d'exprimer les rapports invariables des êtres naturels.
Considérée sous ce point de vue, l'Analyse mathématique est aussi étendue que la nature elle-même; elle définit tous les rapports sen- sibles, mesure les temps, les espaces, les forces, les températures; cette science difficile se forme avec lenteur, mais elle conserve tous les principes qu'elle a une fois acquis; elle s'accroit et s'affermit sans cesse, au milieu de tant de variations et d'erreurs de l'esprit humain.
Son attribut principal est la clarté; elle n'a point de signes pour exprimer les notions confuses. Elle rapproche les phénomènes les plus divers et découvre les analogies secrètes qui les unissent. Si la matière nous échappe, comme celle de l'air et de la lumière, par son extrême ténuité, si les corps sont placés loin de nous, dans l'immensité de l'es- pace, si l'homme veut connaître le spectacle des cieux pour des époques successives que séparent un grand nombre de siècles, si les actions de la gravité et de la chaleur s'exercent dans l'intérieur du globe solide à
XXIV DISCOURS PRELIMINAIRE.
des profondeurs qui seront toujours inaccessibles, l'Analyse mathé- matique peut encore saisir les lois de ces phénomènes. Elle nous les rend présents et mesurables, et semble être une faculté de la raison humaine destinée a suppléer à la brièveté de la vie et à Timperfection des sens; et, ce qui est plus remarquable encore, elle suit la même marche dans Tétude de tous les phénomènes; elle les interprète par le même langage, comme pour attester Tunité et la simplicité du plan de l'univers, et rendre encore plus manifeste cet ordre immuable qui pré- side à toutes les causes naturelles.
Les questions de la Théorie de la chaleur oiTrent autant d'exemples de ces dispositions simples et constantes qui naissent des lois géné- rales de la nature; et, si l'ordre qui s'établit dans ces phénomènes pou- vait être saisi par nos sens, ils nous causeraient une impression com- parable à celles des résonances harmoniques.
Les formes des corps sont variées à l'infini; la distribution de la chaleur qui les pénètre peut être arbitraire et confuse; mais toutes les inégalités s'eflacent rapidement et disparaissent à mesure que le temps s'écoule. La marche du phénomène, devenue plus régulière et plus simple, demeure enfin assujettie à une loi déterminée, qui est la même pour tous les cas et qui ne porte plus aucune empreinte sensible de la disposition initiale.
Toutes les observations confirment ces conséquences. L'analyse dont elles dérivent sépare et exprime clairement : i® les conditions géné- rales, c'est-à-dire celles qui résultent des propriétés naturelles de la chaleur; 2** l'effet accidentel, mais subsistant, de la figure ou de l'état des surfaces; 3^ l'efiet non durable de la distribution primitive.
Nous avons démontré dans cet Ouvrage tous les principes de la Théorie de la chaleur, et résolu toutes les questions fondamentales. On aurait pu les exposer sous une forme plus concise, omettre les
DISCOURS PRÉLIMINAIRE. xxv
questions simples, et présenter d'abord les conséquences les plus générales; mais on a voulu montrer l'origine même de la Théorie et ses progrès successifs. Lorsque cette connaissance est acquise, et que les principes sont entièrement fixés, il est préférable d'employer immé- diatement les méthodes analytiques les plus étendues, comme nous l'avons fait dans les recherches ultérieures. C'est aussi la marche que nous suivrons désormais dans les Mémoires qui seront joints à cet Ouvrage, et qui en forment en quelque sorte le complément, et par là nous aurons concilié, autant qu'il peut dépendre de nous, le dévelop- pement nécessaire des principes avec la précision qui convient aux applications de l'Analyse.
Ces Mémoires auront pour objet la théorie de la chaleur rayonnante, la question des températures terrestres, celle de la température des habitations, la comparaison des résultats théoriques avec ceux que nous avons observés dans diverses expériences, enfin la démonstration des équations différentielles du mouvement de la chaleur dans les fluides.
L'Ouvrage que nous publions aujourd'hui a été écrit depuis long- temps; diverses circonstances en ont retardé et souvent interrompu l'impression. Dans cet intervalle, la Science s'est enrichie d'observa- tions importantes; les principes de notre Analyse, que l'on n'avait pas saisis d'abord, ont été mieux connus; on a discuté et confirmé les résultats que nous en avions déduits. Nous avons appliqué nous- méme ces principes à des questions nouvelles, et changé la forme de quelques démonstrations. Les retards de la publication auront contri- bué à rendre l'Ouvrage plus clair et plus complet.
Nos premières recherches analytiques sur la communication de la
chaleur ont eu pour objet la distribution entre des masses disjointes ;
on les a conservées dans la Section II du Chapitre IV. Les questions
relatives aux corps continus, qui forment la théorie proprement dite, F. d
XXVI DISCOURS PRÉLIMINAIRE.
ont été résolues plusieurs années après; cette théorie a été exposée, pour la première fois, dans un Ouvrage manuscrit remis à Tlnstitut de France à la fin de l'année 1807, et dont il a été publié un extrait dans le Bulletin des Sciences (Société philomathique, année 1808, p, 1 12-1 iG). Nous avons joint à ce Mémoire et remis successivement des Notes assez étendues, concernant la convergence des séries, la diffusion de la cha- leur dans un prisme infini, son émission dans les espaces vides d'air, les constructions propres à rendre sensibles les théorèmes principaux, et l'analyse du mouvement périodique à la surface du globe terrestre. Notre second Mémoire sur la propagation de la chaleur a été déposé aux Archives de l'Institut, le 28 septembre i8ii. Il est formé du pré- cédent et des Notes déjà remises ; on y a omis des constructions géo- métriques et des détails d'Analyse qui n'avaient pas un rapport néces- saire avec la question physique, et l'on a ajouté l'équation générale qui exprime l'état de la surface. Ce second Ouvrage a été livré k l'im- pression dans le cours de 1821, pour être inséré dans la Collection de l'Académie des Sciences. Il est imprimé sans aucun changement ni addition; le texte est littéralement conforme au Manuscrit déposé, qui fait partie des Archives de l'Institut.
On pourra trouver dans ce Mémoire et dans les écrits qui l'ont pré- cédé un premier exposé des applications que ne contient pas notre Ouvrage actuel; elles seront traitées dans les Mémoires subséquents avec plus d'étendue, et, s'il nous est possible, avec plus de clarté. Les résultats de notre travail concernant ces mêmes questions sont aussi indiqués dans divers articles déjà rendus publics. L'extrait inséré dans les Annales de Chimie et de Physique fait connaître l'ensemble de nos recherches (t. III, p. 35o-376, année 1816). Nous avons publié dans ces Annales deux Notes séparées, concernant la chaleur rayonnante (t. IV, p. 128-145, année 1817, et t. VI, p. 259-3o3, année 1817).
DISCOURS PRÉLIMINAIRE. xxvii
Divers autres articles du même Recueil présentent les résultats les plus constants de la théorie et des observations; l'utilité etTétendue des connaissances thermologiques ne pouvaient être mieux appréciées que par les célèbres rédacteurs de ces Annales (*).
On trouvera dans le Bulletin des Sciences (Société philomathique, année 1818, p. i-ii, et année 1820, p. 58-70) l'extrait d'un Mémoire sur la température constante ou variable des habitations, et l'exposé des principales conséquences de notre analyse des températures terrestres.
M. Alexandre de Humboldt, dont les recherches embrassent toutes les grandes questions de la Philosophie naturelle, a considéré, sous un point de vue nouveau et très important, les observations des tempéra- tures propres aux divers climats : Mémoire sur les lignes isothermes (^Société d'Arcueil, t. III, p. 4^2x602, année 1817); Mémoire sur la li- mite inférieure des neiges perpétuelles (Annales de Chimie et de Physique , t. V, p. 102-112, année 1817, et t. XIV, p. 5-57, année 1820).
Quant aux équations différentielles du mouvement de la chaleur dans les liquides, il en a été fait mention dans l'histoire annuelle de l'Académie des Sciences. Cet extrait de notre Mémoire en montre clairement l'objet et le principe (Analyse des travaux de l' Académie des Sciences, par M. Delambre, année 1820) (^).
L'examen des forces répulsives queja chaleur produit, et qui déter- minent les propriétés statiques des gaz, n'appartient pas au sujet ana- lytique que nous avons considéré. Cette question, liée à la théorie de la chaleur rayonnante, vient d'être traitée par l'illustre auteur de la Mécanique céleste, à qui toutes les branches principales de l'Analyse mathématique doivent des découvertes importantes (Connaissance des Temps pour les années 1 824 ^^ J 825).
( * ) Gay-Lussac et Arago. G. D.
(*) Ce Mémoire a été imprimé en i833; il sera publié dans le Tome II. G. D.
xxviii DISCOURS PRÉLIMINAIRE.
Les théories nouvelles expliquées dans notre Ouvrage sont réunies pour toujours aux Sciences mathématiques et reposent comme elles sur des fondements invariables; elles conserveront tous les éléments qu'elles possèdent aujourd'hui, et elles acquerront continuellement plus d'étendue. On perfectionnera les instruments et Ton multipliera les expériences. L'analyse que nous avons formée sera déduite de mé- thodes plus générales, c'est-à-dire plus simples et plus fécondes, com- munes à plusieurs classes de phénomènes. On déterminera, pour les substances solides ou liquides, pour les vapeurs et pour les gaz perma- nents, toutes les qualités spécifiques relatives à la chaleur, et les varia- tions des coefficients qui les expriment. On observera, dans les divers lieux du globe, les températures du sol à diverses profondeurs, l'inten- sité de la chaleur solaire et ses effets, ou constants ou variables, dans l'atmosphère, dans l'Océan et les lacs; et l'on connaîtra cette tempé- rature constante du Ciel, qui est propre aux régions planétaires. La théorie elle-même dirigera toutes ces mesures et en assignera la pré- cision. Elle ne peut faire désormais aucun progrès considérable qui ne soit fondé sur ces expériences; car l'Analyse mathématique peut déduire, des phénomènes généraux et simples, l'expression des lois de la Nature; mais l'application spéciale de ces lois à des effets très composés exige une longue suite d'observations exactes.
THÉORIE
DR
LA CHALEUR
Et ignem regunt numeri. Plato.
CHAPITRE I
INTRODUCTION.
SECTION I.
EXPOSITION DE L OBJET DE CET OUVRAGE.
1.
Les effets de la chaleur sont assujettis à des lois constantes que l'on ne peut découvrir sans le secours de l'Analyse mathématique. La Théorie que nous allons exposer a pour objet de démontrer ces lois; elle réduit toutes les recherches physiques sur la propagation de la chaleur à des questions de Calcul intégral dont les éléments sont donnés par l'expérience. Aucun sujet n'a des rapports plus étendus avec les progrès de l'industrie et ceux des sciences naturelles; car l'action de la chaleur est toujours présente; elle pénètre tous les corps et les espaces; elle influe sur les procédés des arts et concourt à tous les phénomènes de l'univers.
Lorsque la chaleur est inégalement distribuée entre les différents
points d'une masse solide, elle tend à se mettre en équilibre et passe
lentement des parties plus échauffées dans celles qui le sont moins; en F, i
2 THEORIE DE LA CHALEUR.
même temps elle se dissipe par la surface et se perd dans le milieu ou dans le vide. Cette tendance à une distribution uniforme et cette émis- sion spontanée qui s'opère à la surface des corps changent continuel- lement la température des différents points. La question de la propa- gation de la chaleur consiste à déterminer quelle est la température de chaque point d'un corps à un instant donné, en supposant que les températures initiales sont connues. Les exemples suivants feront con- naître plus clairement la nature de ces questions.
2.
Si l'on expose à l'action durable et uniforme d'un foyer de chaleur une même partie d'un anneau métallique d'un grand diamètre, les molécules les plus voisines du foyer s'échaufferont les premières et, après un certain temps, chaque point du solide aura acquis presque entièrement la plus haute température à laquelle il puisse parvenir. Cette limite ou maximum de température n'est pas la même pour les différents points; elle est d'autant moindre qu'ils sont plus éloignés de celui où le foyer est immédiatement appliqué.
Lorsque les températures sont devenues permanentes, le foyer trans- met, à chaque instant, une quantité de chaleur qui compense exacte- ment celle qui se dissipe par tous les points de la surface extérieure de l'anneau.
Si maintenant on supprime le loyer, la chaleur continuera de se propager dans l'intérieur du solide ; mais celle qui se perd dans le milieu ou dans le vide ne sera plus compensée comme auparavant par le produit du foyer, en sorte que toutes les températures varieront et diminueront sans cesse, jusqu'à ce qu'elles soient devenues égales à celle du milieu environnant.
3.
Pendant que les températures sont permanentes et que le loyer sub- siste, si l'on élève, en chaque point de la circonférence moyenne de l'anneau, une ordonnée perpendiculaire au plan de l'anneau et dont la longueur soit proportionnelle à la température fixe de ce point, la
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 3
ligne courbe qui passerait par les extrémités de ces ordonnées repré- sentera l'état permanent des températures, et il est très facile de déter- miner par le calcul la nature de cette ligne. Il faut remarquer que l'on suppose à l'anneau une épaisseur assez petite pour que tous les points d'une même section perpendiculaire à la circonférence moyenne aient des températures sensiblement égales. Lorsqu'on aura enlevé le foyer, la ligne qui termine les ordonnées proportionnelles aux températures des différents points changera continuellement de forme. La question consiste à exprimer par une équation la forme variable de cette courbe, et à comprendre ainsi dans une seule formule tous les états successifs du solide.
4.
Soient z la température fixe d'un point m de la circonférence moyenne, X la distance de ce point au foyer, c'est-à-dire la longueur de l'arc de la circonférence moyenne, compris entre le point m et le point o, qui correspond à la position du foyer; :; est la plus haute température que le point m puisse acquérir en vertu de l'action constante du foyer, et cette température permanente :; est une fonction/(a7) de la distance x\ La première partie de la question consiste à déterminer la fonction/(.T) qui représente l'état permanent du solide.
On considérera ensuite l'état variable qui succède au précédent aus- sitôt que l'on a éloigné le foyer; on désignera par t le temps écoulé depuis cette suppression du foyer et par v la valeur de la température du point m après le temps /. La quantité v sera une certaine fonc- tion ¥{x, t) de la distancer et du temps /; l'objet de la question est de découvrir cette fonction Y{x^t) dont on ne connaît encore que la valeur initiale qui est/(a?), en sorte que l'on doit avoir l'équation de condition
¥{x,o)^f{x).
5.
Si l'on place une masse solide homogène, de forme sphérique ou cubique, dans un milieu entretenu a une température constante, et
k THÉORIE DE LA CHALEUR.
qu'elle y demeure très longtemps plongée, elle acquerra dans tous ses points une température très peu différente de celle du fluide. Suppo- sons qu'on l'en retire pour la transporter dans un milieu plus froid» la chaleur commencera à se dissiper par la surface ; les températures des différents points de la masse ne seront plus sensiblement les mêmes, et, si on la suppose divisée en une infinité de couches par des surfaces parallèles à la surface extérieure, chacune de ces couches transmettra, dans un instant, une certaine quantité de chaleur à celle qui l'enve- loppe. Si l'on conçoit que chaque molécule porte un thermomètre séparé qui indique à chaque instant sa température, l'état du solide sera continuellement représenté par le système variable de toutes ces hauteurs thermométriques. Il s'agit d'exprimer les états successifs par des formules analytiques, en sorte que l'on puisse connaître, pour un instant donné, la température indiquée par chaque thermomètre et comparer les quantités de chaleur qui s'écoulent, dans le même instant, entre deux couches contiguès ou dans le milieu environnant.
6.
Si la masse est sphérique, et que l'on désigne par x la distance d'un point m de cette masse au centre de la sphère, par t le temps écoulé depuis le commencement du refroidissement et par ^ la température variable du point m, il est facile de voir que tous les points placés à la même distance x du centre ont la même température t^. Cette quan- tité ^ est une certaine fonction F(jr, /) du rayon x et du temps écoulé /; elle doit être telle qu'elle devienne constante quelle que soit la valeur de X, lorsqu'on suppose celle de t nulle; car, d'après l'hypothèse, la température de tous les points est la même au moment de l'émersion. La question consiste à déterminer la fonction de ^ et de / qui exprime la valeur de ^.
7.
On considérera ensuite que, pendant la durée du refroidissement, il s'écoule k chaque instant, par la surface extérieure, une certaine quan-
CHAPITRE I.- INTRODUCTION. 5
tité de chaleur qui passe dans le milieu. La valeur de cette quantité n'est pas constante; elle est plus grande au commencement du refroi- dissement. Si Ton se représente aussi l'état variable de la surface sphé- rique intérieure dont le rayon esta?, on reconnaît facilement qu'il doit y avoir, à chaque instant, une certaine quantité de chaleur qui traverse cette surface et passe dans la partie de la masse qui est plus éloignée du centre. Ce flux continuel de chaleur est variable comme celui de la surface extérieure, et l'un et l'autre sont des quantités comparables entre elles; leurs rapports sont des nombres dont les valeurs variables sont des fonctions de la distance x et du temps écoulé t. 11 s'agit de
déterminer ces fonctions.
8.
Si la masse, échauffée par une longue immersion dans un milieu, et dont on veut calculer le refroidissement, est de forme cubique et si l'on détermine la position de chaque point m par trois coordonnées rectan- gulaires ai, j, 5, en prenant pour origine le centre du cube et pour axes les lignes perpendiculaires aux faces, on voit que la tempéra- ture V du point /w, après le temps écoulé t, est une fonction des quatre variables x, y, z et t. Les quantités de chaleur qui s'écoulent à chaque instant, par toute la surface extérieure du solide, sont variables et comparables entre elles; leurs rapports sont des fonctions analytiques qui dépendent du temps t et dont il faut assigner l'expression.
9.
Examinons aussi le cas où un prismTg rectangulaire d'une assez grande épaisseur et d'une longueur infinie, étant assujetti par son extrémité a une température constante, pendant que l'air environnant conserve une température moindre, est enfin parvenu à un état fixe qu'il s'agit de connaître. Tous les points de la section extrême qui sert de base au prisme ont, par hypothèse, une température commune et permanente. Il n'en est pas de même d'une section éloignée du foyer; chacun des points de cette surface rectangulaire, parallèle à la base, a acquis une température fixe, mais qui n'est pas la même pour les dif-
6 THÉORIE DE LA CHALEUR.
férents points d'une même section et qui doit être moindre pour les points les plus voisins de la surface exposée à Pair. On voit aussi qu'il s'écoule à chaque instant, à travers une section donnée, une certaine quantité de chaleur qui demeure toujours la même, puisque l'état du solide est devenu constant. La question consiste à déterminer la tem- pérature permanente d'un point donné du solide et la quantité totale de chaleur qui, pendant un temps déterminé, s'écoule à travers une section dont la position est donnée.
10.
Prenons pour origine des coordonnées or, y, z le centre de la base du prisme, et pour axes rectangulaires l'axe même du prisme et les deux perpendiculaires sur les faces latérales : la température perma- nente i^ du point /n dont les coordonnées sont .r, 7, z est une fonction de trois variables F(.x*,j, s); elle reçoit, par hypothèse, une valeur constante lorsque l'on suppose x nul, quelles que soient l^s valeurs de j et de z. Supposons que l'on prenne pour unité la quantité de cha- leur qui, pendant l'unité de temps, sortirait d'une superficie égale à l'unité de surface si la masse échauffée que cette superficie termine, et <(ui est formée de la même substance que le prisme, était continuel- lement entretenue à la température de l'eau bouillante et plongée dans l'air atmosphérique entretenu à la température de la glace fondante. On voit que la quantité de chaleur qui, dans l'état permanent du prisme rectangulaire, s'écoule, pendant l'unité de temps, à travers une cer- taine section perpendiculaire à l'axe, a un rapport déterminé avec la quantité de chaleur prise pour unité. Ce rapport n'est pas le même pour toutes les sections; il est une fonction ç(x) de la distance x à laquelle une section est placée; il s'agit de trouver l'expression ana- lytique de la fonction o{x).
11.
Les exemples précédents suffisent pour donner une idée exacte des diverses questions que nous avons traitées.
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 7
La solution de ces questions nous a fait connaître que les effets de la propagation de la chaleur dépendent, pour chaque substance solide, de trois qualités élémentaires qui sont : la capacité de-chaleur, la con- ducibilité propre et la conducibilité extérieure. On a observé que, si deux corps de mérae volume et de nature différente ont des tempéra- tures égales et qu'on leur ajoute une même quantité de chaleur, les accroissements de température ne sont pas les mêmes; le rapport de ces accroissements est celui des capacités de chaleur. Ainsi le premier des trois éléments spécifiques qui règlent l'action de la chaleur est exactement défini, et les physiciens connaissent depuis longtemps plu- sieurs moyens d'en déterminer la valeur. Il n'en est pas de même des deux autres; rn en a souvent observé les effets, mais il n'y a qu'une théorie exacte qui puisse les bien distinguer, les définir et les mesurer avec précision. La conducibilité propre ou intérieure d'un corps ex- prime la facilité avec laquelle la chaleur s'y propage en passant d'une molécule intérieure à une autre. La conducibilité extérieure, ou rela- tive, d'un corps solide dépend de la facilité avec laquelle la chaleur en pénètre la surface et passe de ce corps dans un milieu donné, ou passe du milieu dans le solide. Cette dernière propriété est modifiée par l'état plus ou moins poli de la superficie; elle varie aussi selon le milieu dans lequel le corps est plongé; mais la conducibilité propre ne peut changer qu'avec la nature du solide.
Ces trois qualités élémentaires sont représentées dans nos formules par des nombres constants, et la théorie indique elle-même les expé- riences propres à en mesurer la valeur. Dès qu'ils sont déterminés, toutes les questions relatives à la propagation de la chaleur ne dépen- dent que de l'analyse numérique. La connaissance de ces propriétés spécifiques peut être immédiatement utile dans plusieurs applications des sciences physiques; elle est d'ailleurs un élément de l'étude et de la description des diverses substances. C'est connaître très imparfaite- ment les corps que d'ignorer les rapports qu'ils ont avec un des prin- cipaux agents de la nature. En général, il n'y a aucune théorie mathé- matique qui ait plus de rapport que celle-ci avec l'économie publique,
8 THÉORIE DE LA CHALEUR.
puisqu'elle peut servir à éclairer et à perfectionner l'usage des arts nombreux qui sont fondés sur l'emploi de la chaleur.
12.
La question des températures terrestres offre une des plus belles applications de la théorie de la chaleur; voici l'idée générale que l'on peut s'en former. Les différentes parties de la surface du globe sont inégalement exposées à l'impression des rayons solaires; l'intensité de cette action dépend de la latitude du lieu; elle change aussi pendant la durée du jour et pendant celle de l'année, et est assujettie à d'autres inégalités moins sensibles. Il est évident qu'il existe, entre cet état variable de la surface et celui des températures intérieures, une rela- tion nécessaire que l'on peut déduire de la théorie. On sait qu'à une certaine profondeur au-dessous de la surface de la Terre, la température n'éprouve aucune variation annuelle dans un lieu donné : cette tempé- rature permanente des lieux profonds est d'autant moindre que le lieu est plus éloigné de l'équateur. On peut donc faire abstraction de l'en- veloppe extérieure, dont l'épaisseur est incomparablement plus petite que le rayon terrestre, et regarder cette planète comme une masse presque sphérique dont la surface est assujettie à une température qui demeure constante pour tous les points d'un parallèle donné, mais qui n'est pas la même pour un autre parallèle. Il en résulte que chaque molécule intérieure a aussi une température tixe déterminée par sa position. La question mathématique consisterait a connaître la tempé- rature fixe d'un point donné et la loi que suit la chaleur solaire en pénétrant dans l'intérieur du globe.
Cette diversité des températures nous intéresse davantage, si l'on considère les changements qui se succèdent dans l'enveloppe même dont nous habitons la superficie. Ces alternatives de chaleur et de froid, qui se reproduisent chaque jour et dans le cours de chaque année, ont été jusqu'ici l'objet d'observations multipliées. On peut aujourd'hui les soumettre au calcul et déduire d'une théorie com- mune tous les faits particuliers que l'expérience nous avait appris.
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 9
Cette question se réduit à supposer que tous les points de la surface d'une sphère immense sont affectés de températures périodiques; l'Analyse fait ensuite connaître suivant quelle loi l'intensité des varia- tions décroit à mesure que la profondeur augmente; quelle est, pour une profondeur donnée, la quantité des changements annuels ou diurnes, l'époque de ces changements, et comment la valeur fixe de la température souterraine se déduit des températures variables obser- vées à la surface.
13.
Les équations générales de la propagation de la chaleur sont aux différences partielles, et, quoique la forme en soit très simple, les méthodes connues ne fournissent aucun moyen général de les inté- grer; on ne pourrait donc pas en déduire les valeurs des températures après un temps déterminé. Cette interprétation numérique des résul- tats du calcul est cependant nécessaire, et c'est un degré de perfection qu'il serait très important de donner à toutes les applications de l'Ana- lyse aux Sciences naturelles. On peut dire que, tant qu'on ne l'a pas obtenu, les solutions demeurent incomplètes ou inutiles, et que la vérité qu'on se proposait de découvrir n'est pas moins cachée dans les formules d'Analyse qu'elle ne l'était dans la question physique elle- même. Nous nous sommes attaché avec beaucoup de soin et nous sommes parvenu à surmonter cette difficulté dans toutes les questions que nous avons traitées et qui contiennent les éléments principaux de la Théorie de la chaleur. Il n'y a aucune de ces questions dont la solu- tion ne fournisse des moyens commodes et exacts de trouver les valeurs numériques des températures acquises, ou celles des quantités de cha- leur écoulées, lorsqu'on connaît les valeurs du temps et celles des coor- données variables. Ainsi l'on ne donnera pas seulement les équations différentielles auxquelles doivent satisfaire les fonctions qui expriment les valeurs des températures; on donnera ces fonctions elles-aiêmes sous une forme qui facilite les applications numériques.
F.
2
10 THÉORIE DE L\ CHALEUR.
14.
Pour que ces solutions fussent générales et qu'elles eussent une étendue équivalente à celle de la question» il était nécessaire qu'elles pussent convenir avec l'état initial des températures qui est arbitraire. L'examen de cette condition fait connaître que l'on peut développer en séries convergentes, ou exprimer par des intégrales définies, les fonctions qui ne sont point assujetties à une loi constante et qui repré- sentent les ordonnées des lignes irrégulières ou discontinues. Cette propriété jette un nouveau jour sur la Théorie des équations aux diffé- rences partielles et étend l'usage des fonctions arbitraires en les sou- mettant aux procédés ordinaires de l'Analyse.
15.
Il restait encore à comparer les faits avec la Théorie. On a entrepris, dans cette vue, des expériences variées et précises dont les résultats sont conformes h ceux du calcul et lui donnent une autorité qu'on eût été porté à lui refuser dans une matière nouvelle et qui paraît sujette à tant d'incertitudes. Ces expériences confirment le principe dont on est parti et qui est adopté de tous les physiciens, malgré la diversité de leurs hypothèses sur la nature de la chaleur.
IG.
L'équilibre de température ne s'opère pas seulement par la voie du contact; il s'établit aussi entre les corps séparés les uns des autres et qui demeurent longtemps placés dans un même lieu. Cet effet est indé- pendant du contact du milieu; nous l'avons observé dans des espaces entièrement vides d'air. Il fallait donc, pour compléter notre Théorie, examiner les lois que suit la chaleur rayonnante en s'éloignant de la superficie des corps. Il résulte des observations de plusieurs physiciens et de nos propres expériences que l'intensité des différents rayons qui
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 11
sortent, dans tous les sens, de chaque point de la superficie d'un corps échauffé dépend de Tangle que fait leur direction avec la surface dans ce même point. Nous avons démontré que l'intensité de chaque rayon est d'autant moindre qu'il fait avec l'élément de la surface un plus petit angle, et qu'elle est proportionnelle au sinus de cet angle. Cette loi générale de l'émission de la chaleur, que diverses observations avaient déjà indiquée, est une conséquence nécessaire du principe de l'équi- libre des températures et des lois de la propagation de la chaleur dans les corps solides.
Telles sont les questions principales que l'on a traitées dans cet Ouvrage; elles sont toutes dirigées vers un seul but, qui est d'établir clairement les principes mathématiques de la Théorie de la chaleur et de concourir ainsi aux progrès des arts utiles et à ceux de l'étude de la nature.
17.
On aperçoit, par ce qui précède, qu'il existe une classe très étendue de phénomènes qui ne sont point produits par des forces mécaniques, mais qui résultent seulement de la présence et de l'accumulation de la chaleur. Cette partie de la Philosophie naturelle ne peut se rapporter aux Théories dynamiques; elle a des principes qui lui sont propres, et elle est fondée sur une méthode semblable à celle des autres sciences exactes. Par exemple, la chaleur solaire qui pénètre l'intérieur du globe s'y distribue suivant une loi régulière, qui ne dépend point de celles du mouvement et ne peut être déterminée par les principes de la Mécanique. Les dilatations que produit la force répulsive de la chaleur et dont l'observation sert à mesurer les températures sont, à la vérité, des effets dynamiques; mais ce ne sont point ces dilatations que l'on calcule lorsqu'on recherche les lois de la propagation de la chaleur.
18.
Il y a d'autres effets naturels plus composés qui dépendent a la fois de l'influence de la chaleur et des forces attractives : ainsi les varia-
12 THÉORIE DE LA CHALEUR.
lions de température, que les mouvements du Soleil occasionnent dans Tatmosphëre et dans TOcéan, changent continuellement la densité des différentes parties de l'air et des eaux. L'effet des forces auxquelles ces masses obéissent est modifié à chaque instant par une nouvelle distri- bution de la chaleur, et l'on ne peut douter que cette cause ne pro- duise les vents réguliers et les principaux courants de la mer; les attractions solaire et lunaire n'occasionnent dans l'atmosphère que des mouvements peu sensibles et non des déplacements généraux. Il était donc nécessaire, pour soumettre ces grands phénomènes au calcul, de découvrir les lois mathématiques de la propagation de la chaleur dans l'intérieur des masses.
19.
On connaîtra, par la lecture de cet Ouvrage, que la chaleur affecte dans les corps une disposition régulière, indépendante de la distribu- tion primitive que l'on peut regarder comme arbitraire.
De quelque manière que la chaleur ait d'abord été répartie, le sys- tème initial des températures, s'altérant de plus en plus, ne tarde point à se confondre sensiblement avec un état déterminé qui ne dépend que de la figure du solide. Dans ce dernier état, les tempéra- tures de tous les points s'abaissent en même temps, mais conservent entre elles les mêmes rapports; c'est pour exprimer cette propriété que les formules analytiques contiennent des termes composés d'expo- nentielles et de quantités analogues aux fonctions trigonométriques.
Plusieurs questions de Mécanique présentent des résultats ana- logues, tels que l'isochronisme de« oscillations, la résonance mul- tiple des corps sonores. Les expériences communes les avaient fait remarquer, et le calcul en a ensuite démontré la véritable cause. Quant à ceux qui dépendent des changements de température, ils n'auraient pu être reconnus que par des expériences très précises, mais l'Analyse mathématique a devancé les observations; elle supplée h nos sens et nous rend en quelque sorte témoins des mouvements réguliers et harmoniques de la chaleur dans l'intérieur des corps.
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 13
20.
Ces considérations offrent un exemple singulier des rapports qui existent entre la science abstraite des nombres et les causes natu- relles.
Lorsqu'une barre métallique est exposée par son extrémité k l'action constante d'un foyer et que tous ses points ont acquis leur plus haut degré de chaleur, le système des températures fixes correspond exac- tement à une Table de logarithmes; les nombres sont les élévations des thermomètres placés aux différents points, et les logarithmes sont les distances de ces points au foyer. En général, la chaleur se répartit d'elle-même dans l'intérieur des solides, suivant une loi simple ex- primée par une équation aux différences partielles, commune à des questions physiques d'un ordre différent. L'irradiation de la chaleur a une relation manifeste avec les Tables de sjnus; car les rayons, qui sortent d'un même point d'une surface échauffée, diffèrent beaucoup entre eux, et leur intensité est rigoureusement proportionnelle au sinus de l'angle que fait leur direction avec l'élément de la surface. Si l'on pouvait observer pour chaque instant, et en chaque point d'une masse solide homogène, les changements de température, on retrou- verait dans la série de ces observations les propriétés des séries récur- rentes, celles des sinus et des logarithmes; on les remarquerait, par exemple, dans les variations diurnes ou annuelles des températures des différents points du globe terrestre q^ui sont voisins de la surface.
On reconnaîtrait encore les mêmes résultats et tous les éléments principaux de l'Analyse générale dans les vibrations des milieux élas- tiques, dans les propriétés des lignes ou des surfaces courbes, dans les mouvements des astres et dans ceux de la lumière ou des fluides. C'est ainsi que les fonctions obtenues par des différentiations successives, et qui servent au développement des séries infinies et à la résolution numérique des équations, correspondent aussi à des propriétés phy- siques. La première de ces fonctions, ou la fluxion proprement dite, exprime, dans la Géométrie, l'inclinaison de la tangente des lignes
n THÉORIE DE LA CHALEUR.
courbes, et, dans la Dynamique, la vitesse du mobile pendant le mou- vement varié : elle mesure, dans la Théorie de la chaleur, la quantité qui s'écoule en chaque point d'un corps à travers une surface donnée. L'Analyse mathématique a donc des rapports nécessaires avec les phé- nomènes sensibles; son objet n'est point créé par l'intelligence de l'homme; il est un élément préexistant de l'ordre universel et n'a rien de contingent et de fortuit; il est empreint dans toute la nature.
21.
Des observations plus précises et plus variées feront connaître par la suite si les effets de la chaleur sont modifiés par des causes que l'on n'a point aperçues jusqu'ici, et la Théorie acquerra une nouvelle per- fection par la comparaison continuelle de ses résultats avec ceux des expériences; elle expliquera des phénomènes importants que l'on ne pouvait point encore soumettre au calcul; elle apprendra à déterminer tous les effets thermométriques des rayons solaires, les températures fixes ou variables que l'on observerait à différentes distances de l'équa- teur, dans l'intérieur du globe ou hors des limites de l'atmosphère, dans l'Océan ou dans les différentes régions de l'air. On en déduira la connaissance mathématique des grands mouvements qui résultent de l'influence de la chaleur combinée avec celle de la gravité. Ces mêmes, principes serviront à mesurer la conducibilité propre ou relative des différents corps et leur capacité spécifique, k distinguer toutes les causes qui modifient l'émission de la chaleur à la surface des solides et à perfectionner les instruments thermométriques. Cette théorie exci- tera dans tous les temps l'attention des géomètres, par l'exactitude rigoureuse de ses éléments et les difficultés d'Analyse qui lui sont propres, et surtout par l'étendue et l'utilité de ses applications; car toutes les conséquences qu'elle fournit intéressent la Physique géné- rale, les opérations des arts, les usages domestiques ou l'économie civile.
CHAPITRE I. — INTRODUCTION. 13
SECTION II.
NOTIONS GÉNÉRALES ET DÉFINITIONS PRÉLIXINAIRE8.
22.
On ne pourrait former que des hypothèses incertaines sur la nature (le la chaleur; mais la connaissance des lois mathématiques auxquelles ses effets sont assujettis est indépendante de toute hypothèse; elle exige seulement l'examen attentif des faits principaux que les obser- vations communes ont indiqués et qui ont été confirmés par des expé- riences précises.
Il est donc nécessaire d'exposer, en premier lieu, les résultats géné- raux des observations, de donner des définitions exactes de tous les éléments du calcul et d'établir les principes sur lesquels ce calcul doit être fondé.
L'action de la chaleur tend à dilater tous les corps solides, ou liquides, ou aériformes; c'est cette propriété qui rend sa présence sen- sible. Les solides et les liquides augmentent de voliime si l'on aug- mente la quantité de chaleur qu'ils contiennent; ils se condensent si on la diminue.
Lorsque toutes les parties d'un corps solide homogène, par exemple celles d'une masse métallique, sont également échauffées et qu'elles conservent, sans aucun changement, cette même quantité de chaleur, elles ont aussi et conservent une même densité. On exprime cet état en disant que, dans toute l'étendue de la masse, les molécules ont une température commune et permanente.
23.
Le thermomètre est un corps dont on peut apprécier facilement les moindres changements de volume; il sert à mesurer les températures par la dilatation des liquides ou par celle de l'air. Nous supposons ici
16 THÉORIE DE LA CHALEL'H.
que l'on connaît exactement la construction, Tusage et les propriétés (le ces instruments. La température d'un corps dont toutes les parties sont également échauffées, et qui conserve sa chaleur, est celle qu'in- dique le thermomètre, s'il est et s'il demeure en contact parfait avec h^ corps dont il s'agit.
Le contact est parfait lorsque le thermomètre est entièrement plongé dans une masse liquide et, en général, lorsqu'il n'y a aucun point de la surface extérieure de cet instrument qui ne touche un des points de la masse solide ou fluide dont on veut mesurer la température. Il n'est pas toujours nécessaire, dans les expériences, que cette condition soit rigoureusement observée; mais on doit la supposer pour que la défini- tion soit exacte.
24.
On détermine deux températures fixes, savoir : la température de la glace fondante qui est désignée par o, et la température de Teau bouil- lante que nous désignerons par i ; on suppose que l'ébullition de l'eau a lieu sous une pression de l'atmosphère représentée par une certaine hauteur du baromètre (7G0""), le mercure du baromètre étant à la température o. '
25.
On mesure les différentes quantités de chaleur en déterminant com- bien de fois elles contiennent une quantité que l'on a fixée et prise pour unité. On suppose qu'une masse de glace d'un poids déterminé (i^*^) soit à la température o, et que, par l'addition d'une certaine quan- tité de chaleur, on la convertisse en eau a la même température o : cette quantité de chaleur ajoutée est la mesure prise pour unité. Ainsi la quantité de chaleur exprimée par un nombre C contient un nombre C de fois la quantité nécessaire pour résoudre i^« de glace qui a la tem- pérature o en une masse d'eau qui a la même température o (' ).
( » ) Les unités définies ici par Fourier n ont pas été adoptées, on le sait, par les physi- ciens. Mais on verra plus loin (art. 161) que les équations de la chaleur sont établies d'une manière générale et subsistent, quelles que soient les unités choisies. Il est d'autant plus
CHAPITRE I. ~ INTRODUCTION. 17
26.
Pour élever une masse métallique d'un certain poids, par exemple i*^*^ de fer, depuis la température o jusqu'à la température i, il est né- cessaire d'ajouter une nouvelle quantité de chaleur à celle qui était déjà contenue dans cette masse. Le nombre C, qui désigne cette quan- tité de chaleur ajoutée, est la capacité spécifique de chaleur du fer; le nombre C a des valeurs très différentes pour les différentes substances.
27.
Si un corps d'une nature et d'un poids déterminés (i^« de mercure) occupe le volume V, étant à la température o, il occupera un volume plus grand V-4-A, lorsqu'il aura acquis la température i, c'est-k-dire lorsqu'on aura augmenté la chaleur qu'il contenait, étant à la tempéra- ture o, d'une nouvelle quantité €«, égale à sa capacité spécifique de chaleur. Mais si, au lieu d'ajouter cette quantité Cq, on ajoute ;;Co (c étant un nombre positif ou négatif), le nouveau volume sera V+S, au lieu d'être Vh-A. Or les expériences font connaître que, si z est égal à ^, l'accroissement de volume S est seulement la moitié de l'accrois- sement total A, et qu'en général la valeur de S est jsA lorsque la quan- tité de chaleur ajoutée est sCo.
28.
Ce rapport z des deux quantités de chaleur ajoutées ^Co et Co, qui est aussi celui des deux accroissements de volume 8 et A, est ce que l'on nomme la température; ainsi le nombre qui exprime la tempéra- nécessaire de présenter ici celle remarque que, dans les applications, Fourier suppose souvent que deux corps en contact ont, Tun la température o, l'autre la température i. Si Ton adoptait les unités de Fourier, la différence des températures serait trop grande pour que l'échange de la chaleur entre les deux corps fût réglé par la loi de Newton. Mais si l'on n'a fait à l'avance aucune hypothèse, ni sur l'origine de l'échelle des températures, ni sur la valeur de l'unité de température, il est clair qu'en choisissant convenablement cette ori- gine et cette unité, on peut toujours exprimer deux températures différentes par les nombres o et i. G. D.
F. 3
18 THÉORIE DE LA CHALEUR.
ture actuelle d'un corps représente l'excès de son volume actuel sur le volume qu'il occuperait à la température de la glace fondante, l'unité représentant l'excès total du volume qui correspond à l'ébullition de l'eau sur le volume qui correspond à la glace fondante.
29.
Les accroissements de volume des corps sont en général propor- tionnels aux accroissements des quantités de chaleur qui produisent les dilatations; il faut remarquer que cette proposition n'est exacte que dans les cas où les corps dont il s'agit sont assujettis à des tempé- ratures éloignées de celles qui déterminent leur changement d'état. On ne serait point fondé à appliquer ces résultats à tous les liquides; et, à l'égard de l'eau en particulier, les dilatations ne suivent point toujours les augmentations de chaleur.
En général, les températures sont des nombres proportionnels aux quantités de chaleur ajoutées et, dans les cas que nous considérons, ces nombres sont aussi proportionnels aux accroissements du volume.
30.
Supposons qu'un corps terminé par une surface plane d'une certaine étendue (i"*') soit entretenu d'une manière quelconque à une tem- pérature constante i, commune à tous ses points, et que la surface dont il s'agit soit en contact avec l'air maintenu à la température o : la chaleur qui s'écoulera continuellement par la surface, et passera dans le milieu environnant, sera toujours remplacée par celle qui provient de la cause constante à l'action de laquelle le corps est exposé; il s'écoulera ainsi par la surface, pendant un temps déterminé (une mi- nute), une certaine quantité de chaleur désignée par A. Ce produit A, d'un flux continuel et toujours semblable à lui-même, qui a lieu pour une unité de surface à une température fixe, est la mesure de la con- ducibilité extérieure du corps, c'est-à-dire de la facilité avec laquelle sa surface transmet la chaleur à l'air atmosphérique.
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 19
On suppose que l'air est continuellement déplacé avec une vitesse uniforme et donnée; mais, si la vitesse du courant augmentait, la quantité de chaleur qui se communique au milieu varierait aussi; il en serait de même si l'on augmentait la densité de ce milieu.
31.
Si l'excès de la température constante du corps sur la température des corps environnants, au lieu d'être égal à r, comme on l'a sup- posé, avait une valeur moindre, la quantité de chaleur dissipée serait moindre que A. Il résulte des observations, comme on le verra par la suite, que cette quantité de chaleur perdue peut être regardée comme sensiblement proportionnelle à l'excès de la température du corps sur celle de l'air et des corps environnants. Ainsi, la quantité h ayant été déterminée par une expérience dans laquelle la surface échauffée est à la température i et le milieu à la température o, on en conclut qu'elle aurait la valeur hz si la température de la surface était z, toutes les autres circonstances demeurant les mêmes. On doit admettre ce résultat lorsque z est une petite fraction.
32.
La valeur h de la quantité de chaleur qui se dissipe à travers la sur- face échauffée est différente pour les différents corps; et elle varie pour un même corps suivant les divers états de la surface. L'effet de l'irra- diation est d'autant moindre que la surface échauffée est plus polie, de sorte qu'en faisant disparaître le poli de la surface, on augmente consi- dérablement la valeur de h. Un corps métallique échauffé se refroidira beaucoup plus vite, si l'on couvre sa surface extérieure d'un enduit noir, propre à ternir entièrement l'éclat métallique.
33.
Les rayons de chaleur qui s'échappent de la surface d'un corps par- courent librement les espaces vides d'air; ils se propagent aussi dans
20 THÉORIE DE LA CHALEUR.
l'air atmosphérique; leur direction n'est point troublée par les agita- tions de l'air intermédiaire : ils peuvent être réfléchis et se réunissent aux foyers des miroirs métalliques. Les corps dont la température est élevée, et que l'on plonge dans un liquide, n'échauffent immédiatement que les parties de la masse qui sont en contact avec leur surface. Les molécules dont la distance à cette surface n'est pas extrêmement petite ne reçoivent point de chaleur directe; il n'en est pas de même des fluides aériformes; les rayons de chaleur s'y portent avec une extrême rapidité à des distances considérables, soit qu'une partie de ces rayons traverse librement les couches de l'air, soit que celles-ci se les trans- mettent subitement sans en altérer la direction.
34.
Lorsque le corps échauffé est placé dans un air qui conserve sensi- blement une température constante, la chaleur qui se communique à l'air rend plus légère la couche de ce fluide voisine de la surface; cette couche s'élève d'autant plus vite qu'elle est plus échauffée, et elle est remplacée par une autre masse d'air froid. 11 s'établit ainsi un courant d'air dont la direction est verticale, et dont la vitesse est d'autant plus grande que la température du corps est plus élevée. C'est pourquoi, si le corps se refroidissait successivement, la vitesse du courant diminue- rait avec la température, et la loi du refroidissement ne serait pas exac- tement la même que si le corps était exposé à un courant d'air d'une vitesse constante.
35.
Lorsque les corps sont assez échauffés pour répandre une très vive lumière, une partie de leur chaleur rayonnante, mêlée à cette lumière, peut traverser les solides ou les liquides transparents; et elle est sujette k la force qui produit les réfractions. La quantité de chaleur qui jouit de cette faculté est d'autant moindre que les corps sont moins enflammés; elle est, pour ainsi dire, insensible pour les corps très obscurs, quelque échauffés qu'ils soient. Une lame mince et dia-
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. il
phane intercepte presque toute la chaleur directe qui sort d'une masse métallique ardente; mais elle s'échauffe à mesure que les rayons inter- ceptés s'y accumulent, ou, si elle est formée d'eau glacée, elle devient liquide; si cette lame de glace est exposée aux rayons d'un flambeau, elle laisse passer avec la lumière une chaleur sensible,
36.
Nous avons pris pour mesure de la conducibilité extérieure d'un corps solide un coeflicient K exprimant la quantité de chaleur qui passerait, pendant un temps déterminé (une minute), de la surface de ce corps dans l'air atmosphérique, en supposant que la surface ait une étendue déterminée (i""*), que la température constante du corps soit I, que celle de l'air soit o et que la surface échauffée soi( exposée à un courant d'air d'une vitesse donnée invariable. On déter- mine cette valeur de h par les observations. La quantité de chaleur exprimée par le coefficient se forme de deux parties distinctes qui ne peuvent être mesurées que par des expériences très précises. L'une est la chaleur communiquée par voie de contact à l'air environnant; l'autre, beaucoup moindre que la première, est la chaleur rayonnante émise. On doit supposer, dans les premières recherches, que la quan- tité de chaleur perdue ne change point si l'on augmente d'une quantité commune et assez petite la température du corps échauffé et celle du milieu.
^ 37.
Les substances solides différent encore, comme nous l'avons dit, par la propriété qu'elles ont d'être plus ou moins perméables à la chaleur; cette qualité est leur conducibilité propre : nous en donnerons la définition et la mesure exacte, après avoir traité de la propagation uni- forme et linéaire de la chaleur. Les substances liquides jouissent aussi de la faculté de transmettre la chaleur de molécule à molécule, et la valeur numérique de leur conducibilité varie suivant la nature de ces substances; mais on en observe difficilement l'effet dans les liquides,
22 THÉORIE DE LA CHALEUR.
parce que leurs molécules changent de situation en changeant de tem- pérature. C'est de ce déplacement continuel que résulte principale- ment la propagation de la chaleur, toutes les fois que les parties inférieures de la masse sont les plus exposées à l'action du foyer. Si, au contraire, on applique le foyer à la partie de la masse qui est la plus élevée, comme cela avait lieu dans plusieurs de nos expériences, la transmission de la chaleur, qui est très lente, n'occasionne aucun déplacement, à moins que l'accroissement de la température ne dimi- nue le volume, ce que l'on remarque en effet dans des cas singuliers
voisins des changements d'état.
38.
A cet exposé des résultats principaux des ohservations, il faut ajouter une remarque générale sur l'équilibre des températures : elle consiste en ce que les différents corps qui sont placés dans un même lieu, dont toutes les parties sont et demeurent également échauflees, y acquièrent aussi une température commune et permanente.
Supposons que tous les points d'une masse M aient une température commune et constante a, qui est entretenue par une cause quelconque; si l'on met un corps m en contact parfait avec la masse M, il prendra la température commune a. A la vérité, ce résultat n'aurait lieu rigou- reusement qu'après un tempsjnfini ; mais le sens précis de la proposi- tion est que, si le corps m avait la température a avant d'être mis en contact, il la conserverait sans aucun changement. 11 en serait de même d'une multitude d'autres corps w, /?, y, r, ..., dont chacun serait mis séparément en contact parfait avec la masse M; ils acquerraient tous la température constante a. Ainsi le thermomètre étant successivement appliqué aux différents corps w, n, p, q, r, ., . indiquerait cette même température.
39.
•L'effet dont il s'agit est indépendant du contact, et il aurait encore lieu, si le corps m était enfermé de toutes parts dans le solide M, comme
CHAPITRE I. — INÏRODUCTIO.N. 23
dans une enceinte, sans toucher aucune de ses parties. Par exemple, si ce solide était une enveloppe sphérique d'une certaine épaisseur, entretenue par une cause extérieure à la température a, et renfermant un espace entièrement vide d'air, et si le corps m pouvait être placé dans une partie quelconque de cet espace sphérique, sans qu'il louchât aucun point de la surface intérieure de l'enceinte, il acquerrait la tem- pérature commune a, ou plutôt il la conserverait s'il l'avait déjà. Le résultat serait le même pour tous les autres corps /z, p, q, r, soit qu'on les plaçât séparément ou ensemble dans cette même enceinte, et quelles que fussent d'ailleurs leur espèce et leur figure.
40.
De toutes les manières de se représenter l'action de la chaleur, celle qui parait la plus simple et la plus conforme aux observations consiste à comparer cette action à celle de la lumière. Les molécules éloignées les unes des autres se communiquent réciproquement à travers les espaces vides d'air leurs rayons de chaleur, comme les corps éclairés se transmettent leur lumière.
Si, dans une enceinte fermée de toutes parts et entretenue par une cause extérieure à une température fixe a, on suppose que divers corps sont placés sans qu'ils touchent aucune des parties de l'enceinte, on observera des effets différents suivant que les corps introduits dans cet espace vide d'air sont plus ou moins échauffés. Si l'on place d'abord un seul de ces corps, et qu'il ait la température même de l'enceinte, il enverra par tous les points de sa surface autant de chaleur qu'il en reçoit du solide qui l'environne, et c'est cet échange de quantités égales qui le maintient dans son premier état.
Si l'on introduit un second corps dont la température b soit moindre que a, il recevra d'abord, des surfaces qui l'environnent de toutes parts sans le toucher, une quantité de chaleur plus grande que celle qu'il envoie : il s'échauffera de plus en plus et il perdra par sa surface plus de chaleur qu'auparavant. La tempéralurc initiale i, s'élevant
2ï THEORIE DE LA CHALELIi.
continuellement, s'approchera sans cesse de la température fixe a, en sorte qu'après un certain temps la différence sera presque insensible. L'effet serait contraire si l'on plaçait dans la même enceinte un troi- sième corps dont la température serait plus grande que a.
41.
Tous les corps ont la propriété d'émettre la chaleur par leur surface; ils en envoient d'autant plus qu'ils sont plus échauffés; Tintensité des rayons émis chanfçe très sensiblement avec l'état de la superficie.
42.
Toutes les surfaces, qui reçoivent les rayons de la chaleur des corps environnants, en réfléchissent une partie et admettent l'autre : la cha- leur qui n'est point réfléchie, mais qui s'introduit par la surface, s'ac- cumule daits le solide; et, tant qu'elle surpasse la quantité qui se dis- sipe par l'irradiation, la température s'élève.
•
43.
Les rayons qui tendent à sortir des corps échauffés sont arrêtés vers la surface par une force qui en réfléchit une partie dans l'intérieur de la masse. La cause qui empêche les rayons incidents de traverser la superficie, et qui divise ces rayons en deux parties, dont l'une est réfléchie et dont l'autre est admise, agit de la même manière sur les rayons qui se dirigent de l'intérieur du corps vers l'espace extérieur.
Si, en modifiant l'état de la surface, on augmente la force avec
laquelle elle réfléchit les rayons incidents, on augmente en même
temps la faculté qu'elle a de réfléchir vers l'intérieur du corps les
rayons qui tendent à en sortir. La quantité des rayons incidents qui
s'introduisent dans la masse, et celle des rayons émis par la surface,
sont également diminuées.
44.
Si l'on plaçait ensemble dans l'enceinte dont nous avons parlé une multitude de corps éloignés les uns des autres et inégalement échauf-
CHAPITRE I. — INTRODUCTION. 25
fés, ils recevraient et se transmettraient leurs rayons de chaleur, en sorte que dans cet échange leurs températures varieraient continuelle- ment et tendraient toutes à devenir égales à la température fixe de l'enceinte.
Cet effet est précisément celui qui a lieu lorsque la chaleur se pro- page dans les corps solides; car les molécules qui composent les corps sont séparées par des espaces vides d'air et ont la propriété de rece- voir, d'accumuler et d'émettre la chaleur. Chacune d'elles envoie ses rayons de toutes parts et en même temps elle reçoit ceux des molécules
qui l'environnent.
45.
La chaleur envoyée par un point situé dans l'intérieur d'une masse solide ne peut se porter directement qu'à une distance extrêmement petite; elle est, pour ainsi dire, interceptée par les particules les plus voisines; ce sont ces dernières seules qui la reçoivent mimédiatement et qui agissent sur les points plus éloignés. Il n'en est pas de même des fluides aériformes;- les effets directs de l'irradiation y deviennent sensibles à des distances très considérables.
46.
Ainsi la chaleur qui sort dans toutes les directions d'une partie d'une surface solide pénètre dans l'air jusqu'à des points fort éloi- gnés; mais elle n'est émise que par les molécules du corps qui sont extrêmement voisines de la surface. Un point d'une masse échauffée, placé à une très petite distance de la superficie plane qui sépare la masse de l'espace extérieur, envoie à cet espace une infinité de rayons; mais ils n'y parviennent pas entièrement : ils sont diminués de toute la quantité de chaleur qui s'arrête sur les molécules solides intermé- diaires. La partie du rayon qui se dissipe dans l'espace est d'autant moindre qu'elle traverse un plus long intervalle dans la masse. Ainsi le rayon qui sort perpendiculairement à la superficie a plus d'intensité que celui qui, partant du même point, suit une direction oblique, et les rayons les plus obliques sont entièrement interceptés.
F- 4
26 THÉORIE DE LA CHALEUU.
La même conséquence s'applique à tous les points qui sont assez voisins de la superficie pour concourir à rémission de la chaleur; il en résulte nécessairement que ia quantité totale de chaleur qui sort de la surface sous la direction perpendiculaire est beaucoup plus grande que celle dont la direction est oblique. Nous avons soumis cette question au calcul, et l'analyse que nous en avons faite démontre que l'intensité du rayon est proportionnelle au sinus de. l'angle que ce rayon fait avec l'élément de la surface. Les expériences avaient déjà indiqué un ré- sultat semblable.
47.
Ce théorème exprime une loi générale qui a une connexion néces- saire avec l'équilibre et le mode d'action de la chaleur. Si les rayons qui sortent d'une surface échauffée avaient la même intensité dans toutes les directions, le thermomètre que l'on placerait dans un des points de l'espace terminé de tous côtés par une enceinte entretenue à une température constante pourrait indiquer une température incom- parablement plus grande que celle de l'enceinte. Les corps que l'on enfermerait dans cette enceinte ne prendraient point une température commune, ainsi qu'on le remarque toujours; celle qu'ils acquerraient dépendrait du lieu qu'ils occuperaient, ou de leur forme, ou de celles des corps voisins.
On observerait ces mêmes résultats, ou d'autres effets également contraires à l'expérience commune, si l'on admettait entre les rayons qui sortent d'un même point des rapports différents de ceux que l'on a énoncés. Nous avons reconnu que cette loi est seule compatible avec le fait général de l'équilibre de la chaleur rayonnante.
48.
Si un espace vide d'air est terminé de tous côtés par une enceinte solide dont les parties sont entretenues à une température commune et constante a, et si l'on met en un point quelconque de l'espace un thermomètre qui ait la température actuelle a, il la conservera sans aucun changement. Il recevra donc à chaque instant de la surface inté-
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 27
rieure de l'enceinte autant de chaleur qu'il lui en envoie. Cet effet des rayons de chaleur dans un espace donné est, à proprement parler, la mesure de la température : mais cette considération suppose la théorie mathématique delà chaleur rayonnante. Si Ton place maintenant entre le thermomètre et une partie de la surface de l'enceinte un corps M dont la température soit a, le thermomètre cessera de recevoir les rayons d'une partie de cette surface intérieure; mais ils seront rem- placés par ceux qu'il recevra du corps interposé M. Un calcul facile prouve que la compensation est exacte, en sorte que l'état du thermo- mètre ne sera point changé. Il n'en est pas de même si la température du corps M n'est pas égale à celle de l'enceinte. Lorsqu'elle est plus grande, les rayons, que le corps interposé M envoie au thermoniètre et qui remplacent les rayons interceptés, ont plus de chaleur que ces derniers; la température du thermomètre doit donc s'élever.
Si, au contraire, le corps intermédiaire a une température moindre que a, celle du thermomètre devra s'abaisser ; car les rayons que ce corps intercepte sont remplacés par ceux qu'il envoie, c'est-à-dire par des rayons plus froids que ceux de l'enceinte; ainsi le thermomètre ne reçoit pas toute la chaleur qui serait nécessaire pour maintenir sa tem- pérature a.
49.
On a fait abstraction jusqu'ici de la faculté qu'ont toutes les surfaces de réfléchir une partie des rayons qui leur sont envoyés. Si l'on ne con- sidérait point cette propriété, on n'aurait qu'une idée très incomplète de l'équilibre de la chaleur rayonnante.
Supposons donc que, dans la surface intérieure de l'enceinte entre- tenue à une température constante, il y ait une portion qui jouisse à un certain degré de la faculté dont il s'agit; chaque point de la surface réfléchissante enverra dans l'espace deux espèces de rayons : les uns sortent de l'intérieur même de la substance dont l'enceinte est formée, les autres sont seulement réfléchis par cette même surface à laquelle ils ont été envoyés. Mais en même temps que la surface repousse à l'extérieur une partie des rayons incidents, elle retient dans l'intérieur
28 THEORIE DE LA CHALEUR.
une partie de ses propres rayons. II s*établit à cet égard une compen- sation exacte, c'est-à-dire que chacun des rayons propres, dont la sur- face empêche l'émission, est remplacé par un rayon réfléchi d'une égale intensité.
Le même résultat aurait lieu si la faculté de réfléchir les rayons affectait à un degré quelconque d'autres parties de l'enceinte, ou la superficie des corps placés dans le même espace et pan'enus à la tem- pérature commune.
Ainsi la réflexion de la chaleur ne trouble point l'équilibre des températures et n'apporte, pendant que cet équilibre subsiste, aucun changement à la loi suivant laquelle l'intensité des rayons qui partent d'un même point décroit proportionnellement au sinus de l'angle d'é- mission.
50.
Supposons que dans cette même enceinte, dont toutes les parties conservent la température a, on place un corps isolé M et une surface métallique polie R qui, tournant sa concavité vers le corps, réfléchisse une grande partie des rayons qu'elle en reçoit; si l'on place entre le corps M et la surface réfléchissante R un thermomètre qui occupe le foyer de ce miroir,^ on observera trois effets différents, selon que la température du corps M sera égale à la température commune a, ou sera plus grande, ou sera moindre.
Dans le premier cas, le thermomètre conserve la température a; il reçoit : i° des rayons de chaleur de toutes les parties de l'enceinte qui ne lui sont point cachées par le corps M ou par le miroir; 2^ des rayons envoyés par le corps; 3*^ ceux que la surface R envoie au foyer, soit qu'ils viennent de la masse même du miroir, soit que la surface les ait seulement réfléchis; et parmi ces derniers on peut distinguer ceux qui sont envoyés au miroir par la masse M et ceux qu'il reçoit de l'en- ceinte. Tous les rayons dont il s'agit proviennent des surfaces qui, d'après l'hypothèse, ont une température commune a, en sorte que le thermomètre est précisément dans le même état que si l'espace ter- miné par l'enceinte ne contenait point d'autre corps que lui.
CHAPITRE I. - INTRODUCTION, 29
Dans le second cas, le thermomètre placé entre le corps échauffe M et le miroir doit acquérir une température plus grande que a. En effet, il reçoit les mêmes rayons que dans la première hypothèse; mais il y a deux différences remarquables : l'une provient de ce que les rayons envoyés par le corps M au miroir et réfléchis sur le thermomètre con- tiennent plus de chaleur que dans le premier cas. L'autre différence provient des rayons que le corps M envoie directement au thermomètre et qui ont plus de chaleur qu'auparavant. L'une et l'autre cause, et principalement la première, concourent à élever la température du. thermomètre.
Dans le troisième cas, c'est-à-dire lorsque^la température de la masse M est moindre que a, le thermomètre doit prendre aussi une température moindre que a. En effet, il reçoit encore toutes les es- pèces de rayons que nous avons distinguées pour le premier cas; mais il y en a deux sortes qui contiennent moins de chaleur que dans cette première hypothèse, savoir ceux qui, envoyés par le corps M, sont réflé- chis par le miroir sur le thermomètre, et ceux que le même corps M lui envoie directement. Ainsi le thermomètre ne reçoit pas toute la cha- leur qui lui est nécessaire pour conserver sa température primitive a. Il envoie plus de chaleur qu'il n'en reçoit. Il faut donc que sa tempé- rature s'abaisse jusqu'à ce que les rayons qu'il reçoit suffisent pour compenser ceifx qu'il perd. C'est ce dernier effet que l'on a nommé la réflexion du froid et qui, à proprement parler, consiste dans la réflexion d'une chaleur trop faible. Le miroir intercepte une certaine quantité de chaleur et la remplace par une moindre quantité.
61.
Si l'on place dans l'enceinte entretenue à une température con- stante a un corps M dont la température a' soit moindre que «, la présence de ce corps fera baisser le thermomètre exposé à ses rayons, et l'on doit remarquer qu'en général ces rayons envoyés au thermo- mètre par la surface du corps M sont de deux espèces, savoir ceux qui sortent de l'intérieur de la masse M, et ceux qui, venant des diverses
30 THEORIE DE LA CHALEUR.
parties de l'enceinte, rencontrent la surface M et sont réfléchis sur le tliermomëtre. Ces derniers ont la température commune a; mais ceux qui appartiennent au corps M contiennent moins de chaleur, et ce sont ces rayons qui refroidissent le thermomètre. Si maintenant, en chan- geant l'état de la surface du corps M, par exemple en détruisant le poli, on diminue la faculté qu'elle a de réfléchir les rayons incidents, le ther- momètre s'abaissera encore et prendra une température a" moindre que a\ En effet, toutes les conditions seront les mêmes que dans le cas pré- cédent, si .ce n'est que la masse M envoie une plus grande quantité de ses propres rayons et réfléchit une moindre quantité des rayons qu'elle reçoit de l'enceinte; c'^est-à-dire que ces derniers, qui ont la tempéra- ture commune, sont en partie remplacés par des rayons plus froids. Donc le thermomètre ne reçoit plus autant de chaleur qu'auparavant.
Si, indépendamment de ce changement de la surface du corps M, on place un miroir métallique propre à réfléchir sur le thermomètre les rayons sortis de M, la température prendra une valeur a'" moindre que a'\ En effet, le miroir intercepte au thermomètre une partie des rayons de l'enceinte qui ont tous la température a, et les remplace par trois espèces de rayons, savoir : i^ ceux qui proviennent de l'intérieur même du miroir et qui ont la température commune; 2^ ceux que diverses parties de l'enceinte envoient au miroir avec cette même température et qui sont réfléchis vers le foyer; 3^ ceux qui, venant de l'intérieur du corps M, tombent sur le miroir et sont réfléchis sur le thermomètre. Ces derniers ont une température moindre que a; donc le thermomètre ne reçoit plus autant de chaleur qu'il en recevait avant que l'on plaçât le miroir.
Enfln, si l'on vient à changer aussi l'état de la surface du miroir, et qu'en lui donnant un poli plus parfait on augmente la faculté de réflé- chir la chaleur, le thermomètre s'abaissera encore. En effet, toutes les conditions qui avaient lieu dans le cas précédent subsistent. Il arrive seulement que le miroir envoie une moindre quantité de ses propres rayons, et il les remplace par ceux qu'il réfléchit. Or, parmi ces der- niers, tous ceux qui sortent de l'intérieur de la masse M ont moins
CHAPITRE I. — INTRODUCTION. 31
(l'intensité que s'ils venaient de l'intérieur du miroir métallique; donc le thermomètre reçoit encore moins de chaleur qu'auparavant; il prendra donc une température a}'' moindre que a*.
On explique facilement par les mêmes principes tous les effets connus de l'irradiation de la chaleur ou du froid.
52.
Les effets de la chaleur ne peuvent nullement être comparés à ceux d'un fluide élastique dont les molécules sont en repos. Ce serait inu- tilement que l'on voudrait déduire de cette hypothèse les lois de la propagation que nous expliquons dans cet Ouvrage et que toutes les expériences ont confirmées. L'état libre de la chaleur est celui de la lumière; l'habitude de cet élément est donc entièrement différente de celle des substances aériformes. La chaleur agit de la même manière dans le vide, dans les fluides élastiques et dans les masses liquides ou solides; elle ne s'y propage que par voie d'irradiation, mais ses effets sensibles différent selon la nature des corps.
53.
La chaleur est le principe de toute élasticité; c'est sa force répulsive qui conserve la figure des masses solides et le volume des liquides. Dans les substances solides, les molécules voisines céderaient à leur attraction mutuelle si son effet n'était pas détruit par la chaleur qui les sépare.
Cette force élastique est d'autant plus grande que la température est plus élevée; c'est pour cela que les corps se dilatent ou se condensent, lorsqu'on élève ou lorsqu'on abaisse leur température.
54.
L'équilibre qui subsiste dans l'intérieur d'une masse solide entre la force répulsive de la chaleur et l'attraction moléculaire est stable; c'est-à-dire qu'il se rétablit de lui-même lorsqu'il est troublé par une
32 THÉORIE DE LA CHALEUR.
cause accidentelle. Si les molécules sont placées à la distance qui con- venait à l'équilibre, et si une force extérieure vient à augmenter cette distance sans que la température soit changée, l'effet de l'attraction commence à surpasser celui de la chaleur et ramène les molécules à leur position primitive, après une multitude d'oscillations qui devien- nent de plus en plus insensibles.
Un effet semblable s'opère en sens opposé lorsqu'une cause méca,- nique diminue la distance primitive des molécules; telle est l'origine des vibrations des corps sonores ou flexibles et de tous les effets de leur élasticité.
55.
Dans l'état liquide ou aériforme, la compression extérieure s'ajoute ou supplée à l'attraction moléculaire et, s'exerçant sur les surfaces, elle ne s'oppose point au changement de figure, mais seulement à celui du volume occupé. L'emploi du calcul ferait mieux connaître comment la force répulsive de la chaleur, opposée à l'attraction des molécules •ou à la compression extérieure, concourt à la composition des corps solides ou liquides formés d'un ou plusieurs principes et détermine les propriétés élastiques des fluides aériformes; mais ces recherches n'ap- partiennent point à l'objet que nous traitons et rentrent dans les théo- ries dynamiques.
56.
On ne peut douter que le mode d'action de la chaleur ne consiste toujours, comme celui de la lumière, dans la communication réciproque des rayons, et cette explication est adoptée aujourd'hui de la plupart des physiciens ; mais il n'est point nécessaire de considérer les phé- nomènes sous cet aspect pour établir la théorie de la chaleur. On recon- naîtra, dans le cours de cet Ouvrage, que les lois de l'équilibre de la chaleur rayonnante et celles de la propagation dans les masses solides ou liquides peuvent, indépendamment de toute explication physique, être rigoureusement démontrées comme des conséquences nécessaires des observations communes.
CHAPITRE I. — INTRODUCTION. 33
SECTION III.
PRINCIPE DE LA COMMCNICÀTION DE LA CHALEl'R.
57.
Nous allons présentemertt examiner ce que les expériences nous apprennent sur la communication de la chaleur.
Si deux molécules égales sont formées de la même substance et ont la même température, chacune d'elles reçoit de l'autre autant de cha- leur qu'elle lui en envoie: leur action mutuelle doit donc être regardée comme nulle, parce que le résultat de cette action ne peut apporter aucun changement dans l'état des molécules. Si au contraire la pre- mière est plus échauffée que la seconde, elle lui envoie plus de chaleur qu'elle n'en reçoit; le résultat de l'action mutuelle est la différence de ces deux quantités de chaleur. Dans tous les cas nous faisons abstrac- tion des quantités égales de chaleur que deux points matériels quel- conques s'envoient réciproquement; nous concevons que le point le plus échauffé agit seul sur l'autre, et qu'en vertu de cette action le premier perd une certaine quantité de chaleur qui est acquise par le second. Ainsi l'action de deux molécules, ou la quantité de chaleur que la plus échauffée communique à l'autre, est la différence des deux quantités qu'elles s'envoient réciproquement.
58.
Supposons que l'on place dans l'air un corps solide homogène dont les différents points ont actuellement des températures inégales; cha- cune des molécules dont le corps est composé commencera à recevoir de la chaleur de celles qui en sont extrêmement peu distantes, ou leur en communiquera. Cette action s'exerçant pendant le même instant entre tous les points de la masse, il en résultera un changement infi- niment petit pour toutes les températures : le solide éprouvera à chaque F. 5
34 THÉORIE DE LA CHALEUR.
instant des effets semblables, en sorte que les variations de tempéra- ture deviendront de plus en plus sensibles. Considérons seulement le système de deux molécules égales et extrêmement voisines m et n, et cherchons quelle est la quantité de chaleur que la première peut rece- voir de la seconde pendant la durée d*un instant; on appliquera ensuite le même raisonnement à tous les autres points qui sont assez voisins du point m pour agir immédiatement sur lui dans le premier instant.
La quantité de chaleur communiquée par le point n au point m dépend de la durée de l'instant, de la distance extrêmement petite de ces points, de la température actuelle de chacun et de la nature de la substance solide; c'est-à-dire que, si l'un de ces éléments venait à varier, tous les autres demeurant les mêmes, la quantité de chaleur transmise varierait aussi. Or les expériences ont fait connaître à cet égard un résultat général : il consiste en ce que, toutes les autres circonstances étant les mêmes, la quantité de chaleur que l'une des molécules reçoit de l'autre est proportionnelle k la différence de tem- pérature de ces deux molécules. Ainsi cette quantité serait double, triple, quadruple si, tout restant d'ailleurs le même, la différence de la température du point n à celle du point m était double ou triple. ou quadruple. Pour se rendre raison de ce résultat, il faut considérer que l'action de n sur m est toujours d'autant plus grande qu'il y a plus de différence entre les températures des deux points; elle est nulle si les températures sont égales; mais, si la molécule n contient plus de cha- leur que la molécule égale m, c'est-à-dire si, la température de m étant ^, celle de /i est f^ -h A, une portion de la chaleur excédante passera de 71 à m. Or, si l'excès de chaleur était double ou, ce qui est la même chose, si la température de n était v -h 2A, la chaleur excédante serait composée de deux parties égales correspondantes aux deux moitiés de la différence totale des températures 2A; chacune de ces parties aurait son effet propre comme si elle était seule : ainsi la quantité de chaleur communiquée par n à m serait deux fois plus grande que si la diffé- rence des températures était seulement A. C'est cette action simultanée des différentes parties de la chaleur excédante qui constitue le prin-
CHAPITRE I. - INTRODUCTION, 35
cipe de la communication de la chaleur. Il en résulte que la somme des actions partielles ou la quantité totale de chaleur que m reçoit de n est proportionnelle à la différence des deux températures,
59.
En désignant par v et {>' les températures des deux molécules égales m et n, par;? leur distance extrêmement petite et par dt la durée infi- niment petite de l'instant, la quantité de chaleur que m reçoit de /i, pendant cet instant, sera exprimée par [v' ^ ^) ^[p)dt. On désigne par (p(/>) une certaine fonction de la distance p qui, dans les corps solides et dans les liquides, devient nulle lorsque p a une grandeur sensible. Cette fonction est la même pour tous les points d'une même substance donnée; elle varie avec la nature de la substance.
60.
La quantité de chaleur que les corps perdent par leur surface est assujettie au même principe. Si Ton désigne par (s l'étendue ou finie ou infiniment petite de la surface dont tous les points ont la tempéra- ture v^ et si a représente la température de l'air atmosphérique, le coefficient h étant la mesure de la conducibilité extérieure, on aura Qh[v — a)dt pour l'expression de la quantité de chaleur que cette sur- face G transmet à l'air pendant l'instant dt.
Lorsque les deux molécules, dont l'une transmet directement à l'autre une certaine quantité de chaleur, appartiennent au même solide, l'expression exacte de la chaleur communiquée est celle que nous avons donnée dans l'article précédent parce que, les molécules étant extrêmement voisines, la différence des températures est extrê- mement petite. Il n'en est pas de même lorsque la chaleur passe d'un corps solide dans un milieu aériforme. Mais les expériences nous ap- prennent que, si la différence est une quantité assez petite, la chaleur transmise est sensiblement proportionnelle à cette différence et que le nombre h peut, dans les premières recherches, être considéré comme
36 THÉORIE DE LA CHALEUR.
ayant une valeur constante, propre à chaque état de la surface, mais indépendante de la température.
61.
Ces propositions relatives à la quantité de chaleur communiquée ont été déduites de diverses observations. On voit d'abord, comme uno conséquence évidente des expressions dont il s*agit, que, si Ton aug- mentait d'une quantité commune toutes les températures initiales de la masse solide et celle du milieu où elle est placée, les changements successifs des températures seraient exactement les mêmes que si l'on ne faisait point cette addition. Or ce résultat est sensiblement con- forme aux expériences; il a été admis par les premiers physiciens qui ont observé les effets de la chaleur.
62.
Si le milieu est entretenu à une température constante et si le corps échauffé qui est placé dans ce milieu a des dimensions assez petites pour que la température, en s'abaissant de plus en plus, demeure sensiblement la même dans tous ses points, il suit des mêmes proposi- tions qu'il s'échappera à chaque instant, par la surface du corps, une quantité de chaleur proportionnelle à l'excès de sa température ac- tuelle sur celle du milieu. On en conclut facilement, comme on le verra dans la suite de cet Ouvrage, que la ligne dont les abscisses représenteraient les temps écoulés et dont les ordonnées représente- raient les températures qui correspondent à ces temps, est une courbe logarithmique : or les observations fournissent aussi ce même résultat, lorsque l'excès de la température du solide sur celle du milieu est une
quantité assez petite.
63.
Supposons que le milieu soit entretenu à la température constante o, et que les températures initiales des différents points a, b, c^ d, . .. d'une même masse soient a, p, y, 55, . . . , qu'à la fin du premier instant
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 37
elles soient devenues a', p', y', X', . . . , qu'à la fin du deuxième instant elles soient a", p", y"» ^'» •• •» ^^'^si de suite. On peut facilement con- clure des propositions énoncées que, si les températures initiales des mêmes points avaient été ^a, g^, g-^, ^S, ... {g étant un nombre quel- conque), elles seraient devenues, en vertu de l'action des différents points, à la fin du premier instant, goL\ g^\ g-/* gh\ ..., à I^ fin du second instant goL'\ g^'\ gY\ g^'\ ...» ainsi de suite. En effet, compa- rons le cas où les températures initiales des points a, 6, c, ^, . . , étaient a» P»Y. ^> ... avec celui oii elles sont 2a, 2P, 2y, 2S, ..., le milieu conser- vant, dans l'un et l'autre cas, la température o. Dans la seconde hypo- thèse, les différences des températures des deux points quelconques sont doubles de ce qu'elles étaient dans la première, et l'excès de la tem- pérature de chaque point sur celle de chaque molécule du milieu est aussi double; par conséquent la quantité de chaleur qu'une molécule quelconque envoie à une autre, ou celle qu'elle en reçoit, est, dans la seconde hypothèse, double de ce qu'elle était dans la première. Le changement que chaque point subit dans sa température étant propor- tionnel à la quantité de chaleur acquise, il s'ensuit que, dans le second cas, ce clïangement est double de ce qu'il était dans le premier. Or on a supposé que la température initiale du premier point, qui était a, devient a' à la fin du premier instant; donc, si cette température ini- tiale eût été 2x et si toutes les autres eussent été doubles, elle serait devenue 2a'. Il en serait de même de toutes les autres molécules 6, c, e/, . . . , et l'on tirera une conséquence semblable si le rapport, au lieu d'être 2, est un nombre quelconque g. Il résulte donc du principe de la communication de la chaleur que, si l'on augmente ou si l'on diminue dans une raison donnée toutes les températures initiales, on augmente ou l'on diminue dans la même raison toutes les températures succes- sives.
Ce résultat, comme les deux précédents, est confirmé par les obser- vations. Il ne pourrait point avoir lieu si la quantité de chaleur qui passe d'une molécule à une autre n'était point, en effet, proportion- nelle à la différence des températures.
38 THÉORIE DE LA CHALEUR.
On a observé, avec des instruments précis, les températures perma- nentes des différents points d'une barre ou d'une armille métallique, et la propagation de la chaleur dans ces mêmes corps et dans plu- sieurs autres solides de forme sphérique ou cubique. Les résultats de ces expériences s'accordent avec ceux que l'on déduit des propositions précédentes. Ils seraient entièrement différents si la quantité de cha- leur transmise par une molécule solide à une autre, ou à une molé- cule de l'air, n'était pas proportionnelle à l'excès de température. Il est d'abord nécessaire de connaître toutes les conséquences rigoureuses de ciotte proposition ; par là on détermine la partie principale des quan- tités qui sont l'objet de la question. En comparant ensuite les valeurs calculées avec celles que donnent des expériences nombreuses et très précises, on peut facilement mesurer les variations des coefficients et perfectionner les premières recherches.
SECTION IV.
DU MOUVEMENT UNIFORME ET LINÉAIRE DE LA CHALEUR.
65.
On considérera, en premier lieu, le mouvement uniforme de là cha- leur dans le cas le plus simple, qui est celui d'un solide infini compris entre deux plans parallèles.
On suppose qu'un corps solide formé d'une substance homogène est compris entre deux plans infinis et parallèles; le plan inférieur A est entretenu par une cause quelconque à une température constantes; on peut concevoir, par exemple, que la masse est prolongée et que le plan A est une section commune au solide et à cette masse intérieure échauffée dans tous ses points par un foyer constant; le plan supé- rieur B est aussi maintenu par une cause semblable à une température fixe i, dont la valeur est moindre que celle de a : il s'agit de déter- miner quel serait le résultat de cette hypothèse si elle était continuée pendant un temps infini.
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 39
Si Ton suppose que la température initiale de toutes les parties de ce corps soit è, on voit que la chaleur qui sort du foyer A se propa- gera de plus en plus et élèvera la température des molécules com- prises entre les deux plans; mais, celle du plan supérieur ne pouvant, d'après l'hypothèse, être plus grande que 6, la chaleur se dissipera dans la masse plus froide dont le contact retient le plan B à la tempé- rature constante b. Le système des températures tendra de plus en plus à uo état final qu'il ne pourra jamais atteindre, mais qui aurait, comme on va le prouver, la propriété de subsister lui-même et de se conserver sans aucun changement s'il était une fois formé.
Dans cet état final et fixe que nous considérons, la température per- manente d'un point du solide est évidemment la même pour tous les points d'une même section parallèle à la base; et nous allons démon- trer que cette température fixe, qui est commune à tous les points d'une section intermédiaire, décroît en progression arithmétique depuis ia base jusqu'au plan supérieur, c'est-à-dire qu'en représentant les températures constantes a et 6 par les ordonnées Aa et Bp {Jîg> i),
Fîg. I.
|
_ |
B P 1 \ 1 \ |
- |
|
B^ |
1 - .\ |
|
|
*' |
_ _ _ |
\ |
|
\ |
élevées perpendiculairement sur la distance AB des deux plans, les températures fixes des couches intermédiaires seront représentées par les ordonnées de la droite a[} qui joint les extrémités a et P; ainsi, en désignant par ^ la hauteur d'une section intermédiaire ou la distance perpendiculaire au plan A, par e la hauteur totale ou la distance AB et par ^ la température de la section dont la hauteur est z, on doit avoir l'équation
b — a
liO THÉORIE DE LA CHALEUR.
En effet, si les températures étaient établies d'abord suivant cette loi et si les surfaces extrêmes A et B étaient toujours retenues aux tem- pératures a etb, il ne pourrait survenir aucun changement dans Télat du solide. Pour s*en convaincre, il suffira de comparer la quantité de chaleur qui traverserait une section intermédiaire A' à celle qui, pen- dant le même temps, traverserait une autre section B',
En se représentant que Tétat final du solide est formé et subsistant, on voit que la partie de la masse qui est au-dessous du plan A' doit communiquer de la chaleur à la partie qui est au-dessus de ce plan, puisque cette seconde partie est moins échauffée que la première.
Imaginons que deux points du solide m et m\ extrêmement voisins l'un de l'autre et placés d'une manière quelconque, l'un m au-dessous du plan A' et l'autre /w' au-dessus de ce plan, exercent leur action pen- dant un instant infiniment petit : le point le plus échauffé m commu- niquera km' une certaine quantité de chaleur qui traversera ce plan A'. Soient x, y, z les coordonnées rectangulaires du point /w, et x\ y\ z' les coordonnées du point m'; considérons encore deux points n et n' extrêmement voisins l'un de l'autre et placés par rapport au plan B', de même que m et m! sont placés par rapport au plan A' : c'est-à-dire qu'en désignant par ^ la distance perpendiculaire des deux sections A' et B', les coordonnées du point n seront or, j', 2 -h ^ et celles du point n' seront x\y\ jz'h-C Les deux distances mm!, et nn' seront égales; de plus, la différence de la température v du point m à la tem- pérature s^' du point m! sera la même que la différence des températures des deux points n et n\ En effet, cette première différence se détermi- nera en substituant s, et ensuite z\ dans l'équation générale
h — a e
et retranchant la seconde équation de la première. On en conclura
(^— /= {z — z);
on trouvera ensuite, par les substitutions de 2 -h î et s' 4- ^, que l'excès
CHAPITRE ï. - INTRODUCTION. ki
de la température du point n sur celle du point n' a aussi pour expres- sion - ^^^(5 — z'). Il suit de là que la quantité de chaleur envoyée par
le point m au point m' sera la même que la quantité de chaleur envoyée par le point n au point n'; car tous les éléments qui concourent à dé- terminer cette quantité de chaleur transmise sont les mêmes.
Il est manifeste que Ton peut appliquer le même raisonnement à tous les systèmes de deux molécules qui se communiquent de la cha- leur a travers la section A' ou la section B'; donc, si Ton pouvait re- cueillir toute la quantité de chaleur qui s'écoule, pendant un mémo instant, à travers la section A' ou la section B', on trouverait que cette quantité est la même pour les deux sections.
Il en résulte que la partie du solide comprise entre A' et B' reçoit toujours autant de chaleur qu'elle en perd; et comme cette consé- quence s'applique à une portion quelconque de la masse comprise entre deux sections parallèles, il est évident qu'aucune partie du solide ne peut acquérir une température plus élevée que celle qu'elle a présentement. Ainsi il est rigoureusement démontré que l'état du prisme subsistera continuellement tel qu'il était d'abord.
Donc les températures permanentes des différentes sections d'un solide compris entre les deux plans parallèles infinis sont représentées par les ordonnées de la ligne droite a^ et satisfont à l'équation linéaire
b — a
r = « H z,
«- e
66.
On voit distinctement, par ce qui précède, en quoi consiste la pro- pagation de la chaleur dans un solide compris. entre deux plans paral- lèles et infinis, dont chacun est maintenu à une température constante. La chaleur pénètre successivement dans la masse à travers la base inférieure; les températures des sections intermédiaires s'élèvent et ne peuvent jamais surpasser, ni même atteindre entièrement, une cer- taine limite dont elles s'approchent de plus en plus : cette limite ou
F, 6
i2 THEORIE DE LA CHALEUR.
température finale est difTérente pour les dilTérentes couches intermé- diaires, et elle décroit, en progression arithmétique, depuis la tempé- rature fixe du plan inférieur jusqu'à la température fixe du plan supé- rieur.
Les températures finales sont celles qu*il faudrait donner au solide pour que son état fût permanent; Télat variable qui le précède peut être aussi soumis au calcul, comme on le verra par la suite; mais nous ne considérons ici que le système des températures finales et perma- nentes. Dans ce dernier état, il s'écoule, pendant chaque division du temps, à travers une section parallèle à la hase ou une portion déter- minée de cette section, une certaine quantité de chaleur, qui est con- stante si les divisions du temps sont égales. Ce flux uniforme est le même pour toutes les sections intermédiaires; il est égal à celui qui sort du foyer et à celui que perd, dans le même temps, la surface supé- rieure du solide en vertu de la cause qui maintient la température.
67.
Il s'agit maintenant de mesurer cette quantité de chaleur qui se propage uniformément dans le solide, pendant un temps donné, à tra- vers une partie déterminée d'une section parallèle a la base : elle dé- pend, comme on va le voir, des deux températures extrêmes a et h et
Fig. a.
r' x
i;
h'
\ \
L \
r, \
rz - A.
6' » \ e
I . - -. \ _. j. .
a a'
de la distance e des deux bases; elle varierait si l'un quelconque de ces éléments venait à changer, les autres demeurant les mêmes. Sup- posons un second solide, formé de la même substance que le premier,
CHAPITRE I. — INTRODUCTION. 43
et compris entre deux plans parallèles infinis dont la dislance perpen- diculaire est e' [fig. 2); la base inférieure est entretenue à la tempé- rature fixe a\ et la base supérieure à la température fixe h'\ l'un et l'autre solides sont considérés dans cet état final et permanent qui a la propriété de se conserver lui-même dès qu'il est formé. Ainsi, v étant dans le premier solide, et u dans le second, la température de la sec- tion dont :; est la hauteur, la loi des températures est exprimée, pour le premier corps, par l'équation
h — a
t' r=: a -h
et, pour le second, par l'équation
, b' - a' e
I "^*
Cela posé, on comparera la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, traverse une étendue égale à l'unité de surface prise sur une section intermédiaire L du premier solide à celle qui, pendant le même temps, traverse une égale étendue prise sur la section V du second, £ étant la hauteur commune de ces deux sections, c'est-à-dire la distance de cJiacune d'elles à la base inférieure. On considérera dans le premier corps deux points n et n' extrêmement voisins, dont l'un n est au- dessous du plan L et l'autre n' au-dessus de ce plan; x, y, z sont les coordonnées de /i, et x\y^ 5' les coordonnées de n\ e étant moindre que z' et plus grand que z. On considérera aussi dans le second solide l'action instantanée de deux points p et p' qui sont placés, par rapport à la section L', de mêitie que les points n et n' par rapport k la section L du premier solide. Ainsi les mêmes coordonnées a?, j, z et x\ y\ z\ rapportées à trois axes rectangulaires dans le second corps, fixeront aussi la position des points p et p\
Or la distance du point n au point n' est égale à la distance du point p au point/?', et, comme les deux corps sont formés de la même substance, on en conclut, suivant le principe de la communication de la chaleur, que l'action de n sur n\ ou la quantité de chaleur donnée
W THEORIE DE LA CHALEUR.
par n à n\ et Inaction de/? sur/?' ont entre elles le même rapport que les différences de températures t^ — v»' et u — u\
En substituant i^, et ensuite v\ dans Téquation qui convient au pre- mier solide et retranchant, on trouve
/ b — a ,
on a aussi, au moyen de la seconde équation,
U — U'=z—^, -(5 — 5');
donc le rapport des deux actions dont il s'agit est celui de ^^—
. a'—b'
a — —'
e'
On peut concevoir maintenant plusieurs autres systèmes de deux molécules dont la première envoie à la seconde, à travers le plan L, une certaine quantité de chaleur, et, chacun de ces systèmes choisis dans le premier solide pouvant être comparé à un système homologue placé dans le second et dont l'action s'exerce à travers la section L', on appliquera encore le raisonnement précédent pour prouver que le
rapport des deux actions est toujours celui de "^ ' ^ — ? —
Or la quantité totale de chaleur qui, pendant un instant, traverse la section L résulte de l'action simultanée d'une multitude de svstèmes dont chacun est formé de deux points; donc cette quantité de chaleur et celle qui, dans le second solide, traverse pendant le même instant
la section L' ont aussi entre elles le rapport de ^ à — ~, — •
Il est donc facile de comparer entre elles les intensités des flux con- stants de chaleur qui se propagent uniformément dans l'un et l'autre solide, c'est-à-dire les quantités de chaleur qui, pendant Tunité do temps, traversent l'unité de surface dans chacun de ces corps. Le rap- port de ces deux intensités est celui des deux quotients ~ et - "7 • Si les deux quotients sont égaux, les flux sont les mêmes, quelles que
CHAPITRE I. ~ INTRODUCTION. k6
soient d'ailleurs les valeurs a, b, e; a\ b\ e'; en général, en désignant par F le premier flux, et par F' le second, on aura
F a-b a'—b'
F' e ' e
68.
/
Supposons que, dans le second solide, la température permanente a' du plan inférieur soit celle de Teau bouillante i; que la température // du plan supérieur soit celle de la glace fondante o; que la distance e' des deux plans soit l'unité de mesure (un mètre); désignons par K le flux constant de chaleur qui, pendant l'unité de temps (une minute),- traverserait l'unité de surface dans ce dernier solide, s'il était formé d'une substance donnée, K exprimant un certain nombre d'unités de chaleur, c'est-à-dire un certain nombre de fois la chaleur nécessaire pour convertir en eau un kilogramme de glace; on aura, en général, pour déterminer le flux constant F, dans un solide formé de cette même substance, l'équation
F a — b n,r« — b
r=^ ■=. OU F = K
K e e
La valeur de F est celle de la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de teniips, passe à travers une étendue égale à l'unité de surface, priso sur une section parallèle a la base.
Ainsi l'état thermométrique d'un solide compris entre deux bases parallèles inflnies, dont la distance perpendiculaire est e et qui sont maintenues à des températures fixes a et 6, est représenté par les deux équations
i> — a -I z, l =K — — ou F = — K -r •
e e ' dz
La première de ces équations exprime la loi suivant laquelle les températures décroissent depuis la base inférieure jusqu'à la face opposée; la seconde fait connaître la quantité de chaleur qui traverse,
46 THÉORIE DE LA CHALEUR.
pendant un temps donné, une partie déterminée d*une section parallèle H la base.
69.
Nous avons choisi ce même coefficient K, qui entre dans la seconde équation, pour la mesure de la conducibilité spécifique de chaque sub- stance; ce nombre a des valeurs très différentes pour les différents corps.
11 représente, en général, la quantité de chaleur qui, dans un solide homogène formé d'une substance donnée et compris entre deux plans parallèles infinis, s'écoule, pendant une minute, k travers une surface d'un mètre carré prise sur une section parallèle aux plans extrêmes, en supposant que ces deux plans sont entretenus, l'un à la tempéra- ture de l'eau bouillante, l'autre à la température de la glace fondante, et que tous les plans intermédiaires ont acquis et conservent une tem- pérature permanente.
On pourrait employer une autre définition de la conducibilité; comme on pourrait estimer la capacité de chaleur en la rapportant à l'unité de volume, au lieu de la rapporter à l'unité de masse. Toutes ces définitions sont équivalentes, pourvu qu'elles soient claires et pré- cises.
Nous ferons connaître par la suite comment on peut déterminer par l'observation la valeur K de la conducibilité ou conductibilité dans les différentes substances.
70.
Pour établir les équations que nous avons rapportées dans l'ar- ticle 68, il ne serait pas nécessaire de supposer que les points qui exercent leur action à travers les plans sont extrêmement peu distants. Les conséquences seraient encore les mêmes si les distances de ces points avaient une grandeur quelconque; elles s'appliqueraient donc aussi au cas où l'action immédiate de la chaleur se porterait dans l'in- térieur de la masse jusqu'à des dislances assez considérables, toutes
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. W
les circonstances qui constituent Thypothcse demeurant d'ailleurs les mêmes.
11 faut seulement supposer que la cause qui entretient les tempéra- tures à la superficie du solide n'affecte pas seulement la partie de la masse qui est extrêmement voisine de la surface, mais que son action s'étend jusqu'à une profondeur finie. L'équation
a
représentera encore dans ce cas les températures permanentes dn solide. Le vrai sens de cette proposition est que, si l'on donnait à tous les points de la masse les températures exprimées par l'équation, et si, de plus, une cause quelconque agissant sur les deux tranches extrêmes retenait toujours chacune de leurs molécules k la température que cette même équation leur assigne, les points intérieurs du solide con- serveraient sans aucun changement leur état initial.
Si l'on supposait que l'action d'un point de la masse pût s'étendre jusqu'à une distance finie e, il faudrait que l'épaisseur des tranches extrêmes, dont l'état est maintenu par la cause extérieure, fût au moins égale à e. Mais la quantité e n'ayant en effet, dans l'état naturel des solides, qu'une valeur inappréciable, on doit faire abstraction de cette épaisseur, et il suffit que la cause extérieure agisse sur chacune des deux couches extrêmement petites qui terminent le solide. C'est toujours ce que l'on doit entendre par cette expression : entretenir la température constante de la surface.
71.
Nous allons encore examiner le cas où le même solide serait exposé, par l'une de ses faces, à l'air atmosphérique entretenu à une tempéra- ture constante.
Supposons donc que ce plan inférieur conserve, en vertu d'une cause extérieure quelconque, la température fixe a, et que le plan supé- rieur, au lieu d'être retenu, comme précédemment, à une température
hS THÉORIE DE LA CHALEUR.
moindre b, est exposé à Pair atmosphérique maintenu à cette tempéra- ture b, la distance perpendiculaire des deux plans étant toujours dési- gnée par e : il s'agit de déterminer les températures finales.
En supposant que» dans Tétat initial du solide, la température com- mune de ses molécules est b ou moindre que 6, on se représente facilement que la chaleur qui sort incessamment du foyer A pénètre la masse et élève de plus en plus les températures des sections inter- médiaires; la surface supérieure s'échauffe successivement et elle laisse échapper dans l'air une partie de la chaleur qui a pénétré le solide. Le système des températures s'approche continuellement d'un dernier état qui subsisterait de lui-même s'il était d'abord formé; dans cet état final, qui est celui que nous considérons, la température du plan B a une valeur fixe mais inconnue, que nous désignerons par ^, et, comme le plan inférieur A conserve aussi une température perma- nente a, le système des températures est représenté par l'équation générale
ô — a e
V désignant toujours la température fixe de la section dont la hauteur est z. La quantité de chaleur qui s'écoule pendant l'unité de temps, à travers une surface égale à l'unité et prise sur une section quelconque,
est K -i K désignant la conducibilité propre.
Il faut considérer maintenant que la surface supérieure B, dont la température est [3, laisse échapper dans l'air une certaine quantité de chaleur qui doit être précisément égale à celle qui traverse une section quelconque L du solide. S'il n'en était pas ainsi, la partie de la masse qui est comprise entre cette section L et le plan B ne recevrait point une quantité de chaleur égale à celle qu'elle perd; donc elle ne con- serverait point son état, ce qui est contre l'hypothèse; donc le flux constant de la surface est égal à celui qui traverse le solide : or la quantité de chaleur qui sort, pendant l'unité de temps, de l'unité de surface prise sur le plan B, est exprimée par A(p — b), b étant la tem-
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 49
pératurc fixe de l'air et h la mesure de la conducibililc de la surface B, on doit donc former l'équation
K^ = A((3-f.),
qui fera connaître la valeur de ^. On en déduit
f. he{a — b) ^ he -h k
équation dont le second membre est connu; car les températures a et b sont données, ainsi que les quantités A, K, e.
En mettant cette valeur de a — p dans l'équation générale
S — « e
on aura, pour exprimer les températures de toutes les sections du solide, Téquation
hz{a — b) lte-{- K
dans laquelle il n'entre que des quantités connues et les variables cor- respondantes ^ et z.
72.
»
Nous avons déterminé jusqu'ici Tétat final et permanent des tempé- ratures dans un solide compris entre deux surfaces planes, infinies et |)arallèles, entretenues à des températures inégales. Ce premier cas est, à proprement parler, celui de la propagation linéaire et uniforme, car il n'y a point de transport de chaleur dans le plan parallèle aux bases; celle qui traverse le solide s'écoule uniformément, puisque la valeur du flux est la même pour tous les instants et pour toutes les sections.
Nous allons rappeler les trois propositions principales qui résultent de l'examen de cette question; elles sont susceptibles d'un grand nombre d'applications et forment les premiers éléments de notre théorie.
F. 7
50 THÉORIE DE LA CHALEIJH.
1° Si l'on élève aux deux extrémités de la hauteur e du solide deux perpendiculaires qui représentent les températures « et 6 des deux bases, et si l'on mène une droite qui joigne les extrémités de ces deux premières ordonnées, toutes les températures intermédiaires seront proportionnelles aux ordonnées de cette droite; elles sont ex- primées par l'équation générale
a—b
a — rm -J,
e
Kf désignant la température de la section dont la hauteur est :;.
2^ La quantité de chaleur qui s'écoule uniformément, pendant l'u- nité de temps, à travers l'unité de surface prise sur une section quel- conque parallèle aux bases est, toutes choses d'ailleurs égales, en raison directe de la différence a — h des températures extrêmes, et en raison inverse de la distance e qui sépare ces bases. Cette quantité de
chaleur est exprimée par K ou — K^r:» en déduisant de l'équa-
C Cil»
tion générale la valeur de -^_y qui est constante; ce flux uniforme est
toujours représenté, pour une substance donnée et dans le solide dont il s'agit, par la tangente de l'angle compris entre la perpendiculaire e et la droite dont les ordonnées représentent les températures.
3° Si, l'une des surfaces extrêmes du solide étant toujours assujettie à la température a, l'autre plan est exposé à l'air maintenu à une tem- pérature fixe i, ce plan en contact avec l'air acquiert, comme dans le cas précédent, une température fixe p plus grande que 6, et laisse échapper dans l'air, à travers l'unité de surface, pendant l'unité de temps, une quantité de chaleur exprimée par h{^ — i), h désignant la conducibilité extérieure du plan.
Ce même flux de chaleur A((î — h) est égal à celui qui traverse le prisme et dont la valeur est K(a — p) ; on a donc l'équation
/,(;3-.^) = K-^ ^
qui donne la valeur de p.
CHAPITRE I, - INTRODUCTION. 51
SECTION V.
LOI DES TEMPÉRATURES PERMANENTES DANS UN PRISME D*UNE PETITE ÉPAISSEUR.
73.
On appliquera facilement les principes qui viennent d'être exposés k la question suivante, qui est très simple en elle-même, mais dont il importait de. fonder la solution sur une théorie exacte.
Une barre métallique, dont la forme est celle d'un parallélépipède rectangle d'une longueur infinie, est exposée à l'action d'un foyer do chaleur qui donne à tous les points de son extrémité A une tempéra- ture constante. Il s'agit de déterminer les températures fixes des diffé- rentes sections de la barre.
On suppose que la sectix)n perpendiculaire à l'axe est un carré dont le côté il est assez petit pour que l'on puisse, sans erreur sensible, regarder comme égales les températures des différents points d'une même section. L'air dans lequel la barre est placée est entretenu à une température constante o, et emporté par un courant d'une vitesse uniforme.
4
La chaleur passera successivement dans l'intérieur du solide; toutes ses parties situées à la droite du foyer, et qui n'étaient point exposées immédiatement à son action, s'échaufferont de plus en plus; mais la température de chaque point ne pourra pas augmenter au delà d'un certain terme. Ce maximum de température n'est pas le même pour chaque section; il est en général d'autant moindre que cette section est plus éloignée de l'origine; on désignera par v la température fixe d'une section perpendiculaire à l'axe et placée à la distance x de l'o- rigine A.
Avant que chaque point du solide ait atteint son plus haut degré de chaleur, le système des températures varie continuellement et s'ap- proche de plus en plus d'un état fixe, qui est celui que l'on considère.
52 THÉORIE DE L\. CHALEUR.
('et état final se conserverait de lui-même s'il était formé. Pour que 1<* système des températures soit permanent, il est nécessaire que la quan- tité de chaleur qui traverse, pendant Tunité de temps, une section placée à la distance x de Torigine compense exactement toute la cha- leur qui s*échappe, dans le même temps, par la partie de la surface extérieure du prisme qui est située à la droite de la même section. La tranche dont l'épaisseur est dx^ et dont la surface extérieure est Sldr, laisse échapper dans l'air, pendant l'unité de temps, une quantité de chaleur exprimée par S/ihdx^ h étant la mesure de la conducibililé extérieure du prisme. Donc, en prenant l'inléfçrale /8/iA'^/,r depuis X =z o jusqu'à ^ = x> , on trouvera la quantité de chaleur qui sort de toute la surface de la barre pendant l'unité de temps; et, si l'on prend la même intégrale depuis x = o jusqu'à x = x, on aura la quantité de chaleur perdue par la partie de la surface comprise entre le foyer et la section placée à la distance x. Désignant par C la première intégrale dont la valeur est constante et par fShhdv la valeur variable de la seconde, la différence C—f8hli'dx exprimera la quantité totale de chaleur qui s'échappe dans l'air à travers la partie de la surface placée à la droite de la section. D'un autre côté, la tranche du solide, com- prise entre deux sections infiniment voisines placées aux distances x et x-hdx, doit être assimilée à un solide infini, terminé par deux plans parallèles assujettis à des températures fixes r et r -+- d{\ puisque, selon l'hypothèse, la température ne varie pas dans toute l'étendue d'une même section. L'épaisseur du solide est dx et l'étendue de la section est ^P : donc la quantité de chaleur qui s'écoule uniformé- ment, pendant l'unité de temps, à travers une section de ce solide est,
d'après les principes précédents, — 4/=^K ^-y K étant la conducibilité
spécifique intérieure; on doit donc avoir l'équation
- 4/'K '-^^C -f^hlvdjc ou K/^' =. ihv.
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 53
74.
On obtiendrait le même résultat en considérant l'équilibre de la chaleur dans la seule tranche infiniment petite comprise entre les deux sections dont les distances sont x et œ -h dx. En effet, la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, traverse la première section
placée à la distance x^ est — 4/^K^- Pour trouver celle qui s'écoule
§ pendant le même temps, à travers la section suivante placée à la
distance x-hdx, il faut, dans l'expression précédente, changer x en
.r -h ctr, ce qui donne — 4^^K -r^ -h rf^-^^ j • Si Ton retranche cette
seconde expression de la première, on connaîtra combien la tranche que terminent les deux sections acquiert de chaleur pendant Tunité de temps; et, puisque l'état de cette tranche est permanent, il faudra que toute cette chaleur acquise soit égale à celle qui se dissipe dans l'air à travers la surface extérieure Sldx de cette même tranche; or cette dernière quantité de chaleur est Shlvdv; on obtiendra donc la même équation
Shlvdx=:^nKdf'^\ ou ^ = ?4i^
rf.r« ~"K/
75.
De quelque manière que l'on forme cette équation, il est nécessaire de remarquer que la quantité de chaleur qui traverse la face de la tranche dont la distance est x a une valeur finie, et que son expression
exacte est — ^l'^K -r-- Cette tranche étant comprise entre deux surfaces
dont la première a la température {^ et la seconde une température moindre v^', on aperçoit d'abord que la quantité de chaleur qu'elle reçoit par la première surface dépend de la. différence r — / et lui est proportionnelle ; mais cette remarque ne suffit pas pour établir le calcul. La quantité dont il s'agit n'est point une différentielle : elle a une valeur finie, puisqu'elle équivaut à toute la chaleur qui sort par la
^ï THÉORIE 1)Ë LA CUALELK.
parlie de la surface extérieure du prisme qui est située à la droite de la section. Pour s*en former une idée exacte, il faut comparer la tranche dont Tépaisscur est dx à un solide terminé par deux plans parallèles, dont la distance est e et qui sont retenus à des températures inégales, a et b. La quantité de chaleur qui pénètre dans un pareil prisme, à tra- vers la surface la plus échauffée, est en effet proportionnelle à la dif- férence a — b des températures extrêmes; mais elle ne dépend pas seulement de cette différence : toutes choses d'ailleurs égales, elle est d'autant moindre que le prisme a plus d'épaisseur, et, en général, elle
est proportionnelle à C'est pourquoi la quantité de chaleur qui
pénètre par la première surface dans la tranche dont l'épaisseur est dx
est proportionnelle à —.
Nous insistons sur cette remarque, parce que l'omission que l'on en avait faite a été le premier obstacle à l'établissement de la théorie. En ne faisant point une analyse complète des éléments de la question, on obtenait une équation non homogène; et, à plus forte raison, on n'au- rait pu former les équations qui expriment le mouvement de la chaleur dans des cas plus composés.
Il était nécessaire aussi d'introduire dans le calcul les dimensions du prisme, afin de ne point regarder comme générales les conséquences que l'observation avait fournies dans un cas particulier. Ainsi l'on a reconnu par l'expérience qu'une barre de fer, dont on échauffait l'ex- trémité, ne pouvait acquérir, à G pieds de distance du foyer, une température d'un degré (octogésimal); car, pour produire cet effet, il faudrait que la chaleur du foyer surpassât beaucoup celle qui mettra le fer en fusion; mais ce résultat dépend de l'épaisseur du prisme que l'on a employé. Si elle eût été plus grande, la chaleur se serait pro- pagée à une plus grande distance; c'est-à-dire que le point de la barre qui acquiert une température fixe d'un degré est d'autant plus éloigné du foyer que la barre a plus d'épaisseur, toutes les autres conditions demeurant les mêmes. On peut toujours élever d'un degré la tempéra- ture de l'extrémité d'un cylindre de fer en échauffant ce solide par son
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 55
autre extrémité; il ne faut que donner au rayon de la base une lon- gueur suffisante; cela est, pour ainsi dire, évident, et d'ailleurs on on trouvera la preuve dans la solution de la question étudiée plus loin (art. 78).
76.
L'intégrale de l'équation précédente est
A et B étant deux constantes arbitraires; or, si l'on suppose la dislance X infinie, la valeur de la tempéralurer doit être infiniment petite; donr
le terme Be? ^^ ne subsiste point dans l'intégrale; ainsi l'équation
i' = Ae?
K/
représente l'état permanent du solide; la température à l'origine est désignée par la constante A, puisqu'elle est la valeur do 9 lorsque x est nulle.
Cette même loi suivant laquelle les températures décroissent est donnée aussi par l'expérience; plusieurs physiciens ont observé les températures fixes des diflerents points d'une barre métallique exposée par son extrémité à l'action constante d'un foyer de chaleur, et ils ont reconnu que les distances à l'origine représentent les logarithmes, et les températures les nombres correspondants.
//.
La valeur numérique du quotient constant de deux températures consécutives étant déterminée par l'observation, on en déduit facile- ment celle du rapport j^ : car, en désignant par r,, r^ les températures qui répondent aux distances a?,, ^r^, on aura
y K Xi — Xy
(
t
50 THÉORIE DE LA CHALEUR.
Quant aux valeurs séparées de h et de K, on ne peut les déterminer par des expériences de ce genre : il faut obser\'er aussi le mouvement varié de la chaleur.
78.
Supposons que deux barres de même matière et de dimensions iné- f,'ales soient assujetties vers leur extrémité à une même température A; soient /, le côté de la section dans la première barre et 1^ le côté de la section dans la seconde; on aura, pour exprimer les températures de ces deux solide's, les équations
r,-Ae '^«^'s r,^Ae ''^«^'s
en désignant, dans le premier solide, par r, la température de la sec- tion placée à la distance a?,, et, dans le second solide, par r^ la tempé- rature de la section placée à la distance x^.
Lorsque ces deux barres seront parvenues à un état fixe, la tempé- rature d'une section de la première, placée à une certaine distance du lover, ne sera pas égale à la température d'une section de la seconde, placée à la même distance du foyer; pour que les températures fixes tussent égales, il faudrait que les distances fussent différentes. Si l'on veut comparer entre elles les distances œ^ et ^a» comprises depuis l'origine jusqu'aux points qui parviennent dans les deux barres à la même température, on égalera les seconds membres des équations et Ton en conclura
Ainsi les distances dont il s'agit sont entre elles comme les racines carrées des épaisseurs.
79.
Si deux barres métalliques de dimensions égales, mais formées de substances différentes, sont couvertes d'un même enduit qui puisse leur donner une même conducibilité extérieure, et si elles sont as- sujetties dans leur extrémité à une même température, la chaleur se
CHAPITRE 1. - JNTRODUCTION. 57
propagera plus facilement et à une plus grande distance de Torigine dans celui des deux corps qui jouit d'une plus grande conducibilité. Pour comparer entre elles les distances o^i et x^f comprises depuis l'origine commune jusqu'aux points qui acquièrent une même tempé- rature fixe, il faut, en désignant parK, et Kj les conducibilités res- pectives des deux substances, écrire l'équation
e ^'^•' = e ^*'«' ou -iz=-— *.
«
Ainsi le rapport de deux conducibilités est celui des carrés des dis- tances comprises entre l'origine commune et les points qui atteignent une même température fixe.
80.
Il est facile de connaître combien il s'écoule de chaleur pendant l'unité de temps par une section de la barre parvenue à son état fixe : cette quantité a pour expression
— 4K/*^ ou ^As/2Kh?e '^'^', ax
et, si on la prend à l'origine, on aura ^A\/2Khl^ pour la mesure de la quantité de chaleur qui passe du foyer dans le solide pendant l'u- nité de temps; ainsi la dépense de la source de chaleur est, toutes choses d'ailleurs égales, proportionnelle à la racine carrée du cube de l'épaisseur. On trouverait le même résultat, en prenant l'intégrale J^hhdx depuis x nulle jusqu'à x infinie.
SECTION VI.
DE L*ÉCHAUFFBME^'T DES ESPACES CLOS.
81.
Nous ferons encore usage des théorèmes de l'article 72 dans la ques- tion suivante dont la solution présente des applications utiles; elle consiste à déterminer le degré d'échaufi*ement des espaces clos.
F. 8
58 THÉORIE DE LA CHALEUR.
On suppose qu'un espace d'une forme quelconque, rempli d'air atmo- sphérique, est fermé de toutes parts, et que toutes les parties de l'en- ceinte sont homogènes et ont une épaisseur commune e, assez petite pour que le rapport de la surface extérieure à la surface intérieure dif- fère peu de l'unité. L'espace que cette enceinte termine est échauffé par un foyer dont l'action est constante : par exemple, au moyen d'une surfoce dont l'étendue est ç, et qui est entretenue à la température permanente a.
On ne considère ici que la température moyenne de l'air contenu dans l'espace, sans avoir égard à l'inégale distribution de la chaleur dans cette masse d'air; ainsi l'on suppose que des causes subsistantes en mêlent incessamment toutes les portions et rendent leur tempéra- ture uniforme.
On voit d'abord que la chaleur qui sort continuellement du foyer se répandra dans l'air environnant et pénétrera dans la masse dont l'en- ceinte est formée, se dissipera en partie par la surface et passera dans l'air extérieur, que l'on suppose entretenu à une température moins élevée et permanente n. L'air intérieur s'échauffera de plus en plus; il en sera de même de l'enceinte solide : le système des températures s'approchera sans cesse d'un dernier état qui est l'objet de la question, et qui aurait la propriété de subsister de lui-même et de se conserver sans aucun changement, pourvu que la surface du foyer a fût maintenue à la température a et l'air extérieur à la température n.
Dans cet état permanent que l'on veut déterminer, Tair intérieur conserve une température fixe m; la température de la surface inté- rieure s de l'enceinte solide a aussi une valeur fixe a; enfin la surface extérieure s, qui termine cette enceinte, conserve une température h moindre que a, mais plus grande que /i. Les quantités d, a, 5, e et n sont connues, et les quantités m, aet b sont inconnues.
C'est dans l'excès de la température m sur celle de l'air extérieur n que consiste le degré de réchauffement; il dépend évidemment de l'é- tendue G de la surface échauffante et de sa température a; il dépend aussi de l'épaisseur e de l'enceinte, de l'étendue s de la surface qui la
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 59
termine, de la facilité avec laquelle la chaleur pénètre sa surface inté- rieure ou celle qui lui est opposée, enfin de la conducibilité spécifique de la masse solide qui forme l'enceinte; car, si Tun quelconque de ces éléments venait à être changé, les autres demeurant les mêmes, le degré de l'échaufi^ement varierait aussi. Il s'agit de déterminer com- ment toutes ces quantités entrent dans la valeur de m — n.
82.
L'enceinte solide est terminée par deux surfaces égales, dont chacune est maintenue à une température fixe; chaque élément prismatique du solide compris entre deux portions opposées de ces surfaces et les nor- males élevées sur le contour des bases est donc dans le même état que s'il appartenait à un solide infini compris entre deux plans parallèles, entretenus à des températures inégales. Tous les éléments prisma- tiques qui composent l'enceinte se touchent suivant toute leur lon- gueur. Les points de la masse qui sont à égale distance de la surface intérieure ont des températures égales, à quelque prisme qu'ils appar- tiennent; par conséquent, il ne peut y avoir aucun transport de cha- leur dans le sens perpendiculaire à la longueur des prismes. Ce cas est donc le même que celui que nous avons déjà traité, et l'on doit y appli- quer les équations linéaires qui ont été rapportées plus haut.
83.
Ainsi, dans l'état permanent que nous considérons, le flux de cha- leur qui sort de la surface <? pendant une unité de temps est égal k celui qui passe, pendant le même temps, de l'air environnant dans la sur- face intérieure de l'enceinte; il est égal aussi à celui qui traverse, pen- dant l'unité de temps, une section intermédiaire faite dans l'enceinte solide par une surface égale et parallèle à celles qui terminent cette enceinte; enfin ce même flux est encore égal à celui qui passe de l'enceinte solide à travers sa surface extérieure et se dissipe dans l'air. Si ces quatre quantités de chaleur écoulées n'étaient point égales, il
60 THÉORIE DE LA CHALEUR.
surviendrait nécessairement quelque variation dans l'état des tempé- ratures, ce qui est contre l'hypothèse.
La première quantité est exprimée par a{% — m)g, en désignant par g la conducibilité extérieure de la surface a qui appartient au foyer.
La seconde est s{m — a)A, le coefficient A étant la mesure de la conducibilité extérieure de la surface s qui est exposée à l'action du foyer.
La troisième est^ ~^ K, le coefficient K étant la mesure do la con-
e
ducibilité propre de la substance homogène qui forme l'enceinte.
La quatrième est 5(6 — /i)H, en désignant par H la conducibilité extérieure de la surface s dont la chaleur sort pour se dissiper dans l'air. Les coefficients A et H peuvent avoir des valeurs très inégales à raison de la différence de l'état des deux surfaces qui terminent l'en- ceinte; ils sont supposés connus ainsi que le coefficient K : on aura donc, pour déterminer les trois quantités inconnues m, a et b^ les trois équations
<7{oc — m)g:=zs{m — a)h, (7(a — /n)^ = 5— — -K, <j{oL — m)gz=Ls{b — /i)H.
84.
La valeur de m est l'objet spécial de la question. On la trouvera en mettant les équations sous cette forme :
s h^ '
et, les ajoutant, on aura
m — n =z {x — /w)P,
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 61
en désignant par P la quantité connue
s\ii Yl ^ n)'
on en conclut
m —71 = (a — n) p.
!■+-
85.
Ce résultat fait connaître comment le degré de réchauffement m — n dépend des quantités données qui constituent Thypothëse.
Nous indiquerons les principales conséquences que Ton en peut dé- duire :
ta
j® Le degré de réchauffement m — n est en raison directe de l'excès de la température du foyer sur celle de l'air extérieur.
2® La valeur de m — /i ne dépend point de la forme de l'enceinte ni de sa capacité, mais seulement de l'épaisseur e de l'enceinte et du
rapport - de la surface dont la chaleur sort à la surface qui la reçoit.
Si Ton double la surface c du foyer, le degré de réchauffement ne devient pas double; mais il augmente suivant une certaine loi que l'é- quation exprime.
3® Tous les coefficients spécifiques qui règlent l'action de la chaleur, savoir : ^, K, H et A, composent, avec la dimension e^ dans la valeur
de m — n^ un élément unique f "^* ^ -^ » ' ^^^^ ^^ P^"*' ^^^^'''^î"^** la valeur par les observations.
Si l'on doublait l'épaisseur e de l'enceinte, on aurait le même ré- sultat que si l'on employait, pour la former, une substance dont la conducibilité propre serait deux fois moindre. Ainsi l'emploi des sub- stances qui conduisent difficilement la chaleur permet de donner peu d'épaisseur à l'enceinte ; l'effet que l'on obtient ne dépend que du rap- port ^.
4** Si la conducibilité K est nulle, on trouve /n = a, c'est-k-dire que
62 THÉORIE DE LA CHALEUR.
Pair intérieur prend la température du foyer : il en est de même si H est nulle ou si h est nulle. Ces conséquences sont d'ailleurs évidentes, puisque la chaleur ne peut alors se dissiper dans Pair extérieur.
5*^ Les valeurs des quantités g. H, A, K et a, que Ton suppose con- nues, peuvent être mesurées par des expériences directes, comme on le verra par la suite; mais, dans la question actuelle, il suffirait d*ob- server la valeur àem— n qui correspond à des valeurs données de a et de a, et Ton s'en servirait pour déterminer le coefficient total
^ -h ~j au moyen de l'équation
A' . g^
I H p
S
dans laquelle p désigne le coefficient cherché. On mettra dans celt<*
équation, au lieu de - et de a — /i, les valeurs de ces quantités, que
l'on suppose données, et celle de m — /i, que l'observation aura fait connaître. On en déduira la valeur de p, et l'on pourra ensuite appli- quer la formule à une infinité d'autres cas.
6" Le coefficient H entre dans la valeur de m — n de la même ma- nière que le coefïicient A; par conséquent l'état de la superficie, ou celui de l'enveloppe qui la couvre, procure le même effet, soit qu'il se rapporte à la surface intérieure ou à la surface extérieure.
On aurait regardé comme inutile de faire remarquer ces diverses conséquences, si l'on ne traitait point ici des questions toutes nouvelles dont les résultats peuvent être d'une utilité immédiate.
86.
On sait que les corps animés conservent une température sensible- ment fixe, que l'on peut regarder comme indépendante de la tempéra- ture du milieu dans lequel ils vivent. Ces corps sont, en quelque sorte, des foyers d'une chaleur constante, de même que les substances enflammées dont la combustion est devenue uniforme. On peut donc, à
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 63
l'aide des remarques précédentes, prévoir et régler avec plus d'exacti- tude l'élévation des températures dans les lieux où l'on réunit un grand nombre d'hommes. Si l'on y observe la hauteur du thermomètre dans des circonstances données, on déterminera d'avance quelle serait cette hauteur, si le nombre d'hommes rassemblés dans le même espace de- venait beaucoup plus. grand.
A la vérité, il y a plusieurs circonstances accessoires qui modifient les résultats, telles que l'inégale épaisseur des parties des enceintes, la diversité de leur exposition, l'effet que produisent les issues, l'iné- gale distribution de la chaleur de Tair. On ne peut donc faire une application rigoureuse des règles données par le calcul ; toutefois ces règles sont précieuses en elles-mêmes parce qu'elles contiennent les vrais principes de la matière : elles préviennent des raisonnements vagues et des tentatives inutiles ou confuses.
87.
Si le même espace était échauffé par deux ou plusieurs foyers de différente espèce, ou si la première enceinte était elle-même contenue dans une seconde enceinte séparée de la première par une masse d'air, on déterminerait facilement aussi le degré de réchauffement et les températures des surfaces.
En supposant qu'il y ait, outre le premier foyer g, une seconde sur- face échauffée ct dont la température constante soit p et la conducibi- lité extérieure y, on trouvera, en conservant toutes les autres dénomi- nations, l'équation suivante :
/\ ( e I I
(S g xs
s ' 5 M K H A
Si l'on ne suppose qu'un seul foyer g et si la première enceinte est elle-même contenue dans une seconde, on représentera par s\ h\ K', H' les éléments de la seconde enceinte qui correspondent à ceux de la
64 THÉORIE DE LA CHALEUR.
première que l'on désigne par 5, A, K, H, et Ton trouvera, en nommant p la température de l'air qui environne la surface extérieure de la seconde enceinte, l'équation suivante :
(a-«)P
I-hp
La quantité P représente
On trouverait un résultat semblable si l'on supposait trois ou un plus grand nombre d'enceintes successives; et l'on en conclut que ces enveloppes solides, séparées par l'air, concourent beaucoup à aug- menter le degré de l'écliauffement, quelque petite que soit leur épais- seur.
88,
Pour rendre cette remarque plus sensible, nous comparerons la quantité de chaleur qui sort de la surface d'un corps échauffé à celle que le même corps perdrait si la surface qui l'enveloppe en était séparée par un intervalle rempli d'air.
Si le corps A est échauffé par une cause constante, en sorte que la surface conserve la température fixe 6, l'air étant retenu a la tempé- rature moindre a, la quantité de chaleur qui s'échappe dans l'air, pendant l'unité de temps, à travers une surface égale à l'unité sera exprimée par A(6 — a), h étant la mesure de la conducibilité exté- rieure. Donc, pour que la masse puisse conserver la température fixe 6, il est nécessaire que le foyer, quel qu'il soit, fournisse une quantité de chaleur égale à AS(6 — a), S désignant l'étendue de la surface du solide.
Supposons que l'on détache de la masse A une couche extrêmement mince qui soit séparée du solide par un intervalle rempli d'air, et que la superficie de ce même solide A soit encore maintenue à la tem-
CHAPITRE L .— INTRODUCTION. 65
pérature b. On voit que l'air contenu entre la couche et le corps s'échauffera et prendra une température a' plus grande que a. La couche elle-même parviendra à un état permanent et transmettra à l'air extérieur dont la température fixe est a toute la chaleur que le corps perd. Il s'ensuit que la quantité de chaleur sortie du solide sera AS(6 — a'), au lieu d'être hS{b — a); car on suppose que la nouvelle superficie du solide et celles qui terminent la couche ont aussi la même conducihilité extérieure A. Il est évident que la dépense de la source de chaleur feera moindre qu'elle n'était d'abord. Il s'agit de connaître le rapport exact de ces quantités.
89.
Soient e l'épaisseur de la couche, m la température fixe de sa surlace intérieure, n celle de la surface extérieure et K la conducihilité propre. On aura, pour l'expression de la quantité de chaleur qui sort du solide par sa superficie, hS{b — a').
Pour celle de la quantité qui pénètre la surface intérieure de la couche, hS(a' — m).
Pour celle de la quantité qui traverse une section quelconque de
cette même couche, KS — ~—'
e
Enfin, pour celle de la quantité qui passe de la surface extérieure dans l'air, hS{n — a).
Toutes ces quantités doivent être égales; on a donc les équations s'uivantes :
h{n — a) = — (m — n),
h{n — a) =z h{a' — m), h(n — a ) = h{b — a').
Si l'on écrit de plus l'équation identique
h{n — a)^= /i{n — a),
F. Q
66 THÉORIE DE LA CHALEUR
et si on les met toutes sous cette forme
n — a z^ n — a.
he m — n —-^ (« — «),
a' — ni^= n — a.
b — a' ^=^ n — rt.
on trouvera, en les ajoutant,
6 — a = ( /i — rt ) ( 3 -h .,
La quantité de chaleur perdue par le solide était
h%{b — a)
lorsque sa superficie communiquait librement à l'air : elle est mainte- nant AS(6 — a') ou /iS(n — «), qui équivaut à
AS A--; .
« ne
La première quantité est plus grande que la seconde, dans le rapport
de 3 -t- . - ^ ' • K
Il faut donc, pour entretenir à la température b le solide dont la superficie communique immédiatement à l'air, plus dtî trois fois autant de chaleur qu'il n'en faudrait pour le maintenir à la même tempéra- ture h lorsque l'extrême surface n'est pas adhérente, mais distante du solide d'un intervalle quelconque rempli d'air.
Si l'on suppose que l'épaisseur e est infiniment petite, le rapport des quantités de chaleur perdues sera 3, ce qui aurait encore lieu si la conducibilité K était infiniment grande.
On se rend facilement raison de ce résultat; car, la chaleur ne pou- vant s'échapper dans l'air extérieur sans pénétrer plusieurs surfaces, la quantité qui s'en écoule doit être d'autant moindre que le nombre
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 67
des surfaces interposées est plus grand; mais on n'aurait pu porter, à cet égard, aucun jugement exact si Ton n'eût point soumis la question au calcul.
90.
On n'a point considéré, dans l'article précédent, l'effet de l'irradia- tion à travers la couche d'air qui sépare les deux surfaces; cependant cette circonstance modifie la question, puisqu'il y a une partie de la chaleur qui pénètre immédiatement au delà de l'air interposé. Nous supposerons donc, pour rendre l'objet du calcul plus distinct, que l'intervalle des surfaces est vide d'air et que le corps échauffé est cou- vert d'un nombre quelconque de couches parallèles et éloignées les unes des autres.
Si la chaleur qui sort du solide par sa superficie plane, entretenue à la température i, se répandait librement dans le vide^et était reçue par une surface parallèle entretenue à une température moindre «, la quan- tité qui se dissiperait pendant l'unité de temps à travers l'unité de superficie serait proportionnelle à la différence b —a des deux tempé- ratures constantes; cette quantité serait représentée par H(/>~fl), H étant une valeur de la conducibilité relative qui n'est pas la même que h.
Le foyer qui maintient le solide dans son premier état doit donc fournir, dans chaque unité de temps, une quantité de chaleur égale à HS(6 — a). Il faut maintenant déterminer la nouvelle valeur de cette dépense dans le cas où la superficie de ce corps serait recouverte de plusieurs couches successives et séparées par des intervalles vides d'air, en supposant toujours que le solide est soumis à l'action d'une cause extérieure quelconque qui retient sa superficie a la tempéra- ture b.
Concevons que le système de toutes les températures est devenu
fixe : soit m la température de la surface intérieure de la première
■couche qui est, par conséquent, opposée à celle du solide; soient n la
température de la surface extérieure de cette même couche, e son
68 THEORIE DE LA CHALEUR.
épaisseur et K sa conducibilité spécifique; désignons aussi par w! ^ n\ ni\ n'\ m'\ n'\ m'^, w'^, ... les températures des surfaces intérieure et extérieure des différentes couches et par K, e la conducibilité et l'épaisseur de ces mêmes couches; enfin, supposons que toutes ces surfaces soient dans un état semblable à la superficie du solide, en sorte que la valeur du coefficient H leur soit commune.
La quantité de chaleur qui pénètre la surface intérieure d'une couche correspondante à l'indice quelconque i est HS(/i,_, — /w,), celle qui tra- verse cette couche est — ^ [^i— «<)» et la quantité qui en sort par la
surface extérieure est HS(/i, — /w,^.,). Ces trois quantités et toutes celles qui se rapportent aux autres couches sont égales; on pourra donc former les équations en comparant toutes les quantités dont il s'agit à la première d'entre elles, qui est HS(ft — /w,); on aura ainsi, en désignant par y le nombre de^ couches,
b — m,=^ ft — m,,
m, — /Il ~ _(6_,„,)^
/j, — m,izi b — m,, wi,-/i, = — (b — mi),
Hé
mj — Hj zz: — (^ — /«,),
Hj — a = ^ — m,.
En ajoutant ces équations, on trouvera
b — a=,{b--m,)j(\+ -j^j
La dépense de la source de chaleur nécessaire pour entretenir la super- ficie du corps A à la température b est
HS(6 — a)
lorsque cette superficie envoie ses ravons à une surface fixe entretenue
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 69
à la température b. Cette dépense est
HS(ft-m,) ou HS ^~"
lorsque l'on place entre la superficie du corps A et la surface fixe entretenue à la température b un nombre y de couches isolées; ainsi la quantité de chaleur que le foyer doit fournir est beaucoup moindre dans la seconde hypothèse que dans la première, et le rapport de ces
deux quantités est--? n~T' S' ^'^^ suppose que l'épaisseur e des
couches soit infiniment petite, le rapport est -• La dépense du foyer
est donc en raison inverse du nombre des couches qui couvrent la superficie.
91.
L'examen de ces résultats et de ceux que l'on obtient lorsque les intervalles des enceintes successives sont occupés par l'air atmosphé- rique explique distinctement pourquoi la séparation des surfaces et l'interposition de l'air concourent beaucoup à contenir la chaleur.
Le calcul fournit encore des conséquences analogues lorsqu'on sup- pose que le foyer est extérieur et que la chaleur qui en émane traverse successivement les diverses enveloppes diaphanes et pénètre l'air qu'elles renferment. C'est ce qui avait lieu dans les expériences où l'on a exposé aux rayons du soleil des thermomètres recouverts par plusieurs caisses de verre, entre lesquelles se trouvaient différentes couches d'air.
C'est par une raison semblable que la température des hautes régiojis de l'atmosphère est beaucoup moindre qu'à la surface du globe.
En général, les théorèmes concernant réchauffement de l'air dans les espaces clos s'étendent à des questions très variées. Il sera utile d'y recourir lorsqu'on voudra prévoir et régler la température avec quelque précision, comme dans les serres, les étuves> les bergeries,
70 THÉORIE DE LA CHALEUR.
les ateliers ou dans plusieurs établissements civils, tels que les hôpi- taux, les casernes, les lieux d'assemblée.
On pourrait avoir égard, dans ces diverses applications, aux cir- constances accessoires qui modifient les conséquences du calcul, comme l'inégale épaisseur des différentes parties de l'enceinte, l'introduction de l'air, etc.; mais ces détails nous écarteraient de notre objet princi- pal qui est la démonstration exacte des principes généraux.
Au reste, nous n'avons considéré, dans ce qui vient d'être dit, que l'état permanent des températures dans les espaces clos. On exprime aussi par le calcul l'état variable qui le précède, ou celui qui com- mence à avoir lieu lorsqu'on retranche le foyer, et l'on peut connaître par là comment les propriétés spécifiques des corps que l'on emploie ou leurs dimensions influent sur les progrès et sur la durée de l'échaulTe- ment; mais cette recherche exige une analyse différente, dont on ex- posera les principes dans les Chapitres suivants.
SECTION VII.
1)1 MOUVEMENT LNIFORUE DE LA CHALEUR SUIVANT LES TROIS DIMENSIONS.
92.
Nous n'avons considéré jusqu'ici que le mouvement uniforme de la chaleur suivant une seule dimension. Il est facile d'appliquer les mêmes principes au cas où la chaleur se propage uniformément dans trois directions orthogonales.
Supposons que les différents points d'un solide compris entre six plans rectangulaires aient actuellement des températures inégales et re|3résentées par l'équation linéaire
r =: A -h ûf uT -h by 4- c^,
.r, y, z étant les coordonnées rectangulaires d'une molécule dont la température est {\ Supposons encore que des causes extérieures quel- conques, agissant sur les six faces du prisme, conservent à chacune
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 71
(les molécules qui sont situées k la superficie sa température actuelle, exprimée par l'équation générale
(a) r =r A 4- a.r 4- ^/-h c:;;
nous allons démontrer que ces mêmes causes qui, par hypothèse, retiennent les dernières tranches du solide dans leur état initial, suf- fisent pour conserver aussi la température actuelle de chacune des molécules intérieures, en sorte que cette température ne cessera point d'être représentée par l'équation linéaire.
L'examen de cette question est un élément de la théorie générale ; il servira a faire connaître les lois du mouvement varié de la chaleur dans l'intérieur d'un solide d'une forme quelconque; car chacune des niolécules prismatiques dont le corps est composé est, pendant un temps infiniment petit, dans un état semblable à celui qu'exprime l'équation linéaire {a). On peut donc, en suivant les principes ordi- naires de l'Analvse différentielle, déduire facilement de la notion du mouvement uniforme les équations générales du mouvement varié.
93.
Pour prouver que, les extrémités du solide conservant leurs tempé- ratures, il ne pourra survenir aucun changement dans l'intérieur de la masse, il suffit de comparer entre elles les quantités de chaleur qui, pendant la durée d'un même instant, traversent deux plans parallèles. Soit b la distance perpendiculaire de ces deux plans que l'on suppose d'abord parallèles au plan horizontal des xy. Soient m et m' deux mo- lécules infiniment voisines, dont l'une est au-dessous du premier plan horizontal et l'autre au-dessus; soient t, y, z les coordonnées de la première et x\ y\ z' les coordonnées de la seconde. On désignera pareillement deux molécules M et M' infiniment voisines, séparées par le second plan horizontal et situées, par rapport à ce second plan, de la même manière que m et m' le sont par rapport au premier, c'est- à-dire que les coordonnées de M sont ^r, y^ z-h b^ et celles de M' sont .r', y, s' H- b. Il est manifeste que la distance mm' des deux molécules
72 THÉORIE DE LA CHALEUR.
m et m* est égale à la dislance MM' des deux molécules M et M'; de plus, soient s^ la température de m et v' celle de m\ soient aussi V et V les températures de M et M'; il est facile de voir que les deux diffé- rences ^ — f'' et V -- V sont égales; en effet, en substituant d'abord les coordonnées de m et m' dans Téquation générale
^^ = A -h ax -h by -h czj
on trouve
V— v' =ia{x — x') -\-b(y — y') -\-c{z — 5'),
et, en substituant ensuite les coordonnées de M et M', on trouve aussi
y — \'—a{x — x')^b{y—y)-\-c{z~z').
Or la quantité de chaleur que m envoie a m' dépend de la distance mm' qui sépare ces molécules, et elle est proportionnelle à la différence K' — v' de leurs températures. Cette quantité de chaleur envoyée peut être représentée par q[^— ^')dt; la valeur du coefficient q dépend d'une manière quelconque de la distance mm' et de la nature de la sub- stance dont le solide est formé; dl est la durée de l'instant. La quan- tité de chaleur envoyée de M à M', ou l'action de M sur M', a aussi pour expression q{\ ~ y)dt, et le coefficient q est le même que dans la va- leur q{i^ — s^')dt^ puisque la distance MM' est égale à mjii et que les deux actions s'opèrent dans le même solide; de plus, V -- V est égal a r — r'; donc les deux actions sont égales.
Si l'on choisit deux autres points n et n' extrêmement voisins l'un de l'autre, qui s'envoient de la chaleur k travers le premier plan horizontal, on prouvera de même que leur action est égale k celles de deux points homologues N et N' qui se communiquent la chaleur à tra- vers le second plan horizontal. On en conclura donc que la quantité totale de chaleur qui traverse le premier plan est égale à celle qui tra- verse le second pendant le même instant. On tirera la même consé- quence de la comparaison de deux plans parallèles au plan des xs, ou de deux autres plans parallèles au plan des j5. Donc, une partie quel- conque du solide, comprise entre six plans rectangulaires, reçoit par
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 73
chacune des faces autant de chaleur qu'elle en perd par la face oppo- sée; donc il n'y a aucune portion du solide qui puisse changer de tem- pérature.
94.
On voit par là qu'il s'écoule, à travers un des plans dont il s'agit, une quantité de chaleur qui est la même à tous les instants, et qui est aussi la même pour toutes les autres tranches parallèles.
Pour déterminer la valeur de ce flux constant, nous la comparerons à la quantité de chaleur qui s'écoule uniformément dans un cas plus simple que nous avons déjà traité. Ce cas est celui d'un solide compris entre deux plans infinis et entretenus dans un état constant. Nous avons vu que les températures des différents points de la masse sont alors repré- sentées par l'équation v= A-^- cz; nous allons démontrer que le flux uniforme de chaleur qui se propage en sens vertical dans le solide in- fini est égal à celui qui s'écoule dans le même sens à travers le prisme compris entre six plans rectangulaires. Cette égalité a lieu nécessaire- ment si le coefficient c de l'équation ç = A -^cz, appartenant au pre- mier solide, est le même que le coefficient c dans l'équation plus géné- rale V = A -{- ax -h by -h cz qui représente l'état du prisme. En effet, désignons par H dans ce prisme un plan perpendiculaire aux 5, et par m et [L deux molécules extrêmement voisines l'une de l'autre, dont la première m est au-dessous du plan H, et la seconde est au-dessus de ce plan; soient i^ la température de m, dont les coordonnées sont x, y, s, et M^ la température de p., dont les coordonnées sont x -^ a., y -\- ^, 5 -h y. Choisissons une troisième molécule [x', dont les coordonnées soient x — ol, y— ^, z-hy, et dont la température soit désignée par iv'. On voit que [l et [// sont sur un même plan horizontal, et que la verti- cale élevée sur le milieu de la droite [W qui joint ces deux points passe par le point m, en sorte que les distances /wjjt. et /n[x' sont égales. L'action de m sur jx, ou la quantité de chaleur que la première de ces molécules envoie à l'autre à travers le plan H, dépend de la différence i' — (V de leurs températures. L'action de m sur jx' dépend de la même F. 10
r* THÉORIE DE LA CH\LELR.
manière do la différence i^ — iv des températures des molécules* puisque la distance de m à a est la même que celle de m à kl. Ainsi, en exprimant par y(r — u"; Faction de m sur a pendant l'unité de temps, on aura y 'r — iv') pour exprimer Faction de m sur a', q étant un fac- teur inconnu, mais commun, qui dépend et de la distance //la et de la nature du solide. Donc la somme des deux actions exercées pendant l'unité de temps est y(r — (v -f- i' — w^'').
Si l'on substitue, au lieu de a:, y et :?, dans l'équation générale
t'=: A -1- ax -h ùy -h cz.
les coordonnées de m et ensuite celles de u. et ;x', on trouvera
V — iv'^i-r- ax-h b^ — cy.
La somme des deux actions de m sur jjl et de m sur a' est donc -- 2qcy.
Supposons maintenant que le plan H appartienne au solide infini pour lequel l'équation des températures est i^ = A-h cz, et que l'on considère aussi, dans ce solide, les molécules m, ^l et (/.' dont les coor- données sont ,T, y, z pour la première, a?4- a, y 4- ?, ^ -f- y pour la seconde et j? — a, y — p, 5 -h y pour la troisième; on trouvera, comme précédemment,
V — w -'r V — iv' z=. — 2Cy.
Ainsi la somme des deux actions de m sur [a et de m sur ji.' est la même dans le solide infini que dans le prisme compris entre six plans rec- tangulaires.
On trouverait un résultat semblable si l'on considérait l'action d'un autre point n inférieur au plan H sur deux autres v et v', placés à une même hauteur au-dessus du plan. Donc la somme de toutes les actions de ce genre, qui s'exercent k travers le plan H, c'est-à-dire la quantité totale de chaleur qui, pendant l'unité de temps, passe au-dessus de cette surface, en vertu de l'action des molécules extrêmement voisines qu'elle sépare, est toujours la même dans l'un et l'autre solide.
CHAPITRE I. - INTRODUCTION. 75
95.
Dans le second de ces corps, qui est terminé par deux plans infinis et pour lequel l'équation des températures est ^ = A h- cz, nous savons que la quantité de chaleur écoulée pendant l'unité de temps, à travers une surface égale à l'unité et prise sur une section horizontale quelconque, est — cK, c étant le coefficient de r, et K la conducibilité spécifique ; donc la quantité de chaleur qui, dans le prisme compris entre six plans rectangulaires, traverse pendant l'unité de temps une surface égale à l'unité et prise sur une section horizontale quelconque est aussi — rK, lorsque l'équation linéaire qui représente les températures du prisme est
i> :=: A -+- ax -h ^7 -h CZ,
On prouve de même que la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, s'écoule uniformément à travers une unité de surface, prise sur une section quelconque perpendiculaire aux x, est exprimée par — aK, et que la chaleur totale qui traverse, pendant l'unité de temps, l'unité de surface prise sur une section perpendiculaire aux y est ex- primée par — èK.
Les théorèmes que nous avons démontrés dans cet article et dans les deux précédents ne supposent point que l'action directe de la cha- leur soit bornée dans l'intérieur de la masse k une distance extrême- ment petite : ils auraient encore lieu si les rayons de chaleur envoyés par chaque molécule pouvaient pénétrer immédiatement jusqu'à une distance assez considérable; mais il serait nécessaire dans ce cas, ainsi que nous l'avons remarqué dans l'article 70, de supposer que la cause qui entretient les températures des faces du solide affecte une partie de la masse jusqu'à une profondeur finie.
76 THÉORIE DE LA CHALEUR.
SECTION VIII.
MESURE DU MOUVEMENT DE LÀ CHALEUR EN U5 P01!fT DONNÉ d'uN'E MASSE SOLIDE.
96.
Il nous reste encore à faire connaître un des principaux éléments de la Théorie de la chaleur : il consiste à définir et à mesurer exactement la quantité de chaleur qui s'écoule en chaque point d'une masse solide à travers un plan dont la direction est donnée.
Si la chaleur est inégalement distribuée entre les molécules d'un même corps, les températures de chaque point varieront à chaque in- stant. En désignant par / le temps écoulé et par ^ la température que reçoit après le temps t une molécule infiniment petite m dont les coor- données sont r, j, 5, l'état variable du solide sera exprimé par une équation semblable à la suivante :
Supposons que la fonction F soit donnée et que, par conséquent, on puisse déterminer, pour chaque instant, la température d'un point quelconque; concevons que par le point m on mène un plan horizontal parallèle à celui des xy et que, sur ce plan, on trace un cercle infini- ment petit co dont le centre est en m; il s'agit de connaître quelle est la quantité de chaleur qui, pendant l'instant dt, passera, à travers le cercle co, de la partie du solide qui est inférieure au plan dans la partie supérieure. Tous les points qui sont extrêmement voisins du point /w, et qui sont au-dessous du plan, exercent leur action pendant l'instant infiniment petit dt sur tous ceux qui sont au-dessus du plan et extrê- mement voisins du point m, c'est-à-dire que chacun de ces points placés d'un même côté du plan enverra de la chaleur à chacun de ceux qui sont placés de l'autre côté. On considérera comme positive l'action qui a pour effet de transporter une certaine quantité de chaleur au- dessus du plan, et comme négative celle qui fait passer de la chaleur
CHAPITRE L - INTRODUCTION. 77
au-dessous du plan. La somme de toutes les actions partielles qui s'exercent à travers le cercle o>, c'est-à-dire la somme de toutes les quantités de chaleur qui, traversant un point quelconque de ce cercle, passent de la partie du solide qui est inférieure au plan dans la partie supérieure, compose le flux dont il faut trouver l'expression.
Il est facile de concevoir que ce flux ne doit pas être le même dans toute l'étendue du solide et que, si, en un autre point w', on traçait un cercle horizontal w' égal au précédent, les deux quantités de cha- leur qui s'élèvent au-dessus de ces plans o> et w', pendant le même in- stant, pourraient n'être point égales; ces quantités sont comparables entre elles et leurs rapports sont des nombres que l'on peut facilement déterminer.
97.
Nous connaissons déjà la valeur du flux constant pour le cas du mouvement linéaire et uniforme; ainsi, dans un solide compris entre deux plans horizontaux inflnis dont l'un est entretenu à la tempéra- ture a et l'autre à la température 6, le flux de chaleur est le même pour chaque partie de la masse; on peut le considérer comme ayant lieu dans le sens vertical seulement. Sa valeur correspondante à l'unité
de surface et à l'unité de temps est K ~ > e désignant la distance
perpendiculaire des deux plans et K la conducibilité spécifique; les températures des diff*érents points du solide sont exprimées par l'équa- tion
a — b e
m
LorsquMl s'agit d'un solide compris entre six plans rectangulaires parallèles deux à deux, et lorsque les températures des différents points sont exprimées par l'équation linéaire
A H- ax -f- 6/ 4- cz,
la propagation a lieu en même temps selon les trois directions des a-, des y et des s; la quantité de chaleur qui s'écoule à travers une por-
78 THÉORIE DE LA CHALEUR.
tion déterminée d'un plan parallèle k celui des xy est la même dans toute l'étendue du prisme; sa valeur correspondante à l'unité. de sur- face et k l'unité de temps est — cK; elle est — tK dans le sens des y^ et — rtK dans celui des x.
En général, la valeur du flux vertical, dans les deux cas que l'on vient de citer, ne dépend que du coefficient de z et de la conducibilité
spécifique K; cette valeur est toujours égale k — Ky^-
L'expression de la quantité de chaleur qui, pendant l'instant A, s'écoule k travers un cercle horizontal infiniment petit dont la surface est œ, et passe ainsi de la partie du solide qui est inférieure au plan du cercle dans la partie supérieure est, pour les deux cas dont il s'agit,
— K -c- 0) dt, oz
98.
Il est aisé maintenant de généraliser ce résultat et do reconnaître qu'il a lieu, quel que soit le mouvement varié de la chaleur exprimé par l'équation
En effet, désignons par x' ^ y, z' les coordonnées du point m et par v' sa température actuelle. Soient 0?'+ ^, y-hr), z' -^l, les coordonnées d'un point [x infiniment voisin du point m et dont la température est iv; ç, y;, ^ sont des quantités infiniment petites, ajoutées aux coordonnées ^'» j'> ^'; ^ll^s déterminent la position des molécules infiniment voi- sines du point rriy par rapport k trois axes rectangulaires dont l'ori- gine est en m et qui seraient parallèles aux axes des Xy des y et des z. En différentiant l'équation
v — Y{x,y,z,t),
et remplaçant les différentielles par E, yj, ^, on aura, pour exprimer la valeur de w qui équivaut k (^ -h rf(^, l'équation linéaire
OJc ^ dy oz
CHAPITRE I. — INTRODUCTION. 79
les coefficients ^', .-> ~y-> -^ sont des fonctions de x, y, z, t dans les-
ox oy oz -> j -> ^
quelles on a mis pour x^ y, s les valeurs données et constantes x\ y\ z' qui conviennent au pointm.
Supposons que le même point m appartienne aussi à un solide com- pris entre six plans rectangulaires, que les températures actuelles des points de ce prisme qui a des dimensions finies soient exprimées par
Téquation linéaire
jï' = A -+- aç + 6yî -f- cC,
et que les molécules placées sur les faces qui terminent le solide soient retenues par une cause extérieure à la température qui leur est assi- gnée par l'équation linéaire; E,7),2^ sont les coordonnées rectangulaires d'une molécule du prisme, dont la température est (v, et qui est rap- portée aux trois axes dont l'origine est en m.
Cela posé, si l'on prend pour valeurs des coefficients constants A, a, b, c, qui entrent dans l'équation relative au prisme, les quantités v\
^' T"' TF ^^' appartiennent à l'équation différentielle, l'état du prisme exprimé par l'équation
ox . ôy oz
coïncidera, le plus qu'il est possible, avec l'état du solide; c'est-à-dire que toutes les molécules infiniment voisines du point m auront la même température, soit qu'on les considère dans le solide ou dans le prisme. Cette coïncidence du solide et du prisme est entièrement ana- logue à celle des surfaces courbes avec les plans qui les touchent.
Il est évident, d'après cela, que la quantité de chaleur qui s'écoule dans le solide à travers le cercle w, pendant l'instant dt, est la même que celle qui s'écoule dans le prisme à travers le même cercle; car toutes les molécules dont l'action concourt à l'un et à l'autre effet ont la même température dans les deux solides. Donc le flux dont il s'agit
Al)
a pour expression, dans l'un et l'autre solide, — Kx:<^^*'^- H serait — K^ cor//, si le cercle w dont le centre est m était perpendiculaire à
80 THÉORIE DE LA CHALEUR.
Taxe des j, et — K-r-wrf/ si ce cercle était perpendiculaire à Taxe des oc.
La valeur du flux que Ton vient de déterminer varie dans le solide d'un point à un autre, et elle varie aussi avec le temps. On pourrait concevoir qu'elle a, dans tous les points de l'unité de surface, la même valeur qu'au point m et qu'elle conserve cette valeur pendant l'unité
de temps; alors le flux serait exprimé par — Kj^> il serait — Kj-
dans le sens des y et — K v- dans celui des x. Nous employons ordi- nairement dans le calcul cette valeur du flux ainsi rapportée a l'unité de temps et à l'unité de surface.
99.
Ce théorème sert, en général, à mesurer la vitesse avec laquelle la chaleur tend à traverser un point donné d'un plan, situé d'une manière quelconque dans l'intérieur d'un solide dont les températures varient avec le temps. Il faut, par le point donné /w, élever une perpendicu- laire sur le plan et élever en chaque point de cette perpendiculaire des ordonnées qui représentent les températures actuelles de ses difl*é- rents points. On formera ainsi une courbe plane dont l'axe des ab- scisses est la perpendiculaire. La fluxion de l'ordonnée de cette courbe, qui répond au point m, étant prise avec un signe contraire, exprime la vitesse avec laquelle la chaleur se porte au delà du plan. On sait que cette fluxion de l'ordonnée est la tangente de l'angle formé par l'élément de la courbe avec la parallèle aux abscisses.
Le résultat que l'on vient d'exposer est celui dont on fait les appli- cations les plus fréquentes dans la Théorie de la chaleur. On ne peut en traiter les différentes questions sans se former une idée très exacte de la valeur du flux en chaque point d'un corps dont les températures sont variables. Il est nécessaire d'insister sur cette notion fondamen- tale; l'exemple que nous allons rapporter indiquera plus clairement l'usage que Ton en fait dans le calcul.
CHAPITRE I.— INTRODUCTION. 81
100,
Supposons que les différents points d'une masse cubique, dont le côté est Tc, aient actuellement des températures inégales, représentées par l'équation
V = cosa: cosj' cos-3.
Les coordonnées ^, v, :; sont mesurées sur trois axes rectangulaires, dont l'origine est au centre du cube et qui sont perpendiculaires aux faces. Les points de la surface extérieure du solide ont actuellement la température o, et l'on suppose aussi que des causes extérieures con- servent à tous ces points leur température actuelle o. D'après cette hypothèse, le corps se refroidira de plus en plus; tous les points situés dans l'intérieur de la masse auront des températures variables et, après un temps infini, ils acquerront tous la température o de la sur- face.
Or nous démontrerons par la suite que l'état variable de ce solide est exprimé par l'équation
V -- e-^^ cos X cos j cos z ;
le coefficient g est égal à p|r> K est la conducibilité spécifique de la
substance dont le solide est formé, D est la densité et C la chaleur spé- cifique; t est le temps écoulé.
Nous supposons ici que l'on admet la vérité de cette équation, et nous allons examiner l'usage que l'on en doit faire pour trouver la quantité de chaleur qui traverse un plan donné, parallèle à l'un des plans rectangulaires.
Si, par le point m dont les coordonnées sont ^, j, 5, on mène un plan perpendiculaire aux 5, on trouvera, d'après l'article précédent, que la valeur du flux en ce point et à travers le plan est
— K ;r- ou K e-«^ cos x cos j sin :;. oz
La quantité de chaleur qui traverse, pendant l'instant dt^ un rec- F. II
82 THÉORIE DE LA CHALEUR.
tangle infiniment petit situé sur ce plan et qui a pour côtés dx et dy est
Kc-^' cos J? cos/ sins dx dy dt.
Ainsi la chaleur totale qui, pendant l'instant dt, traverse l'étendue en- tière du même plan est
Ke-«^ smz dt f f co%x CQsy dx dy \
la double intégrale étant prise depuis x = — ^tz jusqu'à x = ^t:, et depuis j = — ^ir jusqu'à y = ^Tt. On trouvera donc pour l'expression
de cette chaleur totale
t\}lie-^^?\nzdt.
Si l'on prend ensuite l'intégrale par rapport à /, depuis / = o jusqu'à / = /, on trouvera la quantité de chaleur qui a traversé le même plan, depuis que le refroidissement a commencé jusqu'au moment actuel.
Cette intégrale est ^ûï\z{\ — e~^^)\ elle a pour valeur à la surface (i — c~^'), en sorte qu'après un temps infini la quantité de chaleur
g
perdue par l'une des faces est —^' Le même raisonnement s'appli-
quant à chacune des six faces, on conclut que le solide a perdu par son refroidissement complet une chaleur totale dont la quantité est
ou 8CD, puisque ^équivaut à -^' Cette chaleur totale qui se dis-
g . . ^ . CD
sipe pendant la durée du refroidissement doit être, en effet, indépen- dante de la conducibilité propre K, qui ne peut influer que sur le plus ou moins de vitesse du refroidissement.
On peut déterminer d'une autre manière la quantité de chaleur que le solide perd pendant un temps donné, ce qui servira, en quelque sorte, à vérifier le calcul précédent. En effet, la masse de la molécule rectangulaire dont les dimensions sont tir, dy, dz est \)dxdydz\ par conséquent la quantité de chaleur qu'il faut lui donner pour la porter de la température o à celle de l'eau bouillante est (IXidxdydz, et, s'il fallait élever la molécule à la température ^, cette chaleur excédante serait {> CD dxdy dz.
CHAPITRE I. — INTRODUCTION. 83
I
Il suit de là que, pour trouver la quantité dont la chaleur du solide surpasse, après le temps /, celle qu'il contiendrait à la température o, il faut prendre l'intégrale mu\t\ip\e fff i^ CD dxdydz entre les limites
On trouve ainsi, en mettant pour r sa valeur, savoir
e'^' cos X cos j ces z,
que l'excès de la chaleur actuelle sur celle qui convient à la tempéra- ture o est 8CD(i — €~^') ou, après un temps infini, 8CD, comme on Ta trouvé précédemment.
Nous avons exposé, dans cette Introduction, tous les éléments qu'il est nécessaire de connaître pour résoudre les diverses questions rela- tives au mouvement de la chaleur dans les corps solides, et nous avons donné des applications de ces principes afin de montrer la manière de les employer dans le calcul; l'usage le plus important que l'on en puisse faire est d'en déduire les équations générales de la propagation de la chaleur, ce qui est l'objet du Chapitre suivant.
CHAPITRE II.
ÉQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR.
SECTION I.
ÉQUATION DU MOUVEMENT VARIÉ DE LA CHALEUR DANS UNE ARMILLB.
lOJ.
On pourrait former les équations générales qui représentent le mou- vement de la chaleur dans les corps solides d'une figure quelconque et les appliquer aux cas particuliers. Mais cette méthode entraîne quel- quefois des calculs assez compliqués que Ton peut facilement éviter. Il y a plusieurs de ces questions qu'il est préférable de traiter d'une manière spéciale en exprimant les conditions qui leur sont propres. Nous allons suivi'e cette marche et examiner séparément les questions que l'on a énoncées dans la Section I de l'Introduction; nous nous bornerons d'abord à former les équations différentielles, et nous en donnerons les intégrales dans les Chapitres suivants.
102.
On a déjà considéré le mouvement uniforme de la chaleur dans une barre prismatique d'une petite épaisseur et dont l'extrémité est plongée dans une source constante de chaleur. Ce premier cas ne présentait aucune difficulté, parce qu'il ne se rapporte qu'à l'état permanent des températures et que l'équation qui l'exprime s'intègre facilement. La question suivante exige un examen plus approfondi; elle a pour objet de déterminer l'état variable d'un anneau solide dont les différents points ont reçu des températures initiales entièrement arbitraires.
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 85
L'anneau solide ou armille est engendré par la révolution d'une section rectangulaire autour d'un axe perpendiculaire au plan de l'anneau {fig. 3); /est le périmètre de la section dont S est la sur- face, le coefficient h mesure la conducibilité extérieure, K la condu- cibilité propre, C la capacité spécifique de chaleur, D la densité. La ligne oxx'x" représente la circonférence moyenne de l'armille, ou celle qui passe par les centres de figure de toutes les sections; la distance d'une section à l'origine o est mesurée par l'arc dont la longueur est a:; R est le rayon de la circonférence moyenne.
Fig. 3.
'. )
On suppose qu'a raison des petites dimensions et de la forme de la section on puisse regarder comme égales les températures des dif- férents points d'une même section.
103.
Concevons que l'on donne actuellement aux différentes tranches do l'armille des températures initiales arbitraires, et que ce solide soit ensuite exposé à l'air, qui conserve la température o et qui est déplacé avec une vitesse constante; le système des températures variera conti- nuellement; la chaleur se propagera dans l'anneau et elle se dissipera par la surface : on demande quel sera l'état du solide dans un instant donné.
Soit V la température que la section placée à la distance x aura acquise après le temps écoulé /; f^ est une certaine fonction de x et de t^ dans laquelle doivent entrer aussi toutes les températures ini- tiales; c'est cette fonction qu'il s'agit de découvrir.
86 THÉORIE DE LA CHALEUR.
104.
On considérera le mouvement de la chaleur dans une tranche infi- niment petite, comprise entre une section placée à la distance x et une autre section placée à la distance x + dx. L'état de cette tranche pen- dant la durée d'un instant est celui d'un solide infini que terminent deux plans parallèles retenus à des températures inégales; ainsi la quantité de chaleur qui s'écoule pendant cet instant di à travers la première section, et passe ainsi de la partie du solide qui précède la tranche dans cette tranche elle-même, est mesurée, d'après les principes établis dans l'Introduction, par le produit de quatre facteurs,
savoir la conducibilité K, l'aire de la section S, le rapport -p et la
durée de l'instant; elle a pour expression — KS j-e//. Pour connaître
la quantité de chaleur qui sort de la même tranche à travers la seconde section et passe dans la partie contiguë du solide, il faut seulement changer x en x-hdx dans l'expression précédente ou, ce qui est la même chose, ajouter à cette expression sa différentielle prise par rap- port à X : ainsi la tranche reçoit par une de ses faces une quantité de
chaleur égale k — KS j-di et perd par la face opposée une quantité de
chaleur exprimée par — KS -7^ rf/ — KS y-^cterf/. Elle acquiert donc,
à raison de sa position, une quantité de chaleur égale à la différence
des deux quantités précédentes, qui est KS -r-^û/lr rf/.
D'un autre côté, cette même tranche, dont la surface extérieure est Idx et dont la température diffère infiniment peu de Çj laisse échapper dans l'air, pendant l'instant dl, une quantité de chaleur équivalente à hhdxdl; il suit de là que cette partie infiniment petite du solide con- serve, en effet, une quantité de chaleur représentée par
KS ^r— 5 djc dt — hlv dx dt
et qui fait varier sa température. Il faut examiner quelle est la quantité de ce changement.
CHAPITRE IL- ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 87
105.
Le coefficient C exprime ce qu'il faut de chaleur pour élever l^unité (le poids de la substance dont il s'agit depuis la température o jusqu'à la température i; par conséquent, en multipliant le volume Sdx de la tranche infiniment petite par la densité D, pour connaître son poids, et par la capacité spécifique de chaleur C, on aura CDSdx^ pour la quantité de chaleur qui élèverait le volume de la tranche depuis la température o jusqu'à la température i. Donc l'accroissement de la température qui résulte de l'addition d'une quantité de chaleur égale
à KS -T—^dxdt — hhdxdt se trouvera en divisant cette dernière quan- tité par CQ?>dx. Donc, en désignant selon l'usage par -rrdt l'accrois- sement de température qui a lieu pendant l'instant dt, on aura l'équa- tion
dv _Yi d^v hl
Nous expliquerons par la suite l'usage que l'on doit faire de cette équation pour en déduire une solution complète, et c'est en cela que consiste la difficulté de la question; nous nous bornerons ici à une remarque qui concerne l'état permanent de l'armille.
106.
Supposons que, le plan de l'anneau étant horizontal, on place au-des- sous de divers points m, n, /?, y, . . . des foyers de chaleur dont chacun exerce une action constante; la chaleur se propagera dans le solide et, celle qui se dissipe par la surface étant incessamment remplacée par celle qui émane des foyers, la température de chaque section du solide s'approchera de plus en plus d'une valeur stationnaire qui varie d'une section à l'autre. Pour exprimer, au moyen de l'équation (i), la loi de ces dernières températures qui subsisteraient d'elles-mêmes si elles étaient établies, il faut supposer que la quantité v ne varie point par
88 THEORIE DE LA CHALEUR.
rapport à /, ce qui rend nul le terme ^- On aura ainsi l'équation
dU^ hl
v\
dx^ ~ KS '
(1*011 l'on déduit par l'intégration
M et N étant les deux constantes.
107.
Supposons qu'une portion de la circonférence de l'anneau, placée entre deux foyers consécutifs, soit divisée en parties égales; désignons par ç^^, ^2» ^'3» ^4» ••• l^s températures des points de division dont les distances à l'origine sont x^^ ^2, 0^3, x^^ .,.; la relation entre v et .r sera donnée par l'équation précédente, après que l'on aura déterminé les deux constantes au moyen des deux valeurs de v qui correspondent aux
foyers. Désignant par a la quantité e ^^^\, par \ la distance x^ — x^ de deux points de division consécutifs, on aura les équations
(', nu M «^ a't 4- N a~^ ar^x , (♦3 — M a'^ «*• -h N a-*^ «-'» ;
d'où l'on tire la relation suivante :
V
On trouverait un résultat semblable pour les trois points dont les tem- pératures sont (^2» ^3> ^4» et en général pour trois points consécutifs. Il suit de là que, si l'on observait les températures i^,, (^2. ^'j» ^4» ^5» • • • de plusieurs points successifs, tous placés entre les deux mêmes foyers m et/i et séparés par un intervalle constante, on reconnaîtrait que trois températures consécutives quelconques sont toujours telles que la somme de deux extrêmes, divisée par la moyenne, donne un quotient constant a^-f-a"^.
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 89
108.
Si, dans l'espace compris entre deux autres foyers n et/?, on obser- vait les températures de divers autres points séparés par le même intervalle >., on trouverait encore que, pour trois points consécutifs quelconques, la somme des deux températures extrêmes, divisée par la moyenne, donne le même quotient a^ H- a~^. La valeur de ce quotient ne dépend ni de la position ni de l'intensité des foyers.
109. Soit q cette valeur constante, on aura l'équation
on voit par là que, lorsque la circonférence est divisée en parties égales, les températures des points de division compris entre deux foyers consécutifs sont représentées par les termes d'une série récur- rente dont l'échelle de relation est composée de deux termes y et — i . Les expériences ont pleinement confirmé ce résultat. Nous avons exposé un anneau métallique à l'action permanente et simultanée de divers foyers de chaleur et nous avons observé les températures sta- tionnaires de plusieurs points séparés par un intervalle constant; nous avons toujours reconnu que les températures de trois points consé- cutifs quelconques, non séparés par un foyer, avaient entre elles la relation dont il s'agit. Soit que l'on multiplie les foyers, et de quelque manière qu'on les dispose, on ne peut apporter aucun changement à
la valeur numérique du quotient-^— ^ — ^; il ne dépend que des dimen- sions ou dé la nature de l'anneau, et non de la manière dont ce solide
est échauffé,
110.
Lorsqu'on a trouvé par l'observation la valeur du quotient constante/ ou -^ — ^? on en conclut la valeur de a, au moyen de l'équation
F. 12
90 THÉORIE DE LA CHALEUR.
Cette quantité étant déterminée, on en conclut la valeur du rapport jT> qui est 7(loga)'-. Désignant x^ par w, on aura
L'une des racines de cette équation est x^, et l'autre racine est x""':
S ainsi le rapport des deux conducibilités se trouve en multipliant -. par
le carré du logarithme hyperbolique de l'une quelconque des racines de l'équation w^ — yo> -h i = o et divisant le produit par >.^.
SECTION H.
ÉQUATION DU MOUVEMENT VARIÉ DE LA CHALEUR DANS UNE SPHÈRE SOLIDE.
m.
Une masse solide homogène de forme sphérique, ayant été plongée pendant un temps infini dans un milieu entretenu à la température permanente i , est ensuite exposée a l'air qui conserve la température o et qui est déplacé avec une vitesse constante : il s'agit de déterminer les états successifs du corps pendant toute la durée du refroidis- sement.
On désigne par x la distance d'un point quelconque au centre de la sphère, par {^ la température de ce même point après un temps écoulé /; on suppose, pour rendre la question plus générale, que la température initiale, commune a tous les points qui sont placés à la distance x du centre, est différente pour les différentes valeurs de ,r; c'est ce qui aurait lieu si l'immersion ne durait point un temps infini.
Les points du solide, également distants du centre, ne cesseront point d'avoir une température commune; ainsi v est une fonction de x et de t. Lorsqu'on suppose ^ = o, il est nécessaire que la valeur de cette fonction convienne à l'état initial qui est donné, et qui est entiè- rement arbitraire.
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 91
112.
On considérera le mouvement instantané de la chaleur dans une couche infiniment peu épaisse, terminée par les deux surfaces sphé- riques dont les rayons sont x et œ -hdjc : la quantité de chaleur qui, pendant un instant infiniment petit dt, traverse la moindre surface dont le rayon est x, et passe ainsi de la partie du solide qui est plus voisine du centre dans la couche sphérique, est égale au produit de quatre facteurs qui sont la conducibîlité K, la durée r//, l'étendue /|-r'-
de la surface, et le rapport j- pris avec un signe contraire; elle est exprimée par
Pour connaître la quantité de chaleur qui s'écoule pendant le même instant par la seconde surface de la même couche, et passe de cette couche dans la partie du solide qui l'enveloppe, il faut changer, dans l'expression précédente, x en x-\-dx, c'est-a-dire ajouter au terme
— /jK^iT* 7)"^'^ '^ différentiellede ce terme prise par rapport à x. On trouve ainsi
- 4K7:.r» ^ dt - /jKr -^ (jc' ^ ] dx dt, OJo ÔJc \ ox ]
pour l'expression de la quantité de chaleur qui sort de la couche sphé- rique en traversant sa seconde surface; et, si l'on retranche cette quan- tité de celle qui entre par la première surface, on aura
/i Ktû -r- ( r* ^— I dx dt, dx \ ox I
Cette différence est évidemment la quantité de chaleur qui s'accumule dans la couche intermédiaire, et dont l'effet est de faire varier sa tem- pérature.
113.
Le coefficient C désigne ce qu'il faut de chaleur pour élever de la température o à la température i un poids déterminé qui sert d'unilê;
92 THEORIE DE LA CHALELK.
D est le poids de l'unité de volume; l\r.x^ dx est le volume de la couche intermédiaire ou n'en diffère que d'une quantité qui doit être omise : donc l^r.ÇXix^dx est la quantité de chaleur nécessaire pour porter la tranche intermédiaire de la température o a la tempéra- ture I. Il faudra par conséquent diviser la quantité de chaleur qui s'accumule dans cette couche par 4^CDa?^ctr, et l'on trouvera l'ac- croissement de sa température 9 pendant l'instant di. On obtiendra ainsi l'équation
ou
114.
L'équation précédente représente la loi du mouvement de la cha- leur dans l'intérieur du solide; mais les températures des points de la surface sont encore assujetties à une condition particulière qu'il est nécessaire d'exprimer.
Cette condition relative à l'état de la surface peut varier selon la nature des questions que l'on traite; on pourrait supposer, par exemple, qu'après avoir échauffé la sphère et élevé toutes ses molé- cules à la température de l'eau bouillante, on opère le refroidissement en donnant à tous les points de la surface la température o et les rete- nant à cette température par une cause extérieure quelconque. Dans ce cas, on pourrait concevoir que la sphère dont on veut déterminer l'état variable est couverte d'une enveloppe, extrêmement peu épaisse, sur laquelle la cause du refroidissement exerce son action. On suppo- serait : i** que cette enveloppe infiniment mince est adhérente au solide, qu'elle est de la même substance que lui, et qu'elle en fait partie, comme les autres portions de la masse; 2® que toutes les molécules de l'enveloppe sont assujetties à la température o par une cause toujours agissante qui empêche que cette température puisse
CHAPITRE 11. — ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES. 93
i^tre jamais au-dessus ou au-dessous de o. Pour exprimer cette même condition dans le calcul, on doit assujettir la fonction f^, qui contient ^ et /, à devenir nulle lorsqu'on donne à a? sa valeur totale X égale au rayon de la sphère, quelle que soit d'ailleurs la valeur de /• On aurait donc, dans cette hypothèse, en désignant par o{x,t) la fonction de a- et / qui doit donner la valeur de ^, les deux équations
dt ~ Cl) \dx^ "^ œ dxy
m
9(X,/)=o;
de plus, il faut que l'état initial soit représenté par cette même fonc- tion <p(^, t)\ on aura donc, pour seconde condition,
Ainsi l'état variable d'une sphère solide, dans la première hypothèse que nous avons décrite, sera représenté par une fonction ^, qui doit satisfaire aux trois équations précédentes. La première est générale et convient à chaque instant à tous les points de la masse; la seconde affecte les seules molécules de la surface et la troisième n'appartient qu'à l'état initial.
• 115.
Si le solide se refroidit dans l'air, la seconde équation est dille- rente; il faut alors concevoir que l'enveloppe extrêmement mince est retenue, par une cause extérieure, dans un état propre à faire sortir à chaque instant de la sphère une quantité de chaleur égale à celle que la présence du milieu peut lui enlever- Or la quantité de chaleur qui, pendant la durée d'un instant inti- niment petit dt^ s'écoule dans l'intérieur du solide, à travers la surface
sphérique placée à la distance Xy est égale à — ^K'kx- -j-dt; et cette
expression générale est applicable a toutes les valeurs de x. Ainsi, en y supposant a? = X, on connaîtra la quantité de chaleur qui, dans l'élat
9\ THÉORIE DE LA CHALELH.
variable de la sphère, passerait à travers l'enveloppe extrêmement mince qui la termine; d'un autre côté, la surface extérieure du solide ayant une température variable, que nous désignerons par V, laisserait échapper dans l'air une quantité de chaleur proportionnelle à cette température et à l'étendue de la surface, qui est 4"X*. Cette quantité a pour valeur 4/'^X^Vrf/.
Pour exprimer, comme on le suppose, que l'action de l'enveloppe remplace à chaque instant celle qui résulterait de la présence du milieu, il suffit d'égaler la quantité /^/iTzX^y dt à la valeur que
reçoit l'expression K — 4^X* -r-rf/, lorsqu'on donne à or sa valeur totale X; et Ton obtient par là l'équation à- = '— û^ ^*» <l^i ^^'^ avoir lieu lorsque dans les fonctions .- et r on met, au lieu de x, sa valeur X, re que l'on désignera en écrivant
K -r^ -h A \ — o.
«A
116.
11 faut donc que la valeur de —^ prise lorsque ^ = X, ait un rapport
constant — ^ avec la valeur de ('qui répond au même point. Ainsi l'on
supposera que la cause extérieure du refroidissement détermine tou- jours l'état de l'enveloppe extrêmement mince, en sorte que la valeur
de -r- qui résulte de cet état soit proportionnelle à la valeur de v cor- respondante à or = X, et que le rapport constant de ces deux quantités soit — jT • Cette condition étant remplie au moyen d'une cause toujours présente, qui s'oppose à ce que la valeur extrême de -r- soit autre que — 1^ r, l'action de l'enveloppe tiendra lieu de celle de l'air.
Il n'est point nécessaire de supposer que l'enveloppe extérieure soit extrêmement mince et l'on verra par la suite qu'elle pourrait avoir une épaisseur indéfinie. On considère ici cette épaisseur comme infi-
CHAPITRE II. - EQLATIONS DIFFERENTIELLES. î)o
nimont petite, pour ne fixer l'attention que sur l'état de la superfieir
du solide.
117.
Il suit de là que les trois équations qui doivent déterminer la t'ono tion ^(.r, /) ou r sont les suivantes :
K -r^ -H /* V = o, 9(vr, o) =: I.
La première a lieu pour toutes les valeurs possibles de x et de /; In seconde est satisfaite lorsque j? = X, quelle que soit la valeur de /; et la troisième est satisfaite pour / = o, quelle que soit la valeur de a\
On pourrait supposer que, dans l'état initial, toutes les couches sphériques n'ont pas une même température; c'est ce qui arrive néces- sairement, si l'on ne conçoit pas que l'immersion ait duré un temps infini. Dans ce cas, qui est plus général que le précédent, on repré- sentera par F(.r) la fonction donnée, qui exprime la température ini- tiale des molécules placées à la distance x du centre de la sphère; on remplacera alors la troisième équation par celle-ci
9(^,0) i=F(.r).
Il ne reste plus qu'une question purement analytique dont on don- nera la solution dans l'un des Chapitres suivants. Elle consiste :i trouver la valeur de v^ au moyen de la condition générale et des deux conditions particulières auxquelles elle est assujettie.
SECTION 111.
ÉQUATIONS DU MOUV£)IBNT VARIÉ DE LA CHALEUR DANS UN CYLINDRE SOLIDE.
118.
Un cylindre solide, d'une longueur infinie, et dont le côté est per- pendiculaire à la base circulaire, ayant été entièrement plongé dans
96' THÉORIE DE LA CHALEUR.
un liquide dont la température est uniforme, s*est échaufTé successi- vement, en sorte que tous les points également éloignés de Taxe ont acquis la même température; on l'expose ensuite à un courant d'air plus froid; il s'agit de déterminer les températures des différentes couches, après un temps donné.
X désigne le rayon d'une surface cylindrique dont tous les points sont également distants de l'axe; X est le rayon du cylindre; v est la température que les points du solide, situés à la distance x de l'axe, doivent avoir, après qu'il s'est écoulé, depuis le commencement du refroidissement, un temps désigné par /• Ainsi v est une fonction de x et de /; et, si l'on y fait / = o, il est nécessaire que la fonction de x, qui en proviendra, satisfasse à l'état initial qui est arbitraire.
119.
On considérera le mouvement de la chaleur dans une portion infi- niment peu épaisse du cylindre, comprise entre la surface dont le ravon est x et celle dont le ravon est x -h dx. La quantité de chaleur que cette portion reçoit, pendant l'instant cfe, de la partie du solide qu'elle enveloppe, c'est-a-dire la quantité qui traverse pendant ce même temps la surface cylindrique dont le rayon est x^ et à laquelle nous supposons une longueur égale à l'unité, a pour expression
— 2K-a:' -T-dt. Pour trouver la quantité de chaleur qui, traversant la
seconde surface dont le rayon est x + dx^ passe de la couche infini- ment peu épaisse dans la partie du solide qui l'enveloppe, il faut, dans l'expression précédente, changer x eux -h dx^ ou, ce qui est la même
chose, ajouter au terme — ^Kizx^dt la différentielle de ce terme,
prise par rapport à x. Donc la différence de la chaleur reçue à la cha- leur perdue ou la quantité de chaleur qui, s'accumulant dans la couche infiniment petite, détermine les changements de température, est cette même différentielle, prise avec un signe contraire, ou
d
iKizdt
dx
(^©''•^'
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 97
d'un autre côté, le volume de cette couche intermédiaire est ii-rzxdr et aCDro^rfx exprime ce.qu'il faut de chaleur pour l'élever de la tem- pérature o a la température i, C étant la chaleur spécifique, et D la densité; donc le quotient
d
ô
2CD7rx
est l'accroissement que reçoit la température pendant l'instant dt. On obtient ainsi l'équation
^i^ _ K 57 — 0)
^1) \dx^ X dx)
120.
La quantité de chaleur qui traverse, pendant l'instant dt^ la surface cylindrique dont le rayon est x étant généralement exprimée par
iiK-Tzx-T-dt, il s'ensuit que l'on trouvera celle qui sort pendant le
même temps de la superficie du solide en faisant, dans la valeur pré- cédente, ^=:X; d'un autre côté, cette même quantité qui se dissipe dans l'air est, selon le principe de la communication de la chaleur, égale à :iT,\hi>dt\ on doit donc avoir k la surface l'équation déter- minée — K-p = A^. La nature de ces équations est expliquée avec
plus d'étendue, soit dans les articles qui se rapportent à la sphère, soit dans ceux où l'on donne les équations générales pour un corps d'une figure quelconque. La fonction ^, qui représente le mouvement de la chaleur dans un cylindre infini, doit donc satisfaire : i^ A Téquation générale
dt — CD \d^-* "^ X dx ''
qui a lieu quelles que soient x- et /;
F, i3
98 THÉORIE DE LA CHALEUR.
tl" a l'équation déterminée
h dv
qui a lieu, quelle que soit la variable /, lorsque a: = X; 3^ A Téquation déterminée
cette dernière condition doit être remplie pour toutes les valeurs de v, où Ton fait / = o, quelle que soit la variable x. La fonction arbi- traire F(j?) est supposée connue et elle correspond à l'état initial.
SECTION IV.
ÉQUATIONS DU MOUVEMENT UNIFORME DE LA CHALEUR DANS UN PRISME SOLIDE
D*UNE LONGUEUR INFINIE.
121.
Une barre prismatique est plongée par une de ses extrémités dans une source constante de chaleur qui maintient cette extrémité à la température A; le reste de cette barre, dont la longueur est infinie, demeure exposé à un courant uniforme d*air atmosphérique entretenu il la température o; il s'agit de déterminer la plus haute température qu'un point donné de la barre puisse acquérir.
Cette question diffère de celle de l'article 73 en ce qu'on a égard ici à toutes les dimensions du solide, ce qui est nécessaire pour que l'on puisse obtenir une solution exacte. En effet, on est porté à supposer que, dans une barre d'une très petite épaisseur, tous les points d'une même tranche acquièrent des températures sensiblement égales ; cepen- dant il peut rester quelque incertitude sur les résultats de cette suppo- sition. Il est donc préférable de résoudre la question rigoureusement et d'examiner ensuite, par le calcul, jusqu'à quel point et dans quel cas on est fondé ii regarder comme égales les températures des divers points d'une même section.
CHAPITRE IL - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 99
122.
La section faite perpendicuiairement à la longueur de la barre est un carré dont le côté est 2/; Taxe de la barre est Taxe des x et l'origine est à l'extrémité A. Les trois coordonnées rectangulaires d'un point de la barre sont a?, j^, z; la température fixe du même point est désignée par ^.
La question consiste à déterminer les températures que l'on doit donner aux divers points de la barre, pour qu'elles continuent de sub- sister sans aucun changement, tandis que la surface extrême A qui communique avec la source de chaleur demeure assujettie, dans tous ses points, à la température permanente A : ainsi v est une fonction de Xy de v et de z.
123.
On considérera le mouvement de la chaleur dans une molécule pris- matique, comprise entre six plans perpendiculaires aux trois axes des Xy des j et des z. Les trois premiers plans passent par le point m dont les coordonnées sont x^y^ z, et les autres passent par le point m! dont les coordonnées sont x 4- dx^ y h- rfj, z h- dz.
Pour connaître la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, pénètre dans la molécule, à travers le premier plan passant par le point m et perpendiculaire aux a?, il faut considérer que la surface de la molécule qui est située sur ce plan a pour étendue dzdy, et que le flux qui traverse cette aire est égal, suivant le théorème de l'article 98,
à — K j-\ ainsi la molécule reçoit, à travers le rectangle dxdy pas- sant par le point m, une quantité de chaleur exprimée par
Pour trouver la quantité de chaleur qui traverse la face opposée et sort de la molécule, il faut substituer, dans l'expression précédente, x-\-dx à X ou, ce qui est la même chose, ajouter à cette expression sa diffé-
100 THEORIE DE LA CHALEl R.
renlielle prise par rapport à x seulement; on en conclut que la niolé- rulo perd, par sa seconde face perpendiculaire aux *r, une quantité de chaleur équivalente à
— KdzdY^ — K dz dv -c- ( -r^ ) djci ' dx * à.r\ÔJcJ
on doit par conséquent la retrancher de celle qui était entrée par la lace opposée; la différence de ces deux quantités est
Kdzdfdx-^;
elle exprime combien il s'accumule de chaleur dans la molécule, à raison de la propagation suivant le sens des x; et cette chaleur accu- mulée ferait varier la température de la molécule, si elle n'était point compensée par celle qui se perd dans un autre sens.
On trouve, de la même manière, qu'à travers le plan perpendiculaire aux y et passant par le point m, il entre dans la molécule une quan- tité de chaleur égale à
— K.dz dx -7— )
ÔY
et que la quantité qui sort par la face opposée est
— Kdzdjc- Kdz dx d^r- »
ôy ôy
cette dernière différentielle étant prise par rapport à y seulement. Donc la différence de ces deux quantités, ou
K dz dx dy -r— r >
exprime combien la molécule acquiert de chaleur, à raison de la pro- pagation dans le sens des y.
Enfin on démontre de même que la molécule acquiert, à raison de la propagation dans le sens des ;;, une quantité de chaleur égale à
C^* i'
K dx dy dz -r^ •
OZ'
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 101
Op, pour qu'elle ne change point de température, il est nécessaire qu'elle conserve autant de chaleur qu'elle en contenait d'abord, en sorle que ce qu'elle en acquiert dans un sens serve à compenser ce qu'elle en perd dans un autre. Donc la somme des trois quantités de chaleur acquises doit être nulle, et l'on forme ainsi l'équation
()*r d^r d'V _
124.
Il reste maintenant à exprimer les conditions relatives à la surface. Si l'on suppose que le point m appartient h l'une des faces de la barre prismatique et que cette face est perpendiculaire aux 2, on voit que le rectangle dxdy laisse échapper dans l'air, pendant l'unité de temps, une quantité de chaleur égale à
h dx dfV,
en désignant par V la température du point m à la surface, c'est-à-dire ce que devient la fonction cherchée 9(0:, j, s) lorsqu'on fait :; = /, demi-largeur du prisme. D'un autre côté, la quantité de chaleur qui, en vertu de l'action des molécules, traverse pendant l'unité de temps une surface infiniment petite (o, située dans l'intérieur du prisme perpendiculairement aux z^ est, d'après les théorèmes cités, égale ii
— Kw;p- Cette expression est générale et, en l'appliquant aux points
pour lesquels la coordonnée 5 a sa valeur complète /, on en conclut que la quantité de chaleur qui traverse le rectangle dxdy^ placé à la super- ficie, est
— Kdx dy -T-y " dz
en donnant à z dans la fonction ^ sa valeur complète /. Donc les deux quantités ^^^dxdy-^z et hdxdyv doivent être égales, pour que l'ac- tion des molécules convienne avec celle du milieu. Cette égalité doit
102 THÉORIE DE LA CHALEUR.
aussi subsister si l'on donne à z dans les fonctions 3^ et (^ la valeur — /,
oz
ce qui a lieu pour la face opposée à celle que Ton considérait d'abord. De plus, la quantité de chaleur qui traverse une surface plane infini- ment petite (o, perpendiculaire à Taxe des j, étant — Kco-r-;» il s'ensuit
que celle qui s'écoule à travers un rectangle dxdz, placé sur une face du prisme perpendiculaire aux j, est
— Kdxdz-^y ày
on donnant à y dans la fonction -^ sa valeur complète /. Or ce rec- tangle dxdz laisse échapper dans l'air une quantité de chaleur exprimée par
h dx dz V ;
il est donc nécessaire que l'on ait l'équation
/M' HZ— K 3-1
ày lorsqu'on fait y = /, ou y = — /, dans les fonctions r et -^-^ •
ày
125.
La valeur de la fonction s^ doit être, par hypothèse, égale k A lors- qu'on suppose X = 0, quelles que soient les valeurs dey et de z. Ainsi la fonction cherchée s^ est déterminée par les conditions suivantes :
i^ Elle satisfait, pour toutes les valeurs de x, y, s, à l'équation générale
2^ Elle satisfait à l'équation
K ày '
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 103
lorsque V équivaut à /, ou à — /, quelles que soient x et z, et à l'équa- tion
h dv
lorsque z équivaut à /, ou à — /, quelles que soient a? et v; 3" Elle satisfait à Féquation
r = A, lorsque a? = o, quelles que soient j et z.
SECTION V.
ÉQUATIONS DU MOUVEMENT VARIÉ DE LA CHALEUR DANS UN CUBE SOLIDK.
126.
Un solide de forme cubique dont tous les points ont acquis une même température est placé dans un courant uniforme d'air atmosphé- rique, entretenu à la température o. II s'agit de déterminer les états successifs du corps pendant toute la durée du refroidissement.
Le centre du cube est pris pour origine des coordonnées rectangu- laires; les trois perpendiculaires abaissées de ce point sur les faces sont les axes des a?, des j^ et des 5 ; 2/ est le côté du cube, s^ est la tem- pérature à laquelle un point dont les coordonnées sont x, y^ z se trouve abaissé après le temps t qui s'est écoulé depuis le commencement du refroidissement : la question consiste à déterminer la fonction r, qui contient x, j, :; et t.
127.
Pour former l'équation générale à laquelle v doit satisfaire, on cher- chera quel est le changement de température qu'une portion infiniment petite du solide doit éprouver pendant l'instant dt, en vertu de l'action des molécules qui en sont extrêmement voisines. On considérera donc- une molécule prismatique comprise entre six plans rectangulaires; les trois premiers passent par le point m dont les coordonnées sont x, y.
lOV THEORIE DE LA CHALEUR.
z, et les trois autres par le point m! dont les coordonnées sont x -\- dx^ y -h r/y, z 4- dz,
La quantité de chaleur qui pénètre pendant Tinstant dt dans la molé- cule, à travers le premier rectangle dydz perpendiculaire aux x^ est
— Kdf.dz — dt,
et celle qui sort dans le même temps de la molécule, par la face opposée, se trouve en mettant x 4- dx au lieu de x dans l'expression précédente; elle est
{^f (Je
— K dy dz — dt — Kdy dzd ^ dt,
cette différentielle étant prise par rapport à x seulement. La quantité de chaleur qui entre pendant l'instant dt dans la molécule, à travers le premier rectangle dxdz perpendiculaire à Taxe des j, est
— - K dx dz -r— dt, ov
et celle qui sort de la molécule, dans le même instant, par la face opposée, est
— K djc dz -T- dt — K dœ dz d-^-dt,
a y or
h\ différentielle étant prise par rapport à y seulement. La quantité de chaleur que la molécule reçoit pendant l'instant dt, par sa face infé- rieure perpendiculaire a l'axe des z, est
— K d.v dy -^ dt
' dz
et celle qu'elle perd par la face opposée est
— l^dx dy -j^dt — Kdxdyd— dt,
uz (Jz
la différentielle étant prise par rapport à z seulement.
Il faut maintenant retrancher la somme de toutes les quantités de
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 105
chaleur qui sortent de la molécule de la somme des quantités qu*ello reçoit, et la différence est ce qui détermine son accroissement de tem- pérature pendant un instant : cette différence est
Kdydzd^r-'dt-^Kclxdzd-r-dt-hKdxdyd-^dt ôjc dy ^ dz
ou
Kdrdydz(^^^^-^,-^-^Jdt.
128.
Si Ton divise la quantité que l'on vient de trouver par celle qui esl nécessaire pour élever la molécule de la température o à la tempéra- ture I, on connaîtra l'accroissement de température qui s'opërc pen- dant l'instant dt. Or cette dernière quantité est CD dxdydz; car C désigne la capacité de chaleur de la substance, D sa densité et dœdydz le volume de la molécule. On a donc, pour exprimer le mouvement dr la chaleur dans l'intérieur du solide, l'équation
^^ dt "" CD V<?a?* "^ dy^ "^ dz^y
129.
Il reste à former les équations qui se rapportent à l'état de la sur- face, ce qui ne présente aucune difficulté d'après les principes que nous avons établis. En effet, la quantité de chaleur qui traverse, pen- dant l'instant dt, le rectangle dxdy tracé sur un plan perpendiculaire aux or, est
— Kdydz-j- dt.
Ce résultat, qui s'applique à tous les points du solide, doit avoir lieu
aussi lorsque la valeur de x est égale à /, demi-épaisseur du prisme.
Dans ce dernier cas, le rectangle dydz étant placé à la superficie, la
quantité de chaleur qui le traverse et se dissipe dans l'air pendant F. i4
106 THÉORIE DE LA CHALEUR.
rinstant dt est exprimée par
h dy dz vdt;
on doit donc avoir, lorsque ^ = /, Téquation
dr
hv = -K
djc
(]ette condition doit aussi être satisfaite lorsque jc = — /.
On trouvera de même que, la quantité de chaleur qui traverse le rectangle dxdz situé sur un plan perpendiculaire k Taxe des y étant
en général .
— K dx dz -r- >
et celle qui à la superficie s'échappe dans l'air à travers ce même rec- tangle étant
h dx dz V dty
il est nécessaire que l'on ait l'équation
At' 4- K ^- = G,
lorsquey = /ou = — /. Enfin on obtient pareillement l'équation déter- minée
hç -h K -T- =0, oz
qui doit être satisfaite lorsque s = / ou = — /.
130.
La fonction cherchée, qui exprime le mouvement varié de la chaleur dans l'intérieur d'un solide de forme cubique, doit donc être déter- minée par les conditions suivantes :
I® Elle satisfait à l'équation générale
ôt "^ C D \dx* ^'dy^^ dz'')'
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 107
1^ Elle satisfait aux trois équations déterminées
/H' 4- K rr— == o> ^t' -h K -T- i=z o, /ip H- K ,,- =io,
ax à y dz
V
qui ont lieu lorsque a7 = =h/, y = ±1, z = =t l;
3** Si, dans la fonction v qui contient ^, y, z, t, on fait / = o, quelles que soient les valeurs de x, y et z, on doit avoir, selon l'hypo- thèse,
qui est la valeur initiale et commune de la température.
131.
L'équation à laquelle on est parvenu dans la question précédente représente le mouvement de la chaleur dans l'intérieur de tous les solides. Quelle que soit en effet la forme du corps, il est manifeste qu'en le décomposant en molécules prismatiques on obtiendra ce même résultat. On pourrait donc se borner à démontrer ainsi l'équa- tion de la propagation de la chaleur. Mais, afin de rendre plus com- plète l'exposition des principes, et pour que l'on trouve rassemblés dans un petit nombre d'articles consécutifs les théorèmes qui servent à établir l'équation générale de la propagation dans l'intérieur des solides et celle qui se rapporte à l'état de la surface, nous procéde- rons, dans les deux Sections suivantes, a la recherche de ces équations, indépendamment de toute question particulière et sans recourir aux propositions élémentaires que nous avons expliquées dans l'Introduc- tion.
SECTION VI.
ÉQUATION GÉNÉRALE DE LA PROPAGATION DE LA CHALEUR DANS L'iNTÉRIëUR DES SOLIDES.
132.
Théorème I. — Si les différents points d'une masse solide homogène, comprise entre six plans rectangulaires, ont des températures actuelles
108 THÉORIE DE LA CHALEUR.
déterminées par l'équation linéaire
m
(a) {' =^ k — ax — by — cz
et si les molécules placées à la surface extérieure sur les six plans qui ter- minent le prisme sont retenues par une cause quelconque à la température exprimée par l'équation (a), toutes les molécules situées dans l'intérieur de la masse conserveront d'eUes-mêmes leur température actuelle, en sorte quil ne surviendra aucun changement dans l'état du prisme, (ç' désigne la tem- pérature actuelle du point dont les coordonnées sont â?, y, z; A, a, 6, c sont des coefficients constants.)
Pour démontrer cette proposition» considérons dans le solide trois points quelconques m. M, [x, placés sur une même droite m(x que le point M divise en deux parties égales; désignons par x, y, z les coor- données du point m et par v sa température, par o^-f-a, j-h^, z -hy les coordonnées du point (x et par iv sa température, par ^ — a, y — ^, :? — Y les coordonnées du point m et par u sa température; on aura
i' = A — ax — by — cz^
«' = A — a(a: -f- a) — 6(/ -h (3) — c(;; 4- y), u—k'-a{a:—a) — b{y — ^) — c{Z'-y);
d'où l'on conclut
i' — tv=: aa -h 6(3 4- cj/ et u — i^ = «a -h 6^ -+- cy.
Donc
V — IIP = f/ — i\
Or la quantité de chaleur qu'un point reçoit d'un autre dépend de la distance des deux points et de la différence de leurs températures. Donc l'action du point M sur le point (x est égale à l'action de m sur M ; ainsi le point M reçoit autant de chaleur de m qu'il en envoie au point [X.
On tirera la même conséquence quelles que soient la direction et la grandeur de la ligne qui passerait par le point M, et que ce point divi- serait en deux parties égales. Donc il est impossible que ce point
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 109
change de température; car il reçoit de toutes parts autant de chaleur qu'il ert donne. Le même raisonnement s'applique aux autres points; donc il ne pourra survenir aucun changement dans l'état du solide.
133.
Corollaire I.
Un solide étant compris entre deux plans infinis parallèles  et B, on suppose que la température actuelle de ses différents points est exprimée par l'équation i^ = i — z, et que les deux plans qui le ter- minent sont retenus par une cause quelconque, l'une A k la tempéra- ture 1 , et l'autre B à la température o : ce cas particulier sera donc compris dans le lemme précédent, en faisant A = r, a = o, 6 = o, r = I.
134.
Corollaire II.
Si Ton se représente dans l'intérieur du même solide un plan M parallèle a ceux qui le terminent, on voit qu'il s'écoule à travers ce plan une certaine quantité de chaleur pendant l'unité de jtemps; car deux points très voisins, tels que m et n, dont l'un est au-dessous du plan et l'autre au-dessus, sont inégalement échauffés; le premier, dont la température est plus élevée, doit donc envoyer au second, pendant chaque instant, une certaine quantité de chaleur qui, au reste, peut être fort petite et même insensible, selon la nature du corps et la dis- tance des deux molécules. Il en est de même de deux autres points quelconques séparés par le plan. Le plus échauffé envoie à l'autre une certaine quantité de chaleur et la somme de ces actions partielles, ou de toutes les quantités de chaleur envoyées à travers le plan, compose un flux continuel dont la valeur ne change point, puisque toutes les molécules conservent leur température. 11 est facile de prouver que ce /lux ou la quantité de chaleur qui trai^erse le plan M pendant V unité de temps équivaut à celle qui traverse, pendant le même temps, un autre
110 THEORIE DE LA CHALEUR.
plan ^ parallèle au premier. En effet, la partie de la masse qui est com- prise entre les deux surfaces M et N recevra continuellement, à tra- vers le plan M, autant de chaleur qu'elle en perd à travers le plan N. Si la quantité de chaleur qui, pénétrant au delà du plan M, entre dans la partie de la masse que l'on considère n'était point égale à celle qui en sort par la surface opposée N, le solide compris entre les deux sur- faces acquerrait une nouvelle chaleur ou perdrait une partie de celle qu'il a, et ses températures ne seraient point constantes, ce qui est con- traire au lemme précédent.
135.
On prend pour mesure de la conducibilité spécifique d'une substance donnée la quantité de chaleur qui, dans un solide infini formé de cette substance et compris entre deux plans parallèles, s'écoule pendant l'unité de temps à travers une surface égale à l'unité, et prise sur un plan intermédiaire quelconque parallèle aux plans extérieurs, dont la distance est égale h l'unité de mesure, et dont l'un est entretenu à la température i, et l'autre k la température o. On désigne par le coef- ficient K ce flux constant de chaleur qui traverse toute l'étendue du prisme et qui est la mesure de la conducibilité.
136.
JLEMME.
Si ion suppose que toutes les températures du solide dont il s* agit dans r article précédent sont multipliées par un nombre quelconque g^ en sorte que l* équation des températures soit k' =z g — gz^ au lieu d'être ç^ = i — s, et si les deux plans extérieurs sont entretenus, l'un à la température g^ et l'autre à la température o, le flux constant de chaleur^ dans cette seconde hypothèse^ ou la quantité qui, pendant l'unité de temps, traverse l'uiiité de sur/ace prise sur un plan intermédiaire parallèle aux bases, est égale au premier flux K, multiplié par g.
En effet, puisque toutes les températures ont été augmentées dans
CHAPITRE IL- ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 111
le rapport de i 'à g, les différences des températures des deux points quelconques m et (x sont augmentées dans le même rapport. Donc, suivant le principe de la communication de la chaleur, il faut, pour connaître la quantité de chaleur que m envoie à pi dans la seconde hypothèse, multiplier par g la quantité que ce point m envoyait à (x dans la première. Il en serait de même de deux autres points quel- conques. Or la quantité de chaleur qui traverse un plan M résulte de la somme de toutes les actions que les points m, m\ m", m!\ . . . situés d'un même côté du plan exercent sur les points (jl, pi', pi", (x'', ... situés de l'autre côté. Donc, si dans la première hypothèse le flux constant est désigné par K, il sera égal à g^K lorsqu'on aura multiplié toutes les températures par g.
137.
Théorème II.
Dans un prisme dont les températures constantes sont exprimées par
r équation
r = A — ax — by — cz,
et que terminent six plans rectangulaires dont tous les points sont entre- tenus aux températures déterminées par l'équation précédente , la quantité de chaleur qui i pendant l'unité de temps, traverse l'unité de surface y prise sur un plan intermédiaire quelconque perpendiculaire aux z, est la même que le flux constant dans un solide de même substance, qui serait compris entre deux plans parallèles infinis, et pour lequel C équation des tempéra- tures constantes serait
{>=^C — cz.
Pour le démontrer, considérons, dans le prisme et ensuite dans le solide infini, deux points m et [^ extrêmement voisins et séparés par le plan M perpendiculaire à l'axe des z, (x étant au-dessus du plan et m au-dessous {flg. /j); choisissons au-dessous du même plan un point m' tel que la perpendiculaire abaissée du point jx sur le plan soit aussi perpendiculaire sur le milieu h de la distance mm\ Désignons para-,
112 THÉORIE DE LA CHALEUR.
r, z + h les coordonnées du point (x dont la température est tv, par ,r — a, j^ — p, z les coordonnées de m dont la température est v, ot par a: -h a, y -t- p, 5 les coordonnées de m! dont la température est r'.
Flç. 4.
m h m'
L'action de m sur [jl ou la quantité de chaleur que m envoie à (i. pen- dant un certain temps peut être exprimée par q[{f — w). Le facteur q dépend de la distance /n(x et de la nature de la masse. L'action de m' sur (x sera donc exprimée par q[^' — w^); et le facteur q est le même que dans Texpression précédente; donc la somme des deux actions de m sur [x et de rnf sur [jl, ou la quantité de chaleur que (x reçoit de m et de m\ est exprimée par
Or, si les points m, [l, m' appartiennent au prisme, on a
tr ==: A — ajc — ùy — c{z -\- h),
V = A — a{a: — a) — b{y — j3) — cz,
i'' = A — a(a7 -ha) — ^(j-h j3) — cg;
et si ces mêmes points appartenaient au solide infini, on aurait, par hypothèse,
fVziz c — c{z -+- h)y
V' =: C — CZ,
Dans le premier cas on trouve
et dans le second cas on a encore le même résultat. Donc la quantité
CHAPITRE II.- ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 113
(le chaleur que [/. reçoit de m et de m' dans la première hypothèse, lorsque Téquation des températures constantes est
t' = A — ax — bv — cz,
équivaut à la quantité de chaleur que [/. reçoit de m et de m\ lorsque l'équation des températures constantes est
On tirerait la même conséquence par rapport à trois autres points quelconques m', [jl', m", pourvu que le second ]s! fut placé à égale dis- tance des deux autres et que la hauteur du triangle isoscèle m'\)Jm!' fût parallèle aux z. Or la quantité de chaleur qui traverse un plan quelconque M résulte de la somme des actions que tous les points m, m^m!\ nT^ ... situés d'un côté de ce plan exercent sur tous les points [x, jjl', jjl", [jl"', . . . situés de l'autre côté : donc le flux constant qui, pendant l'unité de temps, traverse une partie déterminée du plan M dans lo solide infmi est égale à la quantité de chaleur qui s'écoule dans le même tempis à travers la même portion du plan M dans le prisme dont les températures sont exprimées par l'équation
r = A — ax — hy — cz.
438.
Corollaire.
Le flux a pour valeur cK dans le solide inflni, lorsque la partie du plan qu'il traverse est l'unité de surface. lia donc aussi dans le prisme
la même valeur cK o/^ — K -r- •
ôz
On prouve de la même manière que le flux constant qui a lieu, pen- dant l'unité de temps, dans le même prisme à travers V unité de surface
sur un plan quelconque perpendiculaire aux y est égal à bK ou — ^"ÂZ'y
et que celui qui traverse le plan perpendiculaire aux x a pour valeur a K
,^ ôv ou — K 3- •
ox
F, l '^
lit THÉORIE DE LA CHALEUR.
139.
Les propositions que l'on a démontrées dans les articles précédents s'appliquent aussi au cas où l'action instantanée d'une molécule s'exer- cerait dans l'intérieur de la masse, jusqu'à une distance appréciable. Il faut, dans ce cas, supposer que la cause qui retient les tranches exté- rieures des corps dans l'état exprimé par l'équation linéaire affecte la masse jusqu'à une profondeur finie. Toutes les observations concourent à prouver que, dans les solides et les liquides, la distance dont il s'agit est extrêmement petite.
140.
Théorème III.
Si les températures des points d'un solide sont exprimées par l'équa- tion
dans laquelle x, y^ z sont les coordonnées de la molécule dont la tem- pérature est égale à v après le temps écoulé t, le flux de chaleur qui traverse une partie d'un plan tracé dans le solide, et perpendiculaire à l'un des trois axes, n'est plus constant; sa valeur est différente pour les différentes parties du plan, et elle varie aussi avec le temps. Cette quantité variable peut être déterminée par le calcul.
Soit co un cercle infiniment petit dont le centre coïncide avec le point m du solide et dont le plan soit perpendiculaire à la coordonnée verticale z\ il s'écoulera, pendant l'instant^/, à travers ce cercle, une certaine quantité de chaleur qui passera de la partie du solide infé- rieure au plan du cercle dans la partie supérieure. Ce flux se compose de tous les rayons de chaleur qui partent d'un point inférieur et par- viennent à un point supérieur, en traversant un point de la petite sur- face (o. Nous allons démontrer que la vakur du flux a pour expression
oz Désignons par x\ y\ z' les coordonnées du point m dont la tempéra-
CHAPITRE IL — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 115
ture est ^'; et supposons que Ton rapporte toutes les autres molécules à ce point m choisi pour l'origine de trois nouveaux axes parallèles aux précédents; soient Ç, y), X, les trois coordonnées d'un point rapporté à l'origine m\ on aura, pour exprimer la température actuelle w d'une molécule infiniment voisine de m, l'équation linéaire
Les coefficients i^\ -.— > -y- y ^ sont les valeurs que l'on trouve en sub-
dr dv az ^
stituant dans les fonctions f^, ^> -r-y ^> aux variables x, y, z, les
quantités constantes x\ y\ z' qui mesurent les distances du point m aux trois premiers axes des x, des y, des z.
Supposons maintenant que le même point m soit aussi une molécule intérieure d'un prisme rectangulaire compris entre six plans perpen- diculaires aux trois axes dont m est l'origine; que la température actuelle w de chaque molécule de ce prisme, dont les dimensions sont finies, soit exprimée par l'équation linéaire w = A -ha^-hbri-hct, et que les six faces qui terminent le prisme soient retenues aux tem- pératures fixes que cette dernière équation leur assigne. L'état des molécules intérieures sera aussi permanent et il s'écoulera, pendant l'instant dt, à travers le cercle (o, une quantité de chaleur que mesure l'expression — Kc(i)dt.
Cela posé, si l'on prend pour les valeurs des constantes A, a, b, r,
les quantités r, ^' x"» tst» 1 ^^^^ "^^ du prisme sera exprime par l'équation
Ainsi les molécules infiniment voisines du point m auront, pendant l'instant dt^ la même température actuelle dans le solide dont l'état est variable, et dans le prisme dont l'état est constant. Donc le flux qui a lieu au point m pendant l'instant di, à travers le cercle infi-
116 THEORIE DE LA CHALEUR.
niment petit o), est le même dans l'un et l'autre solide : donc il est exprime par — K -p o) rf/.
On en conclut la proposition suivante :
Si dans un solide dont les températures intérieures varient avec le temps , en i^ertu de l* action des molécules, on trace une ligne droite quelconque et que l'on élevé [fig* 5), aux différents points de cette ligne, les ordon-
Fig. 5.
m
m
V
y *
y
V
G
nées pm d'une courbe plane égales aux températures de ces points prises au même instant, le flux de chaleur, en chaque point p de la droite, sera oroportionnel à la tangente de V angle ol que fait l'élément de la courbe avec la parallèle aux abscisses; c'est-à-dire que, si Ton plaçait au point/? le centre d'un cercle infiniment petit (o perpendiculaire k la ligne, la quantité de chaleur écoulée pendant un instant dt^ à travers ce cercle, dans le sens suivant lequel les abscisses Op croissent, aurait pour mesure le produit de quatre facteurs qui sont la tangente de l'angle a, un coefficient constant K, l'aire co du cercle et la durée dt de l'instant*
141.
Corollaire.
Si l'on représente par e l'abscisse de cette courbe ou la distance d'un point/) de la droite à un point fixe 0, et par v l'ordonnée qui représente la température du point/?, v variera avec la distance £ et sera une certaine fonction/(£) de cette distance; la quantité de cha-
CHAPITRE II.— ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 117
leur qui s'écoulerait à travers le cercle w, placé au point/? perpendi- culairement à la ligne, sera
dv
— K-7-wc^/ ou —K/'{£)(M>dt,
en désignant par /"(e) la fonction , -
Nous donnerons à ce résultat l'expression suivante, qui facilite les applications :
Pour connaître le fUix ax^tuel de la chaleur en un point p d'une droite tracée dans un solide dont les températures varient par V action des mole- rides, il faut diviser la différence des températures de deux points infi- niment voisins du point p par la distance de ces points. Le flux est propor- tionnel au quotient (' ).
\^^) Plus exactement il est égal à ce quotient multiplié par — Kw^/, K désignant tou- jours le coefficient de conductibilité et &> la surface de Télément normal à la droite.
En déduisant les conséquences de cette règle, Fourier aurait pu simplifier son exposition et éviter quelques incertitudes que nous signalerons plus loin.
Supposons, en effet, que l'on se propose de trouver le flux de chaleur qui s'écoule à tra- vers un élément «>> dont la normale prise dans un sens déterminé fait avec les axes coor- donnés les angles a, p, y. Soient x, r, z les coordonnées d'un point do l'élément; si nous nous déplaçons suivant la normale en parcourant une longueur infiniment petite ^.r, nous aurons évidemment, pour les différentielles de x^ r, z^ les valeurs
(Le = ds cos z, dr = ds cos p, dz = ds cosy
et, par conséquent,
dv = rr dv -h -r- dy -h rr dz =: dv l - cosa -f- -— cos [5 -f- -r- cosy J . dx df ^ àz \ùx Oj ' dz '/
Le flux de chaleur étant, d après la règle de Fourier,
— K<a~rdi d^
aura donc pour expression
— Kw rt/ ( — cos X -H T- cosp H- -r- cosy I .
Si Ton introduit la notion, aujourd'hui bien répandue, de la dérivée d'une fonction de point relative à une direction donnée, la règle de Fourier s'énonce ainsi :
Le flux de chaleur est égal et de signe contraire aa produit de Ko) dt par la dérivée de la température par rapport à la normale à l'élément, à l'instant considéré, G. D.
118 THEORIE DE LA CHALELU.
142.
Théorème IV.
Il est facile de déduire des théorèmes précédents les équations géné- rales de la propagation de la chaleur.
Supposons que les différents points d'un solide homogène d^ une forme quelconque aient reçu des températures initiales qui varient successivement par V effet de V action mutuelle des molécules et que l'équation
représente les états successifs du solide, on va démontrer que la fonction r de quatre variables satisfait nécessairement à l'équation
Kn effet, considérons le mouvement de la chaleur dans une molé- cule comprise entre six plans perpendiculaires aux axes des a?, des y et des :;; les trois premiers de ces plans passent par le point m dont les coordonnées sont a:, j, s et les trois autres passent par le point m' dont les coordonnées sont a? h- da:, y -h dy, z -+- dz.
La molécule reçoit pendant l'instant <//, a travers le rectangle infé- rieur dxdy qui passe par le point m, une quantité de chaleur égale à
— K d.r dy-r-dt. •^ dz
Pour connaître la quantité qui sort de la molécule par la face opposée, il suffit de changer dans l'expression précédente z en z-^dz^ c'est- à-dire d'ajouter à cette expression sa propre différentielle prise par rapport à z seulement; on aura donc
— K dx df -^dt — K dx dy -y- ( -^j dz dt
pour la valeur de la quantité qui sort a travers le rectangle supérieur.
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 119
La même molécule reçoit encore, à travers le premier rectangle dxdz qui passe par le point m^ une quantité de chaleur égale à
— K-~dx dzdl:
ÔY
et, si l'on ajoute à celte expression sa propre différentielle prise par rapport à j seulement, on trouve que la quantité qui sort à travers la face opposée dxdz a pour expression
- K -^dx dzdt ^k4-(^\ dydxdz dt,
ày ày\dyj '^
Enfin celle molécule reçoit, par le premier rectangle dydz^ une quantité de chaleur égale à
wr àv , , ,
et ce qu'elle perd à travers le rectangle opposé qui passe par m a pour expression
— K -^ dy dz dt — K -r— ( -r— J dx dy dz dt.
Il faut maintenant prendre la somme des quantités de chaleur quc^ la molécule reçoit et en retrancher la somme de celles qu'elle perd. On voit par là qu'il s'accumule, durant l'instant dt^ dans l'intérieur de cette molécule, une quantité totale de chaleur égale à
Il ne s'agit plus que de connaître quel est raccroissement de tempéra- ture qui doit résulter de celte addition de chaleur.
D étant la densité du solide ou le poids de l'unité de volume, et C la [capacité spécifique ou la quantité de chaleur qui élève l'unité de poids de la température o a la température i, le produit CDdxdydz exprime, combien il faut de chaleur pour élever de o k i la molécule lont le volume est dxdydz. Donc, en divisant par ce produit la nou-
(
{
1-20 THEORIE DE LA CHALEUR.
velle quantité de chaleur que la molécule vient d'acquérir, on aura son accroissement de température. On obtient ainsi l'équation générale
^ ' ât ~ Cl) \djc^ "^ dy' "^ dz^
qui est celle de la propagation de la chaleur dans Tintérieur de tous les corps solides (*).
143.
Indépendamment de cette équation, le système des températures est souvent assujetti à plusieurs conditions déterminées, dont on ne peut donner une expression générale, puisqu'elles dépendent de Tespèce de la question.
Si la masse dans laquelle la chaleur se propage a des dimensions finies et si la superficie est retenue par une cause spéciale dans un état donné; par exemple, si tous ses points conservent, en vertu de cette cause, la température constante o, on aura, en désignant la fonction inconnue ^ par ^{x,y, z,t), l'équation de condition
il est nécessaire qu'elle soit satisfaite pour toutes les valeurs de x^y, z qui appartiennent aux points de la surface extérieure et pour une valeur quelconque de t.
De plus, si l'on suppose que les températures initiales du corps sont exprimées par la fonction connue F(.r, j, z), on a aussi l'équation
la condition exprimée par cette équation doit être remplie pour les
(^) Il y a ici une remarque à présenter. Les raisonnemenls par lesquels Fourier a éubli son équation supposent tacitement que le corps solide jouit de propriétés que nous expri- mons aujourd'hui en disant que le corps est isotrope, au reste, c'est on suivant 6^ méthode que ses successeurs Duhamel et Lamé ont trouvé les équutions différentielles de la propa- gation de la chaleur dans les milieux cristallisés. G. D.
CHAPITRE IL— ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 121
valeurs des coordonnées x^ r, z qui conviennent à un point quel- conque du solide.
144.
Au lieu d'assujettir la surface du corps à une température con- stante» on peut supposer que cette température n'est pas la même pour les différents points de la surface et qu'elle varie avec le temps suivant une loi donnée; c'est ce qui a lieu dans la question des tempé- ratures terrestres. Dans ce cas, l'équation relative à la surface contient la variable /.
145.
Pour examiner en elle-même et sous un point de vue très général la question de la propagation de la chaleur, il faut supposer que le solide dont l'état initial est donné a toutes ses dimensions infinies; alors aucune condition spéciale ne trouble la diffusion de la chaleur et la loi à laquelle ce principe est soumis devient plus manifeste : elle est exprimée par l'équation générale
à laquelle il faut joindre celle qui se rapporte à l'état initial et arbi- traire du solide.
Supposons que la température initiale d'une molécule dont les coor- données sont X, y, z soit une fonction connue Y[x,y, z) et désignons la valeur inconnue v par ç(jr, y, :?,/), on aura l'équation déterminée
ainsi la question est réduite à intégrer l'équation générale (A) en sorte qu'elle convienne, lorsque le temps est nul, avec l'équation qui con- tient la fonction arbitraire F.
F. i6
122 THÉORIE DE LA CHALEUR.
SECTION VII.
ÉQUATION GÉNÉRALE RELATIVE A LA SURFACE.
146.
Si le solide a une forme déterminée, et si la chaleur primitive se dissipe successivement dans l'air atmosphérique entretenu à une tem- pérature constante, il faut ajouter à l'équation générale (A) et à celle qui représente l'état initial une troisième condition relative à l'état de la surface. Nous allons examiner dans les articles suivants la nature de l'équation qui exprime cette dernière condition.
Considérons l'état variable d'un solide dont la chaleur se dissipe dans l'air, entretenu à une température fixe o. Soient (o une partie infi- niment petite de la surface extérieure et [a un point de (o, par lequel on fait passer une normale à la surface; les difierents points de cette ligne ont au même instant des températures différentes.
Soient {^ la température actuelle du point [x, prise pour un instant déterminé, et w la température correspondante d'un point v du solide, pris sur la normale et distant du point [a d'une quantité infiniment petite a. Désignons par x, y, z les coordonnées du point (x et par X -+- 8x, y -h ofj z -h 8z celles du point v; soient
l'équation connue de la surface du solide, et
l'équation. générale qui doit donner la valeur de i^ en fonction des quatre variables x, j, z, t. En différentiant l'équation /{x,y, z) = o, on aura
m dx -h n dy -h p dz =z o ;
m
m, n, p sont des fonctions de ^, y, z.
CHAPITRE IL ~ ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 123
Il résulte du corollaire énoncé dans l'article 141 que le flux dans le sens de la normale, ou la quantité de chaleur qui traverserait pendant riustant dt la surface co, si on la plaçait en un point quelconque de cette ligne perpendiculairement à sa direction, est proportionnel au quotient que Ton obtient en divisant la différence de température do deux points infiniment voisins par leur distance. Donc l'expression de ce flux à l'extrémité de la normale est
W — V
— K w dty
K désignant la conducibilité spécifique de la masse. D'un autre côté, la surface co laisse échapper dans l'air, pendant l'instant dt^ une quan- tité de chaleur égale à
h étant la conducibilité relative à l'air atmosphérique. Ainsi le flux de chaleur à l'extrémité de la normale a deux expressions différentes,
savoir : hvd} rf/ et — K ^^"~ o)rf/; donc ces deux quantités sont égales,
et c'est en exprimant cette égalité que l'on introduira dans le calcul la condition relative à la surface.
147.
On a
5, dv ^ dv ^ dv ^
Ox ôy *^ az
Or il suit des principes de la Géométrie que les coordonnées Sa?, Sj, cz, qui fixent la position du point v de la normale par rapport au point [iL, satisfont aux conditions suivantes :
On a donc
(V
pdjc =1 m Sz, pdyzzzn dz.
12V THÉORIE DE LA CHALEUR.
on a aussi
r OU
P
en désignant par q la quantité (w^ -h n^-hp^)' ; donc
a \ djc dy àzjq^
par conséquent l'égalité
hv (,)dl^=: — K ( ](M)dt
devient la suivante :
^, di* (?!' ^i' h
âx ôv az K
Cette équation est déterminée et ne s'applique qu'aux points de la sur- face; elle est celle que l'on doit joindre à l'équation générale de la propagation de la chaleur (A) et à la condition qui détermine l'étal initial du solide ; m, n, p, q sont des fonctions connues des coordonnées des points de la surface.
148.
L'équation (B) signifie, en général, que le décroissement de la tem- pérature dans le sens de la normale, à l'extrémité du solide, est tel que la quantité de chaleur qui tend à sortir en vertu de l'action des
(H II va ici une remarque essentielle à faire. L*équation
p ^ ^
n'est exacte dans tous les cas que si l'on convient de donner un signe convenable au
radical
1
La valeur de $z étant parfaitement déterminée quand on passe du point u au point v el a étant la distance des deux points u et v, il faudra donner au radical un signe tel que la valeur de a soit positive. Au reste nous reviendrons plus loin sur ce sujet. G. 1).
CHAPITRE IL - EQUATIONS DIFFERENTIELLES. 123
molécules équivaut toujours a celle que le corps doit prendre dans le milieu.
On pourrait concevoir que la masse du solide soit prolongée, en sorte que la surface, au lieu d'être exposée à Tair, appartienne à la fois au corps qu'elle termine et à une enveloppe solide qui le contient. Si, dans cette hypothèse, une cause quelconque réglait à chaque instant le décroissement des températures dans Tenveloppe solide et la déter- minait de manière que la condition exprimée par l'équation (B) fût toujours satisfaite, l'action de l'enveloppe tiendrait lieu de celle de l'air, et le mouvement de la chaleur serait le même dans l'un et l'autre cas; on peut donc supposer que cette cause existe et déterminer, dans cette hypothèse, l'état variable du solide : c'est ce que l'on fait en employant les deux équations (A) et (B).
On voit par là comment l'interruption de la masse et l'action du milieu troublent la diffusion de la chaleur en l'assujettissant à une condition accidentelle.
i49.
On peut aussi considérer sous un autre point de vu^ cette équa- tion (B) qui se rapporte à l'état de la surface; il faut auparavant déduire une conséquence remarquable du théorème III (art. 140). Nous conserverons la construction rapportée dans le corollaire du même théorème (art. 141). Soient x,y, z les coordonnées du point /> et
celles d'un point q, infiniment voisin dep et marqué sur la droite dont il s'agit. Désignons par ç^ et w les températures des deux points /> et g prises pour le même instant; on aura
ôx dy '^ âz
^
donc le quotient t- est donné par l'équation
de
$if di^ èx di^ à y ()v oz
— ' * + -;- T-
de dx de dy àe âz as
126 THÉORIE DE LA CHALEUR.
oi Ton a d'ailleurs
ainsi la quantité de chaleur qui s'écoule à travers la surface a>, placée au point m perpendiculairement à la droite, est
\(7vP 0£ aj' Oe (75 Oc/
Le premier terme est le produit de — Ky parcfe et par oj-^- Cette
dernière quantité est, d'après les principes de la Géométrie, Taire de la projection de (o sur le plan des j^s; ainsi le produit représente la quantité de chaleur qui s'écoulerait à travers l'aire de la projection, si on la plaçait au point/? perpendiculairement à l'axe des x.
Le second terme — K-pCo^*^^ représente la quantité de chaleur
qui traverserait la projection de co, faite sur le plan des xz^ si l'on pla- çait cette projection au point/? parallèlement à elle-mênae.
Enfin, le troisième terme — K-r^co — rf/ représente la quantité de
chaleur qui s'écoulerait pendant l'instant dty à travers la projection de co sur le plan des xy^ si l'on plaçait cette projection au point p per- pendiculairement à la coordonnée z.
On voit par là que la quantité de chaleur qui s'écoule à tras^ers chaque partie infiniment petite d'une surface tmcée dans l'intérieur du solide peut toujours être décomposée en trois autres , qui pénétrent les trois projections orthogonales de la surface selon les directions perpendiculaires aux plans des projections. Ce résultat donne naissance à des propriétés analogues à celles que l'on remarque dans la théorie des forces.
150.
La quantité de chaleur qui s'écoule à travers une surface plane infi- niment petite (o, donnée de figure et de position, étant équivalente à celle qui traverserait ses trois projections orthogonales, il s'ensuit que, si l'on conçoit dans l'intérieur du solide un élément d'une figure quel-
CHAPITRE IL - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 127
conque, les quantités de chaleur qui pénètrent dans ce polyèdre par ses différentes faces se compensent réciproquement; ou plus exac- tement, la somme des termes du premier ordre qui entrent dans l'ex- pression de ces quantités de chaleur reçues par la molécule est zéro; en sorte que la chaleur qui s'y accumule en effet et fait varier sa tem- pérature ne peut être exprimée que par des termes infiniment plus petits que ceux du premier ordre.
On voit distinctement ce résultat lorsqu'on établit l'équation géné- rale (A) en considérant le mouvement de la chaleur dans une molé- cule prismatique (art. 127 et 142); on le démontre encore pour une molécule d'une figure quelconque, en substituant à la chaleur reçue par chaque face celle que recevraient ses trois projections.
Il est d'ailleurs nécessaire que cela soit ainsi : car, si une des molé- cules du solide acquérait pendant chaque instant une quantité de cha- leur exprimée par un terme du premier ordre, la variation de sa tem- pérature serait infiniment plus grande que celle des autres molécules; c'est-à-dire que, pendant chaque instant infiniment petit, sa tempéra- ture augmenterait ou diminuerait d'une quantité finie, ce qui est contraire à l'expérience.
151.
Nous allons appliquer cette remarque à une molécule placée à la surface extérieure du solide.
Par un point a [fig. G), pris sur le plan des .ry, menons deux plans
Fi(î. 6.
|
1 |
b |
|
|
e 1 |
_J |
c |
perpendiculaires, l'un à l'axe des a?, l'autre à l'axe des j. Par un autre point b du même plan, infiniment voisin de a, menons aussi deux
128 THÉORIE DE LA CHALEUR.
plans parallèles aux deux précédents; les ordonnées z élevées aux points a, b, c, c? jusqu'à la surface extérieure du solide marqueront sur cette surface quatre points a\ b\ c\ d et seront les arêtes d'un prisme tronqué dont la base est le rectangle ahcd. Si par le point a\ qui désigne le moins élevé des quatre points a\ h' , c\ d\ on fait passer un plan parallèle à celui des ott, on retranchera du prisme tronqué une molécule dont une des faces, savoir a!h'c'd\ se confond avec la superficie du solide. Les valeurs des quatre ordonnées aa\ ce y dd\ hh' sont les suivantes :
ce ^z -^ ~^- dXy dd'^z 4- -T-^>>
152.
L'une des faces perpendiculaires aux x est un triangle, et la face opposée est un trapèze. L'aire du triangle est
et le flux de chaleur dans la direction perpendiculaire à cettt^ surface étant — K-t-» on a, en omettant le facteur dt,
-, di' dy dz ,
— K- — - ■T-fiy
OU' 2 ôy "
pour l'expression de la quantité de chaleur qui pénètre pendant un instant dans la molécule, à travers le triangle dont il s'agit. L'aire de la face opposée est
3*(
dz , àz , àz , aa: ojc ôy "
CHAPITRE II.- ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 129
et le flux perpendiculaire à cette face est aussi — K^> en supprimant
les termes du second ordre, infiniment plus petits que ceux du pre- mier; on retranchera la quantité de chaleur qui sort par cette seconde face de celle qui entre par la première, et Ton trouvera
K 3— 3- é/a? dy, OJc ax
Ce terme exprime combien la molécule reçoit de chaleur par les faces perpendiculaires aux x.
On trouvera par un calcul semblable que la même molécule reçoit par les faces perpendiculaires aux y une quantité de chaleur égale a
dv àz K 3- 3- ajc dy,
dy à y ^
La quantité de chaleur que la molécule reçoit par la base rectangu- laire est
— K-T-dx dy. dz
Enfin elle laisse échapper dans l'air, à travers la surface supé- rieure a'b'cd\ une certaine quantité de chaleur égale au produit de hv par l'étendue o) de cette surface. La vajeur de a> est, selon les
principes connus, celle de doody multipliée par le rapport -; i désigne
la longueur de la normale, depuis la surface extérieure jusqu'au plan des xy^ et l'on a
donc la molécule perd à travers sa surface alh'cd une quantité de chaleur égale à
hv dxdy -'
Or les termes du premier ordre qui entrent dans l'expression de la quantité totale de chaleur acquise par la molécule doivent se détruire, F. 17
130 THÉORIE DE LA CHALEUR.
pour que la variation des températures ne soit pas à chaque instant une quantité finie ; on doit donc avoir l'équation ( * )
V
V àv dz , , V à^f âz , , V ai' , j i £ j j K ^ — ^r- ax ay -f- K -- — ^-dx dy — K -r-dxdy — /w - dx dy = o dx dx ^ df ày '^^ dz -^ z -^
OU
h t dv as ôv âz dv
K z dx dx dy dy dz
153.
En mettant pour j- ^^ -r- leurs valeurs tirées de Téquation
m dx -{- n dy -h p dz z=z o
(*) Ici encore il y a défaut de précision dans l'établissement de l'équation à la surface. La méthode suivie par Fourier suppose, ce qui peut fort bien ne pas arriver, que le solide dont il considère toutes les faces soit placé à l'intérieur du corps.
Au reste, on obtient immédiatement celte équation si l'on évalue, d*après la règle donnée dans une Note précédente (p. 117), le flux de chaleur qui passe à travers un élément infi- niment petit (u de la surface ; %, p, 7 désignant les angles que fait avec les axes la normale extffrieure au corps, le flux a pour expression
- K w rt/ ( ^- cos a -+- -r- cos P ^- t: C0S7 \ .
v- cos a -+- -r- âx dy
Comme il doit être égal à /«(^((^ — ^), Ç désignant la température extérieure au contact de l'élément, on a
(B ) K ( — COSa -+- ^COS? -h ^ COS7J -h /i{v- K) = o.
En faisant Ç = o et en remplaçant les cosinus par leurs valeurs déduites des équations
cosît _ cos^ _ C0S7 _ r+: I
m II
P ^m?" -+- //' H- /?*
on retrouve Téquation (B), mais avec un signe parfaitement déterminé pour le radical q. L'équation (B'), donnée plus haut, peut encore s'écrire
(B') _K^+/-(i'-!:) = o,
•T^ désignant la dérivée do v suivant la normale à la surface, intérieure au corps.
G. D.
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 131
et désignant par q la quantité {m^ h- n^ -^p^)^ , on a
(B) Km _ + K/i ^ + K/. ^ + /MV7 = o;
on connaît ainsi d'une manière distincte ce que représente chacun des termes de cette équation.
En les prenant tous avec des signes contraires et les multipliant par le rectangle dxdy^ le premier exprime combien la molécule reçoit de chaleur par les deux faces perpendiculaires aux Xy le deuxième combien elle en reçoit par ses deux faces perpendiculaires aux y, le troisième combien elle en reçoit par la face perpendiculaire aux s, et le qua- trième combien elle en reçoit du milieu. L'équation exprime donc que la somme de tous ces termes du premier ordre est nulle, et que la cha- leur acquise ne peut être représentée que par des termes du second ordre.
154.
Pour parvenir à cette équation (B), il faut considérer une des molé- cules dont la base est à la surface du solide comme un vase qui reçoit ou perd la chaleur par ses différentes faces. L'équation signifie que tous les termes du premier ordre qui entrent dans l'expression de la chaleur acquise se détruisent mutuellement, en sorte que cet accrois- sement de chaleur ne peut être exprimé que par des termes du second ordre. On peut donner à cette molécule» ou la forme d'un prisme droit dont l'axe est perpendiculaire à la surface du solide, ou celle d'un prisme tronqué, ou une forme quelconque.
L'équation générale (A) suppose que tous les termes du premier ordre se détruisent dans l'intérieur de la masse, ce qui est évident pour des molécules prismatiques comprises dans le solide. L'équa- tion (B) exprime le même résultat pour les molécules placées aux limites des corps.
Tels sont les points de vue généraux sous lesquels on peut envisager cette partie de la théorie de la chaleur.
132 . THÉORIE DE LA CHALEUR.
L'équation
représente le mouvement de la chaleur dans l'intérieur des corps. Ce théorème fait connaître la distribution instantanée dans toutes les substances solides ou liquides; on en pourrait déduire l'équation qui convient à chaque cas particulier.
Nous ferons cette application, dans les deux articles suivants, à la question du cylindre et à celle de la sphère.
SECTION VIII.
APPLICATION DES ÉQUATIONS GÉNÉRALES.
155.
Désignons par rie rayon variable d'une enveloppe cylindrique quel- conque et supposons, comme précédemment dans l'article 118, que toutes les molécules également éloignées de l'axe ont à chaque instant une température commune; ^ sera une fonction de r et /; r est une fonction de y, s, donnée par l'équation r^= z^-hy^. Il est évident en premier lieu que la variation de ç" par rapport à x est nulle; ainsi le
terme j-^ doit être omis. On aura maintenant, suivant les principes du
Calcul différentiel, les équations
di' âv âr d^v d^ v /^/'V àv d^r
âz~~âidz' d^ ~dr^\ôz) '^drdz^'
âi^ ^i' dr d^ç d^v /dr\^ dv d^r
donc
dr dr dy âf^ âr- \dyj dr dy**
^^^ âz* "^ ày* ~ âr^ l\dz) "^ \dyj J "^ dr\dz^ "^ ày^ )
Il faut remplacer dans le second membre les quantités
âr dr d^r d*/ dz^ dy^ dz* dy^
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 133 par leurs valeurs respectives; pour cela, on tirera de l'équation
dr /dry- d^r
■= r
dr /dry- fPr
et, par conséquent,
-■-"[(S"-(i)']-
d^r d^r ■ dY
/dry /dry fd^r
J ^
la première équat'ton» dont le premier membre est égal à r*, donne
/ dr\^ / dr\^
la seconde donne, lorsqu'on met pour (■^) '^\~â~) sa valeur i ,
d^r d^r _\
Si maintenant on substitue dans l'équation (a) les valeurs données par les équations [b) et (c), on aura
d^v d-s^ d^i> I (^i'
dz^ dy- dr* r dr'
donc l'équation qui exprime le mouvement de la chaleur dans le cylindre est
U " CD\dr^ ^ r dr
de
comme on l'a trouvé précédemment (art. H9).
On pourrait aussi ne point supposer que les molécules également éloignées de l'axe ont reçu une température initiale commune; dans ce cas on parviendrait à une équation beaucoup plus générale.
13'* THÉORIE DE LA CHALEUR.
156.
Pour déterminer, au moyen de Téquation (A), le mouvement de la chaleur dans une sphère qui a été plongée dans un liquide, on regar- dera V comme une fonction de r et /; r est une fonction de x, y, z donnée par l'équation
r étant le rayon variable d'une enveloppe. On aura ensuite
-r—
dx dr dx âx^ âr* \àxj dr dx^ dv dv dr d*i' d^v f dr\^ dv d*r
d/ dr dy dy^ dr^ \àf J dr df*
di' di> dr d^ v d^v / dr \ * dv d- r
dz^'d/dz' àz^ '"àr^ \d^ ) '^ dr dz^
En faisant les substitutions dans l'équation générale
àv_K^/d^ d^^ dUy\ de ^ C\) \dx^ "^ dj^ "^ dz^J
on aura
^^ dt "" C D I dr' l\dxj ^ \dfj \dzj }^ dr \dx^ ^ dy* dz* )
L'équation x^ -^y^ -h s* == r* fournit les résultats suivants :
_ dr^ _(àr_\ ,à^
dx \àx / dx*
dr /dry d'r
y ^=^ r
dr /dry d*r
Les trois équations du premier ordre donnent
■■— '■■[(©v(i)--(^-:r:i
■=(IM|v^^f^'
CHAPITRE Jl. - ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES. 135
ou
y) \à^)
Les trois équations du second ordre donnent
et, mettant pour (x")+(i~)^"(x:) '* valeur i , on a
• d-r d*r d-r a ,
d.r* dy^ âz' r
Faisant les substitutions dans Téquation (a), on aura Téquation
qui est la même que celle de l'article 114.
L'équation contiendrait un plus grand nombre de termes si l'on ne supposait point que les molécules également éloignées du centre ont reçu la même température initiale.
On pourrait aussi déduire de l'équation déterminée (B) celles qui expriment l'état de la surface dans les questions particulières où l'on suppose qu'un solide d'une forme donnée communique sa chaleur à l'air atmosphérique, mais le plus souvent ces équations se présentent d'elles-mêmes, et la forme en est très simple lorsque les coordonnées sont choisies convenablement.
SECTION IX.
REMARQUES OÉNfiRALES.
157.
La recherche des lois du mouvement de la chaleur dans les solides consiste maintenant à intégrer les équations que nous avons rappor- tées : c'est l'objet des Chapitres suivants; nous terminerons celui-ci
136 THÉORIE DE LA CHALEUR,
par des remarques générales sur la nature des quantités qui entrent dans notre an(ilyse.
Pour mesurer ces quantités et les exprimer en nombres, on les com- pare a diverses sortes d'unités, au nombre de cinq, savoir : l'unité de longueur, l'unité de temps, celle de la température, celle du poids et enfin l'unité qui sert à mesurer les quantités de chaleur. On aurait pu choisir pour cette dernière unité la quantité de chaleur qui élève un volume donné d'une certaine substance depuis la température o jusqu'à la température i. Le choix de cette unité serait préférable a plusieurs égards à celui de la quantité de chaleur nécessaire pour con- vertir une masse de glace d'un poids donné en une masse pareille d'eau, sans élever la température o. Nous n'avons adopté cette der- nière unité que parce qu'elle était en quelque sorte fixée d'avance dans plusieurs Ouvrages de Physique; au reste, cette supposition n'appor- terait aucun changement dans les résultats du calcul.
158,
Les éléments spécifiques qui déterminent dans chaque corps les effets mesurables de la chaleur sont au nombre de trois, savoir : la conducibilité propre, la conducibilité relative à l'air atmosphérique et la capacité de chaleur.
Les nombres qui expriment ces quantités sont, comme la pesanteur spécifique, autant de caractères naturels propres aux diverses sub- stances.
Nous avons déjà remarqué (art. 36) que la conducibilité de la sur- face serait mesurée d'une manière plus exacte si l'on avait des obser- vations suffisantes sur les effets de la chaleur rayonnante dans les espaces vides d'air.
On peut voir, comme nous l'avons annoncé dans la Section I du Cha- pitre I (art. 11), qu'il n'entre dans le calcul que trois coefficients spécifiques K, A, C; ils doivent être déterminés par des observations et nous indiquerons par la suite les expériences propres à les faire connaître avec précision.
CHAPITRE 11. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 137
159.
Le nombre C, qui entre dans le calcul, est toujours multiplié par la densité D, c'est-à-dire par le nombre d'unités de poids qui équivalent au poids de l'unité de volume; ainsi ce produit CD peut être remplacé par le coefficient c. Dans ce cas, on doit entendre, par capacité spéci- fique de chaleur, la quantité nécessaire pour élever de la tempéra- ture o à la température i l'unité de volume d'une substance donnée et non l'unité de poids de cette substance. C'est pour ne pas s'éloigner des définitions communes que l'on a rapporté dans cet Ouvrage la capacité de chaleur au poids et non au volume; mais il serait préfé- rable d'employer le coefficient c, tel que nous venons de le définir; alors il n'entrera dans les expressions analytiques aucune grandeur mesurée par l'unité de poids; on aura seulement à considérer :
I® La dimension linéaire x, la température {^ et le temps /;
2^ Les coefficients c, h et K.
Les trois premières quantités sonl des indéterminées, et les trois autres sont, pour chaque substance, des éléments constants que l'ex- périence fait connaître. Quant à l'unité de surface et à l'unité de vo- lume, elles n'ont rien d'absolu et dépendent de l'unité de longueur.
160.
Il faut maintenant remarquer que chaque grandeur indéterminée ou constante a une dimension qui lui est propre et que les termes d'une même équation ne pourraient pas être comparés, s'ils n'avaient point le même exposant de dimension. Nous avons introduit cette considéra- tion dans la Théorie de la chaleur pour rendre nos définitions plus fixes et servir à vérifier le calcul; elle dérive des notions primordiales sur les quantités : c'est pour cette raison que, dans la Géométrie et dans la Mécanique, elle équivaut aux lemmes fondamentaux que les Grecs nous
ont laissés sans démonstration.
F. i8
138 THÉORIE DE LA CHALEUR.
161.
Dans la théorie analytique de la chaleur, toute équation (E) exprime une relation nécessaire entre des grandeurs subsistantes x, /, r,c, A, K. Cette relation ne dépend point du choix de Tunité de longueur, qui de sa nature est contingent; c'est-à-dire que, si l'on prenait une unité dif- férente pour mesurer les dimensions linéaires, l'équation (E) serait encore la même. Supposons donc que l'unité de longueur soit changée et que sa seconde valeur soit équivalente a la première divisée par m. Une quantité quelconque x qui, dans l'équation (E), représente une certaine ligne ab et qui, par conséquent, désigne un certain nombre de fois l'unité de longueur, deviendra mx, afin de correspondre à la* même grandeur ab; la valeur t du temps et la valeur ç de la tempéra- ture ne seront point changées; il n'en sera pas de même des éléments
spécifiques h, K, c : le premier h deviendra -^; car il exprime la quan-
tité de chaleur qui sort, pendant l'unité de temps, de l'unité de surface à la température i. Si l'on examine avec attention la nature du coef- ficient K, tel que nous l'avons défini dans les articles 68 et 135, on
reconnaîtra qu'il devient — ; car le flux de chaleur est en raison
directe de l'étendue de la surface et en raison inverse de la distance des deux plans infinis (art. 72). Quant au coefficient c qui représente
le produit CD, il dépend aussi de l'unité de longueur et devient—^;
donc l'équation (E) ne doit subir aucun changement si l'on écrit, au
lieu de x, mxy et en même temps —>—;>—, au lieu de K, A, c; le
nombre m disparaîtra de lui-même après ces substitutions : ainsi la dimension de x par rapport à l'unité de longueur est i ; celle de K est — I, celle de h est — 2, et celle de c est — 3. Si l'on attribue à chaque (|uantité son exposant de dimension, l'équation sera homogène, parce que chaque terme aura le même exposant total. Les nombres tels que s, qui représenteraient des surfaces ou des solides, ont la dimension 2
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, 139
dans le premier cas, et la dimension 3 dans le second. Les angles, les sinus et autres fonctions trigonométriques, les logarithmes ou expo- sants de puissance sont, d'après les principes du calcul, des nombres absolus qui ne changent point avec l'unité de longueur; on doit donc trouver leur dimension égale a o, qui est celle de tous les nombres abstraits.
Si l'unité de temps, qui était d'abord i, devient-» le nombre / sera
nt et les nombres x et 9 ne changeront point. Les coefficients K, A, c
seront — , -, c. Ainsi, les dimensions de a?, /, v^ par rapport à l'unité
de temps, sont o, i , o et celles de K, A, c sont — 1 , —1,0.
Si l'unité de température était changée, en sorte que la tempéra- ture I devînt celle qui répond à un autre effet que l'ébuUition de l'eau, et si cet effet exigeait une température moindre, qui fût k celle de l'eau bouillante dans le rapport de j au nombre/?, r deviendrait vp,
X et t conserveraient leurs valeurs et les coefficients K, A, c seraient
K h c
— 1 — j — •
P P P Le Tableau suivant représente les dimensions des trois indétermi^
nées et des trois constantes, par rapport à chaque sorte d'unité :
Longueur. Durée. Température.
Exposant de dimension de jt. f o o .
» / o I o
» V o o I
La conducibililé spécifique K — i — i — ï
La conducibilité de la surface // — 1 — i — i
La capacité de chaleur c —3 o — 1
162.
Si l'on conservait les coefficients C et D dont le produit a été repré- senté par c, on aurait encore à considérer l'unité de poids et l'on trou- verait que l'exposant de dimension, par rapport à l'unité de longueur, est — - 3 pour la densité D et o pour C.
En appliquant la règle précédente aux différentes équations et a leurs transformées, on trouvera qu'elles sont homogènes par rapport à
IVO THÉORIE DE LA CHALEUR.
chaque sorte d'unité et que la dimension de toute quantité angulaiiv ou exponentielle est nulle. Si cela n'avait point lieu, on aurait commis ((uelque erreur dans le calcul ou l'on y aurait introduit des expres- sions abrégées.
Si l'on choisit, par exemple, l'équation (A) de l'article 105
i)v__ K_dU;^ /il
on trouve que, par rapport à l'unité de longueur, la dimension de chacun des trois termes est o, qu'elle est i pour l'unité de tempéra- tures et — I pour l'unité de temps.
Dans l'équation r = A^ 'de l'article 76, la dimension linéaire de chaque terme est o, et Ton voit que celle de l'exposant ^^y ir-i ^^^
toujours nulle, soit pour l'unité linéaire, soit pour la durée ou la teni^ pé rature.
CHAPITRE III.
PROPAGATION DE LA CHALEUR D.VKS UN SOLIDE RECT.VNGULAIRE INFLNI.
SECTION I.
EXPOSITION DE LA QUESTION.
163.
Les questions relatives à la propagation uniforme ou au mouvement varié de la chaleur dans l'intérieur des solides sont réduites, par ce qui précède, à des problèmes d'Analyse pure, et les progrès de cette partie de la Physique dépendront désormais de ceux que fera la science du calcul. Les équations différentielles que nous avons démontrées con- tiennent les résultats principaux de la théorie; elles expriment, de la manière la plus générale et la plus concise, les rapports nécessaires dv l'analyse numérique avec une classe très étendue de phénomènes, et réunissent pour toujours aux sciences mathématiques une des branches les plus importantes de la Philosophie naturelle. Il nous reste mainte- nant k découvrir l'usage que l'on doit faire de ces équations pour en déduire des solutions complètes et d'une application facile. La ques- tion suivante offre le premier exemple de l'analyse qui conduit à ces solutions; elle nous a paru plus propre qu'aucune autre à faire con- naître les éléments de la méthode que nous avons suivie.
164.
Nous supposons qu'une masse solide homogène est contenue entre deux plans verticaux B et C parallèles et infinis, et qu'on la divise en
142
THÉORIE DE LA CHALEUR.
deux parties par un plan A perpendiculaire aux deux autres [fig. 7); nous allons considérer les températures de la masse BAC comprise enlre les trois plans infinis A, B, C. On suppose que l'autre partie BAC du solide infini est une source constante de chaleur, c'est-à-dire que tous ses points sont retenus à la température i, qui ne peut jamais devenir moindre ni plus grande. Quant aux deux solides laté- raux compris, l'un entre le plan C et le plan A prolongé, l'autre entre
Fig. 7.
B
B'
c
le plan B et le plan A prolongé, tous leurs points ont une température constante o, et une cause extérieure leur conserve toujours cette même température; enfin, les molécules du solide compris entre A, B et C ont la température initiale o. La chaleur passera successivement du foyer A dans le solide BAC; elle s'y propagera dans le sens de la lon- gueur qui est infinie, et en même temps elle se détournera vers les masses froides B et C qui en absorberont une grande partie. Les tempé- ratures du solide BAC s'élèveront de plus en plus; mais elles ne pour- ront eutre-passer ni même atteindre un maximum de température, qui est différent pour les différents points de la masse. Il s'agit de connaître l'état final et constant dont l'état variable s'approche de plus en plus. Si cet état final était connu et qu'on le formât d'abord, il subsiste- rait de lui-même, et c'est cette propriété qui le dislingue de tous les autres. Aussi la question actuelle consiste à déterminer les tempéra- tures permanentes d'un solide rectangulaire infini, compris entre deux masses de glace B et C et une masse d'eau bouillante A; la considéra- tion des questions simples et primordiales est un des moyens les plus
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. U3
certains de découvrir les lois des phénomènes naturels, et nous voyons, par riiisloire des Sciences, que toutes les théories se sont formées sui- vant cette méthode.
165.
Pour exprimer plus brièvement la même question, on suppose qu'une lame rectangulaire BAC, d'une longueur infinie, est échauffée par son extrémité A et conserve dans tous les points de cette base une tempé- rature constante i, tandis que chacune des deux arêtes infinies B et C, perpendiculaires à la première, est aussi assujettie dans tous ses points à une température constante o; il s'agit de déterminer quelles doivent être les températures stationnaires de chaque point de la lame.
On suppose qu'il ne se fait à la superficie aucune déperdition de cha- leur ou, ce qui est la même chose, on considère un solide formé par la superposition d'une infinité de lames pareilles à la précédente; on prend pour l'axe des x la droite ox qui partage la lame en deux moi- tiés, et les coordonnées de chaque point m sont x et j; enfin on repré- sente la largeur A de la lame par 2I ou, pour abréger le calcul, par 7:, valeur de la demi-circonférence.
Concevons qu'un point m de la lame solide BAC, qui a pour coor- données X et j, ait la température actuelle ç^, et que les quantités v qui répondent aux différents points soient telles qu'il ne puisse survenir aucun changement dans les températures, pourvu que celle de chaque point de la base A soit toujours 1 , et que les côtés B et C conservent dans tous leurs points la température o.
Si l'on élevait en chaque point /w une coordonnée verticale égale à la température v, on formerait une surface courbe qui s'étendrait au- dessus de la lame et se prolongerait à l'infini. Nous chercherons à con- naître la nature de cette surface, qui passe par une ligne parallèle élevée au-dessus de l'axe des y à une distance égale à l'unité, et qui coupe le plan horizontal suivant les deux arêtes infinies parallèles aux X.
Ui THÉORIE DE LA CHALEUR.
166.
Pour appliquer l'équalion générale
dv K fdU^ d'v dU^
>
on considérera que, dans le cas dont il s*agit, on fail abstraction d'une coordonnée :;, en sorte que le terme ^ doit être omis; quant au pre- mier membre ^> il s'évanouit puisqu'on veut déterminer les tempéra- tures stationnaires; ainsi l'équation qui convient à la question actuelle •et détermine les propriétés de la surface courbe cherchée est celle-ci
La fonction 9('3?,y) de x et v, qui représente l'état permanent du solide BAC, doit :
i^ Satisfaire à l'équation (a);
2" Devenir nulle lorsqu'on substitue — - ou -f- - au lieu de v,
quelle que soit d'ailleurs la valeur de x;
3" Etre égale k l'unité, si l'on suppose a: = o et si l'on attribue à v
une valeur quelconque comprise entre ^ et -f- -•
Il faut ajouter que cette fonction 9 (-^,7) doit devenir extrêmement petite lorsqu'on donne à ce une valeur très grande, puisque toute la chaleur sort du seul fover A.
167.
Atin de considérer la question dans ses éléments, on cherchera en premier lieu les plus simples fonctions de x et j, qui puissent satis- faire à l'équation (a); ensuite on donnera à cette valeur de r une expression. plus générale, afin de remplir toutes les conditions énon- cées. Par ce moyen la solution acquerra toute l'étendue qu'elle doit
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL U5
avoir, et l'on démontrera que la question proposée ne peut admettre aucune autre solution.
Les fonctions de deux variables se réduisent souvent à une expres- sion moins composée lorsqu'on attribue à l'une des variables ou à toutes les deux une valeur infinie; c'est ce que l'on remarque dans les fonctions algébriques qui, dans ce cas, équivalent au produit d'une fonction de x par une fonction de y. Nous examinerons d'abord si la valeur de r peut être représentée par un pareil produit; car cette fonc- tion V doit représenter l'état de la lame dans toute son étendue, et par conséquent celui des points dont la coordonnée x est infinie. On écrira donc
substituant dans l'équation [a) et désignant —r^ par F\x) et — ^V"^ par/'(7), on aura
on pourra donc supposer
^^ = m* et #4=— •.
m étant une constante quelconque; et, comme on se propose seulement de trouver une valeur particulière de v^ on déduira des équations pré- cédentes
F(^) = e-'«^ /(/) — cosmy.
168.
On ne pourrait point supposer que m est un nombre négatif, et l'on doit nécessairement exclure toutes les valeurs particulières de r où il entrerait des termes tels que c^'*^, m étant un nombre positif, parce que la température v ne peut point devenir infinie lorsque x est infiniment grande. En effet, la chaleur n'étant fournie que par la source con- stante A, il ne peut en parvenir qu'une portion extrêmement petite dans les points de l'espace qui sont très éloignés du foyer. Le reste se F. ï9
U6 THÉORIE DE LA CHALEUR.
détourne de plus en plus vers les arêtes infinies B et C et se perd dans les niasses froides qu'elles terminent.
L'exposant m qui entre dans la fonction ^-'"•^cos/nj n'est pas dé- terminé, et l'on peut choisir pour cet exposant un nombre positif
quelconque; mais, pour que s? devienne nulle en faisant y = — - ou
j = H- -, quelle que soit x, on prendra pour m un des termes de la suite 1, 3, 5, 7, . ..; par ce moyen la seconde condition sera remplie.
169.
On formera facilement une valeur plus générale de v en ajoutant plu- sieurs termes semblables aux précédents, et l'on aura
{b) V rrae-^cosj-h ôe-'**^ cos 3 j -+- cc**cos5j-ht/e"'*cos7jH-
Il est évident que cette fonction v^ désignée par 9(^,7)» satisfait à l'équation
et à la condition
?
(^, ± ^) --= o.
Il reste à remplir une troisième condition, qui est exprimée ainsi
?(o»7) = i;
et il est nécessaire de remarquer que ce résultat doit avoir lieu lors- qu'on met pour y une valeur quelconque, comprise entre et
H On ne peut en rien inférer pour les valeurs que prendrait la
fonction ç(o, j) si l'on mettait au lieu de y une quantité non com-
prise entre les limites et H L'équation {b) doit donc être
assujettie à la condition suivante :
I — acosy -h 6cos3/ -h ccos5j -i-dcosjy 4-. . . .
C'est au moyen de cette équation que l'on déterminera les coefficients a, b, Cf d, . .., dont le nombre est infini.
CHAPITRE III. — SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. IW
Le second membre est une fonction de y, qui équivaut à l'unité
toutes les fois que la variable y est comprise entre et h On
pourrait douter qu'il existât une pareille fonction, mais cette question sera pleinement éclaircie par la suite.
170.
Avant de donner le calcul des coefficients, nous remarquerons Teffet que représente chacun des termes de la série dans Téquation [b).
Supposons que la température fixe de la base A, au lieu d'être égale à l'unité pour tous ses points, soit d'autant moindre que le point de la droite A est plus éloigné du milieu o, et qu'elle soit proportionnelle au cosinus de cette distance; on connaîtra facilement dans ce cas la nature de la surface courbe dont l'ordonnée verticale exprime la tem- pérature v^ ou ?(^f j). Si l'on coupe cette surface à l'origine par un plan perpendiculaire à l'axe des x, la courbe qui termine la section aura pour équation
les valeurs des coefficients seront les suivantes ainsi de suite, et l'équation de la surface courbe sera
V = ae"-' cos/.
Si l'on coupe cette surface perpendiculairement à l'axe des y, on aura une logarithmique dont la convexité est tournée vers l'axe; si on la coupe perpendiculairement à l'axe des x, on aura une courbe trigo- nométrique qui tourne sa concavité vers l'axe. Il suit de là que la fonc-
tion -T-\ a toujours une valeur positive, et que celle de -r—, est toujours
négative. Or (art. 123), la quantité de chaleur qu'une molécule acquiert, à raison de sa place entre deux autres dans le sens des x^ est propor-
148 THÉORIE DE LA CHALEUR.
tionnelle à la valeur de ^-5; il s'ensuit donc que la molécule intermé- diaire reçoit, de celle qui la précède dans le sens des rr, plus de chaleur qu'elle n'en communique à celle qui la suit. Mais, si l'on considère cette même molécule comme placée entre deux autres dans le sens
des j, la fonction -t-% étant négative, on voit que la molécule intermé- •
diaire communique à celle qui la suit plus de chaleur qu'elle n'en reçoit de celle qui la précède. Il arrive ainsi que l'excédent de chaleur qu'elle acquiert dans le sens des x compense exactement ce qu'elle perd dans le sens des y, comme l'exprime l'équation
On connaît ainsi la route que suit la chaleur qui sort du foyer Â. Elle se propage dans le sens des x, et en même temps elle se décompose en deux parties, dont l'une se dirige vers une des arêtes, tandis que l'autre partie continue de s'éloigner de l'origine pour être décomposée comme la précédente, et ainsi de suite à l'infini. La surface que nous considérons est engendrée par la courbe trigonométrique qui répond à la base A, et se meut perpendiculairement à l'axe des x en suivant cet axe, pendant que chacune de ses ordonnées décroît à l'infini, pro- portionnellement aux puissances successives d'une même fraction.
On tirerait des conséquences analogues, si les températures fixes de la base A étaient exprimées par le terme bcos3y, ou par l'un des termes suivants ccosSy, ... ; et l'on peut, d'après cela, se former une idée exacte du mouvement de la chaleur dans les cas plus généraux; car on verra par la suite que ce mouvement se décompose toujours en une multitude de mouvements élémentaires, dont chacun s'accomplit comme s'il était seul.
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL 14»
SECTION II.
PRBHIBK EXEXPLB DE L'DSAGB DES 8ÉRIB8 TRIGONOXÉTRIQUB$ DANS LA THÉORIE DB LA CHALEUR.
171.
Nous reprendrons maintenant l'équation
dans laquelle il faut déterminer les coefficients a^ b^ c^ dy .... Pour que cette équation subsiste, il est nécessaire que les constantes satis- fassent aux équations que l'on obtient par des différentiations succes- sives, ce qui donne les résultats suivants
i=acosj4- 6cos3/-i- ccos5j-f- c?cos7j -H. . ., o = a sin y-\'Z h sin 3 j -f- 5 c sin 5/ 4- 7 cf sin 77 -+-... , o=r acos/-+- 3*6cos3/H- 5'ccos5/-i- 7'c?cos7j4-. . ., orz:asin/-h 3'6sin3j4- 5'c sin 5/ -\- 7'û?sin 77 -+-. . .,
et ainsi de suite à l'infini.
Ces équations devant avoir lieu lorsque y = o, on aura
i=:a-h b-^ c-\- d-h e-h /-H^-h...,
o = a-i-3*6-+-5»c-h7*cf4-9*e-Mi'/+- • •> o = aH-3*6H-5*c-i- 7*<i4-9*e-h. . .,
oz=a-h 3*6 + 5*c-h7®<i-+-. . .,
o = a-h3'6H-5'c-f-...,
Le nombre de ces équations est infini comme celui des indétermi- nées a, by Cy df €f .... La question consiste à éliminer toutes les incon- nues, excepté une seule.
150
THÉORIE DE LA CHALEUR.
172.
Pour se former une idée distincte du résultat de ces éliminations, on supposera que le nombre des inconnues a, b, c^ d^ ... est d'abord défini et égal à m. On emploiera les m premières équations seulement, en effaçant tous les termes où se trouvent les inconnues qui suivent les m premières. Si Ton fait successivement /w = 2, /w = 3, m = 4» 'w = 5, ainsi de suite, on trouvera dans chacune de ces suppositions les valeurs des indéterminées. La quantité a, par exemple, recevra une valeur pour le cas de deux inconnues, une autre pour le cas de trois inconnues, ou pour le cas de quatre inconnues, ou successivement pour un plus grand nombre. Il en sera de même de l'indéterminée i, qui recevra autant de valeurs différentes que Ton aura effectué de fois l'élimination; chacune des autres indéterminées est pareillement susceptible d'une infinité de valeurs différentes. Or la valeur d'une des inconnues, pour le cas où leur nombre est infini, est la limite vers laquelle tendent continuel- lement les valeurs qu'elle reçoit au moyen des éliminations succes- sives (*). Il s'agit donc d'examiner si, à mesure que le nombre des inconnues augmente, chacune des valeurs a^ byC^d,... ne converge point vers une limite finie, dont elle approche continuellement.
Supposons que l'on emploie les sept équations suivantes :
|
I |
a |
|
|
0 |
a |
|
|
0 |
a |
|
|
0 |
a |
|
|
0 |
— |
a |
|
0 |
a |
|
|
0 |
a |
b -h c -h d -{- e
3* 6-f-5* c-h7* cf-+-9* e 36 ^ -1- 5« c -h 7« t/ -+- 9« e 3* ^ 4- 5* c 4- 7* e/ H- 9^ e 3io6H-5^0c-+-7^°i/-f-9'^^ 3»»6 4-5*»c-i-7»'é/4-9»-e
|
/+ |
S> |
|
!.'/ + |
i3'^, |
|
11* / + |
■3*^, |
|
!.*/ + |
■3'^, |
|
n'/-^ |
i3' s. |
|
ii'V+ |
i3'V. |
|
u'V-H |
i3'V. |
(») Co point nest nullement évident et aurait besoin do démonstration. Quoi qu'il en soit, la méthode si naturelle que suit ici Fourier, et qu'il emploie aussi plus loin dans l'étude des séries trigonométriques les plus générales, nous parait, malgré son insuffisance, mériter l'attention des géomètres; car il y a, dans les différentes parties de la Science, bien des questions dont la solution peut se rattacher à la considération d'un nombre infini d'équations linéaires contenant un nombre infini d'inconnues. G. D.
CHAPITRE 111. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 151
iC)
Les six équations qui ne contiennent plus ^sont
i3» o o o o o
«(i3 «(i3 rt(i3 fl(i3 «(i3 ^(i3
I*) 1*)
^(i3« 3« ^(i3* 3* Z»(i3« 3« ^(i3«- 3» ^»(i3*- 3»o^(i3»
3«) V) 3«) 3«) 3«) 3«)
c(i3«
5* c(i3* 5* c(i32 5« c(i3«- 5« c(i3». 5»Oc(i3*
5») 5«)
f/(i3î — 7Î) 7« rf(i3* — 7*) 7* rf(i3« — 7«) 7« rf(i3« — 7») 7« rf(i3> — 7») 7»orf(i3» — 7Î)
6'(l3î-
9« é?(i3*- 9» er(i3* 9*oe(i3«
9«)4- /(i3=^ 9^)-MI2/(I3^ ■9«)-+-ii* /{132 9«)-hii« /(i3'-.
•9«)-4-ii»o/(i3^
En continuant Télimination, on obtiendra Téquation finale en a, qui
est
a(i3*-i«)(ii« — 1»)(9« — 1«)(7« — 1»)(5« — 1*)(3* — i*)=:i3».ii*.9».7«.5«,3«.i«.
173,
Si Ton avait employé un nombre d'équations plus grand d'une unité, on aurait trouvé, pour déterminer a, une équation analogue à la précédente, ayant au premier membre un facteur de plus, savoir : i5*— i^, et au second membre i5^ pour un nouveau facteur. La loi a laquelle ces différentes valeurs de a sont assujetties est évidente, et il s'ensuit que la valeur de a qui correspond à un nombre infini d'équa- tions est exprimée ainsi
3*
a ^^
7'
1 1
i3»
3«— I 5*— I 7»— I 9«— I n«— I i3*
ou
a
_ 3.3 5.5 7.7 9.9 II. II i3.i3 2.4 4'6 6-8 8.10 10.12 12. i4
Or cette dernière expression est connue et, suivant le théorème de
Wallis, on en conclut
4.
a
Il ne s'agit donc maintenant que de connaître les valeurs des autres indéterminées.
152 THÉORIE DE LA CHALEUR.
174.
Les six équations qui restent après l'élimination de g peuvent être comparées aux six équations plus simples que Ton aurait employées s'il n'y avait eu que six inconnues. Ces dernières équations diffèrent des équations (c) en ce que, dans celles-ci, les lettres/, e^ rf, c^ 6, a se trouvent multipliées respectivement par les facteurs
i3«— Ti' i3^— 9» i3«--7' i3«--5» i3*--3« i3«--i« r3» ' i3> ' i3*~' 13=* ' i3« ' Ï3»~"'
Il suit de là que, si l'on avait résolu les six équations linéaires que l'on doit employer dans le cas de six indéterminées, et que l'on eût calculé la valeur de chaque inconnue, il serait facile d'en conclure la valeur des indéterminées de même nom, correspondantes au cas où l'on aurait employé sept équations. Il suffirait de multiplier les valeurs de/, e, d, c, 6, a, trouvées dans le premier cas, par des facteurs connus. Il sera aisé, en général, de passer de la valeur de l'une des quantités, prise dans la supposition d'un certain nombre d'équations et d'incon- nues, à la valeur de la même quantité, prise dans le cas où il y aurait une inconnue et une équation de plus. Par exemple, si la valeur de/ trouvée dans l'hypothèse de six équations et six inconnues est repré- sentée par F, celle de la même quantité prise dans le cas d'une
inconnue de plus sera F ..^_ — ^- Cette même valeur, prise dans le cas
de huit inconnues, sera, par la même raison,
i32 i5«
F
i3*— 11- i3-— 11
2 >
et, dans le cas de neuf inconnues, elle sera
i3« i5» 17'
i3* — 11* i5* — 11* 17* — II*'
ainsi de suite. Il suffira de même de connaître la valeur de 6, corres-
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL 153
pondante au cas de deux inconnues, pour en conclure celle de la même
lettre qui correspond au cas de trois, quatre, cinq inconnues, On
aura seulement à multiplier cette première valeur de b par
5» 7* Q= II'
y
• • ■ •
5«_3« 7ï_3- 9-— 3- ii«— 3«
Pareillement, si l'on connaît la valeur de c pour le cas de trois incon nues, on multipliera cette valeur par les facteurs successifs
7' 9' >i'
"=^ y
on calculera de même la valeur de d pour le cas de quatre inconnues seulement, et l'on multipliera cette valeur par
9» II* i3« i5*
Le calcul de la valeur de a est assujetti à la même règle; car, si l'on prend cette valeur pour le cas d'une seule inconnue et qu'on la mul- tiplie successivement par
3* 5« 7"- 9'
> T-i ;> —1 -I) -;: ?> •••>
3«_,i' 5»— I*' 7*— I*' 9'—i»
on trouvera la valeur finale de cette quantité.
175.
La question est donc réduite à déterminer la valeur de a dans le cas d'une inconnue, la valeur de b dans le cas de deux inconnues, celle de c dans le cas de trois inconnues, et ainsi de suite pour les autres incon- nues.
Il est facile de juger, à l'inspection seule des équations et sans
F. 20
15'* THÉORIE DE LA CHALEUR.
aucun calcul, que les résultats de ces éliminations successives doivent
être
I*
^-TTZIlï'
I-- 3
s
"=T)
i' 3^ 5«
^— it^y- 3-— 7« 5*— 7«'
_ i« 3' 5^ 7»
"^-^ r— 9* 3^-9* ô^-g'' 7^-9''
176.
Il ne reste qu'a multiplier les quantités précédentes par les séries des produits qui doivent les compléter et que nous avons donnés (art. 174). On aura, en conséquence, pour les valeurs finales des inconnues a, 6, c, d, e,/, .,., les expressions suivantes :
— ^' 5* 7« 9« II'
^— ' 3«— I* 5*— 1» 7«— i« 9*— I* II*— !«'"'
A- ^' 5^ 7' 9' it'
I»— 3* 5»— 3=* 7«— 3» 9'— 3* ii«— 3» "*'
— '' 3» 7' 9« II' ^■^1»— 5* 3*— 5* 7* — 5- 9-— 0*, II*— 5» ■■*'
I» 3» 5* 9' u»
— i>—7^ 3»— 7* 5*-7* 9-— 7' ii«— 7^ *"'
— ^' 3» 5' 7= II» i3-
^^ i--9^ 3^-9^ 5*-9^ 7^-9* n'^^^^iy^^t
m •
• >
/•— _i!_ 3» 5* 7» 9' i3' i5«
^"" i«— II* 3-— II- 52— II» 7"— II* Q*— II» i3*— II* i5*— II* *"
/
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 155
ou
rt=iH-
6= —
3.3 5.5 7.7
■ 2T4 4:6 678
1.1 5.5 7.7 Q.Q
3.4 a.B 4< 10 6. 12
1 . 1 3.3 7.7 9.9 1 1 . 1 1 4.6 2.8 a. 12 4-i4 6.16
^ = —
I . I 3.3 5.5 9.9 1 1 . 1 1 ]3. i3
6.8 4'io 2.12 2.16 4-<8 6.20
î.i 3.3 5.5 7.7 II. II i3.i3 i5.i5
8.10 6.i2 4*i4^*i6 2.20 4'33 6.24
i.i 3.3 5.5 7.7 9.9 i3.i3 10.1517.17
• 10.12 8.i4 6.16 4«i8 2.20 2.24 4«26 6.28
La quantité -9 ou le quart de la circonférence, équivaut, suivant le théorème de Waliis, à
2.2 4*4 6.6 8.8 10.10 12.12 i4*i4
■ ■ -^^^^ •— — _^_^____ m,^—^—^— ■^^^^^^—^ • • • .
1.33.55.77.9 9. Il ii.i3i3.i5
Si Ton remarque maintenant quels sont, dans les valeurs de a, h, c, rf, e, ..., les facteurs que Ton doit écrire aux numérateurs et aux dénominateurs, pour y compléter la double série des nombres impairs et des nombres pairs, on trouvera que les facteurs à suppléer jsont
Pour b -^
0
5 5
Pour c -^
10
Pour d 1:1
i4
Pour e ^
18
Pour /.
'' 22
156 THÉORIE DE LA CHALEUR.
oi l'on en conclut
|
a |
2 |
2 — > 71 |
|
b-- |
-.2 |
2 Stt' |
|
c — |
a |
2 i>7: |
|
d — - |
- 2 |
2 77: |
|
e — |
2 |
2 > 971 |
|
/ — - |
- 2 • • • |
2 |
|
J |
I ir |
177.
C'est ainsi qu'on est parvenu à effectuer entièrement les éliminations et k déterminer les coefficients a, byC^d, ... de l'équation
izziacos/ H- ôcosSj -hccos5j 4-c?cos7j + ecos9/ 4-
La substitution de ces coefficients donne l'équation suivante :
TU I „ I - I I I
j =C0S7-- ^C0S3/4- ^COSD/ COS7/ H COS9/ cosii r-h. . . .
Le second membre est une fonction de j qui ne change point de valeur quand on donne à la variable y une valeur comprise entre —
et -f- -• Il serait aisé de prouver que cette série est toujours conver- gente; c'est-à-dire que, en mettant au lieu de j^ un nombre quelconque et en poursuivant le calcul des coefficients, on approche de plus en plus d'une valeur fixe; en sorte que la différence de cette valeur à la somme des termes calculés devient moindre que toute grandeur assi- gnable. Sans nous arrêter à cette démonstration que le lecteur peut suppléer, nous ferons remarquer que la valeur fixe dont on approche
continuellement est -7 si la valeur attribuée à y est comprise entre
CHAPITRE IIL - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL 157
o et -9 mais qu'elle est — ^ si j est comprise entre - et — ; car,
dans ce second intervalle, chaque terme de la série change de signe. En général, la limite de la série est alternativement positive et néga- tive; au reste, la convergence n'est point assez rapide pour procurer une approximation facile, mais elle suffit pour la vérité de l'équation.
178. L'équation
y = COS X — t: COS ôX -h -p COS 0 X COS 1 X -{- . . .
^ 6 5 7 '
appartient a une ligne qui, ayant a? pour abscisse et y pour ordonnée, est composée de droites séparées dont chacune est parallèle à l'axe et égale à la demi-circonférencci Ces parallèles sont placées alternati- vement au-dessus et au-dessous de l'axe, à la distance jy et jointes
par des perpendiculaires qui font elles-mêmes partie de la ligne. Pour se former une idée exacte de la nature de cette ligne, il faut supposer que le nombre des termes de la fonction
C0SJ7 — TïCOSOJ? -H -COSDJ? — . . . 3 D
reçoit d'abord une valeur déterminée. Dans ce dernier cas, Téquation
y = 00807 — :r C0S3jc -+• -COSDO? — . . .
•^ 3 5
appartient à une ligne courbe qui passe alternativement au-dessus et au-dessous de l'axe, en le coupant toutes les fois que l'abscisse x devient égale à l'une des quantités
. TT . 37r .571
K ■ ■ •
9
2 2 2
à mesure que le nombre des termes de l'équation augmente, la courbe dont il s'agit tend de pjus en plus a se confondre avec la ligne précé-
158 THÉORIE DE LA CHALEUR.
dente, composée de droites parallèles et de droites perpendiculaires, en sorte que cette ligne est la limite des différentes courbes que Ton obtiendrait en augmentant successivement le nombre des termes.
SECTION III.
REHARQUES SUR CES SfiRlES.
179.
On peut envisager ces mêmes équations sous un autre point de vue et démontrer immédiatement Téquation
TT . I ^ I K I I
7- =: COSX — 77 COSSo: -h ^ C0S5 j: C0S7X -+- - C09QX —
4 3 0 7 9
Le cas oii x est nulle se vérifie par la série de Leibnitz
TT _ _^ I I I £
3 D 7 9
Ensuite on supposera que le nombre des termes de la série
ÇOScT — ^C0S3x 4- ttCOSSo? COS7d7 H-. . .,
\ 3 i) 7
au lieu d'être infini, est déterminé et égal à m. On considérera la valeur de cette suite finie comme une fonction de oo et de m. On réduira la valeur de la fonction en une série ordonnée suivant les puissances négatives de m: et l'on reconnaîtra que cette valeur approche d'autant plus d'être constante et indépendante de x, que m est un plus grand nombre (*).
(1) On remarquera que, dans cette étude de quelques séries particulières, Fourier suit précisément la méthode qui a permis plus tard à Dirichlet d'obtenir pour la première fois une théorie complètement rigoureuse des séries trigonométriques. Cette méthode consiste, comme on le voit, a exprimer par une intégrale définie la somme des m premiers termes de la série, puis à chercher la limite de celte intégrale. G. D.
CHAPITRE III.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 159 Soit j la fonction cherchée qui est donnée par Téquation
I
y =. COS^ — ttCOSSo: -h ttCOSSj? C0S7X -h. . . C0S(2W — l)uC,
-^ 3 5 7' 2 m — 1^ '
le nombre m des termes étant supposé pair. Cette équation, différen- tiée par rapport à x^ donne
dy — ~— =sinj7 — sin3x-hsin5a7 — sïnnx -h, . ,
dx ^
-i- sin(2m — 3)0? — sin(a/n — i)x\
en multipliant par ^lûnix^ on a
— 2 -^ sin2j7= asinj^sinaj? — 2SÎn3xsin2J7-h 2 sin5a?sin2a7-^. . . dx
-^ 2 sin(2m — 3)j7sin2.r — 2 sin(2m — i)a:sin2j-.
Chaque terme du second membre étant remplacé par la différence de deux cosinus, on en conclura
dy , , , ^
— 2 -j- ^ïïi'XX =L cosi^— x) — cos3j7
— COS X 4- CCS 007
-+-cos3^ — COS 'jx — cos5.r4-cos ^x H- 00370: — cosiix
4- COS (2 m — 5) jF — COS (2 m — i)x — cos(2/n — Z)x H- cos(2w -H 1)0:.
Le second membre se réduit à cos(2/w -f- 1)0; — cos(2/w — i).r ou — 2sin2/na7sina;; donc
2m.r
,=i pin
2 J C(
dx.
cosx
180.
On intégrera le second membre par parties, en distinguant dans rintégrale le facteur ^inimxdx^ qui doit être intégré successivement,
160 THÉORIE DE LA CHALEUR.
et le facteur ou sécx que l'on doit différen tier successivement ; dési-
gnant les résultats de ces différentiations par séc'^, séc^^r, séc'"xy . . ., on aura
2y = const. C0S2 ma: sec ûc
^ im
H — ; — rsina/n^séc'^ h — ; — -cos'imxséd'x — . . .; ainsi la valeur de y^ ou
COSX — :rC0S3;r -H -^ COSOJ? C0S7A'-f-. . .H C0S(2W — i)x,
3 D 7' 2/?l — I^ '
qui est une fonction de a? et /n, se trouve exprimée par une série infinie; et il est manifeste que, plus le nombre m augmente, plus la valeur de y approche de celle de la constante. C'est pourquoi, lorsque le nombre m est infini, la fonction y a une valeur déterminée qui est toujours la même, quelle que soit la valeur positive de Xy moindre que
-• Or, si l'on suppose l'arc x nul, on a
■a
I I I I
3079
qui équivaut à 7 • Donc on aura généralement
(b) -7 rrrCOSJf — ;ïC0S3x-H ^COSDvT €08 707 H COSOJT —
4 3 5 7 9
181. Si dans cette équation on suppose ^= t' on trouvera
TT I I I I I I I
• 2 y/a ' 3 5 7 9 11 j3 i5
En donnant à l'arc x d'autres valeurs particulières, on trouvera d'autres séries qu'il est inutile de rapporter, et dont plusieurs ont déjà été publiées dans les Ouvrages d'Euler. Si l'on multiplie l'équa-
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 161
lion {b) par dx et que l'on intègre, on aura
-7- =: sinj: — 7,-^sin3a: 4- r^smoj? jSin7J: H-. . . .
4 3* 5* 7* '
En faisant dans cette dernière équation a? = -, on trouve
tt' _ I I I I
-^— l-h^4-^-h-, -h~, -h...,
série déjà connue. On pourrait énumérer à Tinfini ces cas particu- liers; mais il convient mieux à l'objet de cet Ouvrage de déterminer, eft suivant le même procédé, les valeurs de diverses séries formées de sinus ou de cosinus d'arcs multiples.
182. Soit
r =1 sinj? sin2a:-+- 7> sinSo: — y sinA^-H. • •
^ 234
I . , . I .
H sm(m — 1)0? smm^,
m — I m
m étant un nombre pair quelconque. On tire de cette équation
■j- ^mcosa? — cosa^r 4- cosS^ — cos4^-i-. . .4- cos(m — i)^— cosmj^;
multipliant par 2sin^ et remplaçant chaque terme du second membre par la différence de deux sinus, on aura
2 sin:r^ =: sin(a7-f-^) — sin(j? — x)
— sin(2J7 -h j?) + sin(2j; — ac) -h sin(3,r -h jc) — sin(3j7 — x)
-h sin[(/?i — i)x-^x] — sin[(/w — i)X'— x] — sin(/n^4- x) -f- sin{mx — x)
et, en réduisant,
2s\nx-^ =:s\nx -i-sïnmx — s\n{mx -^x); h\ 21
162 THÉORIE DE LA CHALEUR.
la quantité
sinm j? — sin(mj' -f- x)
OU
f)-sm(i
sin( 7/1 j? H 1 — sin( mx -\ 1 —
2 2/ V 22
équivaut à
(■
xi X
2 sin - cos ( mx -H - |;
on a donc
. X
, sin- ,
- :— =r . cos ( m X
dx 2 sinj?
('''^■^i)
OU
dy _ I
COS ( «I j: H j
dx 2 X"
2 cos -
2
on en conclut
X
r-- -
2
Si Ton intègre par parties, en distinguant le facteur ou séc*-
cos-
2
qui doit être successivement différentié et le facteur cos(/wj:^-f- - j
que l'on intégrera plusieurs fois de suite, on formera une série dans
laquelle les puissances de m -h - entrent aux dénominateurs. Quant à
la constante, elle est nulle parce que la valeur de y commence avec celle de x. Il suit de là que la valeur de la suite finie
sinx sin2or -\- -^%\x\Zx — - sinSj: n — sinTx — . . . sinm^-
2 Ci 0 7 ' ni
diffère extrêmement peu de -> lorsque le nombre des termes est très grand; et, si ce nombre est infini, on a Téquation déjà connue
— =z sinj:- sînajp -H TrsinSx — y sin 4»^ 4- -sinSj:' — . . . .
2 2 3 4 0
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 163 On pourrait aussi déduire de cette dernière série celle que nous avons donnée plus haut pour la valeur de 7-
183.
Soit maintenant
y — -C0S2J? — yCOS^-^? -h ^COSDJ: — . . . 2 [\ D
H cos l'A m — 2 ) ^ CCS 2 m ./•,
2 W — 2 2 //*
m étant un nombre pair. Différentiant, multipliant par 2sin2ar, sub- stituant les différences de cosinus et réduisant, on aura
dy ^ sin(2m -f- i)vr 2 -j^ — — tang.r H ^ —
ou
2^ = c — /tangj™c?x-h / - -^^ ;- djc.
Intégrant par parties le dernier terme du second membre et supposant m infini, on a
y^=LC-\ — logcosj:-.
Si, dans l'équation
y m - C0S2J:- — y C0S4^ "H 2?C0S6jc — tcCOSSj:-}-. . .,
-^ 1 4 ^ o
on suppose x nulle, on trouve
donc
I I I I I ,
J ziz - log2 4- - lOg COSX.
On parvient ainsi à la série donnée par Euler
logf 2cos-.r j = cosx cos2jr -h ^ cos Sa? — ^cos4^ -h. . .
16i THÉORIE DE LA CHALEUR.
184. En appliquant le même procédé à l'équation
y = sinjr -f- TcsinSj: -\- -zs'mSx -i — sinTo: -h. . .,
^ 6 5 7
on trouvera la série suivante, qui n'avait pas été remarquée :
7- 3z sin^r -h -sinSj? -h T^sinS^c h — sin?^ -h-sinox -+-
4 3 D 7 9
II faut observer, à l'égard de toutes ces séries, que les équations qui en sont formées n'ont lieu que lorsque la variable a: est comprise entre certaines limites. C'est ainsi que la fonction
cosj:* — ôC0s3.r-H ^cos3.r — -cos7.r -h. . . 6 5 7 '
n'est équivalente a 7 que si la variable x est contenue entre les limites
« que nous avons assignées. Il en est de même de la série
sinx sin2»r 4- TTsinSx — ysin4*r 4- ^sin5j: — -
334^
Cette suite infinie, qui est toujours convergente, donne la valeur - toutes les fois que l'arc œ est plus grand que o et moindre que ir. Mais elle n'équivaut plus à - si l'arc surpasse tt; elle a, au contraire, des
valeurs très différentes de -; car il est évident que, dans l'intervalle
de ^ = 7: à a? = 21:, la fonction reprend avec le signe contraire toutes les valeurs qu'elle avait eues dans l'intervalle précédent, depuis x = o jusqu'à x = i:. Cette série est connue depuis longtemps; mais l'ana- lyse qui a servi à la découvrir n'indique pas pourquoi le résultat cesse d'avoir lieu lorsque la variable surpasse ir.
Il faut donc examiner attentivement la méthode que nous venons
CHAPITRE III.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 165
d'employer et y chercher rorigine de cette limitation à laquelle les séries trigonométriques sont assujetties.
185.
Pour y parvenir, il suflit de considérer que les valeurs exprimées par les suites infinies ne sont connues avec une entière certitude que dans les cas oii Ton peut assigner les limites de la somme des termes qui les complètent; il faut donc supposer qu'on emploie les premiers termes seulement de ces suites, et trouver les limites entre lesquelles le reste est compris.
Nous appliquerons cette remarque à l'équation
y = coSvT — T7C0s3.r -f- -cos5.r cosix -+-...
^ 3 à 7 '
cos(2m — 3)vr cos(2/« — i)j^ 2 //i — 3 2 m — I '
le nombre des termes est pair et représenté par m\ on en déduit cette équation
dy ^xïiimx
2-.-- = ,
dx cosj:'
d'où l'on peut tirer la valeur de j, en intégrant par parties. Or l'inté- grale fuvdx peut être résolue en une série composée d'autant de termes qu'on le voudra, m et ^ étant des fonctions de x. On peut écrire, par exemple,
f uv dx r= c 4- « / ^' dx — -j- f dx f V dx
d^u
-^^fdxfdxfi>dx-j(d^^fdxfdxfvdxy
équation qui se vérifie d'elle-même par la différentiation. En désignant sin 2mx par v et séc r par w, on trouvera
2y r=c secxcos2wj? -t- — — -séc xsin2mx
^ 2 m 2* m'
I f séc'^^z'
-z — n séc''j:cos2ma7 — l tosimxd -^ — ^
166 THÉORIE DE LA CHALEUR.
186.
Il s'agit maintenant de connaître les limites entre lesquelles est comprise Tintégrale
-; — r rcos2mvFé/séc'^
qui complète la suite. Pour former cette intégrale, il faudrait donner à l'arc X une infinité de valeurs, depuis o, terme où l'intégrale com- mence, jusqu'à X qui est la valeur finale de l'arc, déterminer pour chacune des valeurs de x celle de la différentielle rfséc"j? et celle du facteur cos2m^, et ajouter tous les produits partiels; or le facteur variable cos2/na7 est nécessairement une fraction positive ou néga- tive : par conséquent, l'intégrale se compose de la somme des valeurs variables de la différentielle rfséc"»r, multipliées respectivement par des fractions. La valeur totale de cette intégrale est donc moindre que la somme des différentielles rfséc^j?, prises depuis x=^o jusqu'à x^ et elle est plus grande que cette même somme prise négativement; car, dans le premier cas, on remplace le facteur variable cos2wa7 par la quantité constante i, et, dans le second cas, on remplace ce facteur par — I. Or cette somme des différentielles rfséc"j7, ou, ce qui est la même chose, l'intégrale /rfséc"^, prise depuis a7 = o, est %kç!'x — séc"o; séc'^a? est une certaine fonction de a?, et séc"o est la valeur de cette fonction, prise en supposant l'arc a? nul (*). L'intégrale cherchée est donc comprise entre
H- (séc^x — séc"o) et — (séc'j? — séc'o); c'est-à-dire que, en représentant par k une fraction inconnue positive
(1) Fourier néglige d* énoncer ici une des conditions qui sont nécessaires pour Texacti- tude du raisonnement, à savoir que tous les éléments de l'intégrale
/
^(séc^j:)
soient de même signe. Cette condition est d'ailleurs satisfaite, comme on s'en assurera aisément. G. D.
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL 167
ou négative, on aura toujours
On parvient ainsi à Inéquation
2y = c séco? cosa/wjr h — r — - séc'^ sin2m^-
2/71 2* m'
I k
séc''j7COS2mj? -f- — — -(séc^a: — séc^o).
2^ m* 1^ nv
dans laquelle la quantité-^ — i(séc"a7— séc"o) exprime exactement la somme de tous les derniers ternies de la série infinie.
187. Si l'on eût cherché deux termes seulement, on aurait eu l'équation
I I k
2Y=zc sécj?cos2w»r -f- , iSéc'j7sin2/wj: h — - — - (séc'^r — séc'o).
•^ 2 m 2- m' 2* m'
Il résulte de là que l'on peut développer la valeur de y en autant de termes que l'on voudra et exprimer exactement le reste de la série; on trouve ainsi cette suite d'équations
2r = c sécJT cos2mx -\ (sécj? — séco),
2/W 2m^
I I k
2 v=:z c sécj?cos2mx •+■ -- — Tséc'.r sin2//ijr h — . — r (séc'x — séc'o),
"^ 2 ni 2* m* 2- m* '
2 V — c seCvrcos2/«j7 H — i — - sec .r sni2/nx
2/7* 2'//l*
I A-
H — - — rséc''j:cos2/7i^- H — - — îCséc'^a' — séc"©). 2'//i' 2^ m*
Le nombre k qui entre dans ces équations n'est pas le même pour toutes, et il représente dans chacune une certaine quantité qui est toujours comprise entre i et — i ; m est égal au nombre des termes de la suite
COSX — 7ïC0S0.27 -f- M COSOJT — ... cos(2/n — \)X,
3 ù 2 m — I
dont la somme est désignée par y.
168 THÉORIE DE LA CHALEUR.
188.
On ferait usage de ces équations si le nombre m était donné, et, quelque grand que fût ce nombre, on pourrait déterminer, aussi exac- tement qu'on le voudrait, la partie variable de la valeur de y. Si le nombre m est infini, comme on le suppose, on considérera la première équation seulement ; et il est manifeste que les deux termes qui suivent la constante deviennent de plus en plus petits; en sorte que iy a dans ce cas pour valeur exacte la constante c\ on détermine cette constante en supposant ^ = o dans la valeur de y y et Ton en conclut
É
T. I .. I j. I I
- z=L COS^' — ôC0S3x 4- ttCOSSjC COSTcT H COSQX — . . . .
4 3 5 7 9
II est facile de voir maintenant que le résultat a nécessairement lieu si Tare x est moindre que -• En effet, attribuant à cet arc une valeur déterminée X aussi voisine de- qu'on voudra le supposer, on pourra toujours donner a m une valeur si grande que le terme
k
lin
(sécJ7 — séco)
qui complète la série devienne moindre qu'une quantité quelconque; mais l'exactitude de cette conclusion est fondée sur ce que le terme séco? n'acquiert point une valeur qui excède toutes les limites pos- sibles, d'où il suit que le raisonnement ne peut s'appliquer au cas où
l'arc X n'est pas moindre que -•
On fera usage de la même analyse pour les séries qui expriment les
valeurs de -> logcosa?, et l'on pourra distinguer par ce moyen les
limites entre lesquelles la variable doit être comprise pour que le résultat du calcul soit exempt de toute incertitude; au reste, ces mêmes questions seront traitées ailleurs par une méthode fondée sur d'autres principes.
/
CHAPITRE III.-- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 169
189.
L'expression de la loi des températures fixes dans une lame solide suppose la connaissance de l'équation
- =cos.r — xCOsSj: -h rrcosox cos7»r h — cosqj: — . . . .
^ 3 5 7 9
Voici le moyen le plus simple d'obtenir cette équation :
Si la somme de deux arcs équivaut au quart de la circonférence ^y le produit de leurs tangentes est i ; on a donc« en général,
2
(c) -7r=: arctan<çM -f-arclang-;
le signe arc tanga indique la longueur de l'arc dont la tangente est u; et l'on connaît depuis longtemps la série qui donne la valeur de cet arc; on aura donc le résultat suivant :
(d) <
si maintenant on écrit e'^"*, au lieu de m, dans l'équation {c) et dans l'équation {d), on aura
- = arc tange*V^-+- arc tange-^N^ ,
71 1,1^1 I '
r— cosx — ô cosoj: -h ^cosDo: cos?^ H — cosqjt — . . . .
4 3 5 7 9
La série de l'équation {d) est toujours divergente et celle de l'équa- tion {b) est toujours convergente; sa valeur est-» ou — ^•
F. 22
170 THEORIE DE LA CHALEUR.
SECTION VI.
SOLUTION GÉNÉHàLB.
190.
On peut maintenant former la solution complète de la question que nous nous sommes proposée; car les coefficients de Téquation (b) (art. 168) étant déterminés, il ne reste plus qu'à les substituer; et Ton aura
'j- = e-* cos/ — ^ e'-' cos 3 j -h j^ e -^' cos 5/
e~'''cos7 V H — e~^'cosov
7 9
Cette valeur de i^ satisfait à l'équation
elle devient nulle lorsqu'on donne iiy une valeur égale à - ou '—^;
enfin, elle équivaut à l'unité toutes les fois que, x étant' nulle, y est
comprise entre et h Ainsi toutes les conditions physiques de
la question sont exactement remplies, et il est certain que, si l'on donnait à chaque point de la lame la température que l'équation (a) détermine, et si, en même temps, on entretenait la base A a la tempé- rature I et le3 aréles infinies B et C a la température o, il serait impossible qu'il survint aucun changement dans le système des tempé- ratures.
191.
Le second membre de l'équation (a) étant réduit en une série extrêmement convergente, il est toujours facile de déterminer en nombre la température d'un point dont les coordonnées ce et y sont connues. Cette solution donne lieu à diverses conséquences qu'il est
CHAPITRE lïl. - SOLIDE RECTANGULAIKE INFINI. 171
nécessaire de remarquer, parce qu'elles appartiennent à la théorie générale.
Si le point /w, dont on considère la température fixe, est très éloigné de Torigine A, le second membre de l'équation (a) aura pour valeur extrêmement approchée €~^ cosy; il se réduit à ce premier terme si x est infini.
L'équation
r= —^"^ cos V
représente ainsi un état du solide qui se conserverait sans aucun changement, s'il était d'abord formé; il en serait de même de l'état exprimé par l'équation
i'zr: T—e'^-^cosSy,
• et, en général, chaque terme de la série correspond à un état particulier qui jouit de la même propriété. Tous ces systèmes partiels existent à la fois dans celui que représente l'équation (a); ils se superposent, et le mouvement de la chaleur a lieu pour chacun d'eux de la même manière que s'il était seul. Dans l'état qui répond à l'un quelconque de ces termes, les températures fixes des points de la base A diffèrent d'un point à un autre, et c'est la seule condition de la question qui ne soit pas remplie; mais l'état général qui résulte de la somme de tous les termes satisfait à cette même condition.
A mesure que le point dont on considère la température est plus éloigné de l'origine, le mouvement de la chaleur est moins composé : car, si la distance x a une valeur assez grande, chaque terme de la série est fort petit par rapport au précédent, de sorte que l'état de la lame échauffée est sensiblement représenté par les trois premiers termes, ou par les deux premiers, ou par le premier seulement, pour les parties de cette lame qui sont de plus en plus éloignées de l'ori- gine.
La surface courbe dont l'ordonnée verticale mesure la température fixe ^ se forme en ajoulant les ordonnées d'une multitude de surfaces
172 THÉORIE DE LA CHALEUR
particulières, qui ont pour équations
71 i-, „
- =— ;je-'-^cos3j,
li_2 _- ^,-5j: eos5j,
La première de celles-ci se confond avec la surface générale lorsque x est infinie, et elles ont une nappe asymptotique commune.
Si la différence v — v. de leurs ordonnées est considérée comme Tordonnée d'une surface courbe, cette surface se confondra, lorsque x est infinie, avec celle dont l'équation est
Tous les autres termes de la série donnent une conclusion semblable. . On trouverait encore les mêmes résultats si la section, à l'origine, au lieu d'être terminée, comme dans l'hypothèse actuelle, par une droite parallèle a l'axe des j, avait une figure quelconque formée de deux parties symétriques. On voit donc que les valeurs particulières
ae-^cos/, be-^-^ cos3/, c?"*' cos5/,
prennent leur origine dans la question physique elle-même et ont une relation nécessaire avec les phénomènes de la chaleur. Chacune d'elles exprime un mode simple suivant lequel la chaleur s'établit et se propage dans une lame rectangulaire, dont les côtés infinis con- servent une température constante. Le système général des tenipéra- tures se compose toujours d'une multitude de systèmes simples, et l'expression de leur somme n'a d'arbitraire que les coefficients a, A,
c d
192.
On peut employer l'équation (a) pour déterminer toutes les circon- stances du mouvement permanent de la chaleur dans une lame rec-
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIUE INFINI. 173
tangulaire échauffée à son origine. Si Ton demande, par exemple, quelle est la dépense de la source de chaleur, c'est-à-dire quelle est la ({uantité qui, pendant un temps donné, pénètre à travers la base A et remplace celle qui s'écoule dans les masses froides B et C, il faul con- sidérer que le flux perpendiculaire à l'axe des y a pour expression
— Ky-; la quantité qui, pendant l'instant dt^ s'écoule à travers une
particule dy de l'axe, est donc
— K-^—dvdli
et, comme les températures sont permanentes, le produit du flux pen- dant l'unité de temps est
On intégrera cette expression entre les limites j = — - et j = 4- f» afin de connaître la quantité totale qui traverse la base ou, ce qui est la même chose, on intégrera depuis y = o jusqu'à y = -> et l'on
An
prendra le double de la somme. La quantité -r- est une fonction de x
et y, dans laquelle on doit faire x = o, afin que le calcul se rapporte à la base A, qui coïncide avec l'axe des y. La dépense de la source de chaleur a donc pour expression
L'intégrale doit être prise depuis j= o jusqu'à y =z -^\ si, dans la
fonction ^j on ne suppose point x = Oy mais x = x, l'intégrale sera
une fonction de x qui fera connaître combien il s'écoule de chaleur pendant l'unité de temps, à travers une arête transversale placée à la distance x de l'origine.
193.
Si l'on veut connaître la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, pénètre au delà d'une ligne tracée sur la lame parallèlement
ilï THÉORIE DE LA CHALEUR.
aux arêtes B et C, on se servira de l'expression — K j-> et, la multi- pliant par l'élément dx de la ligne tracée, on intégrera par rapport à x entre les termes donnés de la ligne; ainsi Tintégrale
M
or
fera connaître combien il s'écoule de chaleur à travers toute l'étendue
de la ligne; et si, avant ou après l'intégration, on fait y= -> on
connaîtra la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, sort de la lame en traversant l'arête intinie C. On pourra ensuite comparer cette dernière quantité a la dépense de la source de chaleur; car il €»st nécessaire que le foyer supplée continuellement la chaleur qui s'écoule dans les masses B et C. Si cette compensation n'avait pas lieu à chaque instant, le système des températures serait variable.
L'équation (a) donne
— K .— = -^- {e •'cos)' — e-^'^ Q,o%Zy H- e-*-^ ces 5 y —^-"-^cos; v 4-. . .);
(JJO i.
multipliant par dy, intégrant depuis j = o, on a
- — ( t'— ^sin>' — -e'-^sinS V -h ^e-'-^sin5>' e ''■^ sinTv 4-. . . ).
Si l'on fait v= - et si l'on double l'intégrale, on trouvera
7:
357 ;
pour l'expression de la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, traverse une ligne parallèle à la base et dont la distance à cette base est x.
On déduit aussi de l'équation (a)
— K-T-~ — (e -^sin >• — e'-^sinSr 4- e-^-^sin5 v ~ e* '•^81117 vh-. . .);
CHAPITRE III.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. nS donc l'intégrale
j dv
prise depuis œ = o, est
— (i — e~^) sinj — ^(i — e-")sin37-h-(i — e 5-^)810 5/ (i — e-'^) siii7> -h...
Si Ton retranche cette quantité de la valeur qu'elle prend lorsqu'on y fait X infini, on trouvera
■ — ( e-'sinv— ize-^^ sinSy -^ ^<?*-^ sin5 v — . . .
#
et, en faisant y— -> on aura l'expression de la quantité totale de
chaleur qui traverse l'arête infinie C, depuis le point dont la distance h l'origine est ^jusqu'à Textrémilé de la lame; cette quantité est
e-^-h -re-^^-h ^^e-**"-}- -e^'-'-h
n
71 V à 5
;•••)'
on voit qu'elle équivaut à la moitié de celle qui pénètre pendant le même temps au delà de la ligne transversale tracée sur la lame à la distance ce de Torigine. Nous avons déjà remarqué que ce résultat est une conséquence nécessaire des conditions de la question; s'il n'avait pas lieu, la partie de la lame qui est placée au delà de la ligne trans- versale et se prolonge à l'infini ne recevrait point par ses bases une quantité de chaleur égale à celle qu'elle perd par ses deux arêtes; elle ne pourrait donc point conserver son état, ce qui est contraire à l'hypo- thèse, u
195.
Quant à la dépense de la source de chaleur, on la trouve en sup- posant x = o dans l'expression précédente; elle acquiert par là une valeur infinie, et l'on en connaîtra la raison si Ton remarque que, d'après l'hypothèse, tous les points de la ligne A ont et conservent la température i ; les lignes parallèles qui sont très voisines de cette base ont aussi une température extrêmement peu différente de l'unité;
176 THÉORIE I)E LA CHALEUIt.
donc les extrémités de toutes ces lignes qui sont contiguës aux masses froides B et C leur communiquent une quantité de chaleur incompa- rablement plus grande que si le décrolssement de lu température était continu et insensible. Il existe dans cette première partie de la lame, aux extrémités voisines de B ou de C, une cawrac/e de chaleur ou un ilux infini. Ce résultat cesse d'avoir lieu lorsque la dislance x reçoit une valeur appréciable.
t%. On a désigné par -;: la longueur de la base. Si on lui attribue une valeur quelconque 2/, il faudra écrire, au lieu de y, -tc jj et. multi- pliant aussi les valeurs de x par —., on écrira -n y au lieu de -r. Dési- gnant par A la température constante de la hase, on remplacera v par 7-- Ces substitutions étant faites dans l'équation (a), on a
1 i'= — ( e " cos-^ — -„f " cos3 — ,- 1 7: \ 3/3 a/
(If)
' +-« .'cos.^--. "cos7^+...).
Celte équation représente exactement le système des températures permanentes dans un prisme rectangulaire infini, compris entre deux masses de glace fi et C et une source de chaleur constante.
197.
Il est facile de voir, soit au moy.en de celte équation, soit d'après l'article 171, que la chaleur se propage dans ce solide en s'éloignant de plus en plus de l'origine, en même temps qu'elle se dirige vers les faces infinies B et C. Chaque section parallèle à celle de la hase est traversée par une onde de chaleur qui se renouvelle à chaque instant et conserve la même intensité; cette intensité est d'autant moindre que'la section est plus distante de l'origine. It s'opère un mouvement' semblable, par rapport à un plan quelconque parallèle aux faces inû-
CHAPITRE m. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 177
nies; chacun de ces plans est traversé par une onde constante qui porte sa chaleur aux masses latérales.
Nous aurions regardé comme inutiles les développements contenus dans les articles précédents, si nous n'avions point à exposer une théorie entièrement nouvelle, dont il est nécessaire de fixer les prin- cipes. C'est dans cette même vue que nous ajouterons les remarques suivantes.
198.
Chacun des termes de l'équation (a) correspond à un seul système particulier de températures, qui pourrait subsister dans une lame rec- tangulaire échauffée par son extrémité et dont les arêtes infinies sont retenues à une température constante. Ainsi l'équation ç' = e"*cosj représente les températures permanentes, lorsque les points de la base A sont assujettis à une température fixe, désignée par cosj. On peut concevoir maintenant que la lame échauffée fait partie du plan qui se prolonge à l'infini dans tous les sens; en désignant par ^ et j les coordonnées d'un point quelconque de ce plan et par v la tempe- rature du même point, on appliquera au plan tout entier l'équation
>—x
V ■=. e~* cos/ ;
par ce moyen, les arêtes B et C auront la température constante o;
mais il n'en sera pas de même des parties contiguës; elles recevront
et conserveront une température moindre. La base A aura dans tous
ses points la température permanente désignée par cosy, et les parties
contiguës auront une température plus élevée.
Si Ton construit la surface courbe dont l'ordonnée verticale équi-
vaut k la température permanente de chaque point du plan, et si on la
coupe par un plan vertical passant par la ligne A ou parallèle à cette
ligne, la figure de la section sera celle d'une ligne trigonométrique
dont l'ordonnée représente la suite infinie et périodique des cosinus.
Si l'on coupe cette même surface courbe par un plan vertical parallèle
à l'axe des x^ la figure de la section sera dans toute son étendue celle
d'une courbe logarithmique.
F. 23
178 THEORIE DE LA CHALEUR.
199.
On voit par là de quelle manière le calcul satisfait aux deux condi- tions de riiypothèse, qui assujettissent la ligne à une température égale à cosj, et les deux côtés B et C à la température o. Lorsqu'on exprime ces deux conditions, on résout en effet la question suivante : Si la lame échauffée faisait partie d'un plan infini, quelles devraient être les températures de tous les points de ce plan pour que le système fût de lui-même permanent, et que les températures fixes des côtés du rectangle infini fussent celles qui sont données par l'hypothèse?
Nous avons supposé précédemment que des causes extérieures quel- conques retenaient les faces du solide rectangulaire infini, l'une à la température i , et les deux autres a la température o. On peut se re- présenter cet effet de différentes manières; mais l'hypothèse propre au calcul consiste à regarder le prisme comme une partie d'un solide dont toutes les dimensions sont infinies et à déterminer les tempéra- tures de la masse qui l'environne, en sorte que les conditions relatives à la surface soient toujours observées.
200.
Pour connaître le système des températures permanentes dans une lame rectangulaire dont l'extrémité A est entretenue à la température I , et les deux arêtes infinies k la température o, on pourrait considérer les changements que subissent les températures, depuis l'état initial qui est donné jusqu'à l'état fixe qui est l'objet de la question. On dé- terminerait ainsi l'état variable du solide pour toutes les valeurs du temps, et l'on supposerait ensuite cette valeur infinie.
La méthode que nous avons suivie est différente et conduit plus immédiatement à l'expression de l'état final, parce qu'elle est fondée sur une propriété distinctive de cet état. On v^ prouver maintenant que la question n'admet aucune autre solution que celle que nous avons rapportée. Celte démonstration résulte des propositions sui- vantes.
CHAPITRE m— SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL 179
201.
Si l'on donne à tous les points d'une lame rectangulaire infinie les températures exprimées par l'équation (a), et si l'on conserve aux deux arêtes B et C la température fixe o pendant que l'extrémité A est exposée a une source de chaleur qui retient tous les points de la ligne A à la température fixe i, il ne pourra survenir aucun diange- ment dans l'état du solide. En effet, l'équation
(rv d-v _
étant satisfaite, il est manifeste que la quantité de chaleur qui déter- mine la température de chaque molécule ne pourra être ni augmentée ni diminuée.
Supposons, les différents points du même solide ayant reçu les tem- pératures exprimées par l'équation (a) ou
qu'au lieu de retenir l'arête A à la température i, on lui donne, ainsi qu'aux deux lignes B et G, la température fixe o; la chaleur contenue dans la lame BAC s'écoulera à travers les trois arêtes A, B, C et, d'a- près l'hypothèse, elle ne sera point remplacée, en sorte que les tem- pératures diminueront continuellement et que leur valeur finale et commune sera o. Cette conséquence est évidente, parce que les points infiniment éloignés de l'origine A ont une température infiniment petite, d'après la manière dont l'équation (a) a été formée.
Le même effet aurait lieu en sens opposé si le système des tempéra- tures était '
au lieu d'être
c'est-à-dire que toutes les températures initiales négatives varieraient continuellement et tendraient de plus en plus vers leur valeur finale
180 THEORIE DE LA CHALEUR.
o, pendant que les trois arêtes A, B, C conserveraient la tempéra- ture o.
202.
Soit {?=f[xyy) une équation donnée qui exprime la température initiale des points de la lame BAC, dont la basé A est retenue à la tem- pérature I , pendant que les arêtes B et C conservent la température o.
Soit ç> = F(^,j) une autre équation donnée qui exprime la tempé- rature initiale de chaque point d'une lame solide BAC parfaitement égale à la précédente, mais dont les trois arêtes B, A, C sont retenues à la température o.
Supposons que, dans le premier solide, l'état variable qui succède à l'état initial soit déterminé par l'équation
/ désignant le temps écoulé, et que l'équation
détermine l'état variable du second solide, pour lequel les tempéra- tures initiales sontF(a7,y).
Enfm^ supposons un troisième solide égal à chacun des deux précé- dents; soit
l'équation qui représente son état initial, et soient i la température constante de la base A, o et o celles des deux arêtes B et C.
On va démontrer que l'état variable du troisième solide sera déter- miné par l'équation
En effet, la température d'un point m du troisième solide varie parce que cette molécule, dont M désignera le volume, acquiert ou perd une certaine quantité de chaleur A. L'accroissement de la température pendant l'instant dt est
cM
CHAPITRE III.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL 181
le coefficient c désignant la capacité spécifique rapportée au volume. La variation de la température du même point, dans le premier solide,
sera -w^-f» et elle sera -^dt dans le second, les lettres rf et D repré- sentant la quantité de chaleur positive ou négative que la molécule acquiert en vertu de l'action de toutes les molécules voisines. Or il est facile de reconnaître que A équivaut à c? -f- D. Pour s'en convaincre, il suffit de considérer la quantité de chaleur que le point m reçoit d'un autre point m^ appartenant à l'intérieur de la lame ou aux arêtes qui la limitent.
Le point /w,, dont la température initiale est désignée par/<, trans- mettra à la molécule m, pendant l'instant dt^ une quantité de chaleur exprimée par q\{f%—f)dty le facteur y, représentant une certaine fonction de la distance des deux molécules. Ainsi la quantité totale de chaleur acquise par m sera ^q^[f^ —f)dt, le signe 2 exprimant la somme de tous les termes que l'on trouverait en considérant les autres points m,, /W3, /w^, . . . qui agissent sur m, c'est-à-dire en mettant ya,/^, ou 5^3, /a, ou 5^4, /4, ainsi de suite, à la place de 5^1, /|. On trouvera de même 2y,(F| — F)ûfe pour l'expression de la quantité totale de cha- leur acquise par le même point m du second solide; et le facteur q^ est le même que dans le terme ^^^^(yj— y)tft,puisque les deux solides sont formés de la même matière, et que la situation des points est la même; on a donc
l) = 2^t(F, — F)û?^ On trouvera par la même raison
A = 27,[(/.-i-F.)-(/+F)]é//; donc
^ d Y)
cM cM cM
Il suit de là que chaque molécule m du troisième solide acquerra, pen- dant l'instant dt^ un accroissement de température égal à la somme
182 THÉORIE DE LA CHALEUll.
(les deux accroissements qui auront lieu pour le même point dans les doux premiers solides. Donc, à la fin du premier instant, l'hypothèse primitive subsistera encore, pisquu'une molécule quelconque du troi- sième solide aura une température égaleà la somme de celles qu'elle a dans les deux autres. Donc cette même relation aura lieu au commen- cement de chaque instant; c'est-à-dire que l'état variable du troisième solide sera toujours représenté par l'équation
203.
La proposition précédente s'applique à toutes les questions relatives au mouvement uniforme ou varié de la chaleur. Elle fait voir que ce mouvement peut toujours être décomposé en plusieurs autres dont- chacun s'accomplit séparément comme s'il avait lieu seul. Cette su- perposition des effets simples est un des éléments fondamentaux de la théorie de la chaleur. Elle est exprimée dans le calcul par la nature même des équations générales et tire son origine du principe de la communication de la chaleur.
Suit maintenant
l'équation fa), qui exprime l'état permanent de la lame solide BAC, échauffée par son extrémité A, et dont les arêtes B et C conservent la température i ; l'état initial de celte lame est tel, d'après l'hypothèse, que tous ses points ont une température nulle, excepté ceux de la base A, dont la température est i. Cet état initial pourra donc être considéré comme formé de deux autres, savoir : un premier, pour lequel les températures initiales seraient — (p{x,/), les trois arêtes étant maintenues à la température o; et un second état, pour lequel les températures initiales sont + f{x,y), les deux arêtes B et C con- servant la température o, et la base A la température i ; la superpo- sition de ces deux états produit l'état initial qui résulte de l'hypo- thèse. Il ne reste donc qu'à examiner le mouvement de la chaleur dans
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 183
chacun des deux états partiels. Op, pour le second, le système des températures ne peut subir aucun changement; et, pour le premier, il a été remarqué, dans l'article 201, que les températures varient conti- nuellement et finissent toutes par être nulles. Donc l'état final pro- prement dit est celui que représente l'équation (a) ou
Si cet état était formé d'abord, il subsisterait de lui-même, et c'est cette propriété qui nous a servi à le déterminer. Si l'on suppose la lame solide dans un autre état initial, la différence entre ce dernier état et l'état fixe forme un état partiel qui disparait insensiblement.- Après un temps considérable, cette différence est presque évanouie, et le système des températures fixes n'a subi aucun changement. C'est ainsi que les températures variables convergent de plus en plus vers un état final, indépendant de réchauffement primitif.
204.
On reconnaît par là que cet état final est unique; car, si l'on en concevait un second, la différence entre le second et le premier forme- rait un état partiel, qui devrait subsister de lui-même, quoique les arêtes A, B, C fussent entretenues à la température o; or ce dernier effet ne peut avoir lieu. Il n'en serait pas de même si l'on supposait une autre source de chaleur indépendamment de celle qui s'écoule à l'origine A; au reste, cette hypothèse n'est point celle de la question que nous avons traitée, et pour laquelle les températures initiales sont nulles. Il est manifeste que les parties très éloignées de l'origine ne peuvent acquérir qu'une température extrêmement petite.
Puisque l'état final qu'il fallait déterminer est unique, il s'ensuit que la question proposée n'admet aucune autre solution que celle qui résulte de l'équation (a). On peut donner une autre forme à ce même résultat; mais on ne peut ni étendre, ni restreindre la solution, sans la rendre inexacte.
La méthode que nous avons exposée dans ce Chapitre consiste à for-
184 THÉORIE DE LA CHALEUR.
mer d'abord des valeurs particulières très simples, qui conviennent à la question, et à rendre la solution plus générale, jusqu'à ce que la fonction ç ou ?(^, J') satisfasse à trois conditions, savoir :
<p(a7,0)=:l,
Il est visible que l'on pourrait suivre une marche contraire, et la solu- tion que l'on obtiendrait serait nécessairement la même que la précé- dente. Nous ne nous arrêterons point à ces détails, qu'il est facile de suppléer dès qu'une fois la solution est connue. Nous donnerons seu- lement, dans la Section suivante, une expression remarquable de la fonction ^[cc^y) dont la valeur est développée en série convergente dans l'équation (a),
SECTION V.
EXPRESSION FINIE DU RÉSULTAT DE LA SOLUTION.
205.
On pourrait déduire la solution précédente de l'intégrale de l'équa- tion
dx^ "^ dy^ " ^'
qui contient des quantités imaginaires sous le signe des fonctions arbi- traires. Nous nous bornerons ici à faire remarquer que cette intégrale
(A) ç = (^{x-{'y\f^)-hf]i{x—y\/^)
a une relation manifeste avec la valeur de ^ donnée par l'équation — zz:e-*cos/ — ^e-'-^cos3/-h re-'*cos5/ —
En effet, en remplaçant les cosinus par leurs expressions imaginaires.
CHAPITRE III.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL 186 on a
2 3 5
o 5
La première série est une fonction de oo — yyj— i, et la seconde est la même fonction de ce -^ysj-— i .
En comparant ces séries au développement connu de l'arc arc tangs en fonction de z, on voit sur-le-champ que la première est
arclange-('->'v'^),
et que la seconde est
arclange-:(-^-^>'v^);
ainsi l'équation (a) prend cette forme finie
(B) — =r arc tange-(-^-^:>^v/"^) 4- arc tangc-(^-yv^^).
C'est de cette manière qu'elle rentre dans l'intégrale générale (A); la fonction 9(5) est arctange"^, et il en est de même de la fonction ^(s). Si, dans l'équation (B), on désigne le premier terme du second membre par/? et le second par q, on aura
-7rr=ij5H-g', tang/^^e-C-^-^^NZ-O, lang^ rr: ^- (-^ ^VO;
donc
le ^ cos y 1 cos r
tang(/?-+-^)=- — ^ - •:=
■ •
I — e' *•* c^ — e"*^'
on en déduit l'équation
/r«x * , 2C0Sr
(C) -7ri^:=;arc tang ^^.
C'est la forme la plus simple sous laquelle on puisse présenter la solu tion de la question.
F. 24
186 THÉORIE DE LA CHALEUR.
206.
Cette valeur de i^ ou ç(^, j) satisfait aux conditions relatives aux extrémités du solide., qui sont
9(x, dr j7r)=:o et 9(0,7)1=11;
elle satisfait aussi à l'équation générale
puisque l'équation (C) est une transformée de l'équation (B). Donc elle représente exactement le système des températures permanentes; et, comme ce dernier état est unique, il est impossible qu'il y ait aucune autre solution, ou plus générale, ou plus restreinte.
L'équation (C) fournit, au moyen des Tables, la valeur de l'une des trois indéterminées ^, x, j, lorsque les deux autres sont données; elle fait connaître très clairement la nature de la surface qui a pour ordon- née verticale la température permanente d'un point donné de la lame solide. Enfin on déduit de cette même équation les valeurs des coeffi- cients difi^érentiels 3- ^t ^ qui mesurent la vitesse avec laquelle la
chaleur s'écoule dans les deux directions orthogonales; et l'on con- naîtra par conséquent la valeur du flux dans toute autre direction. Ces coefficients sont exprimés ainsi
dvC TT e'-^H- 2COS27 -+- e-*-^
-5- = sm/
—X
dy TT '^ <?'•*-!- 2C0S37 -h e-**
On remarquera que, dans l'article 194, la valeur de -^ et celle de ^
sont données par des séries infinies dont il est facile de trouver la somme en remplaçant les quantités trigonométriques par des expo-
CHAPITRE III, - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL 187
nentielles imaginaires. On obtient ainsi ces mêmes valeurs de ^ et ^ que nous venons de rapporter.
La question que l'on vient de traiter est la première que nous ayons résolue dans la théorie de la chaleur, ou plutôt dans la partie de cette théorie qui exige l'emploi de l'Analyse. Elle fournit des applications numériques très faciles, soit que l'on fasse usage des Tables trigono- métriques ou des séries convergentes, et elle représente exactement toutes les circonstances du mouvement de la chaleur. Nous passerons maintenant à des considérations plus générales.
SECTION VI.
DÉVELOPPEMENT d'uNE FONCTION ARBrrRAIRE EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES.
207.
La question de la propagation de la chaleur dans un solide rectan- gulaire a conduit à l'équation
ÔJc'^ à y
et, si l'on suppose que tous les points de l'une des faces du solide ont une température commune, il faut déterminer les coefficients a, 6, c, rf, e, . . . de la série
a C0SJ7 -4- ^cos3^ -h ccos5j7 -+- dcosja: -h. . .,
en sorte que la valeur de cette fonction soit égale à une constante
toutes les fois que Tare x est compris entre et h On vient
d'assigner la valeur de ces coefficients; mais on n'a traité qu'un seul cas d'un problème plus général, qui consiste à développer une fonction quelconque en une suite infinie de sinus ou de cosinus d'arcs mul- tiples. Cette question est liée à la théorie des équations aux différences partielles et a été agitée dès l'origine de cette analyse. Il était néces-
188 THÉORIE DE LA CHALEUR.
saire de la résoudre pour intégrer convenablement les équations de la propagation de la chaleur; nous allons en exposer la solution.
On examinera, en premier lieu, le cas où il s'agit de réduire en une série de sinus d'arcs multiples une fonction dont le développement ne contient que des puissances impaires de la variable. Désignant une telle fonction par 9(^0, on posera l'équation
<p(.r) =: a sin,r -h h %\ï\.ix h- c sinS^r -h d%\x\!\x -+-...,
et il s'agit de déterminer la valeur des coefficients «, 6, c, r/, On
écrira d'abord l'équation
dans laquelle ?'(o), ç"(o), ^'"{o), 9'''(o), . . . désignent les valeurs que prennent les coefficients
r/ 9 ( a- ) d/* 9 ( .r ) ^9(0:) c^* 9 ( .r ) cix dx- dx^ dx^
lorsqu'on y suppose œ = o. Ainsi, en représentant le développement selon les puissances de x par l'équation
|
<p(x)_Ax l^£,^Cj^^ D |
a |
1 E .3.4.5.6.7 ' "2.3.4.3.* |
|
on aura |
||
|
9(0) —0, |
9'(o) ■ A, |
|
|
9"(o) ^0, |
9''(o) -B, |
|
|
?'"(o)-o, |
9^o) C, |
|
|
<p'''(o)- 0, |
9'""(o) — I). |
Si maintenant on compare l'équation précédente à celle-ci
9(j?) =1 a sinx -\- b sin2 j; -\- c sin3^ -+- d sin4-r -h • • • , en développant le second membre par rapport aux puissances de^, on
CHAPITRE m. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 189
aura les équations
(«)
A = a-f-2 6-h3 (?-h4 d -j- 0 e C — a -{- 2^b -h 3^c -\- ^^d -h !i^e E — a 4- 2»6 4- 3'c -h 4«c? -f- 5»^
Ces équations doivent servir à trouver les coefficients a, bj c, d, e, ..,, dont le nombre est infini. Pour y parvenir, on regardera d'abord comme déterminé et égal km\e nombre des inconnues, et Ton conser- vera un pareil nombre m d'équations; ainsi l'on supprimera toutes les équations qui suivent les m premières, et l'on omettra, dans chacune de ces équations, tous les termes du second membre qui suivent les m premiers que l'on conserve. Le nombre entier m étant donné, les coefficients a, b, c,d, e, ... ont des valeurs fixes que l'on peut trouver par l'élimination. On obtiendrait pour ces mêmes quantités des valeurs différentes si le nombre des équations et celui des inconnues étaient plus grands d'une unité. Ainsi la valeur des coefficients varie à mesure que l'on augmente le nombre de ces coefficients et celui des équations qui doivent les déterminer. Il s'agit de rechercher quelles sont les limites vers lesquelles les valeurs des inconnues convergent continuel- lement, à mesure que le nombre des équations devient plus grand. Ces limites sont les véritables valeurs des inconnues qui satisfont aux équations précédentes lorsque leur nombre est infini (*),
208.
On considérera donc successivement les cas où l'on aurait à déter- miner une inconnue par une équation, deux inconnues par deux équa- tions, trois inconnues par trois équations, ainsi de suite à l'infini. .Sup- posons que l'on désigne comme il suit différents systèmes d'équations
(!) roir la remarque déjà faite à l'arlicle 172.
G. D.
190 THÉORIE DE LA CHALEUR.
analogues à celles dont on doil tirer les valeurs des coefficients :
«, -1- a fc, := A,.
+ 2 6, + 3 c-, = A„ + a»6, + 3'c, = B„ + 2'*, + 3'Cj = C,; i it-+-3 c, + 4 rfi~At, ï'^-H3»Ct+4'rfi = B4, a'it + 3'Ci + ^'i^i^^Ct,
,4-3 c,-(- 4 (/,-!- 5 ej — A„ ., + 3»c, + 4'rf, + 5V.= BB, ', + 3»c, + 4'rf, -1- 5»e, i^ Ci, ,, -H 3'c. + 4'rf, -t- 5'ej ^ Dj, >, + 3»c, -t- 4'.rft -H S'cs = E,;
Si maintenant on élimine la dernière inconnue e,, au moyen des cinq équations qui contiennent A^, B|, C,, D,, Ëj, .... on trouvera
fl,(5t_,.)+3 ft,(5i_3»)_,.3 c,(5'-3')+4 rf,(5=-4') = S'A,-H., «:C5- — i") 4- 2»i,(5* - a») -+- 3>c,(5' — 3') + 4''/t(5' ~ 4') = S'B. - Cj, «a5'-'*)-H3'*.(5' — a')-i-3'CtC5'-3') + 4'rf.(5' — 4') = 5*C, -I),, fl,(5'~i')-+-3'*,(5'-a>)-H3'c,(5>-3') + 4V,(5'-4*)^5'D,-E;.
On aurait pu déduire ces quatre équations des quatre qui forment le système précédent, en mettant dans ces dernières
(5' — i)a„ (5- — a')fti. (5' — 3')Ce, (5' — 4»)^^
5'B, — Cj, 5'Ci~Di, 5»I)s — El Ai, B„ Cl, D».
(c)
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 191
On pourra toujours, par des substitutions semblables, passer du cas qui répond à un nombre m d'inconnues à celui qui répond à un nombre /n+ i. En écrivant par ordre toutes ces relations entre les quantités qui répondent à l'un des cas et celles qui répondent au cas suivant, on aura
/ a, a»
a. (3'
a* (4* a,(5«
a,(6«
0.
I), I),
A.
6» (4' &,(5'
2'), 2'),
Cl
c*(4*-3«),
c,(5«-3»), </» = rf,(5'
c,(6«-3«), rf, = rf,(6'-4'), e. = e,(6'-5«).
/.t
4'),
on aura aussi
(rf)
A, A. A, A»
2«A,
3>A, 4* A, 5«A,
B„
B4. B„
B, = 3«B,-C„ B, = 4'B»-C», B» = 5«B.-C„
C, = 4»C,-D»,
C» = 5«C,-D„ D4=.5»D,-E5,
On conclut des équations (c) que, en représentant par a, b, c, d, e, ... les inconnues dont le nombre est infini, on doit avoir
(0
a
b —
fli
(2«-i )(3«-i )(4'-i )(6»-i )... ^^«
(3» — 2») (4» — 2«) (5« — 2*) (6» — 2»). . .
€/:=i^..-
(4* — 3') (52 — 3») (6> — 3*) (7» — 3»). . .
^4
(5* - 4*) (6« -^ 4') (7' - 4*) (8* - 4*). . .
V)
(1) Les produits indiqués aux dénominateurs sont infînis et ne peuvent, par conséquent, être introduits dans les raisonnements. C'est une difficulté de plus, dans une méthode qui prête déjà à tant d'objections. On pourrait l'éviter de la manière suivante.
Les quatre équations de la page igo peuvent être déduites de celles qui forment le sys-
192
THÉORIE DE LA CHALEUR.
209.
Il reste donc à déterminer les valeurs de a,, èj, Cj, d^, e^, ...; la première est donnée par une équation dans laquelle entre A,; la se- conde est donnée par deux équations dans lesquelles entrent A3, Bj; la troisième est donnée par trois équations dans lesquelles entrent Aj, B,, Cs, et ainsi de suite. Il suit de là que, si l'on connaissait les valeurs de
A,; Aj, Bj; A3, Bj, Cj; A4, B4, C4, D*; ...,
on trouverait facilement «, en résolvant une équation, a,, b^ en résoN
tèmc précédent, en mettant dans ces dernières
(i-^.)«., .(i-|-|)*., ('-|î)^- (■-p)'''
au lieu de ot
au lieu de
A5-
5*
«4, ^4, Ci,, d^
D,
^«~^' ^»""^' ^«~"«
5«
A4, B4, C4, D4.
5«
Alors les systèmes de la page 191 prendront la forme
«1
0.1
«3
«4
= '''('- i)
on aura aussi
Ai = A,-^
Aj= A3— ^
Bj
3^'
A -A ^*
A3 = A* — —
B2 = 63 — ^ j
Cs = C4 — rrr
CHAPITRE III. — SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 193
vaut deux équations, a^, b^, c^ en résolvant trois équations, et ainsi de suite; après quoi on déterminerait a, b, c, d, e, ..., Il s'agit main- tenant de calculer les valeurs de
Ai; Aj, B,; A„ B„ C,; A4, B4, C4, D*; A5, Bj, Cj, Dj, Ej;
Au moyen des équations {d) : i** on trouvera la valeur de A, on A^ et Ba; 2° par deux substitutions on trouvera cette valeur de A, en A3, Bj, C,; 3" par trois substitutions on trouvera la même valeur de A, en A,, B4, C4, D4, et ainsi de suite. Ces valeurs successives de A, sont
A,=::-A,2»-B„
A, ^ A, 2*. 3* - B, ( 2* -+- 3») -h C„
A, = A42».3*.4» — B4(2=.3î H- 2*./i« -+- 3«.4') -f- C4(2» ■+■ 3» 4- 4') - D4,
A,-^ A,2«.3«.4».5* — B,(2«.3*.4" -+- 2*.3*.5* ■+- 2«. 4».55 + 3*.4'.5«)
+ C, (2«.3»+ 2«.4'-H 2'.5'-h 3».4«H- 3«.5*-f- 4».5- ) - D, (2'-h 3«4- 4*+ 5« ) -4- Es, • • • •>
dont il est aisé de remarquer la loi. La dernière de ces valeurs, qui est
et, par suite,
a = .
(-h) {'-¥•)(-■?)
{-i){'-v){'-f.)
r = -
i'-m'-m-ïï)
Quant aux difTércnlcs valeurs de Ai données à l'article suivant, elles deviendront Al- Ai— —, A, = A,- B, (^^, - - ^j -t- ^,,
A. - A; - B, (;i + ^ + ^) -H C» (pij-, + ^, -^ 3^) - -^i_ .
On opérera do même pour Aj, Bj. A3, ..., et cette partie du raisonnemeut sera ainsi rétablie dans toute sa rigueur. G. D.
F. 25
1%
THÉORIE DE LA CHALEUR.
celle que Ton veut déterminer, contient les quantités A, B, C, D, E, ... avec un indice infini, et ces quantités sont connues; elles sont les mêmes que celles qui entrent dans les équations (a).
Kn divisant cette dernière valeur de A, par le produit infini
on a
2'*0 «{^'aO m \J •••}
4 O / ' ' ' 1
Les coefficients numériques sont les sommes des produits que Ton for- merait par les diverses combinaisons des fractions -j» -,» ^,» 7,» ^t^»
77» ••> après avoir séparé la première fraction -^- Si l'on représente
ces différentes sommes de produits par P,, Q,, R,, S,, T,, ... et si l'on emploie la première des équations {e) et la première des équa- tions (6), on aura, pour exprimer la valeur du premier coefficients, l'équation
a
(a'-i)(3«-i)(4'- i)(5'-i)...
oJ •« '1* 'i»
r=A-BP|4-CQ,-DR,H-ES,-FÏ,^...;
or les quantités P,, Q,, R,, S,, T,, ... peuvent être facilement déter- minées comme on le verra plus has; donc le premier coeftîcient a sera entièrement connu.
210.
Il faut passer maintenant à la recherche des coefficients suivants, b, r, d, e, /, ..., qui, d'après les équations {e), dépendent des quantités /à,, C3, rf,, e^y /o, — On reprendra pour cela les équations (i); la pre- mière a déjà été employée pour trouver la valeur de a,; les deux sui-
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL 195
vantes donnent la valeur de b^; les trois suivantes la valeur decj; les quatre suivantes la valeur de d^ et ainsi de suite.
En èfFectuant le calcul, on trouvera, à la seule inspection des équa- tions, pour les valeurs de 6^, Cj, rf,, ^5, ... les résultats suivants :
3c, (I- - 3«) (3« - 3») - A, I^ 2*» - B,(i« -h 2«) -h C„
4^*(i*-4'){2'-4')(3»~4')
= A4i*.2*.3* — B4(i«.2«. -+.i«.3«H-2».3«)-i-C4(i«-+-2»-h3«)— 1)4,
5e, (I* - 5») (2« — 5») (3» - 5») (V - 5«)
=1: A5i*.2«.3«.4» — Bi(i'.2«.3* + i*.2«.4' -+- 1'.3*.4' -H 2».3-.4')
4-C4(I^2«-hI^3'^-l^4*-+-2^3«^-2^4*-+-3^4')-D,(I«-h2*^-3*■^-4»)-hE5,
La loi que suivent ces équations est facile à saisir; il ne reste plus qu'à déterminer les quantités
Aj, Bï; Aj, Bj, Ci,; A4, B4, L14, ....
Or les quantités A2. B^ peuvent être exprimées en A,, B3, G, ; ces der- nières en A4, B,, C4, D4, Il suffît pour cela d'opérer les substitu- tions indiquées par les équations [d); ces changements successifs réduiront les seconds membres des équations précédentes à ne con- tenir que les quantités A, B,C, D, ... avec un indice infini, c'est-k-dire les quantités connues A, B, C, D, ... qui entrent dans les équations {a); les coeffîcients seront les différents produits que l'on peut faire en combinant les carrés des nombres 1^, 2*, 3^, 4*» 5* à l'infini. Il faut seulement remarquer que le premier de ces carrés i^ n'entrera point dans les coeffîcients de la valeur de a^; que le second carré 2^ n'en- trera point dans les coefficients de la valeur de 62; que le troisième carré 3* sera seul omis parmi ceux qui servent à former les coeffîcients de la valeur de c,, ainsi du reste à l'infini. On aura donc pour les va- leurs de 62, r,, ^4, «5, ... et par conséquent pour celles de b, c, d, e, ... des résultats entièrement analogues à celui que l'on a trouvé plus haut pour la valeur du premier coefficient a, .
196 THEORIE DE LA CHALEUR,
211.
Si maintenant on représente par Pj, Q^, R^, Sj, ... les quantités
I I I 1
i' 6^ 4' ^ I I I I I
^ • • • *
1111 I-.3V4* "^ i«.3*.5^ "^ î«74 V5"* "^ 3», 4*. 5* "^ ' ' *
i*.3«.4'.5« i«.4*.5».G
1
• •
y
que Ton forme par les combinaisons des fractions
I I I I I 7î' ^' 3t' Ti' 5"i' ••■'
à rinfini, en omettant la seconde de ces fractions -j> on aura, pour déterminer la valeur de h.^, Téquation
1^—2^
2 6, , .., ,, .^-^, — — A, — BP, -h CQ, — DR, -+- ES, — FT, -h . . . .
En représentant, en général, par P;,, Q„, R,,, S„, T^, ... les sommes des produits que Ton peut faire en combinant diversement toutes les
fractions -,'—,> ô-j» 7i>F3' ••• à l'infini, après avoir seulement omis la
fraction -j» on aura, en général, pour déterminer les quantités a,, 6^, c.,, ^1, e^, . . ., les équations suivantes :
A.-BPi + CQ,~DRi-f-ES,-...=z a _l __ ,
A, - BP, + CQ. - DR, + ES, - . . . = 2 b, _- '^i!'-- ,
A,-BP, + CQ.-DR. + ES,-..^3c,<;;-^',^^y^^-!l,
A, - BP» + CQ» - DR, + ES, - . . . = 4rf. ^"rAi'LlfrV-' "—^ '
1 .2.0.0.0 •••
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 197
212.
Si l'on considère maintenant les équations {e) qui donnent les va- leurs des coeHQcients a, b, c, d, . .., on aura les résultats suivants :
«-TT^ :r-ôi^ ^^-^ -^ •••=.A-RP, + CQ,-DR, + ES,-FT. + ...,
jt *J l\ *J
2 6L_^ ^3^ i-^ ?-3^...= A-BP, + C0.-DR.+ES,-..., 3c î—,— ?-^ 5__i. ^_^...^A-BP,+CQ,-DR,+ES,-...,
I 2 ..|, 3
, S \i q1 f.t ^4 /.S 5î __ f.2
En distinguant quels sont les facteurs qui manquent aux numéra- teurs et aux dénominateurs pour y compléter la double série des nombres naturels, on voit que la fraction se réduit, dans la première
équation, à — ; dans la seconde à 7; dans la troisième à ^j-^r;
dans la quatrième à — 7-^; en sorte que les produits qui multiplient
a, 26, 3 c, ^ci, ...
sont alternativement 7 et —- 7- Il ne s'agit donc plus que de trouver les valeurs de
* 1> \?1> ■*!> ^M •••» II» V8» ^2» ^i» •••» * 3» Qsj *^3» ^3» •••> ....
Pour y parvenir, on remarquera que Ton peut faire dépendre ces va- leurs de celles des quantités P, Q, R, S, T, . .., qui représentent les
différents produits que Ton peut former avec les fractions —, -71 r.j, 75,
1 2" o i\
51' 51' ••• sans en omettre aucune. Quant k ces derniers produits,
leurs valeurs sont données par les séries des développements de sinus. Nous représenterons donc par
P, Q, R, S, ...
' I
198
les séries
THEORIE DE LA CHALEUR,
I 1
2
3« "^ 4« "^ 5* "^ • • • '
i\'à^ ' i*.3-
i*.4- 2*.3* 2«.42 3*.4-
• • >
i^2-.3* i*.2».4' i*.3^4' a'.3*.4* ""
i».2*.3*.4* 2«.3*.4*.5* i«.2«.3«.5*
La série
2.3
.r^
.r«
2.3.4.^ 2.3.4.5.6.7
-h
nous fournira les quantités P, Q, R, S, T, En effet, la valeur du
sinus étant exprimée par l'équation
sin jr^rzu'l i — -,
ifej (/"" 3^v ('"■ 4^-) y- ¥1?) ' ' •
on aura
a-
1 —
--h
.r
<»
.r'
2.0 2.0>^.D 2.«).>4.0.0.T
-(
^3 ^
.r
I —
I i.
2*7:=
.1
.s
-4 /.
d'où l'on conclut immédiatement
1
>
71^
'^.3
Ti >
0
r^
2.3.4.5
R
r'
2.3.4.5.6.7'
r' S -_ _ _ _. __
2 . 3 . 4 . o> . 6 . 7 . 8 . 9
CHAPITRE m.- SOLIDE RECTANGU LAIKE INFINI. 199
213.
Supposons maintenant que P„, Q^, R^,, 8,^, ... représentent les sommes de produits différents que l'on peut faire avec les fractions
-:;» -•» ^> /-,> — .» '"> dont on aura séparé la fraction — ,» n étant un i' a" 3' 4 ^ "
nombre entier quelconque; il s'agit de déterminer P„, Q„, R;,, S«, ... au moyen de P, Q, R, S, — Si Ton désigne par
le produit des facteurs
\ /
parmi lesquels on aurait omis le seul facteur i — ^> il faudra qu'en multipliant par i — ^ la quantité
on trouve
Cette comparaison donne les relations suivantes
P -h - — P
«»
Q« + P„ ,'i ^ 0.
R« + 0» j, = R.
S,| -h K„ — ^ — - s,
•200 THEORIE DE LA CHALELH.
ou
S„ ^ s - -,R4- -îjQ - -,P 4- -^.
/i* n* ir fr
Eli employant les valeurs connues de P, Q, R, S et faisant successi- vement n = 1, 2, 3, 4. 5, ..., on aura les valeurs de P«, Q,, R,, S,, ...; celles de P.., Q.,, R2. S^, . . .; celles de P3, Q,, R,, S^, . . . .
214.
Il résulte de tout ce qui précède que les valeurs de a, b, r, d, e, ..., déduites des équations
a-+-2 ^-+-3 c'H-4 ^H-5 e -\- , , .z=^ \, « -4- 23 ^ ^_ 33^. _^ ^j^ _^ 53^ ^ _ _^ B^
a -+- 2* ^ -f- 3» c -t- 4*âf -H 5« e -h . . . = C, a-4- a'^-h 3^c-|- 4V-f-5"e-h. . .= D, a--i-2»6H-3»c4-4'^/-+- 5»e-i-. .. = E,
• » • •
sont exprimées ainsi :
a _ . |. / jn^ i^\ p/ 7:* i^ jr^ i
iî \2.3 i-/ \2.3.4.5 I* 2.3 I*
\2.3.4.5.6.7 1^ 2.3.4.5 1^2.3 i®/
^ \2.3.4.5.6.7.8.9 1*2.3.4.5.6.7 I* 2.3. '4.5 1*2.3 i*/
CHAPITRE III. ~ SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 201
-f» a-b/'^-AUc^ ""'
p^ / TT* I TT* I TT- I \
\2.3./i.5.6.7 2^ a .3.4.5 U* 2.3 2V
-, / 7T* I TT® I TT^ 1 7:* ï
_|_ ^ I _L_ . _1_
\3. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9 2* 2.3.. i. 5. 6. 7 2^ 2.3.4-5 2^ 2.3 2*
2 ~ V2.3 37"^ V2.3.4.5 3^ 2.3 "^"37
^. 71* I 7:* I TT* I
"" '^^34.576.7 "" 3^ 273:475 "^ 3* ^73 ~3^
^ , TT' I TT* 17:* I TT*
E
2.3.4.5.6.7.8.9 3* 2.3.4.5.6.7 3^ 2.3.4.5 3® 2.3 3
37
"T'"""^ *^V2.3 4'*/ \2.3.4.5 4'2.3"^47
-.^ / TT* I 71^ _L ^E! L
\2.3.4.5.6.7 4' 2.3.4-5 4* 2.3 4*
E
7r' 17:* I 7r* I 7r* I
-TT 4-
2.3.4.5.6.7.8.9 4* 2.3.4.5.6.7 4* 2.3.4.5 4* 2.3 4*
215.
Connaissant les valeurs de a, b, c, rf, e, /, ..., on les substituera dans Téquation proposée
(p(^) = asina7 + 6sin2a7 H-e/sin3^ -hesin4^-f-- . .;
et mettant aussi au lieu des quantités A, B, C, D, E, ... leurs valeurs F. 26
202
THÉORIE DE LA CHALEUR.
(p'(o), 9"'(°)' ?'(<*)» ?"'(o)' ?"(o)' •••• on aura l'équation générale
9(x) _
[?'(o;
s.n .. 1 <P(o) + 9' (o) (^ - ^,) 4- 9» (-—^ - f' 5 -^ r^)
VU/ n/_ ^^ L '^^-^ — Jl\ '^ 1
^ \2. 3. 4. 5. 6.7 1^ a. 3. 4. 5 I* 2.3 ly " J
- ^ sin2.r|^9'(o) + 9^^ (o)(^ "" i) "^ '^'^''^
t:'
I TT^ I
~» 273 "^ 7*
^'"(^) (2.34.5,6.7
2.3.4.5 2-
L ^^ I r' I \ "I
i* 2.3.4.5 2^ 2.3 2Y " J
(A)
[9'(o;
-(-isin3a.|9'(o)+9"(o)(i^-l
9^(0)
I t:'
9"'(o)
t:'
a.3.4.0.6.7 lsin4^[9'(o) + 9'(o)(i^-i,)
9^"(o)
7r"
2.3.4.5.6.7
2.3.4.0 3* 2.3 3^ / 3"2 ï:3.4.5"^3^ ^S'~J')'^"'\
-^ ^ (*'\r3.4":5 - 4"' ^.3 -^ 4"')
17:^ I 7:* I \ 1
~4* ÏX475"^4* iT3~4^/"^*"J
-f-
On peut se servir de la série précédente pour réduire en série de sinus d'arcs multiples une fonction proposée, dont le développement ne con- tient que des puissances impaires de la variable.
216.
Le cas qui se présente le premier est celui où l'on aurait
9(^)=:.r;
on trouve alors
9'(0)r:=I, 9'"(0) = 0, 9^(0) =zO,
ainsi du reste. On aura donc la série
- zzz sm.r sm2cr 4- ô sm3j: — -,- sin4^* -4- . . .,
2 2 3 4
qui a été donnée par Euler.
CHAPITRE III.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 203
Si Ton suppose que la fonction proposée soit ^', on aura
9'(0)--0, 9'^(o)=::2.3, 9^(0) — O, 9^'"(o)i=0,
ce qui donne l'équation
.r» / , 2.3
— 1= ( 71*
I
2.3'
siiKr ( t:-
2
2.^ \ .
2 .r -h :t ( 7:*
!.3\ .
jrj sin3.
2.3
"3
r -i- . . . .
On parviendrait à ce même résultat en partant de Téquation précé- dente
- := sin j: sin2 JT -+- -^ sin3.r — y ainiijc -h . . . .
2 234
En eiïet, en multipliant chaque membre par dx et intégrant, on aura ^ X- I I ^ I ,
C ;- — C0SJ7 ; cos2.r -\- pr: cos3j; — 7- COSÛ-^ 4" . . . :
4 2* 3* 4
la valeur de la constante C est
I 1
I 3*
I
4"'
1 TT-
série dont on sait que la somme est 4- - Ar- Multipliant par dx les
2 2 « O
deux membres de l'équation
2 2.3
-7- i^ COSj:* C0S2.r 4- tt: C0S3j7 — . . .
2
3*
et intéî^rant, on aura
I TT^jr I .r
.T -^ =:: sino: ;Sin2.r -f- T7-sin3.r — . . . .
2 2.3 2 2.3 2' 3'
Si maintenant on met au lieu de .r sa valeur tirée de Téquatioii
- ri.- sinj: sin2J7 — 77sin3a: — -r sin4-^ -+-...,
2 234
on obtiendra la même équation que ci-dessus, savoir
I .r*
2 2.3
= (0-?)^'"
I / TU-
a:
2 \ 2.3
j I sm2j:
I
H- n
3\2^-5^)'^"^^ /.
I
4
l--±)sinU
• • ■ »
204 THÉORIE DE LA CHALEUR.
On parviendrait de la même manière à développer en séries de sinus multiples les puissances a?*, a?^, a;", ... et, en général, toute fonction dont le développement ne contiendrait que des puissances impaires de la variable.
217.
L'équation (A) (art. 215) peut être mise sous une forme plus simple que nous allons faire connaître. On remarque d'abord qu'une partie du coefficient de sina?est la série
^ 2.3^ ^ 2.3.4.0 2.3.4.5.6.7^
"T" . . . ,
qui représente la quantité -ç(ir). En effet, on a, en général
.r' ^ , . j?'
9(.r)— -9(o)4-.r(p'(o)-i- — cp'(o)-h ^T'^Co)
IV / \ V
Or la fonction (f{x) ne contenant, par hypothèse, que des puissances impaires, on doit avoir
9(0)^0, (p*(o)--zro, 9*^(0) =0, et ainsi de suite. Donc
^T^ - . . .r*
Une seconde partie du coefficient de sino? se trouve en multipliant]par : la série
i«
TT' V. V 71* ... , . TT*
dont la valeur est -ç"(Tr). On déterminera de cette manière les diffé- rentes parties du coefficient de sino: et celles qui composent les coef-
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 205
iicients de sin2ir, sin3a:, sin4«^» sin5^, On emploiera pour cela
les équations
.,' (o)+^9Mo)+^-^5?Mo)+-3-^g-r-(o)^... = I<p (::).
?Mo) + ;59-(o) + ^^9''(o)-....
71 ■
TT
<P "(0) + ^?" (0)+...
= -?-(-).
au moyen de cette réduction, on donnera à Téquation (A) la forme sui- vante
2 ' ^ ^
T-e?"(^)-^---
>
(B)
sin ^Uctt)— ^<ï)*(7r)-h ^.'^'""(t:)- jsinS^ 19(71)- ^,9''(^)^- jiT'^'C^) - ^9^'{t^)-^'"
— ^sin/jj? 9(Tr) —
4 4
4
■]
-h
OU celle-ci
(C)
-9(07)1=19 (7r)(sinj7 sin2j?-i-^ sinS^r — ...j
2 \, 2 O /
9' (tt) ( sinj7 — 9*^(7:) ( sin.r — 9^'(7r) ( sinj: —
-r sin2.r -t- içz sinojc — .
— sin2:r -H Tp smouC — .
2» 3*
1 . ï • o
— , sm2J7 — ^ sinoj: — .
-f-.
206
THÉORIE DE LA CHALEUR.
218.
On peut appliquer Tune ou l'autre de ces formules toutes les fois que Ton aura à développer une fonction proposée en une série de sinus d'arcs multiples. Si, par exemple, la fonction proposée est e' — e""^^ dont le développement ne contient que des puissances impaires de a% on aura
TZ e^ — e '
1 e^ — e'"^"-
%\x\x snisîx-f-;T sm3,r— ...
2 3
snij:' ; sin2j^ -h ;,- sin3j~ — .
siii.r sni 2JE" H- — sni 3ar — .
2- 3*
suur sni2^ h- tt; sm3a: — . .
2^ 3^
siiiJ? r sin2.r -f- 777. sîn3.r — . .
2' 3^
En distinguant les coefficients de sin^r, sina^r, sinSar, sin/|x, ... et mettant au lieu de -, h — ; :? -h . . . sa valeur . 1 on aura
-r -h . . . sa valeur -^—
n e^ — e
—X
siiijr sin2j:* sin3.r sin/J^r
2 Éî^ — e~'^
' + i
1 J
3 4- i 4 + ^
-f- —
On pourrait multiplier, ces applications et en déduire plusieurs séries remarquables. On a choisi l'exemple précédent parce qu'il se présente dans diverses questions relatives à la propagation de la cha- leur (*).
i>) Bien des points, dans cet article et dans les précédents, appelleraient encore les critiques. Fouricr décompose les séries oblenues et leurs coefficients d'une manière tout à fait arbitraire. 11 est évidemment impossible de justifier la substitution de la valeur i à la série
I — I -h I — I -+-. . .
que l'illustre auteur opère ici pour déterminer le coefficient de sin.r.
G. D.
CHAPITRE III.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 207
219.
Nous avons supposé jusqu'ici que la fonction dont on demande le développement en séries de sinus d'arcs multiples peut être déve- loppée en une série ordonnée suivant les puissances de la variable x, et qu'il n'entre dans cette dernière série que des puissances impaires. On peut étendre les mêmes conséquences a des fonctions quelconques, même à celles qui seraient discontinues et entièrement arbitraires. Pour établir clairement la vérité de cette proposition, il est nécessaire de poursuivre l'analyse qui fournit l'équation précédente (B) et d'exa- miner quelle est la nature des coefficients qui multiplient sin^z-, sinsît*,
sin3a;, sin4^9 En désignant par - la quantité qui multiplie dans
cette équation - sinno? si n est impair, et sinn^ si n est pair, on
aura
Considérant s comme une fonction de u, différentiant deux fois et com- parant les résultats, on trouve
I d^s . ,
équation à laquelle la valeur précédente de s doit satisfaire. Or l'équa- tion
i d}s . .
dans laquelle^ est considérée comme une fonction de x, a pour inté- grale
s = acosnœ -h bsînnx -^ nsïnna: j (p(:r) cosnx dx
— ncosnx I cp{x)sïnnx dx;
n étant un nombre entier et la valeur de x étant égale à ir, on a
=i:db « / 9(x) sïn nx'dx.
■208 THÉORIE DE LA CHALEUR.
Le signe 4- doit être choisi lorsque n est impair, et le signe — lorsque ce nombre est pair. On doit supposer x égal à la demi-circonférence i:, après l'intégration indiquée; ce résultat se vérifie lorsqu'on développe, au moyen de l'intégration par parties, le terme
1,'
en remarquant que la fonction ^[x) ne contient que des puissances impaires de la variable et en prenant l'intégrale depuis x=^ o jusqu'à
On en conclut immédiatement que ce terme équivaut à
=h [9(71) - 9''(7r) ^, 4- 9^^'(7r) ^{,- - 9-(7r) ^, -f- 9-'(^
Si l'on substitue cette valeur de - dans l'équation (B), en prenant le
signe -h lorsque le terme de cette équation est de rang impair, et le signe — lorsque n est pair, on aura, en général,
pour le coefficient de ^mnx; on parvient de cette manière à un résultat très remarquable exprimé par l'équation suivante
1 - 9 (vt) == sin.r l ^\ï\x (^(x)dx -\-s\\\ix j s[n2x (^(x)dx
o>) ! ^
sin3j7 I sinSwC (^{x)dx -\-,,.-\- siiu\r I sinix<^(x)dx 4-...;
le second membre donnera toujours le développement cherché de la fonction (f{x) si l'on effectue les intégrations depuis x=:o jusqu'à
( I ) C'osl ici que Fourier enlre dans la voie qui lui a permis d'oblenir des notions exactes el complètes sur la nature des séries trigonométriques et d'indiquer la solution véritable d'une question célèbre qui avait occupé au xviii* siècle Euler, d'Alembert, D. Bernoulli et {^grange. La détermination des coefficients de la série par des intégrales définies, inté- grales qui conservent un sens, même lorsque la fonction est discontinue, est due tout
CHAPITRE III.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 209
220.
On voit par là que les coefficients a, b, c, d, e, f, ... , qui entrent dans l'équation
- <p(jr) zn as'inx -h Z^ sin3^ + csin3.r h- <i sin.i.i' -H...,
et que nous avons trouvés précédemment par la voie des éliminations successives, sont des valeurs intégrales définies exprimées par le terme général
P
i étant le numéro du terme dont on cherche le coefficient. Cette remarque est importante, en ce qu'elle fait connaître comment les fonctions entièrement arbitraires peuvent aussi être développées en séries de sinus d'arcs multiples. En effet, si la fonction ^[oc) est repré- sentée par l'ordonnée variable d'une courbe quelconque, dont l'ab- scisse s'étend depuis ^ = o jusqu'à ^ = ir, et si l'on construit sur cette même partie de l'axe la courbe trigonométrique connue dont l'or- donnée est j = sina:r, il sera facile de se représenter la valeur d'un terme intégral. Il fautconcevoir que, pour chaque abscisse a? à laquelle répond une valeur de (p(j?) et une valeur de sina?, on multiplie cette dernière valeur par la première, et qu'au même point de l'axe on élève une ordonnée proportionnelle au produit ç(^)sin^. On formera, par cette opération continuelle, une troisième courbe dont les ordonnées sont celles de la courbe trigonométrique, réduites proportionnelle- ment aux ordonnées de la courbe arbitraire qui représente ^(^r). Cela
entière à Fourier; elle est Torigine des progrès fondamentaux que lui doit cette théorie. A la vérité les propositions auxquelles il s'est trouvé conduit par la formule (D), et qui sont formulées au commencement de Tarlicle suivant, n'ont pas été démontrées par lui d'une manière rigoureuse; mais comme, une fois énoncées, elles étaient susceptibles au moins d'une vériQcation numérique, elles ont été admises, après quelque hésitation, par tous les géomètres, avant d'avoir été établies par Diricblet. La théorie de Fourier a été exposée pour la première fois dans son Mémoire Sur la Théorie de la chaleur, présenté à l'Académie des Sciences le 21 décembre 1807. G, D,
F, tî7
210 THÉORIE DE LA CHALEUR.
posé, Taire de la courbe réduite, étant prise depuis x = o jusqu'à X =Tz, donnera la valeur exacte du coefficient de sina?; et, quelle que puisse être la courbe donnée qui répond à 9(.r), soit qu'on puisse lui assigner une équation analytique, soit qu'elle ne dépende d'aucune loi régulière, il est évident qu'elle servira toujours à réduire d'une ma- nière quelconque la courbe trigonométrique; en sorte que l'aire de la courbe réduite a, dans tous les cas possibles, une valeur déterminée qui donne celle du coefficient de sin j? dans le développement de la fonc-
tion. 11 en est de même du coefficient suivant b ou f ^{x)s\n2xda:'.
Il faut, en général, pour construire les valeurs des coefficients a, i, r, cl, e, . . ., imaginer que les courbes dont les équations sont
r^=sin.r, j=.sin2j:, ^'=:sin3j?, y^zsïn^jr,
ont été tracées pour un même intervalle sur l'axe des x, depuis x = o jusqu'à cT = 11, et qu'ensuite on a changé ces courbes en multipliant toutes leurs ordonnées par les ordonnées correspondantes d'une même courbe, dont l'équation est y= ^{x). Les équations des courbes ré- duites sont
j=izcp(^')sinjc, r = 9(^)sin2<r, j = cp(j7) sinSj:*, /=: <p(j:') sin4.r, ....
•
Les aires de ces dernières courbes, prises depuis ic=o jusqu'à x = t^, seront les valeurs des coefficients a, b, c, d, ... dans l'équation
-9(.r) := asinjc -h bsin2x -h csinSo: -\- ds'm^x -\- , . . ,
221.
On peut aussi vérifier Téquation précédente (D) (art. 219), en déter- minant immédiatement les quantités a,, a^^a^, . ..,ay, .. . dans l'équa- tion
<p(^)rzz a, sino: -+- a, sin2.r -h «3 sinSx -h. . .-h fly sinyj? -h. . .;
pour cela on multipliera chacun des membres de la dernière équation par sinixdv, i étant un nombre entier, et l'on prendra l'intégrale
CHAPITRE m. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL 211 depuis x= o jusqu'à a? = 11; on aura
I o(x) s'mix dx^=^ «i / sin.r sine'jr dj?
■+- af I &\n 2 a: s\n ixdx -+-. . .4- «y / sin y\r s\nix dx
Or on peut facilement prouver :
I** Que toutes les intégrales qui entrent dans le second membre ont
une valeur nulle, excepté le seul terme «/ / sinio? sinixûlr;
2** Que la valeur de / s'mixsinia^dx est -• D'où l'on conclura la valeur de «/ qui est
- 1 ^(j7) sin ix djc,
Tout se réduit à considérer la valeur des intégrales qui entrent dans le second membre, et à démontrer les deux propositions précédentes.
L'intégrale
\ I sinyj^sini
X dx^
prise depuis x = o jusqu'à a; = 1:, et dans laquelle i et j sont des nombres entiers, est
L'intégrale devant commencer lorsque a- = o, la constante C est nulle, et, les nombres /ety étant entiers, la valeur de l'intégrale deviendra nulle lorsqu'on fera x = t:; il s'ensuit que chacun des termes tels que
sinj? sinlxdx,
rtj 1 s'xnixfiïnix dXf «3 / sin3x sine.2' dx^
21-2 THÉORIE DE LA CHALELH.
s'évanouit, et que cela aura lieu toutes les fois que les nombres i et y seront différents. Il n'en est pas de même lorsque les nombres i et y
sont égaux; car le terme ^-^.sin(i— y).r auquel se réduit l'intégrale devient -y et sa valeur est -rz. On a, par conséquent,
îi / sin ix si n ix dx = r ;
on obtient ainsi, de la manière la plus briève, les valeurs de a,, a.,,a^, r/j, . . ., «/, . . ., qui sont
rt, = - I (^{x) shïx dxj
at-=^ - / 9 ( JT ) si n x x dx,
rtj = - I (^{x)sin3xdx,
ai ^= - I (^{x) iiiiï ixdx.
En les substituant, on a
- cp(.r) = siUoT / o{x) sinx dx-{- sin2»r / (^{x) s\n2x dx
4- siu3^ I 9(x) ^h\3x dx -+-. . .-f- sin^j? / ^(-r) sïnixdx -+-....
222.
Le cas le plus simple est celui où la fonction donnée a une valeur constante pour toutes les valeurs de la variable a: comprises entre o
et T. ; dans ce cas, l'intégrale / sin ixdx est égale à ? si le nombre i est impair, et égale à o si le nombre i est pair. On en déduit l'équation
71 . 1 1^1 I
- = siiiu' -Y- 71 sinS.r -h - sin5a: h — sinnx H — sinoo; -+-..,
'2 6 ô 7 9
que l'on a trouvée précédemment.
CHAPITRE III. — SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 213
Il faut remarquer que, lorsqu'on a développé une fonction çfr) en une suite de sinus d*arcs multiples, la valeur de la série
est la même que celle de la fonction ç(a^) tant que la variable x est comprise entre o et i:; mais cette égalité cesse, en général, d'avoir lieu lorsque la valeur de x surpasse le nombre ir.
Supposons que la fonction dont on demande le développement, soitar; on aura, d'après le théorème précédent,
— = s'injc j xsïiïjcdjc 4- sinaj? 1 jc sin2a:djc
-h sînSx / xsïnSjcdjc-hsiïï^x 1 xsin ^xdjc -f-
L'intégrale / xsmixdx équwAuttk ± -.; les indices o et iz qui sont
joints au signe / font connaître les limites de l'intégrale; le signe +
doit être choisi lorsque i est impair, et le signe — lorsque i est pair. On aura donc l'équation suivante :
- = sinj? sin2 j? -+- - sinSx — y sin4«2^ •+■ - sin5«F — . . ..
2 2 d 4 ^
223.
On développera aussi en séries de sinus d'arcs multiples les fonc- tions différentes de celles où il n'entre que des puissances impaires de la variable. Pour apporter un exemple qui ne laisse aucun doute sur la possibilité de ce développement, nous choisirons la fonction coso-, qui ne contient que des puissances paires de x, et qu'on développera sous la forme suivante
rt sina?H- 6sin2^ -h csin3,x- -h ds>ïnl\x -h esm^x -h. . .,
quoiqu'il n'entre dans cette dernière série que des puissances impaires
2U THÉORIE DE LA CHALEUR,
(le la même variable. On aura, en effet, d'après le lliéorëme précé (lent.
siii2:r / coSvT &[n2.r dx -\- sinSa* / cosj: sinS.r c/j? 4- . . ..
L'intégrale / cos.r sin«.rr/j7 équivaut à zéro lorsque i est un nombre
impair, et à t^—— lorsque i est un nombre pair. En supposant succes- sivement I = 2, 4, 6» 8, . . ., on aura la série toujours convergente
7- coso: ^r — - sin2.r -h ô— ^ sm4«2: 4- -z — sinbj? 4 1.6 0.0 5.7
8 . _ 10 . H sinoj:- H smiox + . . .
7-9 9ȕ
ou
( - H — I sinGj: -H ( — I — ) sinS.r -h l — I ) sinioj'--i-. . . I .
\=^ 7/ \7 0/ \9 >»/ J
0 résultat a cela de remarquable qu'il offre le développement du co- sinus en une suite de fpnctions dont chacune ne contient que des
puissances impaires. Si Ton fait dans l'équation précédente a: = y» on
4
trouvera
TT I /l I I I I I I I \
4V2 ^V* ^ ^ 7 9 '» '3 ï^ /
Cette dernière série est connue [Introd. in analysin infinit, , cap. X).
224.
On peut employer une analyse semblable pour développer une fonc- tion quelconque en série de cosinus d'arcs multiples. Soit 9(^) la
CHAPITRE 111.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 215
fonction dont on demande le développement, on écrira
i 9(.r) = ^oCOSO.r -4- rt. cos.r -h «iC0S9..r
Si Ton multiplie les deux membres de cette équation par cosjx et que l'on intègre chacun des termes du second membre depuis œ := o jus- qu'à j? = î:, il est facile de s'assurer que la valeur de cette intégrale sera nulle, excepté pour le seul terme qui contient déjà cosyx. Cette remarque donne immédiatement le coefficient a^; il suffira, en général,
de considérer la valeur de l'intégrale / cosy-r cos£'.rr/r, prise depuis
jr = o jusqu'à x = 'k, en supposant que y et t sont des nombres entiers. On a
/•
cos/x cosijT dx=. - - sin ( / -\- i)x -\ : r- sin ( / — i).v -h C.
Cette intégrale, prise depuis ;r = () jusqu'à x — i:, est évidemment nulle toutes les fois quey ett sont deux nombres différents. Il n'en est pas de même lorsque ces deux nombres sont égaux. Le dernier terme
— _ — _ sjn(;_ i\x devient -i et sa valeur est -> lorsque l'arc r est
égal à Ti, Si donc on multiplie les deux termes de l'équation précé- dente (m) par cos«;r, et que l'on intègre depuis o jusqu'à i:, on aura
/
9 ( »r ) cos ix dx ^=. ^—^
équation qui fera connaître la valeur du coefficient a,. Pour trouver le premier coefficient a^, on remarquera que, dans l'intégrale
sin(y-+- i)x 4- —-• r sin(y — i)x.
'^'(y-+-0 2(y — 0
si l'on a
y =z o et i^=^ o,
chacun des termes devient -i et la valeur de chaque terme est -\
\
-216 THÉORIE DE LA CHALEUR.
ainsi Tinléj^rale / cosjx cosixdx, prise depuis ^ = o jusqu*à x = iz, est nulle lorsque les deux nombres entiers y et i sont différents; elle est - lorsque les nombres y et i sont égaux, mais différents de zéro ;
elle est égale à u lorsque y et «sont l'un et l'autre égaux à zéro. On obtient ainsi l'équation suivante :
-t-cosa^l ç (.r) cos 2 j:* ^x -h cos 3 j? / ^(j') cosSx^-r -h....
(^e théorème et le précédent conviennent à toutes les fonctions pos- sibles, soit que Ton en puisse exprimer la nature par les moyens connus de l'Analyse, soit qu'elles correspondent à des courbes tracées arbitrairement.
225.
Si la fonction proposée dont on demande le développement en cosi- nus d'arcs multiples est la variable x elle-même, on écrira l'équation
-— = a^~\- <7i cosj" -h a, cosa.r -f- ajcosox -h. . .-+- «/ cosij: -h. . .,
et Ton aura, pour déterminer un coefficient quelconque «/, l'équation
ai:= j X cos i.rd.r.
Otte intégrale a une valeur nulle lorsque «est un nombre pair, et est égale à — -^ lorsque «est impair. On a en même temps
«0 — -- •
On formera donc la série suivante :
TT , COSX - C0s3x - 008 5^ , COS'T.r
2 " t: * S'TT " 5'7r ' y^r.
• • • •
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 217
On peut remarquer ici que nous sommes parvenus à Irois dévelop- pements différents de -» savoir
— = sïnx sin2.r -+- 7: siiiSa- — , sinAj: -h ^ sin5.r — . . . (art. 222),
2 2 3 4 •>
.f 2 2 2 2
- ^i — siiKr — „ ' siii3.r -h rr-siiiJ.r -— sin^j' H-. . . (art. 181),
Ai» O i„ O il / '^
.r :: 2 2 „ 2
- = -7 cos.r — rr,— cos 3 j" — r-i— cos 5 .r — ....
2 4 7î 3^r »>*7î
Il faut remarquer que ces trois valeurs de ~ ne doivent point être
considérées comme égales pour toutes les valeurs de x; les trois déve- loppements précédents n'ont une valeur commune que lorsque la va-
riable x est comprise entre o et -• La construction des valeurs de
ces trois séries et la comparaison des lignes dont elles expriment les ordonnées rendraient sensibles la coïncidence et la distinction alterna- tives des valeurs de ces fonctions.
Pour donner un second exemple du développement d'une fonction en série de cosinus d'arcs multiples, nous choisirons la fonction sina^- qui ne contient que des puissances impaires de la variable, et nous nous proposerons de la développer sous la forme
a -\- b cos j:' -h c cos 2 jc 4- ^/ cos 3 .!• -h . . . .
En faisant à ce cas particulier l'application de l'équation générale, on trouvera, pour l'équation cherchée,
71 . I C0S2J; cos4.r cosô.r cosS.r
4 2 I . o ô.,j 0.7 7.9
On parvient ainsi à développer une fonction qui ne contient que des puissances impaires en une série de cosinus dans laquelle il n'entre que des puissances paires de la variable. Si l'on donne k ^ la valeur
particulière -> on trouvera
7: I I I I I
T. — TT-T^ -h =
4 2 1.3 3.5 5.7 7.9 F. 28
218 THÉORIE DE LA CHALEUR
Or de Téquation connue
on tire
TT I I I I I
7 =1— ^-h- \
4 3 ;) 7 9 II
TT I I I I
8 1.3 5.7 9-11 i3.i5
et aussi
TT I
8 '2 3.5 7.9 1 1 . 1 3 1 3 . 1 5 * * ' '
en ajoutant ces deux résultats, on a, comme précédemment,
TT I
4 2 1.3 3.5 5.7 7-9 9-1' II. i3
226.
L'analyse précédente donnant le moyen de développer une fonction quelconque en série de sinus ou de cosinus d'arcs multiples, nous l'appliquerons facilement au cas où la fonction à développer a des va- leurs déterminées lorsque la variable est comprise entre de certaines limites, et a des valeurs nulles lorsque la variable est comprise entre d'autres limites. Nous nous arrêterons a Texamen de ce cas particulier parce qu'il se présente dans les questions physiques qui dépendent des équations aux différences partielles, et qu'il avait été proposé autrefois comme un exemple des fonctions qui ne peuvent être déve- loppées en sinus ou cosinus d'arcs muUiples. Supposons donc que l'on ait à réduire en une série de cette forme une fonction dont la valeur est constante, lorsque x est comprise entre o et a, et dont toutes les valeurs sont nulles lorsque ce est comprise entre a et i:. On emploiera l'équation générale {m), dans laquelle les intégrales doivent être prises depuis .r = o jusqu'à jc =^1:. Les valeurs de ç(.r) qui entrent sous le signe / étant nulles depuis or = ol jusqu'à x = iz, il suffira d'intégrer depuis .r = o jusqu'à x = a. Cela posé, on trouvera, pour la série
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 219
demandée, en désignant par h la valeur constante de la fonction,
TT . . , /i — ces a . -9(^)~/i/- sin
I — cos2a . vF -h sinajT
I — cos3a . - I — cos4a . , -h ,. sin3.r -h %\ïi(\x -h . .
Si Ton fait A = -> et que l'on représente le sinus verse de Tare x par sinVtT, on aura
(p(j7) = sin Va sin j? h — sin Va a sin 2^ -i- :r sin V3 a sin 3 j: •
H- 7 sin V4 a sin 4 -ï* -H -sin V5 a sin 5 j:- -h
4 à
Cette série toujours convergente est telle que, si l'on donne à x une valeur quelconque comprise entre o et a, la somme de ses termes sera
-; mais, si Ton donne à x une valeur quelconque plus grande que a
et moindre que ir, la somme des termes sera nulle.
Dans l'exemple suivant, qui n'est pas moins remarquable, les valeurs
de ç(^) sont égales à sin-^- pour toutes les valeurs de x comprises
entre o et a, et sont nulles pour toutes les valeurs de x comprises entre a et tt. Pour trouver la série qui satisfait à cette condition, on emploiera l'équation (D).
Les intégrales doivent être prises depuis ^ = o jusqu'à o: = ir; mais il suffira, dans le cas dont il s'agit, de prendre ces intégrales depuis 07 = 0 jusqu'à ^ = a, puisque les valeurs de ç(a;) sont supposées nulles dans le reste de l'intervalle. On en conclura
, , /slnasinu:' sin2asin2a? siii3asin3x sin4<x sin4-^' \
'^ ' \ T^ — cf} TT^ — 2-a* tt' — o*a- 71* — 4 a /
Si l'on supposait a = ii, tous les termes de la série s'évanouiraient
excepté le premier, qui deviendrait - et qui a pour valeur sin^; on aurait donc
(p(j:) = sin.r.
220 THEORIE DE LA CHALEUR.
227.
On peut étendre la même analyse au cas où l'ordonnée représentée par 9(07) serait celle d'une ligne composée de différentes parties, dont les unes seraient des arcs de courbes et les autres des lignes droites. Par exemple, si la fonction dont on demande le développement en
séries de cosinus d'arcs multiples a pour valeur (- ] — x^ depuis j:' = o
jusqu'à ^ = -j et est nulle depuis x= - jusqu'à a: = 7:, on emploiera
l'équation générale [n] et, en effectuant les intégrations dans les limites données, on trouvera que le terme général
1 I ( - ) — J"* cos/a* dx
est égal à "4 sin — lorsque «est impair, à ^ lorsque i est double d'un nombre impair, et à — ^ lorsque i est quadruple d'un nombre impair. D'un autre coté, on trouvera r — pour la valeur du premier terme ]■ I (f[x)dx. On aura donc le développement suivant :
77 ^
, ^ . , ., , 2 /cos.r cosS.r cos5.r cos7.r
cos9.jr cos4.r cosG.r
2* 4' (i«
Le second membre est représenté par une ligne composée d'arcs para- boliques et de lignes droites.
228.
On pourra trouver de la même manière le développement d'une fonction de x qui exprime l'ordonnée du contour d'un trapèze. Suppo- sons que ç(^) soit égale à x depuis x =^ o jusqu'à x = ol, que cette fonction soit égale à a depuis x = a jusqu'à a? = -ïi — a, et enfin égale à 7: — vT, depuis x = t. — % jusqu'à x = t.. Pour la réduire en une
CHAPITRE III.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 221
série de sinus d'arcs multiples, on se servira de l'équation générale (D). Le terme général fff[x)smi.rdx sera, composé de trois parties diffé-
rentes, et l'on aura, après les réductions, -j sine a pour le coefficient
de sinia?, lorsque /est un nombre impair; et zéro pour ce coefficient, lorsque /est un nombre pair. On parvient ainsi à l'équation
l 7 (^(jp) = sina s'injc -h tt-^ sin3asiîi3.r
f H
• • • «
H- -^ snijasinj.r h — - sinrasin^^r -h D- 7
Si l'on supposait a = -> le trapèze se confondrait avec le triangle iso-
scèle, et l'on aurait, comme précédemment, pour l'équation du contour de ce triangle
-(p(j) =: siii.r — „, siii3^' -h ^- sin5j: ; sin7 x -f*. . .,
4 ^ 3* ^' 7
série qui est toujours convergente quelle que soit la valeur de x. En général, les suites trigonométriques auxquelles nous sommes parvenus en développant les diverses fonctions sont toujours convergentes; mais il ne nous a point paru nécessaire de le démontrer ici : car les termes qui composent ces suites ne sont que les coefficients des termes des séries qui donnent les valeurs des températures; et ces coefticients affectent des quantités exponentielles qui décroissent très rapidemerU, en sorte que ces dernières séries sont très convergentes. A l'égard de celles où il n'entre que des sinus ou des cosinus d'arcs multiples, il est également facile de prouver qu'elles sont convergentes, quoiqu'elles représentent les ordonnées des lignes discontinues. Cela ne résulte pas seulement de ce que les valeurs des termes diminuent continuelle- ment; car cette condition ne suffit pas pour établir la convergence d'une série. Il est nécessaire que les valeurs auxquelles on parvient, en augmentant continuellement le nombre des termes, s'approchent de plus en plus d'une limite fixe et ne s'en écartent que d'une quantité qui peut devenir moindre que toute grandeur donnée : cette limite est
222
THÉORIE DE LA CHALEUR.
la valeur de la série. Or on démontre rigoureusement que les suites dont il s'agit satisfont à cette dernière condition.
229.
Nous reprendrons l'équation précédente (X), dans laquelle on peut donner à x une valeur quelconque; on considérera cette quantité comme une nouvelle ordonnée, ce qui donnera lieu à la construction suivante.
Ayant tracé sur le plan des xy [fig, 8) le rectangle dont la base Ou
Fig. 8.
7''
m
t—
0
est égale à la demi-circonférence et dont la hauteur est -> sur le mi- lieu m du côté parallèle à la base on élèvera perpendiculairement au plan du rectangle une ligne égale à - et, par l'extrémité supérieure de cette ligne, on tirera des droites aux quatre angles du rectangle. On formera ainsi une pyramide quadrangulaire. Si l'on porte maintenant sur le petit côté du rectangle, à partir du point 0, une ligne quel- conque égale à a, et que par l'extrémité de cette ligne on mène un plan parallèle à la base Oir, et perpendiculaire au plan du rectangle, la sec- tion commune à ce plan et au solide sera le trapèze, dont la hauteur est égale à a. L'ordonnée variable du contour de ce trapèze est égale, comme nous venons de le voir, a
- ( sina sino: -h — sin3asin3a7 4- p;: sin5asin5j: H — - sin7asin7^ -+-. . . ).
TT \ 3' 5> 7* /
Il suit de là qu'en appelant x, j, z les coordonnées d'un point quel- conque de la surface supérieure de la pyramide quadrangulaire que nous avons formée, on aura pour l'équation de la surface du polyèdre.
CHAPITRE III.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 223 entre les limites a: = o, a? — ir, y = o, y=:-,
t:z sinj"sinv sin3^sin3r sin5j7sin5v
r:r "-- -f- - H '- -4-
2 I* 3' o-
Cette série convergente donnera toujours la valeur de l'ordonnée z, ou de la distance d'un point quelconque de la surface au plan des œy.
Les suites formées de sinus ou de cosinus d'arcs multiples sont donc propres à représenter, entre des limites déterminées, toutes les fonc- tions possibles, et les ordonnées des lignes ou des surfaces dont la loi est discontinue. Non seulement la possibilité de ces développements est démontrée, mais il est facile de calculer les termes des séries; la valeur d'un coefficient quelconque dans l'équation
est celle d'une intégrale définie, savoir
— I (p(^) s'in iûc d.r.
Quelle que puisse être la fonction ^{x), ou la forme de la courbe qui la représente, l'intégrale a une valeur déterminée qui peut être intro- duite dans le calcul. Les valeurs de ces intégrales définies sont ana- logues à celle de l'aire totale fo[x)dx comprise entre la courbe et l'axe dans un intervalle donné, ou k celles des quantités mécaniques, telles que les ordonnées du centre de gravité de cette aire ou d'un solide quelconque. Il est évident que toutes ces quantités ont des va- leurs assignables, soit que la figure des corps soit régulière, soit qu'on leur donne une forme entièrement arbitraire.
230.
Si l'on applique ces principes à la question du mouvement des cordes vibrantes, on résoudra les difficultés qu'avait d'abord présentées l'a- nalyse de Daniel Bernoulli. La solution donnée par ce géomètre suppose qu'une fonction quelconque peut toujours être développée en séries de
224. THÉORIE DE LA CHALEUR.
sinus ou de cosinus d'arcs multiples. Or, de toutes les preuves de cette proposition, la plus complète est celle qui consiste à résoudre en effet une fonction donnée en une telle série dont on détermine les coeffi- cients.
Dans les recherches auxquelles on applique les équations aux diffé- rences partielles, il est souvent facile de trouver des solutions dont la somme compose une intégrale plus générale; mais l'emploi de ces intégrales exigeait que Ton en déterminât l'étendue, et que l'on put distinguer clairement les cas où elles représentent l'intégrale générale de ceux oii elles n'en comprennent qu'une partie. Il était nécessaire surtout d'assigner les valeurs des constantes, et c'est dans la recherche des coefficients que consiste la difficulté de l'application. Il est remar- (fuahle que l'on puisse exprimer par des séries convergentes et, comme on le verra dans la suite, par des intégrales définies les ordonnées des lignes et des surfaces qui ne sont point assujetties à une loi continue. On voit par là qu'il est nécessaire d'admettre dans l'analyse des fonc- tions qui ont des valeurs égales, toutes les fois que la variable reçoit des valeurs quelconques comprises entre deux limites données, tandis qu'en substituant dans ces deux fonctions, au lieu de la variable, un nombre compris dans un autre intervalle, les résultats des deux sub- stitutions ne sont point les mêmes. Les fonctions qui jouissent de cette propriété sont représentées par des lignes difierentes qui ne coïncident que dans une portion déterminée de leur cours et offrent une espèce singulière d'osculation finie. Ces considérations prennent leur origine dans le calcul des équations aux différences partielles; elles jettent un nouveau jour sur ce calcul et serviront à en faciliter l'usage dans les théories physiques.
231,
Les deux équations générales qui expriment le développement d'une fonction quelconque en cosinus ou en sinus d'arcs multiples donnent lieu à plusieurs remarques qui font connaître le véritable sens de ces théorèmes et en dirigent l'application.
CHAPITRE III. - SOLID* RECTANGULAIRE INFINI. 22o
Si, dans la série
a -h ôcosx -f- c COS2J7 4- dcos^x + e cos4-^ -h. . .,
on rend négative la valeur de x, la série demeure la même, et elle conser>e aussi sa valeur si Ton augmente la variable d'un multiple quelconque de la circonférence 27:. Ainsi dans Téquation
(V)
l - (p(j?)z= - / (^{x) dx -H cosj? / ^{x) cosx dx
COSSwT
j (^{x) C0S2X dx -h cos3x I (^{x) cos3xdx -h. . .y
la fonction 9 est périodique et représentée par une courbe composée d'une multitude d'arcs égaux, dont chacun correspond sur Taxe des abscisses à un intervalle égal à 21:. De plus chacun de ces arcs est composé de deux branches symétriques qui répondent aux deux moi- tiés de l'intervalle égal à 2tc.
Supposons donc que l'on trace une ligne d'une forme quelconque 99a et qui réponde à un intervalle égal à ir [Jig. 9). Si l'on demande une série de la forme
a -^ h cos X -\- c ces 1JC -k- d ces 3 ^ 4- . .
telle que, en mettant au lieu de x une valeur quelconque X comprise
^■^
9
ai
0 X
Fîg. 9
I 1
1Z
^
2ic
Alt
entre o et ir, on trouve pour la valeur de la série celle de l'ordon- née Xç, il sera facile de résoudre cette question : car les coefficients donnés par l'équation (v) sont
- I o(x)dXf - / <p(.r) cos.r ^x, - j (^(x)cos2x dx, ....
Les diverses intégrales, qui sont prises de ir = o à a* = ir, ayant tou- F. 29
226 THEORIE DE LA CHALEUR.
jours des valeurs mesurables comme celle de l'aire O^ar., et la sérié formée par ces coefficients étant toujours convergente, il n'y a aucune forme de la ligne ©ça pour laquelle l'ordonnée Xo ne soit exactement représentée par le développement
a -\- h cos.r -h c cos2;r -h dcosSjr -+- e cos^x 4-. . . .
L'arc 99a est entièrement arbitraire; mais il n'en est pas de même des autres parties de la ligne; elles sont au contraire déterminées : ainsi l'arc 9a qui répond k Tintcrvalle de o à — tt est le même que l'arc oa; et l'arc total aç^a se répète pour les parties consécutives de l'axe dont la longueur est 211.
On peut faire varier dans l'équation (v) les limites des intégrales. Si elles étaient prises depuis ^ = — ir jusqu'à j? = t:, le résultat serait double; il le serait aussi si les limites des intégrales étaient o et 27:,
au lieu d'être o et ir. Nous désignons en général par le signe /
^ ti
l'intégrale qui commence lorsque la variable équivaut à a, et qui est complète lorsque la variable équivaut a 6; et nous écrirons l'équa- tion [n) sous la forme suivante :
.« ^w
-'G,(x):=i- I o(jr)dœ-{-cosxi o(.r)cosxdx (v) /
7/ (p(^) C0S2x^/a7H- cosSjt 1 9 (^) cos 3 .r c/j™ -h . . . .
«^0 «^0
C0S2X
Au lieu de prendre les intégrales depuis x^=o jusqu'à ^ = 11, on pourrait les prendre depuis a: = o jusqu'à x = 21:, ou depuis ,r = — 7: jusqu'à a: = Ti; mais, dans chacun de ces deux cas, il faut écrire au premier membre 'n:cp(a7) au lieu de -«/(.r).
232.
Dans l'équation qui donne le développement d'une fonction quel- conque en sinus d'arcs multiples, la série change de signe et conserve la même valeur absolue lorsque la variable x devient négative;. elle
CHAPITRE m. — SOLIDE HECTANGL LAIUE INFINI. :227
conserve sa valeur et son signe lorsque la variable est augmentée ou diminuée d'un multiple quelconque de la circonférence st:. L'arc (p(f « [fig. lo), qui répond à Tintervalle de o à n, est arbitraire; toutes les
Fi g. lo.
-it
0
.?
■r
"S
IC
■k
27:
3it1
autres parties de la ligne sont déterminées. L'arc 99a, qui répond à l'intervalle de o à — i:, a la même forme que l'arc donné 99a ; mais il est dans une situation opposée. L'arc total a^^ç^a est répété dans l'intervalle de i: à Sir, et dans tous les intervalles semblables. Nous écrirons cette équation comme il suit :
W
l - 9(j7) =1 sin j? 1 <j^{x)^\nx dx -\-^\nix j <^{x)s\n2x dx
f -\-s\nSx I (p(.r) sin S.rc^.r -}-... .
On pourrait changer les limites des intégrales, et écrire / ou /
au lieu de / ; mais, dans chacun de ces deux cas, il faut écrire au premier membre t. 9 (a?) au lieu de -o{-v).
233.
La fonction (f[-:r), développée en cosinus d'arcs multiples, est repré- sentée par une ligne formée de deux arcs égaux placés symétriquemeni départ et d'autre de l'axe des j dans l'intervalle de — 1: à -h u {/ig, i i/, cette condition est exprimée ainsi
o{x) — o(~x).
228 THÉORIE DE LA CHALEUR.
La ligne qui représente la fonction •]'{x), développée en sinus d'arcs multiples, est au contraire formée dans le même intervalle de deux arcs opposés, ce qu'exprime l'équation
Une fonction quelconque F(;r), représentée par une ligne tracée arbi- trairement dans l'intervalle de — t: à + 7:, peut toujours être partagée t'n deux fonctions telles que ^(x)et-\'{x). En effet, si la ligne F'F'/nFF
Kifl. M.
'■■■{( ]f
représente la fonction F(x}, et que l'on élève par le point 0 l'ordon- née Om, on tracera par le point m à droite de l'axe Om l'arc ^n^seni- hlahle h l'arc niF'F' de la courbe donnée, et à gauclie du même axe on tracera l'arc m/'/' semblable à l'arc mFF; ensuite on fera passer par le point m une ligne ^'^'m^^ qui partagera en deux parties égales la différence de chaque ordonnée xF ou x'f à l'ordonnée correspon- dante a/ou ^'F'. On tracera aussi la ligne 'l'^'O']/'!, dont l'ordonnéf! mesure la demi-différence de l'ordonnée de F'F'mFFà celle At f'fmff. Cela posé, les ordonnées de la ligne F'F'/nFF et do la ligne/'/'m^étant désignées l'une par F(jc) et la seconde par/(j:^), on aura évidemment J\x) = F(— ^); désignant aussi l'ordonnée de ^'^'m^-) par o(r), et celle de 'l'^'O-^^' pa'' '\{^)^ <"' awa
et
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL 229
donc
on en conclut
ce que la construction rend d'ailleurs évident.
Ainsi les deux fonctions ^(.r) et "^[oc), dont la somme équivaut ii F(a:), peuvent être développées Tune en cosinus d'arcs multiples et Tautreen sinus.
Si Ton applique à la première fonction Téquation (v), et à la se- conde l'équation (fx), en prenant dans l'une et l'autre les intégrales depuis j? = — t: jusqu'à x =^t:, et si l'on ajoute les deux résultats, on aura
T,['^{x) -h ^'(jr)] =: 7rF(ir):= - / ^{x)dx -h COS^ / (^{x)ç.0^xdx 4- C0S2 J? / (p(.r) C0S2cirAr H- . . .
-h sin.r 1 ^{x) ^mxdx -h sinaa? / ^{œ) siwxx d.r -+-...;
les intégrales doivent être prises depuis j? = -— ir jusqu'à ^ = ir. Il
faut remarquer maintenant que dans l'intégrale / c^[x)cosxdœ on
pourrait, sans en changer la valeur, mettre ^{x) -^^[x) au lieu de ^{x) : car la fonction cosj? étant composée, à droite et à gauche de Taxe des x^ de deux parties semblables, et la fonction "^[x) étant au
contraire formée de deux parties opposées, l'intégrale / ^[x) cosxdx
est nulle. Il en serait de même si Ton mettait cos2a7 ou cosSa? et en général cosix au lieu de coso;, i étant un des nombres entiers depuis o
jusqu'à l'infini. Ainsi l'intégrale / (f(x)cosîxdx est la même que l'intégrale
.-f-lt /i-HîS
f [(^{x)-\-'h{x)]cosixdx ou / F{x)cosixdx;
on reconnaîtra aussi que l'intégrale / ']f{x) slnixdx est égale à l'in-
(/>)
-230 THÉORIE DE LA CHALEUR.
V{x) s'iuixdjc, parce que Tintégralc
•7C
*■ — it
est nulle. On obtient par là l'équation suivante, qui sert a développer une fonction quelconque en une suite formée de sinus et de cosinus d'arcs multiples :
i 7:F(.r)=:- I F{jc)djc -h cosjc I ¥{x) cosx dx -{- cos2a: I F(û:^)cos2xdx -h,,. f -+- sin.r / V{jr) sin.r djc h- sina^r / F(j7) sïn2x dx-h...
234.
La fonction F(:r) qui entre dans cette équation est représentée par une ligne F'F'FF, d'une forme quelconque. L'arc F'F'FF, qui répond a l'intervalle de — t: à -h t:, est arbitraire; toutes les autres parties de la ligne sont déterminées, et l'arc FT'FF est répété dans tous les intervalles consécutifs dont la longueur est air. Nous ferons des appli- cations fréquentes de ce théorème et des équations précédentes {m) et (//).
Si l'on suppose dans l'équation [p] que la fonction F(^) est repré- sentée, dans l'intervalle de — t: à -h::, par une ligne composée de deux arcs égaux symétriquement placés, tous les termes qui contien- nent les sinus s'évanouiront et l'on trouvera l'équation (m). Si, au contraire, la ligne qui représente la fonction donnée F(\r) est formée de deux arcs égaux de situation opposée, tous les termes qui ne con- tiennent point les sinus disparaissent et l'on trouve l'équation [n). En assujettissant la fonction F(.r) à d'autres conditions, on trouverait d'autres résultats.
On écrira dans l'équation générale (/?), au lieu de la variable x, la
quantité -^> x désignant une autre variable, et 2r la longueur de l'intervalle dans lequel est placé l'arc qui représente F(^); cette fonc-
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 231
lion sera F(-^j> que nous désignerons par /(^). Les limites, qui
r.r
étaient a; = — t: et j: = i:, seront fournies par les équations -^ = — -n, ^ =ii; on aura donc, après la substitution,
TZ.V
r/{jr)z^- I /{,r)dx -\- Qos-^ 1 /(.r) cos -^^^/.r 4- C0S2 -^ I /(.r) cos?. -^ t/.r +...
-F sin — I /(j") sin —^d.v -f- sni 2—;- / /(.r) sint? — ;- ^.z- -+- . . . :
toutes les intégrales doivent être prises, comme la première, de .r = — ra a? = 4- r. Si Ton fait la même substitution dans les équa- tions (v) et ((x), on aura
( N ) - f{jc) ■= I f{x) dx -h cos -^ / f(jc) cos -^ ^iT H- ces 2 -T" / /(j:) cos 2 --^ r/.z- -+-...
et
(M) -/(.r) = sin-^ / /(j:*) sin -^ ^x -h sin2 -'- l /(j?) sina ^ t/.r -f-. . . .
Dans la première équation (P), les intégrales pourraient être prises depuis ^ = 0 jusqu'à x = 2r, et, en représentant par X l'intervalle total 2r, on aura
X
\ (R)
l— /(.r) = - I /{x)dx-\-cos—^- I /(.rjcos-.^ aj?-hC0S2 "Y- / /(^) cosa -^^ a./' -t-...
. 27r.r r',. . 27:x - . 27:x T' , , . 'iTr.*-- .
-h sin -^— I /(j?) sm -Y-«^-+- sm2 -^— I /(.2')sm2 — ^/.i-f-....
235.
11 résulte de tout ce qui a été démontré dans cette Section concer- nant le développement des fonctions en séries trigonométriques que, si l'on propose une fonction /(^) dont la valeur est représentée, dans un intervalle déterminé, depuis ^ = o jusqu'à x = X, par l'ordonnée
232 THÉORIE DE LA CHALEUR.
(ruiie ligne courbe tracée arbitrairement, on pourra toujours déve- lopper cette fonction en une série qui ne contiendra que les sinus ou les cosinus, ou les sinus et cosinus des arcs multiples, ou les seuls cosinus des multiples impairs. On emploiera, pour connaître les termes de ces séries, les équations (M), (N), (P).
On ne peut résoudre entièrement les questions fondamentales de la théorie de la chaleur, sans réduire à cette forme les fonctions qui représentent l'état initial des températures.
Ces séries trigonométriqucs, ordonnées selon les cosinus ou les sinus des multiples de l'arc, appartiennent à l'analyse élémentaire comme les séries dont les termes contiennent les puissances succes- sives de la variable. Les coefficients des séries trigonométriqucs sont dos aires définies, et ceux des séries de puissances sont des fonctions données par la difTérentiation, et dans lesquelles on attribue aussi à la variable une valeur définie. Nous aurions à ajouter plusieurs remarques concernant l'usage et les propriétés des séries trigonométriqucs; nous nous bornerons à énoncer brièvement celles qui ont un rapport plus direct avec la théorie dont nous nous occupons.
1° Les séries ordonnées selon les cosinus ou les sinus des arcs mul- tiples sont toujours convergentes, c'est-à-dire qu'en donnant à la va- riable une valeur quelconque non imaginaire, la somme des termes converge de plus en plus vers une seule limite fixe, qui est la valeur de la fonction développée;
2** Si l'on a l'expression de la fonction /(r) qui répond à une série
donnée
a -\- b ces X -\- c cos ix -\- d cos ^x ~\- e cos 4 ^ -+-... ,
et celle d'une autre fonction o[x)^ dont le développement donné est
a-f- ^cosj: -hy cosa^ -f- 3 cos 3 j: -h t cos!\x -h. . .,
il est facile de trouver en termes réels la somme de la série composée
a a -h i^ i3 -f- cy -h e/ô H- e£ H- . . . ,
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 233
et, plus généralement, celle de la série (*)
aoL -h ^(3cosa?-h cy cos2j?-f- dècosZûc -^ ezco%t\x -h. . .,
que l'on forme en comparant terme à terme les deux séries données. Cette remarque s'applique à un nombre quelconque de séries.
3** La série [p) (art. 233) qui donne le développement d'une fonc- tion F(^) en une suite de sinus et de cosinus d'arcs multiples peut être mise sous cette forme
/i -h cosx / F(a) cosa^a -h cosaj? / F(a)cos2ae/a-{-..., Y{a)da-V-\ ^ ^
f + sinx / F (a) sinaûfaH- sin ix I F(a) sin 2 ae/a -h...,
a étant une nouvelle variable qui disparait après les intégrations. On a donc
^- , f^^^, V . / - + cosa?cos«H- cos2j?cos2a ^-cos3J7Cos3a-f-. . . 7rF(x)=/ F{(x)d(xi 2
•^-w \ -h sin x sin a -h sin 2 J7 sin 2a -h sin 2^ sin 3a -H. . .
ou
Y(x) = - / F(a)<ia - -+- cos(^- — a) -h C0S2(j:* — a) H- cos3(^ — a)-h... .
Donc, en désignant par
ScosiX-^^ — a)
la somme de la série précédente, prise depuis i— 1 jusqu'à i = 00, on
( » ) Si l'on se propose, en effet, de calculer l'intégrale
ijr7(-)^(
X -h /t) d^Cy
on trouvera aisément, en remplaçant /(x) et <p(x-h//) par leurs développements, l'ex- pression
a a -h - bpcos/t-h -cycosa/f -+-...,
ce qui équivaut au résultat énoncé par Fourier. G. D.
F. 3o
•23V THÉORIE DE LA CHALEUR.
aura (')
F(.r)--- j F{(x)doc\ - -hlcosiij' — x)
L'expression - -h 2icos£(,r — a) représente une fonction de ,r et de a,
telle que, si on la multiplie par une fonction quelconque F(a) et si, après avoir écrit rfa, on intègre entre les limites a = — t: et a — 7:, on aura changé la fonction proposée F(a) en une pareille fonction de .r, multipliée par la demi-circonférence i:. On verra, par la suite, quelle
est la nature de ces quantités, telles que 7 4-2 cose(.r — a), qui jouis-
sent de la propriété que Ton vient d'énoncer.
4° Si, dans les équations (M), (N) et (P) (art. 234) qui, étant divi- sées par/-, donnent le développement d'une fonction /(r), on suppose que l'intervalle r devient infiniment grand, chaque terme de la série est un élément infiniment petit d une intégrale; la somme de la série est alors représentée par une intégrale définie. Lorsque les corps ont des dimensions déterminées, les fonctions arbitraires qui représentent les températures initiales et qui entrent dans les intégrales des équa- tions aux différences partielles doivent être développées en séries ana- logues à celles des équations (M), (N), (P); mais ces mêmes fonctions prennent la forme des intégrales définies lorsque les dimensions des
•
( ' ) Plus cxactoment, F(.r) esl la limite do l'expression
'^P
(*)^3e I !► C06/(.r - a)
lorsque p augmente indéfiniment. La série
I
T-COS(.r - a) -h C0S2(.r — a) -i-. . . ayant une somme indéterminée, on ne peut attacher aucun sens à l'expression
1 = 00
- -i-^C0S/(.r— g)
/-i considérée par Fourier. G. I).
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 233
corps ne sont point déterminées, comme on l'expliquera dans la suite de cet Ouvrage, en traitant de la diffusion libre de la chaleur.
SECTION VU.
APPLICATION A LA QUEST10?( ACTUELLE.
236.
Nous pouvons maintenant résoudre d'une manière générale la ques- tion de la propagation de la chaleur dans une lame rectangulaire BAC dont la base A {fig* 7 his) est constamment échauffée, pendant que ses deux arêtes infinies B et C sont retenues à la température o.
V!
u
Fig. 7 his.
W M
* •
r
A
C
£
Supposons que la température initiale de tous les points de la table BAC soit nulle, mais que celle de chaque point m de Taréte A soit con- servée par une cause extérieure quelconque, et que cette valeur fixe soit une fonction f[x) de la distance du point m à l'extrémité 0 de l'arête A, dont la longueur totale est r; soit v la température con- stante du point M dont les coordonnées sont j et x\ il s'agit de déter- miner K> en fonction de y et x. La valeur
i' =r ae^'^^y sin m ,r
satisfait à l'équation
d^ V d* V
dx^ dy'^
---0;
236 THÉORIE «E LA CHALEUR.
a ei m sont des quantités quelconques. Si l'on prend m = « -, et que
/ soit un nombre entier, la valeur ae ** sint — deviendra nulle
r
lorsque x sera égal à zéro ou à r, quelle que soit d'ailleurs la valeur de y. On pourra donc prendre, pour une valeur plus générale de v,
çz=iaie '^ sin h ejj e '^ sin 2 h «a e ' sin 3 h
• r r r
Si Ton suppose/ nulle, la valeur de v sera, d'après l'hypothèse, égale à la fonction connue f{x). On aura donc
fix) =ra. sîn h^sSina h asSmS h ^FtSinA h
On déterminera les coefficients a,, a,, a,, 04, a^, ... au moyen de l'équation (M) et, en les substituant dans la valeur de Vy on aura
. TZX r'^ ^, . . r.X , ~'T" • ^•'^ C r/ \ ' '^^ J
;ni— ^ I /(j7)sm — ax-^-e '^ sma— ;- I /{x)s\n2 — dx
- rmze '' su 2
e
'■ sin3— ;- / /(^)sin3-^e/vC-t-....
237.
En supposant dans l'équation précédente r = ir, on aura la même solution sous une forme plus simple, savoir
[-T:if=ze~ysïnx I /{x)s\nxdx -\-e-'*y sia2x 1 /{x)s\n2xdx
'^sin3j7 I /{x)s\n3xdx -\-. » ,
4-e-
ou
-7r(^= / /(a)û?a(e"ysinjrsin«-he-->'sin2»r sin2aH-e-'>'sin3j:sin35C -H...);
a est une nouvelle variable qui disparait après l'intégration. Si l'on détermine la somme de cette série et si l'on en fait la substitution dans
CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI, 237
la dernière équation, on aura la valeur de ç' sous une forme finie. Le double de la série équivaut à
e-y[cos{x — a) — cos(a7 -+- «)] 4- e-'y [cos 2 (a: — a) — cos2 (^ h- «)]
-f-e-'J^[cos3(^— a) — cos3(j7-h a)]-i- . ..;
désignant par F(j,/?) la somme de la série infinie
e-y cosp -h e--y cos2/> + e-'J' cos 3/? -h . . . ,
on en conclura
7:p=: r F(a)û?a[F(7,^ — a)-F(7,^4.a)].
On a
I — e
- (/-+-/» v/-» ) I — e- (J'-'' v^ )
OU
F(/,/>)
cos/> — «-^
-v^
e^ — 2 COS/? -H e-^
donc
Jo [ey—2C0s(a:-^(x)-\'e-y e>'— 2 cos(a: -+- a) 4- e->' J
ou
/(«)^«j^y-:i:
2C0S(a; — a) -t-e->'] [ey— 2 cos (a: 4- a) -h e-y]
OU, en décomposant le coefficient en deux fractions,
(ey—e-y)
2 -0
J • |_e^— 2C0s(j: — a)4-e"^ e^— 2C0S(a? 4- a) 4- <?"-'' J
da.
Cette équation contient, sous la forme finie et en termes réels, l'inté- grale de l'équation
238 THÉORIE DE LA CHALEUR.
appliquée à la question du mouvement uniforme de la chaleur dans un solide rectangulaire exposé par sa base à Taclion constante d'un seul foyer.
Il est facile de reconnaître les rapports de cette intégrale avec Tin- légrale générale, qui a deux fonctions arbitraires; ces fonctions se trouvent déterminées par la nature même de la question, et il ne reste d'arbitraire que la fonction/(a), considérée entre les limites a = o et a = t:. L'équation (a) représente, sous une forme simple, propre aux applications numériques, cette même valeur de c réduite en une série convergente.
Si l'on voulait déterminer la quantité de chaleur que le solide con- tient lorsqu'il est parvenu à son état permanent, on prendrait l'inté- grale fdxfvdy depuis x = o jusqu'à x = u et depuis y = o jusqu'à y = 00; le résultat serait proportionnel à la quantité cherchée. En géné- ral, il n'y a aucune propriété du mouvement uniforme de la chaleur dans une lame rectangulaire qui ne soit exactement représentée par cette solution. Nous envisagerons maintenant les questions de ce genre sous un autre point de vue, et nous déterminerons le mouvement varié de la chaleur dans les différents corps.
CHAPITRE IV.
DU MOUVEMENT LINÉAIRE ET VARIÉ DE LA CHALEUR DANS UNE ARMTLLE.
SECTION I.
SOLUTION* GÉNÉRALE DE LA QUESTION.
238.
L'équation qui exprime le mouvement de la chaleur dans une ar- mille a été rapportée dans l'article 105; elle est
^^ dt~CDâ.v^ CDS''*
Il s'ajçit maintenant d'intégrer cette équation; on écrira seulement
ai' , d^v .
-r- !=: A* -T— r — nv; ôt dx^ '
la valeur de A représentera ^-rr, celle de A sera p|T^; r désigne la lon- gueur de l'arc compris entre un point m de l'anneau et l'origine o; \^ est la température que l'on observerait en ce point m après un temps donné /. On supposera d'abord r = g-^'//, u étant une nouvelle indéterminée; on en tirera
du , d^n ol ox
2 »
or cette dernière équation convient au cas où l'irradiation serait nulle à la surface, puisqu'on la déduirait de la précédente en y faisant A = o; on conclut de là que les différents points de l'anneau se refroidis- sent successivement, par l'action du milieu, sans que cette circon-
240 THÉORIE DE LA CHALEUR.
stancc trouble en aucune manière la loi de la distribution de la cha- leur. En effet, en intégrant Téquation
du . d^u
on trouverait les valeurs de u qui répondent aux différents points de Tanneau dans un même instant, et l'on connaîtrait quel serait Tétat du solide si la chaleur s'y propageait sans qu'il y eût aucune déperdi- tion à la surface; pour déterminer ensuite quel aurait été l'état du solide au même instant si cette déperdition eût eu lieu, il suffirait de multiplier toutes les valeurs de m, prises pour les divers points et pour un même instant, par une même fraction qui est ^"'*^ Ainsi le refroi- dissement qui s'opère à la surface ne change point la loi de la distribu- tion de la chaleur; il en résulte seulement que la température de chaque point est moindre qu'elle n'eût été sans cette circonstance; et elle diminue, pour cette cause, proportionnellement aux puissances successives de la fraction e~^'.
239.
La question étant réduite à intégrer l'équation
du . d* u
Tt "^ Â^«'
on cherchera, en premier lieu, les valeurs particulières les plus simples que l'on puisse attribuer a la variable m; on en composera ensuite une valeur générale, et l'on démontrera que cette valeur est aussi étendue que l'intégrale, qui contient une fonction arbitraire en x, ou plutôt qu'elle est cette intégrale elle-même, mise sous la forme qu'exige la question, en sorte qu'il ne peut y avoir aucune solution différente.
On remarquera d'abord que l'équation est satisfaite si l'on donne à M la valeur particulière a^'^sinAiic, /w et n étant assujettis à la con- dition m= — kn}. On prendra donc pour une valeur particulière
de u la fonction
ae-^^'^sin/ix.
CHAPITRE IV. ~ ARMILLE. 241
Pour que cette valeur de u convienne à la question» il faut qu'elle no change point lorsque la distance x est augmentée de la quantité iTzr, r désignant le rayon moyen de l'anneau. Donc 2mrr doit être un mul-
tiple t de la circonférence su, ce qui donne /i= -• On peut prendre
pour /un nombre entier quelconque; on le supposera toujours positif parce que, s'il était négatif, il suffirait de changer dans la valeur a^"*"''sin/2^ le signe du coefficient a. Cette valeur particulière
ae ' sm —
ne pourrait satisfaire à la question proposée qu'autant qu'elle repré- senterait l'état initial du solide. Or, en faisant ^ = o, on trouve
uz=^a sin — ;
r
supposons donc que les valeurs initiales de u soient exprimées en effet
par a sin-> c'est-à-dire que les températures primitives des différents
points soient proportionnelles aux sinus des angles compris entre les rayons qui passent par ces points et celui qui passe par l'origine; le mouvement de la chaleur dans l'intérieur de.l'anneau sera exactement représenté par l'équation
111= ae •- sm
kt
/•
et, si Ton a égard à la déperdition de la chaleur par la surface, on trouvera
V z=zae ^ ' ^ sm — •
/•
Dans le cas dont il s'agit, qui est le plus simple de tous ceux que l'on puisse concevoir, les températures variables conservent leurs rapports primitifs, et celle d*un point quelconque diminue comme les puis- sances successives d'une fraction, qui est la même pour tous les points.
On remarquera les mêmes propriétés si l'on suppose que les tempé- F. 3i
2W THÉORIE DE LA CHALEUR.
ratures initiales sont proportionnelles au sinus du double de Tare -;
et cela a lieu, en général, lorsque les températures données sont repré-
sentées par a sin — , i étant un nombre entier quelconque.
On arrivera aux mêmes conséquences en prenant, pour valeur parti- culière de a, la quantité «^'"^''''cos/i.r; on a aussi 3wiir= li-^ et
n = ~; donc l'équation
uz=ae ' cos —
exprimera le mouvement de la chaleur dans Tintérieur de Tanneau,
si les températures initiales sont représentées paracos— ;-•
Dans tous ces cas, où les températures données sont proportion-
nelles aux sinus ou aux cosinus d'un multiple de l'arc -, les rapports
établis entre ces températures subsistent continuellement pendant la durée infinie du refroidissement. Il en serait de même si les tempéra-
tures initiales étaient représentées par la fonction asin-7 -H 6 cos -7 >
l'étant un nombre entier, a et b des coefficients quelconques.
240.
Venons maintenant au cas général, dans lequel les températures initiales n'ont point les rapports que l'on vient de supposer, mais sont représentées par une fonction quelconque F(^). Donnons à cette fonc- tion la forme 9 (^j» en sorte qu'on aitF(.r) = q f ^ j, et concevons que
la fonction ? (^) est décomposée en une série de sinus ou de cosinus
d'arcs multiples affectés de coefficients convenables. On posera l'é- quation
(p 1 — 1 =: ^0 sin o— -h ai sin i — h- a, sin 2 — 4- . . .
(£)
•37 17 .27
-+-60COS0 — h 61 cos I — -f-ô.cosa ^ — h
r r r
CHAPITRE IV. - AHMILLË.
243
Les nombres ^0, a,, ^a» •• -î *ot ^i» ^a» • •• sont regardés comme con- nus et calculés d'avance. Il est visible que la valeur de u sera alors représentée par Téquation
a = ^o-h
|
ai sin — /■ |
kt |
a. sin a ~ |
|
|
ô, ces — |
&sC0S2 — |
En effet :
1° Cette valeur de u satisfera à l'équation
parce qu'elle est la somme de plusieurs valeurs particulières;
2"" Elle ne changera point lorsqu'on augmentera la distance x d'un multiple quelconque de la circonférence de l'anneau;
3^ Elle satisfera à l'état initial, parce que, en faisant / = o, on trou- vera l'équation (e).
Donc toutes les conditions de la question seront remplies; et il ne restera plus qu'à multiplier par €~^^ cette valeur de w.
241.
A mesure que le temps / augmente, chacun des termes qui composent la valeur de u devient de plus en plus petit; le système des tempéra- tures tend donc continuellement à se confondre avec l'état, régulier et constant, dans lequel la différence de la température u à la constante £^ est représentée par
ûf, sin - -f- ^1 cos '- j e '*,
Ainsi les valeurs particulières que nous avons considérées précédem- ment, et dont nous composons la valeur générale, tirent leur origine de la question elle-même. Chacune d'elles représente un état élémentaire qui peut subsister de lui-même dès qu'on le suppose formé; ces va-
2hk
THEORIE DE LA CHALEUR.
leurs ont une relation naturelle et nécessaire avec les propriétés phy- siques de la chaleur (*).
Pour déterminer les coefficients ao,a,,a2f «a» •••? ^o» ^i» ^a» ^«» • • •• on emploiera l'équation (II) (art. 234), qui a été démontrée dans la dernière Section du Chapitre précédent.
L'abscisse totale désignée par X dans cette équation sera 21: r, x sera Tabscisse variable et /(a?) représentera l'état initial de l'anneau; les intégrales seront prises depuis ar = o jusqu'à 07= 2Tur; on aura donc
1 ces - / cos'-/(j:)c^x-+-cos2— / cosa - f{jc) dx -h.
T:rf{x)^l Cf{x)dx-^\
^- J \ X C ^ X ^ , X r , X .
f sm - I sin —/{x) ûfvP -h sin2 — I sm 2 —/(x) dx -+-.
Connaissant ainsi les valeurs de ao, ai, a^, a,, ...; 60, 6|, 62* ^3» •••> on les substituera dans l'équation et Ton aura l'équation suivante, qui contient la solution complète de la question :
(E) 7r/*i'=e-
\ if'^^''^'^^
X r X
in — / ^xw—f^x^dx os— / 0,0%— f{x)dx
_kt (sin2 ^ /sin2 jf{x)dx ;os 2 - / cos 2 -/(.r) dx
ÎU/
Toutes les intégrales doivent être prises depuis j? = o jusqu'à ar= 2'îrr.
Le premier terme -^. i f[x)dxy qui sert à former la valeur de v, est
évidemment la température moyenne initiale, c'est-à-dire celle qu'au- rait chaque point si toute la chaleur initiale était également répartie
entre tous les points.
242.
On peut appliquer l'équation précédente (E), quelle que soit la forme de la fonction donnée f{x). Nous considérerons deux cas parti- culiers, savoir : î** celui qui a lieu lorsque, l'anneau ayant été élevé par l'action d'un foyer à des températures permanentes, on supprime
(*) Foir. pour plus de netteté, les développements donnés à cette idée à la fin de l'ar- ticle 2^. G. D.
CHAPITRE IV. - ARMILLE. 245
tout à coup le foyer; 2° le cas où la moitié de l'anneau, échaufTée éga* lement dans tous ses points, serait réunie subitement à Tautre moitié, qui aurait dans toutes ses parties la température initiale o.
On a vu précédemment (art. 106) que les températures permanentes de Tanneau sont exprimées par l'équation
et la quantité a a pour valeur e *"**; /est le contour de la section génératrice et S la surface de cette section. Si l'on suppose qu'il y ait
un seul foyer, il sera nécessaire que l'on ait l'équation y-^ = o au
point opposé à celui qui est occupé par le foyer. La condition
a or-' — é a* ziz o
sera donc satisfaite en ce point. Regardons, pour plus de facilité dans le calcul, la fraction ^ comme égale à l'unité, et prenons le rayon r de Tanneau pour le rayon des Tables trigonométriques'; on aura
donc l'état initial de l'anneau est représenté par l'équation
11 ne reste plus qu'à appliquer l'équation générale (E) et, en dési- gnant par M (*) la chaleur (^) moyenne initiale, on aura
\2 I*-|-l 2*-hI 3*H-i 4 -+-I /
Cette équation exprime l'état variable d'un anneau solide qui, ayant
( * ) En faisant les calculs supprimés par Fourier, on trouve que la valeur de M esl liée à celle de la constante b par la relation
M-|<'-*-">- G.D.
. (<) Ici et dans quelques autres passages, Fourier emploie le mot chaleur pour indiquer la température. G. D.
•246 THÉORIE DE LA CHALEUR.
été échauffé par un de ses points et élevé à des températures station- naires, se refroidit dans i'air après la suppression du foyer.
243.
Pour faire une seconde application de l'équation générale (E), nous supposerons que la chaleur initiale est tellement distribuée qu'une moitié de l'anneau, comprise depuis x = o jusqu'à a: = u, a, dans tous ses points, la température i et que l'autre partie a la température o. Il s'agit de déterminer l'état de l'anneau après un temps écoulé /.
La fonction /(a?) qui représente l'état initial est telle, dans ce cas, que sa valeur est i toutes les fois que la variable est comprise entre o et tz. Il en résulte que l'on doit supposer
et ne prendre les intégrales que depuis a; = o jusqu'à 07 = 1:; les autres parties des intégrales sont nulles d'après l'hypothèse. On obtiendra d'abord l'équation suivante qui donne le développement de la fonction proposée, dont la valeur est i depuis a; = o jusqu'à x=ztz, et nulle depuis 07 = ir jusqu'à x =. air,
/(x) = — I — I sinx -+- 7çSin3.r-i- TrsinSx h — sin7.r -1-. .
•' 2 TT \ 3 5 . 7 '
Si maintenant on substitue dans l'équation générale les valeurs qu'on vient de trouver pour les coefficients constants, on aura l'équation
-;— ^= «~'*M 7 -I- e-*'sinx -h ^e-*"*'sin3a? -f- ^e~***'sin5.r +...),
qui exprime la loi suivant laquelle varie la température à chaque point de l'anneau, et fait connaître son état après un temps donné.
Nous nous bornerons aux deux applications précédentes et nous ajouterons seulement quelques observations sur la solution générale exprimée par l'équation (E).
CHAPITRE IV. - ARMILLE. 2fc7
244.
i" Si l'on suppose k infini, Tétat de l'anneau sera exprimé ainsi
OU, en désignant par M la température moyenne initiale,
La température d'un point quelconque deviendra subitement égale à la température moyenne et les différents points conserveront toujours des températures égales, ce qui est une conséquence nécessaire de riiypothëse où Ton admet une conducibilité infinie.
3" On aura le même résultat si le rayon r de l'anneau est infiniment petit.
3** Pour trouver la température moyenne de l'anneau après un
temps /, il faut prendre l'intégrale / v dx, depuis x = o jusqu'à
x= 2irr, et diviser par 2Tzr. En intégrant entre ces limites les diffé- rentes parties de la valeur de ç et supposant ensuite x = 2'î:r, on trou- vera que les valeurs totales des intégrales sont nulles, excepté pour le premier terme; la température moyenne a donc pour valeur, après le temps /, la quantité Mc^^ Ainsi, la température moyenne de l'anneau décroit de la même manière que si la conducibilité était infinie; les va- riations occasionnées par la propagation de la chaleur dans ce solide n'influent point sur la valeur de cette température.
Dans les trois cas que nous venons de considérer, la température dé- croit proportionnellement aux puissances de la fraction e~'^^ ou, ce qui est la même chose, à l'ordonnée d'une courbe logarithmique, l'abscisse étant égale au temps écoulé. Cette loi est connue depuis longtemps; mais il faut remarquer qu'elle n'a lieu, en général, que si les corps ont une petite dimension. L'analyse précédente nous apprend que, si le diamètre d'un anneau n'est, pas très petit, le refroidissement d'un point déterminé ne serait pas d'abord assujetti à cette loi; il n'en est
2^8 THEORIE DE LA CHALEUR.
pas de même de la température moyenne, qui décroit toujours propor- tionnellement aux ordonnées d'une logarithmique. Au reste, il ne faut point perdre de vue que la section génératrice de l'armille est supposée avoir des dimensions assez petites pour que les points de la même sec- tion ne diffèrent point sensiblement de température.
4^ Si Ton voulait connaître quelle est la quantité de chaleur qui s'échappe dans un temps donné par la superficie d'une portion donnée
de l'anneau, il faudrait employer l'intégrale hl j dt 1 vdx, et prendre
cette intégrale entre les limites qui se rapportent au temps. Par exemple, si l'on choisit o, 27: pour les limites de a? et o, «> pour les limites de /, c'est-à-dire si l'on veut déterminer toute la quantité de chaleur qui s'échappe de la superficie entière pendant toute la durée du refroidissement, on doit trouver, après les intégrations, un résultat égal à toute la chaleur initiale ou 2'n:rMGDS, M étant la température moyenne initiale.
5^ Si l'on veut connaître combien il s'écoule de chaleur dans un temps donné, à travers une section déterminée de l'anneau, il faudra
employer l'intégrale — KS / ^dt, en mettant pour ^ la valeur de
cette fonction, prise au point dont il^s'agit.
245.
6^ La chaleur tend à se distribuer dans l'anneau suivant une loi qui doit être remarquée. Plus le temps écoulé augmente et plus les termes qui composent la valeur de v dans l'équation (Ë) deviennent petits par rapport à ceux qui les précèdent. Il y a donc une certaine valeur de / pour laquelle le mouvement de la chaleur commence à être sensible- ment représenté par l'équation
)/it
Cette même relation continue à subsister pendant la durée infinie du refroidissement. Si, dans cet état, on choisit deux points de l'anneau
CHAPITRE IV. - AHMILLE. 2V9
situés aux deux extrémités d'un même diamètre, en représentant par .r, et x^ leurs distances respectives à l'origine, par r, et v.^ leurs tem- pératures correspondantes au temps /, on aura
r, izz I ft^ -}- lai sin ^ -h bi cos -7 j e '* <?-'", V, = Uo -h (ai sin y -+- ^1 cos ^\e~ '"* e- '".
F^os sinus des arcs ~ et —* ne différent que par le signe, et il en est do même dos quantités cos — et cos — ; donc
l'i
!ll^b,e-'".
Ainsi la demi-somme des températures des points opposés donne une quantité 6o^~^S qui serait encore la même si l'on avait choisi deux points situés aux extrémités d'un autre diamètre. Cette quantité hoC'^^ ^st, comme on l'a vu plus haut, la valeur de la température moyenne après le temps /. Donc la demi-somme des températures des deux points opposés quelconques décroît continuellement avec la tem- pérature moyenne de l'anneau et en représente la valeur sans erreur sensible, après que le refroidissement a duré un certain temps. Exami- nons plus particulièrement en quoi consiste ce dernier état, qui est exprimé par l'équation
I ^0 -h ( «1 sin - -h ^, cos '—je '* e~'".
i — \bo-i-
Si l'on cherche d'abord le point de l'anneau pour lequel on a la condi- tion
rti sin ^^ — h ^1 cos — == o /• /•
ou
- = arctang
on voit que la température de ce point est, à chaque instant, la tempé- F. 32
250 THEORIE DE LA CHALEUR.
rature moyenne de l'anneau. II en est de même du point diamétrale- ment opposé, car l'abscisse x de ce dernier point satisferait encore a l'équation précédente
X ( bx - =:arc tang
/• \ «i
Désignons par X la distance a laquelle le premier de ces points est placé, on a
^i = — «itang-
et, en substituant cette valeur de 6,,
•'7 j
Si l'on prend maintenant pour origine des abscisses le point qui ré- pondait à l'abscisse X, et que l'on désigne par u la nouvelle abscisse X — X, on aura, h désignant une nouvelle constante,
Â7
<' z=z t'-'*' ( 60 -h ^ sin - t^ '■*
A l'origine, où l'abscisse u est o, et au point opposé, la température v est toujours égale à la température moyenne; ces deux points divisent la circonférence de l'anneau en deux parties dont l'état est pareil, mais de signe opposé. Chaque point de l'une de ces parties a une tem- pérature qui excède la température moyenne, et la quantité de cet excès est proportionnelle au sinus de la distance à l'origine; chaque point de l'autre partie a une température moindre que la température moyenne, et la différence est la même que l'excès dans le point opposé. Cette distribution symétrique de la chaleur subsiste pendant toute la durée du refroidissement. Il s'établit, aux deux extrémités de la moitié échauflee, deux flux de chaleur dirigés vers la moitié froide, et dont l'effet est de rapprocher continuellement l'une et l'autre moitié de l'armille de la température moyenne.
CHAPITRE IV. - ARMILLE. 251
246.
On remarquera maintenanlque, dans l'équation générale qui donne la valeur de t^, chacun des termes est de la forme
ai sint— 4- 6| cosi— \e "* er^^\
on pourra donc tirer, par rapport à chaque terme, des conséquences analogues aux précédentes. En effet, désignant pîir X la distance pour laquelle le coefficient
ce JC
ai sin / — H- bi cos / — r r
est nul, on aura Téquation
bi=i — a/tang£ — j
et cette substitution donne, pour la valeur du coefficient,
a étant une constante. Il suit de là que, en prenant pour l'origine des coordonnées le point dont l'abscisse était X, et désignant par u la nouvelle abscisse a? — X, on aura, pour exprimer les changements de
cette partie de la valeur de ^, la fonction ae'^^'sin — e ''\
Si cette même partie de la valeur de v subsistait seule, en sorte que les coefficients de toutes les autres fussent nuls, l'état de l'anneau se- rait représenté par la fonction
ht • '^ -" F*
r
et la température de chaque point serait proportionnelle au sinus du multiple i de la distance angulaire de ce point à l'origine. Cet état est analogue à celui que nous avons décrit précédemment; il en diflere en ce que le nombre des points qui ont une même température toujours égale à la température moyenne de l'anneau n'est pas 2 seulement,
•252 THÉORIE DE LA CHALEUR.
mais est en général égal à 21. Chacun de ces points ou nœuds sépare deux portions contiguës de l'anneau, qui sont dans un état semblable, mais désigne opposé. La circonférence se trouve ainsi divisée en plu- sieurs parties égales dont l'état est alternativement positif ou négatif. Le flux de la chaleur est le plus grand possible dans les nœuds; il se dirige toujours vers la portion qui est dans l'état négatif et il est nul dans le point qui est à égale distance de deux nœuds consécutifs. Les rapports qui existent alors entre les températures se conservent pen- dant toute la durée du refroidissement, et ces températures varient ensemble très rapidement, proportionnellement aux puissances succes- sives de la fraction
Si l'on donne successivement à i les valeurs o, i, 2, 3, 4» ••• > o" connaîtra tous les états réguliers et élémentaires que la chaleur peut affecter pendant qu'elle se propage dans un anneau solide. Lorsqu'un de ces modes simples est une fois établi, il se conserve de lui-même et les rapports qui existaient entre les températures ne changent point; mais, quels que soient ces rapports primitifs et de quelque manière que l'anneau ait été échauffé, le mouvement de la chaleur se décom- pose de lui-même en plusieurs mouvements simples, pareils à ceux que nous venons de décrire, et qui s'accomplissent tous à la fois sans se troubler. Dans chacun de ces états, la température est proportion- nelle au sinus d'un certain multiple de la distance à un point fixe. La somme de toutes ces températures partielles, prises pour un seul point dans un même instant, est la température actuelle de ce point. Or les parties qui composent cette somme décroissent beaucoup plus rapide- ment les unes que les autres; il en résulte que ces états élémentaires de l'anneau, qui correspondent aux différentes valeurs de i et dont la superposition détermine le mouvement total de la chaleur, dispa- raissent en quelque sorte les uns après les autres. Ils cessent bientôt d'avoir une influence sensible sur la valeur de la température, et laissent subsister seul le premier d'entre eux, pour lequel la valeur de i est la
CHAPITRE IV. - ARMILLE. 253
inoindre de toutes. On se formera de cette manière une idée exacte de la loi suivant laquelle la chaleur se distribue dans une armille et se dissipe par sa surface. L'état de Tarmille devient de plus en plus symé- trique; il ne tarde point à se confondre avec celui vers lequel il a une tendance naturelle, et qui consiste en ce que les températures des dif- férents points doivent être proportionnelles aux sinus d'un même mul- tiple de l'arc qui mesure la distance à l'origine. La disposition initiale n'apporte aucun changement à ces résultats.
SECTION II.
DR LA COXXUNICATIOX DE LA CIIALKUR ENTRE DES MASSES DISJOINTES.
247.
Nous avons maintenant à faire remarquer la conformité de l'analyse précédente avec celle que l'on doit employer pour déterminer les lois de la propagation de la chaleur entre des masses disjointes; nous arriverons ainsi à une seconde solution de la question du mouvement de la chaleur dans une armille. La comparaison des deux résultats fera connaître les véritables fondements de la méthode que nous avons sui- vie pour intégrer les équations de la propagation de la chaleur dans les corps continus. Nous examinerons en premier lieu un cas extrê- mement simple, qui est celui de la communication de la chaleur entre deux masses égales.
Supposons que deux masses cubiques m et /i, d'égale dimension et de même matière, soient inégalement échauffées, que leurs tempéra- tures respectives soient a et 6, et qu'elles soient d'une conducibilité infinie. Si l'on mettait ces deux corps en contact, la température deviendrait subitement égale dans l'une et l'autre à la température moyenne \[cl-\- b). Supposons que les deux masses soient séparées par un très petit intervalle, qu'une tranche infiniment petite du premier corps s'en détache pour se joindre au second, et qu'elle retourne au premier immédiatement après le contact. En continuant ainsi de se
25V THEORIE DE LA CHALEUR.
porter alternativement, et dans des temps égaux et infiniment petits, de l'une des masses à Tautre, la tranche interposée fait passer succes- sivement la chaleur du corps le plus échauffé dans celui qui Test moins ; il s'agit de déterminer quelle serait, après un temps donné, la tempé- rature de chaque corps, s'ils ne perdaient par leur surface aucune par- tie de la chaleur qu'ils contiennent. On ne suppose point que la trans- mission de la chaleur dans les corps solides continus s'opère d'une manière semblable à celle que l'on vient de décrire; on veut seule- ment déterminer par le calcul le résultat d'une telle hypothèse.
Chacune des deux masses jouissant d'une conducibilité parfaite, la quantité de chaleur contenue dans la tranche infmiment petite s'a- joute subitement à celle du corps avec lequel elle est en contact, et il en résulte une température commune, égale au quotient de la somme des quantités de chaleur par la somme des masses. Soit o) la masse de la tranche infiniment petite qui se sépare du corps le plus échauffé, dont la température est a; soient a et p les températures variables qui correspondent au temps /, et qui ont pour valeurs initiales a et b. Lorsque la tranche (o se sépare de la masse /w, qui devient /n — (o, elle a, comme cette masse, la température a et, dès qu'elle touche le se- cond corps affecté de la température p, elle prend en même temps que lui une température égale à
— — •
La tranche oj, retenant cette dernière température, retourne au pre- mier corps, dont la masse est /w — co et la température a. On trouvera donc, pour la température de ce corps après le second contact,
a(m — coj-ho) — ' ^
m -h (>) CL m -h pr.)
ni m -H co
Les températures variables a et p sont donc devenues, après l'in- stant dty
^ m ^ ^ ni
CHAPITRE IV. — ARMILLE. 255
on trouve ces valeurs en supprimant les puissances supérieures de co.
On a ainsi
,/a = -(a-?)-, ^^ = («-.3)-;
^ ni ^ _ m
la masse qui avait la température initiale ^ a reçu, dans un instant, une quantité de chaleur égale à mrf^ ou (a — P)a), laquelle a été per- due dans le même temps par la première masse. On voit par la que la quantité de chaleur qui passe en un instant du corps plus échauffé dans celui qui Test moins est, toutes choses d'ailleurs égales, propor- tionnelle à la différence actuelle des températures de ces deux corps. Le temps étant divisé en intervalles égaux, la quantité infiniment petite o) pourra être remplacée par Kdt, K étant le nombre des unités
de masse dont la somme contient co autant de fois que Tunité de temps
Kl
contient di, en sorte que l'on a — = -2;- On obtient ainsi les équations
é/a r:=— (a - 3) ~ ril, ^3 = (a ~ 3) - dt.
248.
Si l'on attribuait une plus grande valeur au volume coqui sert, pour ainsi dire, à puiser la chaleur de l'un des corps pour la porter à l'autre, la transmission serait plus prompte; il faudrait, pour exprimer cette condition, augmenter dans la même raison la valeur de K qui entre dans les équations. On pourrait aussi conserver la valeur de co et supposer que cette tranche accomplit dans un temps donné un plus grand nombre d'oscillations, ce qui serait encore indiqué par une plus grande valeur de K. Ainsi ce coefficient représente en quelque sorte la vitesse de la transmission, ou la facilité avec laquelle la cha- leur passe de l'un des corps dans l'autre, c'est-k-dire leur conducibilité
réciproque.
249.
En ajoutant les deux équations précédentes, on a
da -\- d^ =: o,
L
im TIIÉOIUE DE LA CHALEUR.
(»t, si l'on retranche Tune des équations de l'autre, on a
doc — f/3 -f- 2 (a — (3) — (il ^ o ^ ^ ni
ou, on faisant a — ^ = v,
a>'-h 2 — yat=:o.
Intégrant et déterminant la constante par la condition que la valeur initiale soit a — b, on a
La différence j des températures diminue donc comme l'ordonnée d'une logarithmique, ou comme les puissances successives de la frac-
tion e '". On a pour les valeurs de a et ^
y.^-{a^b)-\--{a — b)e "' , i^z=l{a -^ b) - -{a — b)e '"'
250.
On suppose, dans le cas qui précède, que la masse infiniment pe- tite iù au moyen de laquelle s'opère la transmission est toujours la même partie de l'unité de masse ou, ce qui est la même chose, que le coefficient K qui mesure la conducibilité réciproque est une quantité constante. Pour rendre la recherche dont il s'agit plus générale, il faudrait considérer le coefficient K comme une fonction des deux tem- pératures actuelles a et ^. On aurait alors les deux équations
e/a tzz — (a — 3) - ^/, r/3 nz (a — 3) — ^/,
^ ni r \ ^ ^ ni
dans lesquelles K serait égal à la fonction de a et p, que nous dési- gnons par ^(a,p). Il sera facile de connaître la loi que suivent les températures variables a et ^ lorsqu'elles approchent extrêmement de leur dernier état. Soit y une nouvelle indéterminée, égale k la diffé- rence entre a et la dernière valeur, qui est ^(^ -f- i) ou c. Soit z une
CHAPITRE IV. ~ ARMILLE. 257
seconde indéterminée» égale à la différence c — ^. On substituera, au lieu de a et p, leurs valeurs c -— y et c ^ z; et, comme il s'agit de trouver les valeurs de j et de :; lorsqu'on les suppose très petites, on ne doit retenir dans les résultats des substitutions que la première puissance dey et de z. On trouvera donc les deux équations
^dy = — {z—y)j^^(f{c—Y,c^z) dl, — dz = (---7)-9(t*— K,6' — ^)^/.
En développant les quantités qui sont sous le signe 9 et omettant les puissances supérieures de y et de z, on trouvera
dy={z — y)^o(c,c)dt, dz-^—(z^y)-o{c,c)dt.
La quantité ^(c,c) étant constante, il s'ensuit que les équations pré- cédentes donneront, pour la valeur de la différence 5 —y, un résultat semblable k celui que l'on a trouvé plus haut pour la valeur de a — ^.
On en conclut que, si le coefficient K, que l'on avait d'abord sup- posé constant, était représenté par une fonction quelconque des tem- pératures variables, les derniers changements qu'éprouvent ces tem- pératures, pendant un temps infini, seraient encore assujettis à la même loi que si la conducibilité réciproque était constante.
Il s'agit actuellement de déterminer les lois de la propagation dr la chaleur dans un nombre indéfini de masses égales qui ont actuel- lement des températures différentes.
251.
On suppose que des masses prismatiques, en nombre n, et dont chacune est égale à m, sont rangées sur une même ligne droite, et affectées de températures différentes a, b, c, d, ...; que des tranches infiniment petites, qui ont chacune la masse co, se séparent de ces dif- férents corps, excepté du dernier, et se portent en même temps du premier au second, du second au troisième, du troisième au quatrième, F. 33
258 THEORIE DE LA CHALEUR.
ainsi de suite; que, aussitôt après le contact, ces mêmes tranches retournent aux masses dont elles s'étaient séparées. Ce double mou- vement ayant lieu autant de fois qu'il y a d'instants infiniment pe- tits dt, on demande à quelle loi sont assujettis les changements de température.
Soient a, p, y» S» •••» f» <t les températures variables qui cor- respondent au même temps t et qui ont succédé aux valeurs ini- tiales a^ b, c, d^ Lorsque les tranches co se seront séparées des
n — i premières masses et mises en contact avec les masses voisines, il est aisé de voir que les températures seront devenues
a ( m — d) ) (3 ( m — &>)-}- a<«) y {ni — o) ) -h (3o) ani-\- pr.»
, , , • • • >
tn — 0) ni ni m -+- h\
OU, en supprimant dans la dernière les puissances supérieures de co,
a, (3-h(a — (3)~, VH-O — y) — > o -+- (y — (5)-^ , ..., a-H(p — a) — - r N ^ ' m * ^ ' m ' ni *^ m
Lorsque les tranches co seront revenues à leurs premières places, on trouvera les valeurs des nouvelles températures en suivant la même règle, qui consiste à diviser la somme des quantités de chaleur par la somme des masses, et l'on aura, pour les valeurs de a, p, y, o, ..., après l'instant dt,
y-h[|3 — y — (y — ô)]^^, •••, (T-h(p — a)^;
le coefficient de — est la différence de deux différences consécutives
m
prises dans la suite a, j3, y, . . ., p, a. Quant au premier et au dernier
coefficient de — > ils peuvent être considérés aussi comme des diffé-
rences du second ordre; il suffit de supposer que le terme a est pré- cédé d'un terme égal à a, et que le terme a est suivi d'un terme égal k 0-. On aura donc, en substituant comme précédemment Kt/^ à w, les
CHAPITRE IV. - AKMILLE. 259
équations suivantes :
dcf.^'-di [(|3 - «)-(«- a)], ./? = ^rf;[(y-?)-(|3-a)J. rfy=^rf<[(5-y)-(y-p)],
K
252.
Pour intégrer ces équations, on fera, suivant la méthode connue,
a=:a,e'", p^za^e^''^ yzzia^e'*^, ..., (jz=.ane''^\
hy a,, «a, rt.,, . . ., a^ étanl des quantités constantes qu'il faudra déter- miner. Les substitutions étant faites, on aura les équations suivantes :
Si Ton regarde a, comme une quantité connue, on trouvera l'expres- sion de «2 en a, et A, puis celle de a^ en a^ et h\ il en est de même de toutes les autres indéterminées a^, «3, .... La première et la dernière équation peuvent être écrites sous cette forme
.^1 ^* = - [(«5 — «1) — («1 — «»)],
260 THÉORIE DE LA CHALEUR.
pourvu que Ton retienne ces deux conditions
^0=^1 et ^rt=^«-Hi.
La valeur de «a contiendra la première puissance de h; la valeur de a.^ contiendra la seconde puissance de A, ainsi de suite jusqu'à a^^, qui contiendra la puissance /i*^"* de A. Cela posé,^^^., devait être égal à a^, on aura, pour déterminer A, une équation du w'^"* degré, et a, demeu- rera indéterminé (*).
Il suit de là que Ton pourra trouver pour h un nombre n de valeurs, et que, d'après la nature des équations linéaires, la valeur générale (le a sera composée d'un nombre n de termes, en sorte que les quan- tités a, p, y, ... seront déterminées au moyen des équations
P = a, e'" -h a; e'*' 4- «>'*-^ -h . . . ,
a = a,, e'" -h a^e'* ' -h a;, e^"' -i-
Les valeurs A, A', A", . . . sont en nombre n et égales aux n racines de Téquation algébrique du /t'^™* degré en A, qui a, comme on le verra plus bas, toutes ses racines réelles. Les coefficients de la première équation a,, a\y a", a", ... sont arbitraires; quant aux coefficients des lignes inférieures, ils sont déterminés par un nombre « de systèmes d'équations semblables aux équations précédentes. Il s'agit maintenant de former et de résoudre ces équations.
253. Écrivant la lettre q au lieu de -|t-j on aura les équations sui-
(*) U importe de remarquer qae, toutes les équations étant homogènes par rapport aux
détermine h sera toujours la même, quelle que soit la valeur attribuée à ^i. G. D.
coefficients <?/, le rapport -^^ sera indépendant de «i et, par conséquent, l'équation qui
ax
CHAPITRE IV. - ARMILLE. 261
vantes :
a, =ûro,
«3 =a,(7-ha) — a„
^«H-l = «l»(7 -+-») — «/i-l
On voit que ces quantités appartiennent à une série récurrente dont l'échelle de relation a les deux termes (^ 4- 2) et — i . On pourra donc exprimer le terme général a,„ par l'équation
a,n=^ A sinm£^ -h Bsîn(m — i)«,
en déterminant convenablement les quantités A, B et a. On trouvera d'abord A et B en supposant m égal à o et ensuite égal à i , ce qui donne
et, par conséquent,
a„,^=: -r-^ [sinmw — sin(m — i)«].
En substituant ensuite les valeurs de a,;,, a^i-i» ^m-2 ^l^^ns l'équation générale
on trouvera
sinm'/i =zz (y 4- 2)6in(/w' — i)u — sin(m' — •^)//,
/n' désignant /w — ^. En comparant cette équation a celle-ci :
sinm'w = 2cosi/sin(m'— i)a — sin(m'— .a)«,
qui exprime une propriété connue, on en conclut
<7 4-2 = 2cosw ou 7:=— 2sinV« (');
il ne reste plus qu'à déterminer la valeur de l'arc u.
(1) La notation sinVu, employée ici et dans la suite, indique ]o sinus verse do l'arc u.
G. I).
262 THÉORIE DE LA CHALEUR.
La valeur générale de a,„ étant
-.— - fsinwjw — sin(//i — i)m],
on aura, pour satisfaire k la condition rt,,^., = a„, l'équation
sin(/« -H i) w — sin/iM = sin/2// — sin(// — i) w,
d'où l'on tire
sin nu =zOf u^zui-^y
n
- étant la demi-circonférence et i un nombre entier quelconque, tel que o, i, 2, 3, 4. ..., /î — i. On en peut déduire les n valeurs de q
ou -^; ainsi, toutes les racines de l'équation en A, qui donnent les
valeurs de A, h\ h" ^ A'", ... sont réelles, négatives et fournies par les équations
h =:: — 2 — Sin V 1 O — j
m \ n )
A' =— 2 — siiiV ( I - )> m \ n I
/*(«-»)=:— 2- sinv|(/i-i)-l
m L 'M
Supposons donc qu'on ait divisé la demi-circonférence t: en un nombre n de parties égales, et que l'on prenne pour former l'arc u un nombre entier e de ces parties, / étant moindre que n\ on satisfera aux équations différentielles en choisissant pour a, une quantité quel- conque et faisant
sinw — sine// -t~-/^lnv^/
a ~ <7| -, e '" ,
sm a
sin2M — sin I w -t-/»invw ^ sinu
sinSM — sin2« — — /iidy« 7=^1 -. e "* ,
sin nu — sm(/i — i)u -8-/»inV/i ^ — Gi ; — ^^ '— e '"
SllïU
CHAPITRE IV. — ARMILLË. 263
Comme il y a un nombre n d'arcs différents que l'on peut prendre
pour u, savoir o -» i -> n-» •• -, (n — i)-» il va aussi un nombre n
(le systèmes de valeurs particulières pour a, p, y, §♦ . . .; et les valeurs générales de ces variables sont les sommes des valeurs particu- lières.
254.
On voit d'abord que, si l'arc u est nul, les quantités qui multiplient rt, dans les valeurs de a, p, ^^ 5, ... deviennent toutes égales à l'unité:
sinii — sinow , , ,« ^ i ^ -i * i
car : a pour valeur i lorsque I arc u est -nul, et il en est de
même des quantités qui se trouvent dans les équations suivantes. On conclut de là qu'il doit entrer dans les valeurs générales de a, p, y» 8, ..., rj des termes constants qui sont égaux.
De plus, en ajoutant toutes les valeurs particulières correspondantes de a, p, Y» •••» on aura
a 4- 3 -hv-hôH-. . .=ia, -^ e "* ,
^ ' sin«
équation dont le second membre se réduit à o toutes les fois que l'arc u n'est pas nul; tandis que, dans ce cas, on trouvera n pour la
I , Sir)/2M r\ \ ' ' 1
valeur de — . On a donc, en gênerai,
or, les valeurs initiales des variables étant a, é, c, r/, .. ., il est néces- saire (jue l'on ait wa, = a-h A -h c -h rf-+- .. . ; il en résulte que le terme constant qui doit entrer dans chacune des valeurs générales de a, p, y, 0, ..., a est
- (rt-h b-^c-\-d -\-, . .), n
c'est-à-dire la température moyenne entre toutes les températures ini- tiales.
Quant aux valeurs générales de a, p, y, . . ., (t, elles sont exprimées
1&*
THÉORIE DE LA CHALEUR.
par les équations suivantes :
a — - (a -\- h -^ c -{-,,.) -h ai n
SilU/ — SinOf/ -t-IHaVn
SI 11 M
m
K
bt
c.
sinw' — si no//' -i-/»iav«
smii
I
tn
K
sina — sinow' -i- /finvrr s'inu
& ■=z - (a -h b -^ c -h , , ,) -\- a*
bi
sin 2 M — sin 1/ - * ■ ' »•«« vw
sin<^
m
K
sina//'— sinn' -» - /iinV/*'
Ht
sinu
si n 2 u" — si n m" - » .- ' "«n v«-
m
sin u
^ =z -(a -h b -{- c -\- n
)4-«i
b.
sinS// — sin2« -t — ZiinVi*
sin//
m
K
sin 3//' — sin 2//' -t-/»iov«'
m
sinr^'
sin3a' — sin 2 m' -j — /»inv«'
c, -. -„ e "•
sina
I, , . sin/2r/ — sin(/è — \)ii -i — /«inVa
n sm u
. sin/iw' — sin(/i — i)m' -«-/•mvn'
C>| ; : : €
sin w
K
sinna"— sin(/i — i)u" -i-/»inv»*
sin/r
OÙ w, //', //", . . . désignent les multiples de -^
255.
Pour déterminer les constantes a,, 6,, c,, rf,, ..., il faut considérer l'état initial du système. En effet, lorsque le temps est nul, les valeurs
CHAPITRE IV. - ARMILLE. 265
de a, p, Y» S, ... doivent être égales à a, 6, c, d, ...; on aura donc n équations semblables pour déterminer les n constantes. Les quan- tités
sin^/ — sinott, sinaw — sînw, sinSa — sina«, ..., sin/i« — siD(/i — i)m
peuvent être indiquées de celte manière
A sinon, Asini/, Asin2//y ..., Asin(/i — i)ii;
les équations propres à déterminer les constantes sont, en représentant par G la température moyenne initiale,
fl = C H- «1 H- ft| -h Cl -H . . . ,
. y^ Asinu . Asin/i' Asinii''
sinw sm«' smw
Asin2u , Asin2fi' ^^miu"
sina
C = t. -h flr, : h «'i ; 7 h Cl 1 r
" sin« smM
. ^ AsinSi/ , Asm3f£' Asin3£/
a = L -+- «i -, h 0| : ; h Ci -. ■=-
sm« smii sinw'
ïï
Les quantités a,, 6,, c,, rf,, . . . et C étant déterminées par ces équations, on connaît entièrement les valeurs des variables a, p, y» 0, . . . , c
On peut eflectuer, en général, Télimination des inconnues dans ces équations et déterminer les valeurs des quantités a,, 6,,Cf,6/f, ..., même lorsque le nombre des équations est infini; on emploiera ce procédé d*élimination dans les articles suivants.
256.
En examinant les équations qui donnent les valeurs générales des variables a, p, y, ..., a, on voit que, le temps venant à augmenter, les termes qui se succèdent dans la valeur de chaque variable décroissent très inégalement; car, les valeurs de m, u\ m", a*', . . . étant
I— j a — > o—j 4""' •••> n n n n
F. 34
Ô66 THÉORIE DE LA CHALEUR.
les coefficients &inVM, sinVw', sinVw", sinVw*', .. . deviennent de plus en plus grands. Si Ton suppose que le temps / est infini, le premier terme de chaque valeur subsiste seul, et la température de chacune
des masses devient égale a la température moyenne -(«4-6-+-c-i-...).
Lorsque le temps t augmente continuellement, chacun des termes de la valeur d'une des variables diminue proportionnellement aux puissances successives d'une fraction qui est : pour le deuxième
terme, e '" ; pour le troisième terme, e '" ; et ainsi de suite. La plus grande de ces fractions étant celle qui répond à la moindre des valeurs de a, il s'ensuit que, pour connaître la loi que suivent les derniers changements de température, on ne doit consi- dérer que les deux premiers termes; car tous les autres deviennent incomparablement plus petits à mesure que le temps / augmente. Les dernières variations de température a, p, y» ^. • • • sont donc expri- mées par les équations suivantes :
I, , , . sine/ — sino« -» — /.inv«
n sinw
« I, , , . sin2// — sinw -t-t^inxii
I , , , . sin3« — sin2M -t--/«inv«
y = -(a-h 6-hC -H^-h. ..) + «! ■' ^ -h...,
' w sin«
257.
Si l'on divise la demi-circonférence en un nombre n de parties égales et que, ayant abaissé les sinus, on prenne les différences entre deux sinus consécutifs, ces n différences seront proportionnelles aux
coefficients de e "' ou aux seconds termes des valeurs de a, p,
y, ..., a. C'est pourquoi les dernières valeurs de a, p, y, ..., a sont telles que les différences entre ces températures finales et la tempéra- ture moyenne initiale -(a4-è-Hc-+-...) sont toujours proportionnelles
CHAPITRE IV. - ARMILLE. 267
aux différences des sinus consécutifs. De quelque manière que les masses aient d'abord été échauffées, la distribution de la chaleur s'opère à la fin suivant une loi constante. Si Ton mesurait les tempé- ratures dans les derniers instants où elles diffèrent peu de la tempéra- ture moyenne, on observerait que la différence entre la température d'une masse quelconque et cette température moyenne décroît conti- nuellement comme les puissances successives de la même fraction; et, en comparant entre elles les températures des différentes masses prises pour un même instant, on verrait que ces différences entre les températures actuelles et la température moyenne sont proportion- nelles aux différences des sinus consécutifs, la demi-circonférence étant divisée en un nombre n de parties égales.
258.
Si Ton suppose que les masses qui se communiquent la chaleur sont on nombre infini, on trouve pour l'arc u une valeur infiniment petite ; alors les différences des sinus consécutifs, prises dans le cercle, sont proportionnelles aux cosinus des arcs correspondants; car on a
i\ï\mu — sin(m — \)u
-. — ^ — =:cosm«
smi£
lorsque l'arc u est infiniment petit. Dans ce cas, les quantités dont les températures, prises au même instant, diffèrent de la température moyenne à laquelle elles doivent toutes parvenir sont proportion- nelles aux cosinus qui correspondent aux différents points de la cir- conférence divisée en une infinité de parties égales. Si les masses qui se transmettent la chaleur sont situées à distances égales les unes des autres sur le périmètre de la demi-circonférence -rc, le cosinus de l'arc à l'extrémité duquel une masse quelconque est placée est la mesure de la quantité dont la température de cette masse diffère encore de la température moyenne. Ainsi le corps placé au milieu de tous les autres est celui qui parvient le plus promptement à cette température moyenne; ceux qui se trouvent situés d'un même côté du milieu ont
268 THÉORIE DE LA CHALEUR.
tous une température excédante, et qui surpasse d'autant plus la tem^ pérature moyenne qu'ils sont plus éloignés du milieu; les corps qui sont placés de l'autre côté ont tous une température moindre que la température moyenne, et ils s'en écartent autant que ceux du côté opposé, mais dans un sens contraire. Enfin ces différences, soit posi- tives, soit négatives, décroissent toutes en même temps et proportion- nellement aux puissances successives de la même fraction, en sorte qu'elles ne cessent pas d'être représentées au même instant par les valeurs des cosinus d'une même demi-circonférence. Telle est, en général et si l'on en excepte les cas singuliers, la loi à laquelle sont assujetties les dernières températures. L'état initial du système ne change point ces résultats.
Nous allons présentement traiter une troisième question du même genre que les précédentes, et dont la solution nous fournira plusieurs
remarques utiles.
259.
On suppose un nombre n de masses prismatiques égales, placées à des distances égales sur la circonférence d'un cercle. Tous ces corps, qui jouissent d'une conducibilité parfaite, ont actuellement des tempé- ratures connues, différentes pour chacun d'eux; ils ne laissent échapper à leur surface aucune partie de la chaleur qu'ils contiennent. Une tranche infiniment mince se Répare de la première masse pour se réunir à la seconde, qui est placée vers la droite; dans le même temps, une tranche parallèle se sépare de la seconde masse, en se portant de gauche à droite, et se joint à la troisième; il en est de même de toutes les autres masses, de chacune desquelles une tranche infiniment mince se sépare au même instant et se joint à la masse suivante. Enfin, les mêmes tranches reviennent immédiatement après et se réunissent aux corps dont elles avaient été détachées. On suppose que la chaleur se propage entre les masses au moyen de ces mouvements alternatifs, qui s'accomplissent deux fois pendant chaque instant d'une égale durée; il s'agit de trouver suivant quelle loi les températures varient; c'est- à-dire que, les valeurs initiales des températures étant données, il faut
CHAPITRE IV. - ARMILLE. 269
connaitre^ après un temps quelconque, la nouvelle température de chacune des masses.
On désignera par a^ a^, a,, ..., a,-, •.., a^ les températures ini- tiales dont les valeurs sont arbitraires, et par a,, a^, a,, ..., a,, ..., a„ les valeurs de ces mêmes températures après le temps écoulé /. Il est visible que chacune des quantités a est une fonction du temps t et de toutes les valeurs initiales a^^ a,, a,, ..., a^, : ce sont ces fonctions qu'il s'agit de déterminer.
260.
On représentera par cd la masse infiniment petite de la tranche qui se porte d'un corps à l'autre* On remarquera en premier lieu que, lorsque les tranches ont été séparées des masses dont elles faisaient partie et mises respectivement en contact avec les masses placées vers la droite, les quantités de chaleur contenues dans les différents corps sont
. (m — ci))a, -h ««rt» (m — Cl)) a. H- wai,
{ni — (ù)an-^r(^<Xn-i\
en divisant chacune de ces quantités de chaleur par la masse m, on aura, pour les nouvelles valeurs des températures.
«1-+- —(«/l — «l)»
«Î-H - («1— «t),
m
c'est-à-dire que, pour trouver le nouvel état de la température après le
270 THÉORIE DE LA CHALEUR.
premier contact» il faut ajoutera la valeur qu'elle avait auparavant le
produit de— par l'excès de la température du corps dont la tranche
s'est séparée sur celle du corps auquel elle s'est jointe. On trouvera, par la même règle, que les températures, après le second contact, sont
«1-*- ~ (^«—«i)~^Tr, (««— «»)'
«j H («1 — «î) H («3— «î)»
m m
«. + ^ («,_.-«,) + £(«,.._«,).
««+ -(«/i-i— a«)H- - («1 — «/i).
# /» Www
Le temps étant divisé en instants égaux, on désignera pare// la durée de cet instant et, si Ton suppose que (o soit contenu dans un nombre K d'unités de masse autant de fois que dt est contenu dans l'unité de temps, on aura co = Krf/. En appelant ^a,, rfa^, rfaj, ..., rfa,-, . .., r/a„ les accroissements infiniment petits que reçoivent pendant l'instant dt les températures a^, a^, .. ., a,, ..., OL^f on aura les équations différen- tielles suivantes :
^^» = -- ûf^(«„ — a a, -f- a, ),
dixi^=. — dtioLt — 2a, -h a,)> m
^«i =j;^dt (a,-- , — 2 «/ -h «^^.j ),
^«/i-l = - ^^ («n ~i — 2 a„ _i 4- «« ), ddn — — <^^(a«~i — 2 «/, 4- ex, ).
CHAPITRE IV. - ARMILLE. 271
261.
Pour résoudre ces éqUÂliôns, on supposera en premier lieu, suivant la méthode connue,
«i = h, e*'.
OLi :=. bie^'^.
«/• = ^/*^'*'-
Les quantités fr|, b^, 6,, ..., b^ sont des constantes indéterminées, ainsi que Texposant A. Il est facile de voir que ces valeurs de a,, a^, a,, ..., a„ satisfont aux équations différentielles, si Ton a les condi- tions suivantes :
Soit
K
b,h =r -;(^/-i — 2bi-{-bi^i),
h ni
7 = x'
on aura, en commençant par la dernière équation,
/;, = ^>, (<7-h2) — 6,„
^1 = 6|_, (7 -h 2) — ^/_s,
^,,=l6«_l(7-H2) — 6„,, (').
(1) On peut présenter d'une manière moins synthétique le raisonnement par lequel Fou- rier obtient les différentes solutions de ce système. Substituons à ^ la variable u défînie
272 THEORIE I)E LA CHALEUR.
11 en résulte que Ton peut prendre pour 6,, 6,, 6,, .... 6/, ..., b^ les n sinus consécutifs que Ton obtient en divisant la circonférence en- tière 17: en un nombre n de parties égales. En effet, en appelant u
l'arc 2 -> les quantités
sînofi, sin I f<» sinai/, ..., sm(/i — i)//,
qui sont en nombre /i, appartiennent, comme on le sait, à une série récurrente dont l'échelle de relation a deux termes, savoir acosw et — r, en sorte que l'on a toujours la condition
siniw =: a cosi/ sin(i — i)m — sin(/ — a)//.
On prendra donc pour 6,, i^, 6,, .. ., b^, ..., b^ les quantités
sino//, sinii/, sin2<i, ..., sin(/t — i)u^
par la relation
^ -f- 2 = 2C0Sli;
il sera toujours possible de trouver deux constantes A et B, telles que l'on ait
^i = AcosoM -h B sine u = A, hi = A cos I M + B sin I u ;
alors les équations précédentes, employées à partir de la troisième, nous donneront
^3=x\cos2t/ +Bsin2u,
bi = Acos(« — i)« ■+■ Bsin(/ — i)tt,
• • * »
bn= Acos(/i — \)u H- Bsin(/i — i)«.
Les deux premières équations nous donneraient ensuite
^1 = A cos //M -+- B sin//«,
bi= X cos(/i -h i)« H- Bsin(/i -i- i)u.
En égalant les deux expressions différentes auxquelles on est ainsi conduit pour b^ ci
pour ^s, on trouve
. //M r . . nu _ nu 1
sm — I A sm — — B cos — = o,
2 L ^ '^ J
. nu V . . n -^ 7, _ // -h 2 "1 sm — A sm m — B cos « j = o.
2 L >' 2 J
Comme les constantes A et B ue sont pas nulles simultanément, on reconnaîtra aisément
CHAPITRE IV. ~ ARMILLE. 273
et Ton aura ensuite
7 H- 2 = 2 COS II
ou
7 = — 2 sin V «, bi = sin £//.
On a mis précédemment la lettre q au lieu de -r^ > en sorte que la valeur
de A est sin V — ; en substituant dans les équations ces valeurs de
hi et de A, on aura
a, = smow e '" " ,
— î — / »ln \ —
— î — / sin \ —
«3 = sin2M e "* " ,
. ^ ^ —1 — 1 sin > —
a« = sm(/* — i)w e '" ",
((ue ces deux équations ne peuvent ôtre vérifiées que si Ton a
. nu . 1 T
sin — =0, u — i — t
•2 fi
i désignant un nombre entier. A chaque valeur de li correspondent une inûnité de systèmes do valeurs pour ^i, ^s, '* », hn qui sont donnés par les formules
bi = Acoso// -h B sinoi/, ht = A COS 1 « -h B sin I w,
hn= Acos(// — i)u-\-B sm(/t — i)tt,
où A et fi sont deu\ constantes arbitraires. Cest le résultat de Fourier.
Pour ce qui concerne le nombre des systèmes distincts que l'on obtient ainsi, il est aisé de voir que, si n est impair et égal à 2). 4- i, la valeur o do / donne un système de so- lutions pour bi, bi^ . . ., bn\ les valeurs i, 2, 3, ...,). de i donnent chacune deux systèmes de solutions; quant aux valeurs de 1 supérieures à \ elles doivent être négligées, car on peut toujours, sans altérer une solution, changer i en // •— /. Il y a donc en tout
2
X -f- 1 = //
systèmes distincts, linéairement indépendants, de solutions particulières.
n
Dans le cas où n est pair, les valeurs o, - de < donnent chacune une solution; les valeurs
2
I , 'i, . . . , ^ — I en donnent chacune deux : ce qui fait encore n systèmes distincts de solu- tions. • G. D. F. 35
274 THÉORIE DE LA CHALEUR.
262.
Ces dernières équations ne fournissent qu'une solution très particu- lière de la question proposée : car, si l'on suppose / = o, on aura pour les valeurs initiales de ai, a,, a,, ..., ol„ les quantités sinou, sini//, sin2w, ..., sin(/i — i)uqu\, en général, diflerent des valeurs données rt,, «2, «3, ..., a,/, mais la solution précédente mérite d'être remarquée parce qu'elle exprime, comme on le verra par la suite, une circonstance qui appartient à tous les cas possibles, et représente les dernières va- riations des températures. On voit par cette solution que, si les tem- pératures initiales a,, «2, a^, . . ., a,, étaient proportionnelles aux sinus
27: .27^ .27r ., .27r
smo — , sini — > sm2 — > •••> sin(n — i) — » n an n
elles demeureraient continuellement proportionnelles à ces mêmes sinus et l'on aurait les équations
, K . -, "27:
/i =: — 2 — sinV
m n
C'est pourquoi, si les masses qui sont placées à distances égales sur la circonférence du cercle avaient des températures initiales propor- tionnelles aux perpendiculaires abaissées sur le diamètre qui passe par le premier point, les températures varieraient avec le temps en demeurant proportionnelles à ces perpendiculaires et ces températures diminueraient toutes a la fois comme les termes d'une même progrès-
- k , ,. ÎTT — t — tin V — //i n
sion géométrique dont la raison est la fraction e
263.
Pour former la solution générale, on remarquera en premier lieu que l'on pourrait prendre pour i,, 6^, 6,, ..., b^ les n cosinus correspon- dants aux points de division de la circonférence partagée en un
CHAPITRE IV. - ARMILLE. 275
nombre n de parties égales. Ces quantités
COSOW, COS I </, C0S2M, ..., COS(/l — l)«,
dans lesquelles u désigne l'arc — ^> forment aussi une série récurrente
dont l'échelle de relation a les deux termes 2Cosw et — i; c'est pour- quoi l'on pourrait prendre, pour satisfaire aux équations différen- tielles, les équations suivantes :
- J-/»inVi/ a, 1=:: COSOM 6 '" ,
- 2 — r»InVM
a, =z ces I U e "* ,
- 1 — / ^la V 1/
a, ■=: cosaw e '" ,
- s — /»lnV«
a„izicos(/i — \)u c '"
Indépendamment des deux solutions précédentes, on pourrait choi- sir, pour les valeurs de 6,, A^» '^s* • • •♦ ^/i» les quantités
sino.siw, sini.2/i, sin2.2^^, ..., sin(/^— i)2w
ou celles-ci
C0S0.2W, C0SI.2£/, COS2.2M, ..., COS(/l — \)'XU,
En effet, chacune de ces séries est récurrente et formée de n termes; l'échelle de relation a les deux termes 2C0S2m et — i; et, si l'on con- tinuait la série au delà de n termes, on en trouverait n autres qui seraient respectivement égaux aux n précédents. En général, si Ton
désigne par^^i, Wj. •••! W/i les arcs o — y i ■ — > •• •> [n — i) — ^j on pourra prendre, pour les valeurs de 6,, b^, b^, . . ., 6,,, les n quantités
sino//(, sinif/|, sin2«i, ..., sin(/?— 1)«/
ou celles-ci
COSOM/, COS I ///, C0S2«/, ..., C0S(/i — l)Ui\
la valeur de h correspondante à chacune de ces séries est donnée par l'équation
/i = — 2 — sinV i/|. m
276
THÉORIE DE LA CHALEUR.
On peut donner n valeurs différentes à i, depuis /= i jusqu'à i=^ n. En substituant ces valeurs de b^, b.^, b^, ..., A« dans les équations de l'article 261, on aura, pour satisfaire aux équations différentielles de l'article 260, les résultais suivants :
- ï - Min V II,
ai=r:sinow/e '"
-î-/$In Vil,
— %- f «in V m
a3=:sin2W/e '"
- J - /»lnV II,
OU a, = coso«i<? '"
- ï — f sin V Ui
«j zn cos I W| e *" ,
-J - MinVii, «3 =i: COSa/Z/C '" ,
K
. . . — ï — /8in Vil,
(x.n^= sin(/2 — i)M| e '"
K
— J — /«il Vil,
a,,=^ cos(w — i)M/e *"
264.
On satisferait également aux équations de l'article 260 en compo- sant les valeurs de chacune des variables a,, aa, ..., a„ de la somme de plusieurs valeurs particulières que l'on aurait trouvées pour cette même variable, et l'on peut aussi multiplier par des coefficients con- stants quelconques chacun des termes qui entrent dans la valeur géné- rale d'une des variables. 11 suit de là qu'en désignant par A,, B,, Aj, Ba, A.,,B3, ..., A„, B;, des coefficients quelconques, on pourra prendre, pour exprimer la valeur générale d'une des variables, par exemple de «/«hi» réquation
. -s— / ilnVii,
a,„^, z=z ( A, sin niUi h- Bi cos miiy^ ) e '" -f- (Ajsmma, -f- B|C0sma, )e '"
K
/ 4 • l> \ -«^'«inVii,,
(ArtSmm«„-i- BrtC0smM«)e "*
Les quantités A,, Ao, A3, ..., A;,; B,, B^, B3, ..., B^ qui entrent dans cette équation sont arbitraires, et les arcs w,, a^, w,, . . ., //^ sont donnés par les équations
27:
M, =1 O )
n
27: n
27r n
27:
CHAPITRE IV. — ARMILLE. -277
Les valeurs générales des variables a,, a.», a,, ..., 0L,^ sont donc expri- mées par les équations suivantes :
— 2 — / kin V//,
aj = (Al sinowi -h Bi cosoMi)<? '"
_ — î-/nlnVi/,
-h (A, sino</t -{- Bs coso«2)<? '"
— I — I iln\ l'i
(AsSUJo/Zj -h B3C0S0«s)e "*
.. V -8- MinVr/,
aiiZ=z (Al sin i «i -h Bi cosi ii^je ^ (A,smi w, -f- Bjcosi Ui)e "•
— J — / Bin V w,
(AjSin I Ui 4- B3COS1 11^)6 '"
■h,
a3=: (Aj sinQi/i -f- BiC0S2W,)e? '"
— î— / sInViij H- (A2 Sin2f/2 H- BjC0S2 Wj)^ *"
^ -î-/»lnV/',
4- (A, S1112£/, 4- B3C0S2M3)(? '"
a„— [Al sin(/i — i)a, 4-Bi cos(n — i)W| Je "* H- [A,sin(/i — i)«i -H Bj cos(/i — i)m2]^ '" [A3Sl^(/^— i)m3 H-B3C0s(/i — i)w3]e '"
265.
Si Ton suppose le temps nul, les valeurs a,, aj, .. ., a;, doivent se confondre avec les valeurs initiales a,, a^, ..., a„. On tire de là un nombre n d'équations qui doivent servir à déterminer les coefficients A,, B,, A2, Ba, ..., A„, B;,. On reconnaîtra facilement que le nombre des inconnues est toujours égal à celui des équations. En effet, le nombre des termes qui entrent dans la valeur de chacune des va- riables dépend du nombre des quantités différentes sinVW|, sinVi/^,
•278 THÉORIE DE LA CHALEUR.
sinVi/3, ... qu'on trouve en divisant la circonférence 27: en un nombre n de parties égales. Or le nombre des quantités sinVo — , sinVi ^^> sinV2 — » ••• est beaucoup moindre que /i» si Ton ne compte
que celles qui sont différentes. En désignant le nombre n, par 21 + 1
s'il est impair, et par 21 s'il est pair, i + i désignera toujours le nombre
des sinus verses diflerents. D'un autre côté, lorsque, dans la suite des
quantités
smVo — > sm\ I — » smVs — > •••> n n n
on parviendra à un sinus verse, sinVX— » égal à l'un des précédents
sinVX --> les deux termes des équations qui contiendront ce même
sinus verse n'en formeront qu'un seul; les deux arcs différents ux et uy qui auront le même sinus verse auront aussi le même cosinus, et les sinus ne différeront que par le signe. Il est aisé de voir que ces arcs Ux et ux' qui ont le même sinus verse sont tels que le cosinus d'un mul- tiple quelconque de i/x est égal au cosinus du même multiple de uy et que le sinus d'un multiple quelconque de ux ne diffère que par le signe du sinus du multiple de uy. Il suit de là que, lorsqu'on réunit en un seul les deux termes correspondants de chacune des équations, les deux indéterminées Ax et Av qui entrent dans les équations sont remplacées par une seule indéterminée, savoir Ax — Ax'- Quant aux deux indéterminées Bx et Bx', elles sont aussi remplacées par une seule, qui est Bx + Bx; il en résulte que le nombre des indéterminées est égal, dans tous les cas, au nombre des équations. Car le nombre des termes est toujours i -h i; il faut ajouter que l'indéterminée A, dispa- rait d'elle-même dans tous les premiers termes, parce qu'elle multiplie le sinus d'un arc nul. De plus, lorsque le nombre n est pair, il se trouve, à la fin de chaque équation, un terme dans lequel une des indé- terminées disparait encore d'elle-même, parce qu'elle y multiplie un sinus nul; ainsi le nombre des inconnues qui entrent dans les équa- tions est égal à 2(14-1) — 2 lorsque le nombre n est pair et à
CHAPITRE IV. - ARHILLE.
279
2{i-h r) — i lorsque le nombre est impair; par conséquent, le nombre des inconnues est, dans tous les cas, le même que le nombre des équations.
266.
L'analyse précédente nous fournit, pour exprimer les valeurs géné- rales des températures ««, a^, a,, ..., a„, les équations
«1
(
. . 271
A| sino.o — n
As si no. I
271
n
2 TT
Aa sino.2 — n
- 1 - / »lll \ 0 — - g m n
Bjcoso.i — ]e "* "
BaCOSO.2 — le '" "
n
... 27: „ 27:\ -l^/«lnVO?^
aj =:( A, sin I .o-^ 4- Bicos I .o — le '" "
n
4-( AjSin I . I — ^
n
l . . 27:
-h AjSm I .'? —
Bjcosi.i — )e '"
^ 27r\ -l-/»[nVî~
B,cosi.2— le '" n
(F)
K , , „^Î7C
0(i
/, . 27: r» 27:\ -"t;'»"»^®-::
— - AiSin2.o hB,cos2.o — e '"
\ n n J
/ 27: 27:\ -j-z^mvi —
-{-( A,sin2. 1 - 4- BjC0S2. 1 ^ le "* "
n
2r
l-( A3sin2.2^^-^
-h B3COS2.2 " — ) e
2 7:\ -ï- MlnVl —
m
n
n
(Xn =^ Aisin(/i — -\- AjSin(/i — H- A3sin(/i —
2 7"
1)0-- -h B,cos(/i n
2 T""
i) I — - -h BjCcsC/i
1)2 h BjC0s(/i
n
- 2 — / «m \ 0 — , m /i
2Tt'|
-.)o-J
- J — / slii \ 1 —
e -
27:1 -î-rsinVî —
— 1)2— e '"
\ -i-
Pour former ces équations, il faut continuer dans chacune la suite des
280 THÉORIE DE LA CHALEUR.
Icrnies qui contiennent sinVo—^> sinVi — , sinV2 — >•••> jusqu'à ce
qu'on ait épuisé tous les sinus verses différents, et omettre tous les termes subséquents, en commençant par celui où il entrerait un sinus verse égal à Tun des précédents. Le nombre des équations est n. Si n rst un nombre pair égal k 21, le nombre des termes de chaque équation est / -f-i ; si le nombre n des équations est un nombre impair représenté par 21 -+- 1 , le nombre des termes est encore égal à 1 -h 1 . Entin, parmi les quantités A,, B<, Ag, 83, ... qui entrent dans ces équations, il y en a qui doivent être omises et disparaissent d'elles-mêmes, comme multipliant des sinus nuls.
267.
Pour déterminer les quantités A,, Bi, A^, B^, A3, B3, ... qui entrent dans les équations précédentes, il faut considérer Tétat initial qui est connu : on supposera / = oet Ton écrira, au lieu de a,, a^, a^, ..., les quantités données a,, a^, a,, ..., qui sont les valeurs initiales des tem- pératures. On aura donc, pour déterminer. A,, B,, A^, Bj, A3, B3, ..., les équations suivantes :
2 TT 2 7" 2 7^
a, r= AiSino.o — -+- A, sino. i — ^ -h Aj siao.2 — ^ -h. . .
n n n
2 77 2 TT 2 77
-+- B.coso.o — - -h B.coso. I h B3COS0.2 — ^ -h. . . ,
n n • n
(u =^ A,sin 1 .0 — ^ -h Aj sin i . i -^ h A3 sin i .2 ^-^ -f. . .
* /i /^ n
i> 27: -. 2 77 „ 2 77
-h BfCOSi .0 h Bjcos r . I h H3COS 1.2 h. . .,
n n n
(ni) \ . . 2 77 . . 2 77 . . 2 77
«3 — AiSin2.o h A, sm2. i h A3 sin2.2 —
n n n
-h B,C0S2.0 — - -\- B4COS2. I — ^ -h B3COS2.2 '—
n n n
2 77 2 77 2 77
«r» =^ Al sin (/i — 1)0 — '- H- A. %\\\in — 1)1^-^ h A, sin (// — 1)2 — ^ -h..
« 1 v ' n n " ^ ' n
m
2 7* 2 77 2 77
-h BiC0S(/l — 1)0-^ H- BjCOS(w — 1)1 -^ h BaCOSfAi — 1)2 — ^ -i-..
^ n n ON ' /z
CHAPITRE IV.- ARMILLE. 281
268.
Dans ces équations, dont le nombre est n^ les quantités inconnues sont Â,, B/, A2, Bj, A,, B,, ...; il s'agit d'effectuer les éliminations et de trouver les valeurs de ces indéterminées. On remarquera d'abord que la même indéterminée a un multiplicateur diiïércnt dans chaque équation» et que la suite de ces multiplicateurs compose une série récurrente. En effet, cette suite est celle des sinus croissants en pro- gression arithmétique, ou celle des cosinus des mêmes arcs; elle peut être représentée par
sinoi/, sin I /<, sins//, ..., sin(/i — 1)</,
ou par
cosoM, cosM/, cosaw, ..., cos(/j — i)w.
L'arc u est égal à t — si l'indéterminée dont il s'agit est A/^., ou
B/^,. Cela posé, pour déterminer l'inconnue A/^< au moyen des équa- tions précédentes, il faut comparer à la suite des équations la série des multiplicateurs sinoa, sini£/, sinsi/, sin3u, ..., sin(/i — \)u et multi- plier chaque équation par le terme correspondant de la série. Si l'on prend la somme des équations ainsi multipliées, on éliminera toutes les inconnues, excepté celle qu'il s'agit de déterminer. H en sera de même si l'on veut trouver la valeur de B/^, ; il faudra multiplier chaque équation par le multiplicateur de B/^, dans cette même équation, et prendre ensuite la somme de toutes les équations. Il s'agit de démon- trer qu'en opérant de cette manière on fera disparaître en effet des équations toutes les inconnues, excepté une seule. Pour cela, il suffit de faire voir :
1*" Que, si l'on multiplie terme à terme les deux suites
sinoi/, siniM, sin2//, ..., sin(/i — 1)^/, sinor, sin I r, sinat^, ..., sin(/2~i)r,
la somme des produits
sinow sinoi' -h sin \u$>\niv -\- siuaw sinar -h. . .-f siu(/î — i)m sin(/i — i)r F. 3G
282 THÉORIE I)£ LA CHALEUR.
sera nulle, excepté lorsque les arcs a et ç» seront les mêmes, chacun de ces arcs étant d'ailleurs supposé un multiple d'une partie de la circon-
férence égale à — ;
2** Que, si Ton multiplie teriçe à terme les deux séries
COSO//, COSlUj C0S2U, ..., COS{n — l)Uf
cosoi', ces I r, cosar, ...» cos(/i — i)r,
la somme des produits sera nulle, excepté le cas où u est égal à v; 3** Que, si Ton multiplie terme à terme les deux suites
sinoi/, sin I //, sin2<i, ..., sin(/i — i)f#,
COSOr, COSIi», C0S2r, ..., C0S(/l — l)i',
la somme des produits sera toujours nulle.
269.
271
On désignera par q Tare — » par [lç Tare w, et par vy Tare r, |ji et v
étant des nombres entiers positifs moindres que /i. Le produit de deux tonnes correspondants des deux premières séries sera représenté par
sinyfjL<7sinyv7 ou
- cosy (f* — v)7 — - cosy (fx -h v)y,
la lettre y désignant un terme quelconque de la suite o, i, 2, ..., /,..., 71 — I. Or il est facile de prouver que, si l'on donne à y ses n valeurs successives depuis o jusqu'à w -— 1 , la somme
-coso(/jL — v)7 4- -cosi(|jL — v)g -f- -cos2(|jl — v)^-h. . .h- -cos(/i — i) (fJ^ — v)y 222 2
aura une valeur nulle, et qu'il en sera de même de la suite
-0OSO(/Jl-i- v)<7-h -C0Sl(|JL-+- v)7 4- -C0S2(|JH- v)7 -h. . .-h -C0S(W — I)(/JL -hv)y.
CHAPITRE IV. - ARMILLE, 283
En effet, en représentant par a Tare ((jl — v)<7, qui est un multiple de —^y on aura la suite récurrente
n
cosoa, cosia, cos2a, ..., cos(/i — i)a,
dont la somme est nulle. Pour le faire voir, on représentera cette somme par S et, les deux termes de Téchelle de relation étant 2 cosa et — r, on multipliera successivement les deux membres de l'équation
S = cosoa ■+■ cosi a -hcosaa-h. . .-4- cos(n — i)a
par I, — 2 cosa et par +1; puis, ajoutant les trois équations, on con- naîtra que les termes intermédiaires se détruisent d'eux-mêmes d'après la nature de la série récurrente. Si l'on remarque maintenant que, noL étant un multiple de la circonférence entière, les quantités
cos(n — i)a, cos(/i — 2) a, cos{n — 3) a,
sont respectivement les mêmes que celles que l'on désignerait par
cos(— a), cos(— 2 a), cos( — 3 a), ...,
on en conclura
2 S — aScosarro;
ainsi la somme cherchée S doit en général être nulle (^).
On trouvera de même que la somme des termes dus au développe- ment de -cosy([ji-4-v)y est nulle. Il faut excepter le cas où l'arc repré- sente par a serait nul ; on aurait alors
I — cosa=:o;
c'est-à-dire que les arcs u et v seraient les mêmes. Dans ce cas, le terme -cosy([A -f- v)y donne encore un développement dont la somme
2
( I ) De ridentité
COS/a — 2C0SaC08(< — I)«-H C08(i — 2)a = o,
applicable à toutes les valeurs de i, on déduit généralement
n— 1
^ [COSf'a — 2C08aC0S(/ — l)a-HC08(/ — 2)a] = o
!28i THÉORIE DE LÀ CHALEUR.
est nulle; mais la quantité - cosj{[i. — v)q fournit des termes égaux dont chacun a pour valeur -; donc la somme des produits terme à terme
des deux premières séries est -n.
On trouvera de la même manière la valeur de la somme des produits
terme à terme des deux secondes séries, ou Scosy'fxy cosyvy; en effet,
on substituera à
cosy'jUL^cosy v<7
la quantité
^cosy(fx — v)^-+- icosy(fx-+-v)(7
et Ton en conclura, comme dans le cas précédent, que
i;^cosy(fx-+-v)y
est toujours nulle, et que
2icosy(fx — v)^
est nulle, excepté le cas où (i. = v. Il suit de là que la somme des pro- duits terme à terme des deux secondes séries, ou
2 COSJlxq COSj'vq,
est toujours nulle lorsque les arcs u et v sont différents, et égale a
0!I
/i-l n — I n — l
(a) ^cosia — 2C08aN cos(« — i)a -+-^co8(/— Jt)* = o-
0 0 0
Dans le cas traité par Fourier, //a est un multiple de tltz et Ton a, par conséquent.
n—t n—l
% cos/a — ^C08(/— i)a = c08(/i — i)a — cos(— a) = o,
0 0
n-l n—t
^ C08(/— i)a — % cos(f — •2)a = cos(/i — 2)a — cos(— 2a) = o.
0 0
Les trois sommes qui figurent dans Téquation (a) sont donc égales et, en les rempiaçanl par leur valeur commune S, on trouve bien
2S(i — co8a)= o. G. D.
CHAPITRE IV. ARMILLE. 285
-n lorsque u = ç. Il ne faut plus que distinguer les cas où les arcs [iq et v^ -sont tous les deux nuls; alors on a zéro pour la valeur de
2siny>7sinyv<7,
qui désigne la somme des deux produits terme à terme des deux pre- mières séries. Il n'en est pas de même de la somme
icosy'jUL^ cosyv^, .
prise dans le cas où [lç et v^ sont nuls; cette somme des produits terme à terme des deux secondes séries est évidemment égale a n. Quant à la somme
2cosy>7 sinyv<7,
elle est nulle dans tous les cas, ce qu'il est facile de reconnaître par l'analyse précédente.
270.
La comparaison de ces séries fournit donc les conséquences sui- vantes. Si l'on partage la circonférence 211 en un nombre n de parties égales, que l'on prenne un arc u composé d'un nombre entier a de c«»s parties, et que l'on marque les extrémités des arcs a, 2 m, 3w, 4"» • • •» (/i — i)w, il résulte des propriétés connues des quantités trigonomé- triques que les quantités
sino//, sini//, sinciw, ..., sin(/i — i)m, ou celles-ci
'COSOM, COSIM, C0S2</, ..., C0S(/l — l) U
forment une série récurrente périodique, composée de n termes; si l'on compare une de ces deux séries, correspondante à un arc u ou tx — ' >
à une série correspondante à un autre arc (^ ou v — et qu'on multiplie
terme à terme les deux séries comparées, la somme des produits sera nulle lorsque les arcs u et v seront différents. Si les arcs u et r sont
286 THEORIE DE LA CHALEUR.
égaux, la somme des produits est égale à -/i lorsque Ton compare deux
séries de sinus, ou lorsque Ton compare deux séries de cosinus;- mais cette somme est nulle, si Ton compare une série de sinus à une série de cosinus. Si Ton suppose nuls les arcs u et r, il est manifeste que la somme des produits terme à terme est nulle toutes les fois que Tune des deux séries est formée de sinus et lorsqu'elles le sont toutes les deux; mais la somme des produits est n si les deux séries composées sont formées de cosinus. En général, la somme des produits terme à
terme est égale à o, ou - /i, ou /i ; au reste, les formules connues condui-
raient directement aux mêmes résultats. On les présente ici comme des conséquences évidentes des théorèmes élémentaires de la Trigono- métrie.
271.
Il est aisé d'effectuer au moyen de ces remarques l'élimination des inconnues dans les équations précédentes. L'indéterminée A| dispa- raît d'elle-même comme ayant des coefficients nuls; pour trouver B,, on multipliera les deux membres de chaque équation par le coefficient de B| dans cette même équation et l'on ajoutera toutes les équations ainsi multipliées; on trouvera
«1 -Hat + a» -h. . .H- «„ = /*B,.
Pour déterminer A,, on multipliera les deux membres de chaque équation par le coefficient de A, dans cette équation et, en désignant
l'arc — par y, on aura, après avoir ajouté les équations,
a, sino^4- a, sini^H- a, sina^ -h. . .4- ûr»sin(« — i)q — -nK%.
On aura pareillement, pour déterminer B^,
aicoso^-i- a^cosi^ -h^scosa^ -+-...-+- ûT;, cos(/i — i)çr =: -/iB,.
En général, on trouvera chaque indéterminée en multipliant les deux membres de chaque équation par le coefficient de l'indéterminée
CHAPITRE IV. - ARMILLE. 287
dans cette même équation et en ajoutant les produits. On parvient ainsi aux résultats suivants :
-«Aj=^a, smo. I h «1 sm i . i h a, sni 2.1 !-...= > a, sin(i — 1) 1 —
i„ 27r 27r 271 V/x'-t:
-nB, ^=a, coso. i ;- a*cos i . i h a, cos2. i !-...= > a/COs(e — 1)1 —
-nK^ :=«, sino.2 \- a. sin 1.2 — ^ H- a, sin2.2 h. . .= > a/sin(/ — 1)2 — ^
,2 n n n Jmd ^ ' //
(M)_
-«11,:= a, coso. 2 h a.cos 1.2 h «« cosa.2 h. . .= > a/C0s(i — 1)2 — y
2 n H n Â^ ' n
- AiAvi= a. smo. 3 h a. sm i .3 h «» sin2.3 h. . .==3 >,a/Sin(« — i)3 — »
I,^ o^TT ^27r «27r V^ , vo'*-^
-/iBi = a, coso. 3 h a. cosi .3 h a, cos2.3 h . . .= > a/COS(£ — i)3 - — ,
2 n n n ^^ n
Il faut, pour trouver le développement indiqué par le signe V, don- ner à «ses n valeurs successives i, 2, 3, ..., /let prendre la somme; on aura en général
27:
1 /iBy n:^] «/ C0S(/ - 1) (y - I) i^
Si l'on donne au nombre entiory toutes les valeurs successives 1, 2, 3, ... qu'il peut avoir, ces deux formules fourniront les équations, et si Ton développe le terme sous le signe ^ en donnant à i ses n valeurs 1,2, 3, . . ./î, on aura les valeurs des inconnues A,, B,, Aj, B^, A,, B3, . . .; et les équations [m] (art. 267) seront entièrement résolues.
272.
Il faut maintenant substituer les valeurs connues des coefficients A,, B,, Aj, Bj, Aj, B3, ... dans les équations (jx) (art. 266), et Ton
288 THÉORIE DE LA CHALEUR,
trouvera les valeurs suivantes :
2j — No-H [Ml sin^i -hNi cos^i]£'»*"V'/i +[M|8in9s -+- Nj cos^i]E'»*n^'Vt -r-..., 2:i — N'o ■+- [M| sina^i-hNi C08 27i]e'»'"^Vi -+- [Mi sîna^i-i- N, cosa^tle'**»^^! -+-...,
ïy = Ny -+- [Ml sin(y ~ i)</i-f- Ni cos(y — i)^i]£'»"»^V« -»- [Mî 8in(/ — i)çi-+- N, co8(y — i)^i]E'»*"^Vt -+-
7,, — N,>-i- [Ml sin(« — i)^i-+- NiCOs(/j — i)gi]e'»*«^'7i -h [Misin(// — i)^î+ N| co8(/i — i)^i]e'»*'»V'7t h-
Dans ces équations, on a posé
}
N,= - Va,cos(t — 1)9,, M,= - Va,sin(t — 1)9,, N,= -2a/Cos(i — 1)7,, M,:=:i -2rt/sin(/ — 1)^1,
N3= - Va/COs(t — i)^j, Ma^ir - V rt,sin(i — i)^„
'4 ^^^B /4 ^H^B
273.
Les équations que Ton vient de rapporter renferment la solution complète de la question proposée; elle est représentée par cette équa- tion générale
-1 K *i
a . / V airv^ ... . ai: a , . airv' .. . 2it| — î— /«inVi —
-8m(y — 1)1— ^rt/sm(/--i)i— -h-cos(y— 1)1 — ^û/COs(«--i)i~J ef "«
vO\
K , . ,..«^
[2 . ,. 2irv^ . ,. .21: 2 ,. 2irv^ ,. V airl — i— /»lnVî— -Sln(/— 1)2 — > flr/Sin(l — 1)2 i--cos(/ — 1)2 — > r?/cos(« — 1)2 — \c '" " // n Jmak II n n jLà '' J
dans laquelle il n'entre que des quantités connues, savoir a,, a,., ^3» •••9 ^/i> qui sont les températures initiales; K mesure de la condu- cibilité, m valeur de la masse, n nombre des masses échauflees, et / le temps écoulé.
CHAPITRE IV. - ARMILLË. 289
H résulte de toute l'analyse précédente que, si plusieurs corps égaux, en nombre n, sont rangés circulairement, et qu'ayant reçu des températures initiales quelconques, ils viennent à se communiquer la chaleur comme on Ta supposé, la masse de chaque corps étant désignée par /w, le temps par r, et par K un coefficient constant, la température variable de chacune des masses, qui doit être une fonc- tion des quantités /, m et K et de toutes les températures initiales, est donnée par l'équation générale (e). Il faut d'abord mettre au lieu dey le numéro qui indique la place du corps dont on veut connaître la tem- pérature, savoir i pour le premier corps, 2 pour le second, et ainsi de suite; ensuite il restera la lettre i qui entre sous le signe ^; on donnera à i ses n valeurs successives i, 2, 3, 4» •••» et l'on prendra la somme de tous les termes. Quant au nombre des termes qui entrent dans cette équation, il doit y en avoir autant que l'on trouve de sinus
verses différents lorsque la suite des arcs est o— ^^ i— *> 2^^> ••;
c'est-à-dire que, le nombre n étant égal à 2X -f- 1 ou a 2X selon qu'il est impair ou pair, le nombre des termes qui entrent dans l'équation fçénérale est toujours X -h i.
274.
Pour donner un exemple de l'application de cette formule, nous supposerons que la première masse est la seule que l'on ait d'abord échauffée, en sorte que les températures initiales a,, a^, ... , a„ soient toutes nulles, excepté la première. Il est visible que la quantité de chaleur contenue dans la première masse se distribuera successive- ment entre toutes les autres. Or la loi de cette communication de la chaleur sera exprimée par l'équation suivante :
a/^-rz. H — a, cos(/ — 1)1 -- e "* "
2 . 27r— î — '»'«^» — H — tt, cos(/ — 1)2 — e '" "
2 rt 27: -î —'»''»> 8 —
-h - rt, cos(/ — i)3 — e '" "
F. 37
200 THÉORIE DE LA CHALEUR.
Si la seconde masse était seule échauffée et que les températures éi, , a,, . . . , a^ fussent nulles, on aurait
I 2 r . , . . 27r . 271 , . .271 27r1 -*;;7'»'n^»^
a; — — «jH — a, sm(/ — i)i — sini hcos(/ -— i)i — ces i — \e "'
^ n n [^ ^-^ ^ n n ^•' ' /i n ]
2 r • / • , 27r . 27r , . .271 2r~| -S-rflnVî-^
H — a, sm(/ — r)2 — sm2 h cos(/ — 1)2 — cos2 — \e *"
ot, si Ton supposait que toutes les températures initiales fussent nulles, excepté a, et a^, on trouverait pour la valeur de olj la somme des va- leurs trouvées dans chacune des deux hypothèses précédentes. En général, il est facile de conclure de Téquation générale (e) de l'ar- ticle 273 que, pour trouver la loi suivant laquelle les quantités ini- tiales de chaleur se répartissent entre les masses, on peut considérer séparément les cas où les températures initiales seraient nulles, ex- cepté une seule. On supposera que la quantité de chaleur contenue dans une des masses se communique à toutes les autres, en regardant ces dernières comme affectées de températures nulles; et, ayant fait cette hypothèse pour chacune des masses en particulier, à raison de la chaleur initiale qu'elle a reçue, on connaîtra quelle est, après un temps donné, la température de chacun des corps, en ajoutant toutes les températures que ce même corps a dû recevoir dans chacune des hypothèses précédentes.
275,
Si, dans l'équation générale (s) qui donne la valeur de ay, on sup- pose que le temps a une valeur infinie, on trouvera
en sorte que chacune des masses aura acquis la température moyenne, résultat qui est évident par lui-même.
A mesure que la valeur du temps augmente, le premier terme
- Va, devient de plus en plus grand par rapport au suivant, ou à la
CHAPITRE IV. ~ ARMILLË. 291
somme des suivants. Il en est de même du second par rapport aux termes qui le suivent; et, lorsque le temps a acquis une valeur consi- dérable» la valeur de olj est représentée sans erreur sensible par l'équa- tion suivante :
' V^ . ^ r • / • \ 271 VI . , . .27:
27r V^ 2 TT I
cos(/— 1) — 7.aiCos{i — 1) — le '" ".
277
En désignant par a et h les coefficients de sin(y— i)— et de cos(y — i) — » et par (*> la fraction e '^ " , on aura
Wm
aj = j^^f^i^- U sin(y — i) ^ 4- ^^ cos(y - 0 ^ ^'^'•
Les quantités a et 6 sont constantes, c'est-à-dire indépendantes du temps et de la lettre y qui indique le rang de la masse dont la tempé- rature variable est olj\ ces quantités sont les mêmes pour toutes les masses. La différence de la température variable olj à la température
finale -2^' décroît donc, pour chacune des masses, proportionnelle- ment aux puissances successives de la fraction od. Chacun des corps tend, de plus en plus, à acquérir la température finale - ^la/, et la dif-
férence entre cette dernière limite et la température variable du même corps finit toujours par décroître comme les puissances successives d'une fraction. Cette fraction est la même, quel que soit le corps dont on considère les changements de température; le coefficient de a>', ou
asinWy-H 6 COS My,
2 7r
en désignant par Uj l'arc (y — i) — > peut être mis sous la forme
Asin(My4- B), en prenant A et B tels que l'on ait
a=:AcosB, ft = AsinB.
292 THEORIE DE LA CHALEUR.
Si l'on voulait déterminer le coefficient de w' qui se rapporte aux corps suivants, dont la température est ay^.,, ay^^» ^yvs» •••• il faudrait ajouter à U: l'arc — > ou 2 — , et ainsi de suite; c'est-à-dire que Ton a les équations
«y y^a/ = A sin (B -h wy)&i'-f-. . .,
ay-f , 2^'" A sin( B 4- WyH- i -^ jw^-H. . .,
ay^ s \^ a,- = A sin f B -h «y -+- 2 — J w' -h . . . ,
ay-H3 2^'~ A sinf B -+- wy-h 3 — jw'-h. . .,
276.
On voit par ces équations que les dernières différences entre les températures actuelles et les températures finales sont représentées par les équations précédentes, en ne conservant que le premier terme du second membre de chaque équation. Ces dernières différences varient donc selon la loi suivante : si l'on ne considère qu'un seul corps, la différence variable dont il s'agit, c'est-à-dire l'excès de la tem- pérature actuelle du corps sur la température finale et commune, dimi- nue comme les puissances successives d'une fraction, le temps augmen- tant par parties égales; et si l'on compare, pour un même instant, la température de tous les corps, la différence dont il s'agit varie propor- tionnellement aux sinus successifs de la circonférence divisée en par- ties égales. La température d'un même corps, prise à divers instants successifs égaux, est représentée par les ordonnées d'une logarith- mique dont l'axe est divisé en parties égales, et la température de chacun de ces corps, prise au même instant pour tous, est représentée par les ordonnées du cercle dont la circonférence est divisée en par- ties égales. Il est facile de voir, comme on l'a remarqué plus haut, que, si les températures initiales sont telles que les différences de ces températures à la température moyenne ou finale soient proportion-
CHAPITRE IV. - ARMILLE. 293
nelles aux sinus successifs des arcs multiples, ces différences diminue- ront toutes à la fois sans cesser d'être proportionnelles aux mêmes sinus. Cette loi, si elle régnait entre les températures initiales, ne serait point troublée par l'action réciproque des corps et se conserverait jusqu'à ce qu'ils eussent tous acquis une température commune. La différence diminuerait pour chaque corps comme les puissances suc- cessives d'une même fraction. Telle est la loi la plus simple à laquelle puisse être assujettie la communication de la chaleur entre une suito de masses égales. Lorsque cette loi est établie entre les températures initiales, elle se conserve d'elle-même; et, lorsqu'elle ne règne point entre les températures initiales, c'est-à-dire lorsque les différences de ces températures à la température moyenne ne sont pas proportion- nelles aux sinus successifs des arcs multiples, la loi dont il s'agit tend toujours à s'établir; et le système des températures variables tînit bientôt par se confondre sensiblement avec celui qui dépend des ordonnées du cercle et de celles de la logarithmique.
Puisque les dernières différences entre l'excès de la température d'un corps sur la température moyenne sont proportionnelles aux sinus de l'arc à l'extrémité duquel le corps est placé, il s'ensuit que, si l'on désigne deux corps placés aux extrémités du même diamètre, la tem- pérature du premier surpassera la température moyenne et constante autant que cette température constante surpassera celle du second corps. C'est pourquoi, si l'on prend à chaque instant la somme des températures de deux masses dont la situation est opposée, on trou- vera une somme constante; et cette somme aura la même valeur pour deux masses quelconques placées aux extrémités d'un même diamètre.
277.
Les formules qui représentent les températures variables des masses disjointes s'appliquent facilement à la propagation de la chaleur dans les corps continus. Pour en donner un exemple remarquable, nous dé- terminerons le mouvement de la chaleur dans une armille au moyen de l'équation générale qui a été rapportée précédemment.
1
29i THÉORIE DE LA CHALEUR.
On supposera que le nombre n des masses croit successivement, et qu'en même temps la longueur de chaque masse décroit dans le même rapport, afin que la longueur du système ait une valeur constante égale à 2 7:. Ainsi le nombre n des masses sera successivement a, ou 4» ou 8,
ou i6, à rinfini, et chacune des masses sera ir, ou -> ou 7> ou ^> • • • •
Il est nécessaire de supposer aussi que la facilité avec laquelle la cha- leur se transmet augmente dans le même rapport que le nombre des masses m; ainsi la quantité que représente K lorsqu'il n'y a que deux masses devient double lorsqu'il y en a quatre, quadruple s'il y en a huit, et ainsi de suite. En désignant par g cette quantité, on voit que
le nombre K devra être successivement remplacé par g, :tg, [\g^
Si l'on passe maintenant à la supposition du corps continu, on écrira, au lieu de m, valeur de chaque masse infiniment petite, l'élément dx\
au lieu du nombre n des masses, on mettra -r-; au lieu de K, on mettra g" - ou ^ •
Quant aux températures initiales a^, a^, . . ., a^,, elles dépendent de la valeur de l'arc x et, en considérant ces températures comme les états successifs d'une même variable, la valeur générale a, représente
une fonction arbitraire de x. L'indice i sera alors remplacé par -r
A l'égard des quantités a,, a^, . .., a„, ces températures sont des va- riables qui dépendent des deux quantités x et /. En désignant par r cette variable, on aura ç = (^[x^t). L'indicey, qui marque la place que
l'un des corps occupe, sera remplacé par^- Ainsi, pour appliquer l'a- nalyse précédente au cas où l'on aurait une infinité de tranches, for- mant un corps continu dont la forme serait celle d'une armille, il faudra substituer aux quantités
/l, //l, K, «/, I, «y, j
celles qui leur correspondent, savoir
Tœ' ^^, ^» /(^), ^, 9(^.0, 5J.-
X V
CHAPITRE IV.- ARMILLE.
295
On fera ces substitutions dans Téquation (e) de Tarlicle 273 et l'on écrira 7 fite^ au lieu de sinVé/a:, et i et y au lieu de i— \ ety — i. Le
premier terme -Va,- devient la valeur de l'intégrale — \f[^)d.v prisr
depuis J7 = o jusqu'à a? = ii:\ la quantité 8in(y — i) — devient siny ^.r ou sin.r; la valeur de cos(y — i) — est cos.r; celle de
est
- > a/sin(« — i) — - / /('^) sin.r ûLr,
l'intégrale étant prise depuis x = o jusqu'à x = air, et celle de
est
— > «/COSie — i) — n ^d n
- i f{oc)cosxdjry
l'intégrale étant prise entre les mêmes limites. On obtient par ces substitutions l'équation
o(.r,0 = <'= — / f{'^)dx-\ — Isinj?/ f{x)%\nxdx-\-cQ%xï /{x)cosx(Lr
-4 — Isinaj?/ /(x)s'm2xdx -\- C0S2X I /{x) cos 2 x lix le -'^'"^^
f^'KTA
et, représentant par k la quantité ^1:, on aura
(E)
( TTi' = - I f{x) dx H- sino? I f{x)%\vixdx -h cos j? i f(x) cos.t* dx
\ %^n «^ft »'ii
0 »'0
sm^x I /{x)sm'ixdx -\-co^2x I /{x)cos2xdx\e^*^' ■0 «^0 .1
s* f^t
b
296 THÉORIE DE LA CHALEUR.
278.
Cette solution est la même que celle qui a été rapportée dans la Sec- tion précédente (p. 244); elle donne lieu à diverses remarques :
i^ Il ne serait pas nécessaire de recourir à Tanalyse des équations aux différences partielles pour obtenir l'équation générale qui exprime le mouvement de la chaleur dans une armille. On pourrait résoudre la question pour un nombre déterminé de corps et supposer ensuite ce nombre infini. Cetle méthode de calcul a une clarté qui lui est propre, et qui dirige les premières recherches. Il est facile ensuite de passer à une méthode plus concise, dont la marche se trouve naturellement indiquée. On voit d'abord que la distinction des valeurs particulières qui, satisfaisant à l'équation aux différences partielles, composent la valeur générale dérive de la règle connue pour l'intégration des équa- tions différentielles linéaires dont les coefficients sont constants. Cette distinction est d'ailleurs fondée, comme on l'a vu plus haut, sur les conditions physiques de la question.
2*^ Pour passer du cas des masses disjointes à celui d'un corps con- tinu, nous avons supposé que le coefficient K augmentait proportion- nellement au nombre n des masses. Ce changement continuel du nombre K est une suite de ce que nous avons démontré précédemment, savoir que la quantité de chaleur qui s'écoule entre deux tranches d'un
même prisme est proportionnelle à la valeur de ^> x désignant l'ab- scisse qui répond à la section et r la température. Au reste, si l'on ne supposait point que le coefficient K augmente proportionnellement au nombre des masses et que l'on retint une valeur constante pour ce coefficient, on trouverait, en faisant n infini, un résultat contraire à celui qu'on observe dans les corps continus. La diffusion de la chaleur serait infiniment lente et, de quelque manière que la masse eût été échauffée, la température d'un point ne subirait aucun changement sensible pendant un temps déterminé, ce qui est opposé aux faits. Toutes les fois que Ton a recours à la considération d'un nombre infini
CHAPITRE IV. - ARMILLE. 297
de masses séparées qui se transmettent la chaleur et que Ton veut passer au cas des corps continus, il faut attribuer au coefficient K, qui mesure la vitesse de la transmission, une valeur proportionnelle au nombre des masses infiniment petites qui composent le corps donné. 3® Si, dans la dernière équation que nous venons d'obtenir pour exprimer la valeur de i\ ou ç(^, t), on suppose / = o, il sera néces- saire que l'équation représente l'état initial; on aura donc par cette voie l'équation {p) que nous avons obtenue précédemment (p. 23o), savoir :
7r/(jr) — - / /{x) dx -}- cosx I f{x)cosxdx -h cos^x j /{x)C0S2xdx -^. , .
f /{x)s\nxdx -^s\iï2x I f{x)s\n2xdx ■+-. . ,
Ainsi ce théorème qui donne, entre des limites assignées, le déve- loppement d'une fonction arbitraire en série de sinus et de cosinus d'arcs multiples se déduit des règles élémentaires du calcul. On trouve ici l'origine du procédé que nous avons employé pour faire disparaître par des intégrations successives tous les coefficients, excepté un seul, dans l'équation
<p(a?) = a -f- aicosj: -\- a^cos2x -f- a^cos^x -h. . . -H ^, sin a: 4- ^, sin 2 ^ -+- ^3 sin 3 ^ -h . . . ;
ces intégrations correspondent aux éliminations des diverses inconnues dans les équations (m) (p. 280 et suiv.) et l'on reconnaît clairement par cette comparaison des deux méthodes que l'équation (B) (page sui- vante) a lieu pour toutes les valeurs de x comprises entre o et 211, sans que l'on soit fondé à l'appliquer aux valeurs de œ qui excèdent ces limites.
279.
La fonction (f{Xft) qui satisfait à la question, et dont la valeur est déterminée par l'équation (E) (p. 295), peut être exprimée comme il
F. 38
298 THÉORIE DE LA CHALEUR
suit :
2T.o(x, t) z:^ f/{(x) doc -h [2s\nx ff{(x)s\n(xdoc-h 2COSJ7 //(a) cosa doi]e-^^
-+- [2 s\n2j:f/{<x) sinaa é/a H- 2 cos2j? /*/(«) cosaa t/a]e-*'*' -h[2sin3j7 /y(a)sin3a«/a4-2C0s3j? f/{<x)cos3cxdoi]e-^'^'
ou
S1Î
f /(a)^a[î -f- (2 sino; sina -h 2 cosa:cosa)e-*' 0
-i-(2sin2^'sin2a-h2 cos 2 a? cos 2 a) e~*'*'
-f- (2 sinSjJsinSa-h 2 cos 3 j? cos 3 a) e-''^'
+ ]
' /(a)[i -h 2 2 cos c (a — ^) «-''*'] ^a. 0
Le signe D affecte le nombre {, et indique que la somme doit être prise de t = I k I = 00. On peut aussi comprendre le premier terme i sous ce signe 2 et Ton a
/(a)^ cos«(a — x)e- *'*'é/a.
Il faut alors donner à i toutes ses valeurs en nombres entiers depuis
— 00 jusqu'à H-ao; c'est ce que Ton a indiqué en écrivant les limites
— Qo et -f- 00 auprès du signe 2; l'une de ces valeurs de i est o. Telle est l'expression la plus concise de la solution. Pour développer le second membre de l'équation, on supposera i= o et ensuite t == i, 2, 3, 4» .. .; on doublera chaque résultat, excepté le premier qui répond ki=o. Lorsque / est nul, il est nécessaire que la fonction o{jCyt) représente l'état initial, dans lequel les températures sont égales à /(.r); on aura donc l'équation identique (*)
(B) /(a:) = ^f /(a)^cosi(«-^)^a.
•'0 ^x
On a joint aux signes/ et D les indices des limites entre lesquelles
(») Foir, au sujet do cette formule, la Note de l'article 235, p. 234. G. D.
CHAPITRE IV. - ARMILLE. 299
l'intégrale et la somme doivent être prises. Ce théorème a lieu généra- lement, quelle que soit la forme de la fonction /(^) dans l'intervalle de .r = o à a? = 2Tz; il est le même que celui qui est exprimé par les équations, qui donnent le développement de ¥{x){p. 233), et nous ver- rons dans la suite que l'on peut démontrer immédiatement la vérité de l'équation (B), indépendamment des considérations précédentes.
280.
11 est facile de reconnaître que la question n'admet aucune solution différente de celle que donne l'équation (E) (p. 295). En effet, la fonc- tion (f{x,t) satisfait entièrement à la question et, d'après la nature de l'équation différentielle
>
aucune autre fonction ne peut jouir de cette même propriété. Pour s'en convaincre, il faut considérer que, le premier état du solide étant
représenté par une équation donnée r, =:/(^), la fluxion ^-~ est con-
nue, puisqu'elle équivaut h k ^ \ - Ainsi, en désignant par i\,, ou
(^, -h -j^dt, la température au commencement du second instant, on
déduira la valeur de Ca de l'état initial et de l'équation différentielle. On connaîtra donc de la même manière les valeurs ^3, ^,, ç'j, •. ., ç^„ de la température d'un point quelconque du solide au commencement de chaque instant. Or la fonction ^{x,i) satisfait à l'état initial, puisque l'on a
De plus elle satisfait aussi à l'équation différentielle; par conséquent, étant différentiée, elle donnerait pour ^, ^> -r^, ••• les mêmes va- leurs que celles qui résulteraient de l'application successive de cette équation différentielle (a). Donc si, dans la fonction ç (a?,/), on donne
300 THÉORIE DE LA CHALEUR.
successivement a / les valeurs o, co, aco, 3û), 4^f ...f <«> désignant l'élément du temps, on trouvera les mêmes valeurs ^^,,^2, (?,, ^^4, •..que l'on aurait déduites de l'état initial et de l'application continuelle de l'équation (a). Donc toute fonction 'j'(j?, l) qui satisfait à l'équation diffé- rentielle et à l'état initial se confond nécessairement avec la fonction ç (a?, t); car ces fonctions donneront l'une et l'autre une même fonction de X, si l'on y suppose successivement / = o, (o, ato, 3a), . . ., lo), .... On voit par là qu'il ne peut y avoir qu'une seule solution de la ques- tion et que, si l'on découvre d'une manière quelconque une fonction K<r, /) qui satisfasse à l'équation différentielle et à l'état initial, on est assuré qu'elle est la même que la précédente donnée par l'équa- tion (E).
281.
Cette même remarque s'applique à toutes les recherches qui ont pour objet le mouvement varié de la chaleur; elle suit évidemment de la forme même de l'équation générale.
C'est par la même raison que l'intégrale de l'équation (a) ne peut contenir qu'une seule fonction arbitraire en x. En effet, lorsqu'une valeur de (^ est donnée en fonction de x pour une certaine valeur du temps /, il est évident que toutes les autres valeurs de s^ qui correspon- dent à un temps quelconque sont déterminées. On peut donc choisir arbitrairement la fonction de x qui correspond à un certain état, et la fonction de deux variables a: et t se trouve alors déterminée. Il n'en est pas de même de l'équation
que nous avons employée dans le Chapitre précédent et qui convient au mouvement constant de la chaleur; son intégrale contient deux fonctions arbitraires en x et y; mais on peut ramener cette recherche à celle du mouvement varié, en considérant l'état final et permanent comme dérivé de ceux qui le précèdent, et, par conséquent, de l'état initial qui est donné.
CHAPITRE IV. - ARMILLE. 301
L'intégrale que nous avons donnée
I r^""
contient une fonction arbitraire f{oc), et elle a la même étendue que rintégrale générale, qui ne contient aussi qu'une fonction arbitraire en j?; ou plutôt elle est cette intégrale elle-même, mise sous la forme qui convient à la question. En efîet, l'équation
représentant l'état initial, et l'équation
représentant l'état variable qui lui succède, on voit que, d'après la forme même du solide échauffé, la valeur de v ne doit point changer lorsqu'on écrit, au lieu de ic, a: db 2171, e étant un nombre entier positif quelconque. La fonction
— / /(a)2e-'**'cos/(a — •2?)c/a
remplit cette condition; elle représente aussi l'état initial, lorsqu'on suppose / = o; car on a alors
/(j7)= — I /(a)2cosi(a — j?) t/a,
équation qui a été démontrée précédemment (p. 234 et 298) et qu'il est d'ailleurs facile de vérifier. Enfin la même fonction satisfait à l'équation différentielle
57 ■" àx'^
Quelle que soit la valeur du temps /, la température 9 est donnée par une série très convergente, et les différents termes représentent tous les mouvements partiels qui se composent pour former le mouvement total. A mesure que le temps augmente, les états partiels de l'ordre le plus élevé s'effacent rapidement et ne conservent aucune influence
302 THÉORIE DE LA CHALEUR.
apprêciaijle; en sorte que le nombre des valeurs que Ton doit donner à l'exposant i diminue de plus en plus. Apres un certain temps, le sys- tème des températures est représenté sensiblement par les termes que l'on trouve en donnant à i les valeurs o, ±: i et it 2, ou seulement o et d= I , ou enfin par Le premier de ces termes, qui est
il y a donc une relation manifeste entre la forme de la solution et la marche du phénomène physique que Ton a soumis à Tanalyse.
282.
Pour parvenir à cette solution, on a considéré d'abord les valeurs simples de la fonction c qui satisfont à l'équation différentielle; on a formé ensuite une valeur qui convient avec l'état initial et qui a, par conséquent, toute la généralité que la question comporte. On pourrait suivre une marche différente et déduire la même solution d'une autre expression de l'intégrale; car, cette solution étant une fois connue, on en transforme aisément les résultats. Si l'on suppose que le diamètre de la section moyenne de l'anneau devient de plus en plus grand à l'infini, la fonction 9(^7,/) reçoit, comme on le verra par la suite, une forme différente et se confond avec l'intégrale qui contient une seule fonction arbitraire sous le signe d'intégrale définie. On pourrait aussi appliquer cette dernière intégrale à la question actuelle; mais, si l'on se bornait à cette application, on n'aurait qu'une connaissance très imparfaite du phénomène : car les valeurs des températures ne seraient pas exprimées par des séries convergentes et l'on ne distinguerait point les étals qui se succèdent à mesure que le temps augmente. Il faudrait donc attribuer à la fonction qui représente l'état initial la forme périodique que la question suppose; mais, en modifiant ainsi cette intégrale, on n'aurait point d'autre résultat que celui-ci s
CHAPITRE IV. - ARMILLE. 303
On passe aisément de cette dernière équation à l'intégrale dont il s'agit, comme nous l'avons prouvé dans le Mémoire qui a précédé cet Ouvrage. Il n'est pas moins facile d'obtenir l'équation en partant de l'intégrale elle-même. Ces transformations rendent de plus en" plus manifeste l'accord des résultats du calcul; mais elles n'ajoutent rien à la théorie et ne constituent nullement une analyse différente.
On examinera dans un des Chapitres suivants les différentes formes que peut recevoir l'intégrale de l'équation (a), les rapports qu'elles ont entre elles et les cas où elles doivent être employées.
Pour former celle qui exprime le mouvement de la chaleur dans une armille, il était nécessaire de résoudre une fonction arbitraire en une série de sinus et cosinus d'arcs multiples; les nombres qui affectent la variable sous les signes sinus et cosinus sont les nombres naturels i,
2, 3, 4» Dans la question suivante, on réduit encore la fonction
arbitraire en une série de sinus; mais les coefficients de la variable sous le signe sinus ne sont plus les nombres i, 2, 3, 4» • ••; ces coeffi- cients satisfont à une équation déterminée, dont toutes les racines sont irrationnelles et en nombre infini.
CHAPITRE V.
DE LA PROPAGATIOxN DE L4 CHALEUR DANS UNE SPHÈRE SOLIDE.
SECTION I.
SOLUTION GÉNÉRALE.
283.
La question de la propagation de la chaleur a été exposée dans le Chapitre II, Section II, article H7 (p. qS); elle consiste à intégrer l'équation
dt \dx^ X àx) en sorte que l'intégrale satisfasse, lorsque j? = X, à la condition
k désigne le rapport -^^X.h désigne le rapport ^ des deux conducibi-
lités; V est la température que l'on observerait, après le temps écoulé/, dans une couche sphérique dont le rayon est x\ X est le rayon de la sphère; v est une fonction de x et /qui équivaut à ^[pc] lorsqu'on sup- pose / = o. La fonction F(ir) est donnée; elle représente l'état initial et arbitraire du solide.
Si l'on fait y = ^:c, y étant une nouvelle indéterminée, on aura, après les substitutions,
dt ~' dx^' ainsi il faut intégrer cette dernière équation, et l'on prendra ensuite
CHAPITRE V. — SPHËRE SOLIDE. 305
V = •-. On cherchera en premier lieu quelles sont les valeurs les plus
simples que l'on puisse attribuer k j, ensuite on en formera une valeur générale qui satisfera en même temps à Téquation différentielle, à Téquation à la surface et à l'état initial. Il sera facile de reconnaître que, lorsque ces trois conditions sont remplies, la solution est com- plète et que Ton ne pourrait en trouver aucune autre.
284. Soit y = e""tt, u étant une fonction de a?, on aura
mu z=z k-r-z*
On voit d'abord que, la valeur de / devenant infinie, celle de ^ doit être nulle dans tous les points, puisque le corps est entièrement refroidi. On ne peut donc prendre pour m qu'une quantité négative. Or ^ a une valeur numérique positive; on en conclut que la valeur de u dépend des arcs de cercle, ce qui résulte de la nature connue de
l'équation mu = k-^-^» Soit
;/ = A cos/io: -h B sin/i^; on aura cette condition
m := — A:/i'.
Ainsi l'on peut exprimer une valeur particulière de v par l'équa- tion
ç=: (A cos/i^r-h B sin/ix);
n est un nombre positif quelconque, et A et B sont des constantes. On remarquera d'abord que la constante A doit être nulle; car, lorsqu'on fait a? = o, la valeur de ^, qui exprime la température du centre, ne peut pas être infinie; donc le terme Acosnx doit être omis.
De plus, le nombre n ne peut pas être pris arbitrairement. En effet, F, 39
:W« THÉORIE DE LA CHALEUR.
si, dans l'équation déterminée
on substitue la valeur de ^, on trouvera
«.r COS/IX-+- (hjc — i) sinrta:i=: o.
Comme Téquation doit avoir lieu à la surface, on y supposera x = X, rayon de la sphère, ce qui donnera
nX
langnX
Soit X le nombre i — AX et posons nX = e, on aura
tang£
X.
Il faut donc trouver un arc e qui, divisé par sa tangente, donne un quo tient connu X, et Ton prendra
e
Il est visible qu'il y a une infinité de tels arcs, qui ont avec leur tan- gente un rapport donné; en sorte que l'équation de condition
= 1 —nX
tangnX a une infinité de racines réelles.
285.
Les constructions sont très propres à faire connaître la nature de cette équation. Soit {fig. 12)
w — (ange
l'équation d'une ligne dont l'arc e est l'abscisse et u Tordonnée, et soit
£
CHAPITRE V.- SPHÈRE SOLIDE.
307
l'équation d'une droite dont e et 1/ désignent aussi les coordonnées. Si on élimine u entre ces deux équations» on a la proposée y = tange. L'in- connue £ est donc l'abscisse du point d'intersection de la courbe et de la droite. Cette ligne courbe est composée d'une infinité d'arcs; toutes
les ordonnées correspondantes aux abscisses -> — > — > Z_, ... sont infinies, et toutes celles qui répondent aux points 0, ic, 2tc, Si:, I^t., ... sont nulles. Pour tracer la droite dont l'équation est w = ^ = _ .^> on forme le carré Oicoi et, portant la quantité hX de co en A, on joint
Fie. la.
le point h avec l'origine 0. La courbe dont l'équation est u = tangs a pour tangente à l'origine une ligne qui divise l'angle droit en deux parties égales, parce que la dernière raison de l'arc à sa tangente est I . On conclut de là que, si X, ou i — AX, est une quantité moindre que l'unité, la droite mOm passe à l'origine au-dessus de \^ courbe nOn et qu'il y îi un point d'intersection de celte droite avec la première brancbe. Il est également évident que la même droite coupe toutes les
branches ultérieures /lu/i, ni-îzriy .... Donc l'équation
tange
= X a un
nombre infini de racines réelles. La première est comprise entre o et -> la deuxième entre ir et — ? la troisième entre un et — > et ainsi
a a a
,de suite. Ces racines approchent extrêmement de leurs limites supé- rieures lorsque leur rang est très avancé.
308
THÉORIE DE LA CHALEUR.
286.
Si l'on veut calculer la valeur d'une de ces racines, par exemple de la première, on peut employer la règle suivante : on écrira les deux
équations £ = arc tang^^ eiu= ^-y arc tangi/ désignant la longueur de
Tare dont la tangente est u. Ensuite, prenant un nombre quelconque pour {/, on en conclura, au moyen de la première équation, la valeur de £; on substituera cette valeur dans la seconde équation, et l'on en déduira une autre valeur de u; on substituera cette seconde valeur de u dans la première équation; on en. déduira la valeur de e, qui, au moyen de la seconde équation, fera connaître une troisième valeur de a. En la substituant dansla première équation, on aura une nouvelle valeur de £. On continuera ainsi de déterminer u par la seconde équation, et £ par la première. Cette opération donnera des valeurs de plus en plus approchées de l'inconnue £; la construction suivante rend cette con- vergence manifeste. En effet, si le point u correspond {/ig. i3) à la valeur arbitraire que
Fig. i3.
Ton attribue k l'ordonnée w, et si l'on substitue cette valeur dans la première équation £ = arc tangM, le point £ correspondra a Tabscisse que l'on aura calculée au moyen de cette équation. Si l'on substitue
cette abscisse £ dans la seconde équation u= ^9 on trouvera une ordon-^
née u' qui correspond au point u\ Substituant u' dans la première
CHAPITRE V. - SPHÈRE SOLIDE.
309
équation, on trouvera une abscisse e' qui répond au point £'; ensuite cette abscisse, étant substituée dans la seconde équation» fera connaître une ordonnée iC qui, étant substituée dans la première, fera connaître une troisième abscisse e"", ainsi de suite à l'infini. C'est-à-dire que, pour représenter l'emploi continuel et alternatif des deux équations précédentes, il faut, par le point i/, mener l'horizontale jusqu'à la courbe, par le point d'intersection e mener la verticale jusqu'à la droite, par le point d'intersection u! mener l'horizontale jusqu'à la courbe, par le point d'intersection %! mener la verticale jusqu'à la droite, ainsi de suite à l'infini, en s'abaissant de plus en plus vers le point cherché.
287.
V^fig. i3 qui précède représente le cas où l'ordonnée prise arbi- trairement pour u est plus grande que celle qui répond au point d'in- tersection. Si l'on choisit au contraire, pour la valeur initiale de w, une quantité plus petite et que l'on emploie de la même manière les deux équations
5 = arclangw,
fi
on parviendrait encore à des valeurs de plus en plus approchées de
Fig. l'i.
l'inconnue. \Sifig. i[\ fait connaître que, dans ce cas, on s'élève con- tinuellement vers le point d'intersection en passant par les points w, £,
310 THÉORIE DE LA CHALEUH.
iCy t\ u!\ i\ ... qui terminent des droites horizontales et verticales. On obtient, en partant d*une valeur de u trop petite, des quantités e, £', e", e'", Ê*\ ... qui convergent vers l'inconnue et sont plus petites qu'elle; et Ton obtient, en partant d'une valeur de u trop grande, des quantités qui convergent aussi vers l'inconnue, et dont chacune est plus grande qu'elle. On connaît donc des limites de plus en plus res- serrées, entre lesquelles la grandeur cherchée sera toujours comprise. L'une et l'autre approximation sont représentées par la formule
£ = . . . arc tang j y arc tang y arc tang ( =- arc tang y ) | •
Lorsqu'on aura effectué quelques-unes des opérations indiquées, les résultats successifs différeront moins, et l'on sera parvenu à une valeur approchée de e.
288.
On pourrait se proposer d'appliquer les deux équations
6 = arc tang w, "^î dans un ordre différent, en leur donnant cette forme
a=:tange, gmX//.
On prendrait pour t une valeur arbitraire et, en la substituant dans la première équation, on trouverait la valeur de u qui, étant substituée dans la seconde équation, donnerait une seconde valeur de e; on em- ploierait ensuite cette nouvelle valeur de c de la même manière qu'on a employé la première. Mais il est facile de reconnaître, par les construc- tions, qu'en suivant le cours de ces opérations, on s'éloigne de plus en plus du point d'intersection, au lieu de s'en approcher comme dans Je cas précédent. Les valeurs successives de e que l'on obtiendrait diminueraient continuellement jusqu'à zéro, ou augmenteraient sans limite. On passerait successivement de e" en m", de m" en e', de e' en m', de {£ en e, ainsi de suite à l'infini.
CHAPITRE V. - SPHÈRE SOLIDE. 311
La règle que Ton vient d'exposer pouvant s'appliquer au calcul de
chacune des racines de Téquation
lange
=: I — h\,
qui ont d'ailleurs des limites données, on doit regarder toutes ces racines comme des nombres connus. Au reste, il était seulement néces- saire de se convaincre que l'équation a une infinité de racines réelles. On a rapporté ici ce procédé d'approximation, parce qu'il est fondé sur une construction remarquable qu'on peut employer utilement dans plusieurs cas, et qu'il fait connaître sur-le-champ la nature et les limites des racines; mais l'application qu'on ferait de ce procédé k l'é- quation dont il s'agit serait beaucoup trop lente; il serait facile do recourir dans la pratique à une autre méthode d'approximation.
289.
On connaît maintenant une forme particulière que l'on peut donner à la fonction i^, et qui satisfait à deux conditions de la question. Cette solution est représentée par l'équation
^x.«tiSin/ijr nx
Le coefficient a est un nombre quelconque et le nombre n est tel que l'on a
tang/iX
Il en résulte que, si les températures initiales des différentes couches
étaient proportionnelles au quotient > elles diminueraient toutes
à la fois en conservant entre elles, pendant toute la durée du refroi- dissement, les rapports qui avaient été établis; et la température de chaque point s'abaisserait comme l'ordonnée d'une logarithmique dont l'abscisse désignerait le temps écoulé. Supposons donc que, l'arc e étant divisé en parties égales et pris pour abscisse, on élève en chaque
312 THÉORIE DE LA CHALEUR.
point de division une ordonnée égale au rapport du sinus à Tare. Le système de toutes ces ordonnées sera celui des températures initiales qu'il faut attribuer aux différentes couches, depuis le centre jusqu'à la surface, le rayon total X étant divisé en parties égales. L'arc e dont la longueur représenterait dans cette construction le rayon X ne doit pas être pris arbitrairement; il est nécessaire que cet arc ait avec sa tan- gente un rapport donné. Comme il y a une infinité d'arcs qui satisfont à cette condition, on formerait ainsi une infinité de systèmes des tempé- ratures initiales, qui peuvent subsister d'eux-mêmes dans la sphère sans que les rapports des températures changent pendant la durée du
refroidissement.
290.
Il ne reste plus qu'à former un état initial quelconque, au moyen d'un certain nombre ou d'une infinité d'états partiels, dont chacun représente un de ces systèmes de températures que nous avons consi- dérés précédemment, et dans lesquels l'ordonnée varie avec la dis- tance X, proportionnellement au quotient du sinus par l'arc. Le mou- vement général de la chaleur dans l'intérieur de la sphère sera alors décomposé en autant de mouvements particuliers, dont chacun s'ac- complira librement comme s'il était seul.
Désignons par n^, /i,» n^^ ... les quantités qui satisfont à l'équation
= 1 — /iX,
lang/tX
et que Ton suppose rangées par ordre, en commençant par la plus petite; on formera l'équation générale
Si Ton fait / = o, on aura, pour exprimer l'état initial des tempéra- tures,
xv=^ay sin/ii^r -+• a^^mn^x -\- a^^iuriix -^ a^sin/i^ar-j-. . . .
La question consiste à déterminer, quel que soit l'état initial, les coef- ficients a,, ûfjj, flj, ûf^, .... Supposons donc que l'on connaisse les
CHAPITRE V. - SPHÈRE SOLIDE. 313
valeurs de i^ depuis x = o jusqu'à a? = X, et représentons ce système de valeurs par F(^), on aura (*)
(e) F(j?) = —(ai sin/2,j: -h a^sinniX -+- a^sinn^ar H-ti^ 810/140: -+-...)•
291.
Pour déterminer le coefficient a,, on multipliera les deux membres de Téquation par xsinnxdœ, et l'on intégrera depuis x = o jusqu'à r = X. L'intégrale
sïnmxsinnxdjc,
f
prise entre ces limites, est
-i i (— m sinnX cos/nX -h n sinmX cos/iX).
/n* — fr
Si m et n sont des nombres choisis parmi les racines /i,, /i^, /i,, ... qui satisfont à l'équation
nX -,
^ = 1 — /i X,
tang/zX
on aura
mX nX
tangmX tang/iX
OU'
mcosmXsin/iX — /isinmXcoswX = 0.
On voit par là que la valeur totale de l'intégrale est nulle; mais il y a un seul cas où cette intégrale ne s'évanouit pas : c'est lorsque m = n.
Elle devient alors - et, par l'application des règles connues, elle se ré- duit k
-X — 7— sina/iX.
(^) Fourier va déterminer les coefficients ai, ot, . . ., mais en admellanl que le déve- loppement est possible, quelle que soit la fonction arbitraire F(x) qui définit l'état initial; or c'est là un point qui n'est nullement démontré. Poisson, qui a signalé ce défaut de la solution de Fourier, a proposé, dans sa Théorie de la c/ialeur, une méthode d'exposition différente, mais qui ne fait que reporter sur un autre point exactement la même diffi- culté. G. D.
F. 40
314 THÉORIE DE LA CHALEUR.
Il résulte de là que, pour avoir la valeur du coefficient Ut dans l'équa- tion (e), il faut écrire
2 I X F (x) s'in riiX dv := ai (\ sin2/i,X j,
le signe / indiquant que l'on prend l'intégrale depuis x = o jusqu'à ,r = X. On aura pareillement
2 I X F {x) siti niûc dx = «j f X sina/ijX ) .
On déterminera de même tous les coefficients suivants. Il est aisé de voir que l'intégrale définie
a / X F (x) sin n X dx
a toujours une valeur déterminée, quelle que puisse être la fonction arbitraire ¥{x). Si cette fonction F(a7) est représentée par l'ordonnée variable d'une ligne qu'on aurait tracée d'une manière quelconque, la fonction cc¥{cc)sinnx correspondra aussi à l'ordonnée d'une seconde ligne que l'on construirait facilement au moyen de la première. L'aire terminée par cette dernière ligne entre les abscisses a? = o, a;= X fera connaître le coefficient a^, i étant l'indice du rang de la racine n.
La fonction arbitraire ¥{x) entre dans chaque coefficient sous le signe de l'intégration et donne à la valeur de ^ toute la généralité que la question exige; on parvient ainsi à l'équation suivante :
inriiX j xF{x)sin riixdx sinn^x 1 x F {x)sin n^xdx
'il I
X sin2/j,X X — — sin2A2jX
2ni 2/ij
Telle est la formé que l'on doit donner à l'intégrale générale de l'é- quation
àv _ .d^i' 2 dt>
dt dx^ X dx
pour qu'elle représente le mouvement de la chaleur dans la sphère solide. En effet, toutes les conditions de la question seront remplies :
SI
CHAPITRE V. - SPHÈRE SOLIDE. 315
I** L*équation aux différences partielles sera satisfaite.
2*^ La quantité de chaleur qui s'écoule à la surface conviendra à la fois à l'action mutuelle des dernières couches et à l'action de l'air sur la surface, c'est-à-dire que l'équation
-r — h nvzzi o,
k laquelle chacune des parties de la valeur de (^satisfait lorsque^ = X,
aura lieu aussi lorsqu'on prendra pour ^ la somme de toutes ces
parties.
3** La solution donnée conviendra à l'état initial lorsqu'on supposera
le temps nul.
292.
Les racines n,, n,, n^, rij^, ... de l'équation
/iX ^.
lang/iX
sont très inégales; d'où l'on conclut que, si la valeur du temps écoulé t est considérable, chaque terme de la valeur de ç^ est extrêmement petit par rapport à celui qui le précède. A mesure que le temps du refroi- dissement augmente, les dernières parties de la valeur de ^ cessent d'avoir aucune influence sensible; et ces états partiels et élémentaires qui composent d'abord le mouvement général, et qui sont superposés de telle manière qu'ils puissent comprendre l'état initial, disparaissent presque entièrement, excepté un seul. Dans ce dernier état, les tem- pératures des différentes couches décroissent depuis le centre jusqu'à la surface, de même que, dans le cercle, les rapports du sinus à l'arc décroissent à mesure que cet arc augmente. Cette loi règle naturelle- ment la distribution de la chaleur dans une sphère solide. Lorsqu'elle commence à subsister, elle se conserve pendant toute la durée du refroidissement. Quelle que soit la fonction F(^) qui représente l'état initial, la loi dont il s'agit tend de plus en plus à s'établir; et, lorsque le refroidissement a duré quelque temps, on peut supposer qu'elle existe sans erreur sensible.
316 THEORIE DE LA CHALEUR.
293.
Nous appliquerons la solution générale au cas où la sphère, ayant été longtemps plongée dans un liquide, a acquis dans tous ses points une même température. Dans ce cas, la fonction F{x) est i, et la déter- mination des coefficients se réduit à intégrer œ s'innx dx, depuis ^ = o ,. v- é.A ' A ' \ i. sin/iX — /iXcos/iX ^k i ■»
jusqu a x = \; cette intégrale est , — • Donc la valeur
d'un coefficient quelconque est exprimée ainsi
2 sin/tX — n\cosn\
a = -
n n\ — sin/iXcosrtX^
le rang du coefficient est déterminé par celui de la racine n; l'équation qui donne ces valeurs de n est
n X cos n\ , --
sinnX
on trouvera donc
2 h\
a = -
n /iXcoséc/iX — cos/iX
Il est aisé maintenant de former la valeur générale; elle est donnée par Téquation
VJC
e-*"Nsin/iia: «*■*«*' si n/ijj?
2X/1 /ii(/iiXcosécn,X — cos /Il X) /is(/2s%coséc/isX — cos/ijX) En désignant par £«, £3, e,, e^, ... les racines de l'équation
lange
et les supposant rangées par ordre en commençant par la plus petite, remplaçant n,X, w^X, /I3X, ... par ei, ej, £,, ..., et mettant au lieu de
A et A leurs valeurs rn ^'^ k ' ^^ aura, pour exprimer les variations des
températures pendant le refroidissement d'une sphère solide qui avait été uniformément échauffée, l'équation
^^^/sine,^ ^-coxi' siiu,^ c~^^''
ç •=. I -|- — _|_
Kl X £t COSéCEi — COSfii X £jCOSéC£, — COSCj
CHAPITRE V. - SPHÈRE SOLIDE. 317
SECTION II.
REMARQUES DIVERSES SUR CETTE SOLUTION.
294.
Nous exposerons quelques-unes des conséquences que l'on peut
déduire de la solution précédente. Si Ton suppose que le coefficient A,
qui mesure la facilité avec laquelle la chaleur passe dans l'air, a une
très petite valeur» ou que le rayon X de la sphère est très petit, la
moindre valeur de e sera extrêmement voisine de zéro, en sorte que
réquation
€ h ^
taiig£ K
se réduit à
(-^■)_
a.3
£»
OU, en omettant les puissances supérieures de e,
D'un autre côté, la quantité -^ cose devient, dans la même hypo-
«3?
thèse, — ^-- • Quant au terme ■ > il se réduit à i . En faisant ces sub-
stitutions dans Téquation générale, oi>aura
■ • • •
On peut remarquer que les termes suivants décroissent très rapide- ment en comparaison du premier, parce que la seconde racine n^ est beaucoup plus grande que zéro; en sorte que, si les quantités A ou X ont une petite valeur, on doit prendre, pour exprimer les variations
318 THÉORIE DE LA CHALEUR.
des températures, l'équation
Ainsi les différentes enveloppes sphériques dont le solide est composé conservent une température commune pendant toute la durée du refroi- dissement. Cette température diminue comme l'ordonnée d'une loga- rithmique, le temps étant pris pour abscisse; la température initiale, qui est i, se réduit après le temps t à
Pour que la température devienne égale à la fraction —, il faut que la
valeur de t soit -^y-log/n. Ainsi, pour des sphères de même matière
qui ont des diamètres différents, les temps qu'elles mettent à perdre la moitié, ou même une fraction déterminée de leur chaleur actuelle, lorsque la conducibilité extérieure est extrêmement petite, sont pro- portionnels à leurs diamètres. Il en est de même des sphères solides dont le rayon est très petit; et l'on trouverait encore le même résultat en attribuant à la conducibilité intérieure K une très grande valeur. Il
a lieu, en général, lorsque la quantité -tt- est très petite. On peut
regarder le rapport ^ comme très petit, lorsque le corps qui se refroidit
est formé d'un liquide continuellement agité que renferme un vase sphérique d'une petite épaisseur. Cette hypothèse est en quelque sorte la même que celle d'une conducibilité parfaite; donc la température décroît suivant la loi exprimée par l'équation
v^e ^^'\
295.
On voit par ce qui précède que, dans une sphère solide qui se refroi- dit depuis longtemps, les températures décroissent, depuis le centre
CHAPITRE V. - SPHÈRE SOLIDE. 319
jusqu'à la surface, comme le quotient du sinus par l'arc décroit depuis l'origine, où il est t, jusqu'à l'extrémité d'un arc donné e, le rayon de chaque couche étant représenté par la longueur variable de cet arc. Si la sphère a un petit diamètre, ou si la conducibilité propre est beau- coup plus grande que la conducibilité extérieure, les températures des couches successives diffèrent très peu entre elles, parce que l'arc total £, qui représente le rayon X de la sphère, a très peu d'étendue. Alors la variation de la température v commune à tous les points est donnée par l'équation
3 ^'
v — e ^^^.
Ainsi, en comparant les temps respectifs que deux petites sphères em- ploient à perdre la moitié, ou une partie aliquote,'de leur chaleur actuelle, on doit trouver que ces temps sont proportionnels aux dia- mètres.
296.
Le résultat exprimé par l'équation précédente ne convient qu'à des masses d'une forme semblable et de petite dimension. Il était connu depuis longtemps des physiciens, et il se présente pour ainsi dire de lui-même. En effet, si un corps quelconque est assez petit pour que l'on puisse regarder comme égales les températures des différents points, il est facile de reconnaître la loi du refroidissement. Soient i la température initiale commune à tous les points, et v la valeur de cette température après le temps écoulé t; il est visible que la quantité de chaleur qui s'écoule pendant l'instant dl, dans le milieu supposé entretenu à la température o, est h?>vdt, en désignant par S la surface extérieure du corps. D'un autre côté, C étant la chaleur qui est néces- saire pour élever l'unité de poids de la température o à la tempéra- ture I, on aura CDV pour l'expression de la quantité de chaleur qui porterait le volume V du corps dont la densité est D de la tempéra- ture o à la température i. Donc .^.^^ est la quantité dont la tempéra- ture ^ est diminuée lorsque le corps perd une quantité de chaleur
320 THÉORIE DE LÀ CHALEUR.
égale à hSvdi. On doit donc avoir l'équation
OU
Si le corps a la forme sphérique, on aura, en appelant X le rayon total, Téquation
297.
Supposons que l'on puisse observer, pendant le refroidissement du
corps dont il s'agit, deux températures Vt et ^2 correspondantes aux
temps ^1 et t^; on aura
/tS _ iogri — logr, CDV"" tt-t,
On connaîtra donc facilement par rexpérience l'exposant ^nv' ^* ''^" fait cette même observation sur des corps différents et si l'on connait d'avance le rapport de leurs chaleurs spécifiques C et C, on trouvera celui de leurs conducibilités extérieures h et h\ Réciproquement, si l'on est fondé à regarder comme égales les valeurs h et h' de la condu- cibilité extérieure de deux corps différents, on connaîtra le rapport do leurs chaleurs spécifiques. On voit par là qu'en observant les temps du refroidissement pour divers liquides et autres substances enfermées successivement dans un même vase d'une très petite épaisseur, on peut déterminer exactement les chaleurs spécifiques de ces sub- stances.
Nous remarquerons encore que le coefficient K qui mesure la condu- cibilité propre n'entre point dans l'équation
ainsi les temps du refroidissement dans les corps de petite dimension
CHAPITRE V.- SPHÈRE SOLIDE. 321
ne dépendent point de la conducibilité propre, et l'observation de ces temps ne peut rien apprendre sur cette dernière propriété; mais on pourrait la déterminer en mesurant les temps du refroidissement dans des vases de différentes épaisseurs
298.
Ce que nous avons dit plus haut sur le refroidissement d'une sphère de petite dimension s'applique aux mouvements du thermomètre dans l'air ou dans les liquides. Nous ajouterons les remarques suivantes sur l'usage de cet instrument.
Supposons qu'un thermomètre à mercure soit plongé dans un vase rempli d'eau échauffée, et que ce vase se refroidisse librement dans l'air, dont la température est constante. Il s'agit de trouver la loi des abaissements successifs du thermomètre.
Si la température du liquide était constante et que le thermomètre y fût plongé, il changerait de température en s'approchant très prompte- ment de celle du liquide. Soit (^ la température variable indiquée par le thermomètre, c'est-k-dire son élévation au-dessus de la température de l'air; soient a l'élévation de la température du liquide au-dessus de celle de l'air, et t le temps correspondant à ces deux valeurs (' et u. Au commencement de l'instant dt qui va s'écouler, la différence de la tem- pérature du thermomètre à celle du mercure étant (^ — w, la variable v tend à diminuer, et elle perdra, dans l'instant dt^ une quantité pro- portionnelle à (^ — M, en sorte que l'on aura l'équation
dvz=z — h{v — u) dt.
Pendant le même instant dt^ la variable u tend à diminuer, et elle perd une quantité proportionnelle à m, en sorte que l'on a l'équation
du = — Mu dt.
Le coefficient H exprime la vitesse du refroidissement du liquide dans
l'air, quantité que l'on peut facilement reconnaître par l'expérience, F. 4i
322 THÉORIE DE LA CHALEUR.
et le coelïîcient h exprime la vitesse avec laquelle le thermomètre se refroidit dans le liquide. Cette dernière vitesse est beaucoup plus grande que H. On peut pareillement trouver par Texpérience le coeffi- cient h, en faisant refroidir le thermomètre dans le liquide entretenu à une température constante. Les deux équations
du -.=. — H u dt, dv rz: — // ( (' — u) de
ou
dt
fournissent celle-ci ;
a et b étant des constantes arbitraires (*). Supposons maintenant que la valeur initiale de i^ — w soit A, c'est-à-dire que la hauteur du ther- momètre surpasse de A la vraie température du liquide au commence- ment de l'immersion, et que la valeur initiale de u soit E; on déter- minera a et 6, et l'on aura
HF
v — ii- Ac-'»'-+- 7-^^ (e-"'— e-^O-
La quantité ^ — w est l'erreur du thermomètre, c'est-à-dire la diffé- rence qui se trouve entre la température indiquée par le thermomètre et la température réelle du liquide au même instant. Cette différence est variable et l'équation précédente nous fait connaître suivant quelle loi elle tend à décroître. On voit, par l'expression de cette différence ç' — w, que deux de. ses termes, qui contiennent e~^^ diminuent très rapidement, avec la vitesse qu'on remarquerait dans le thermomètre si on le plongeait dans le liquide à température constante. A l'égard du terme qui contient 6~"', son décroissement est beaucoup plus lent et s'opère avec la vitesse du refroidissement du vase dans l'air. Il
(*) La valeur de a est liée à celle de A par la relation
lïA
<i =
h — U G. I).
CHAPITRE V. - SFHÈHE SOLIDE. 323
résulte de là qu'après un temps bien peu considérable, Terreur du thermomètre est représentée par le seul terme
HE ... H
c-iu-^ ,^,
/,-.!!- /t __ H
299.
Voici maintenant ce que l'expérience apprend sur les valeurs de H et h. On a plongé dans l'eau, à 8^,5 (division octogésimale), un ther- momètre qui avait d'abord été échauffé, et il est descendu dans l'eau de 4^^ à 2o^ en six secondes. On a répété plusieurs fois et avec soin cette expérience. On trouve, d'après cela, que la valeur de c^* est 0,000042, si le temps est compté en minutes; c'cst-a-dire que, l'élé- vation du thermomètre étant E au commencement d'une minute, elle sera 0,000042 E à la lin de cette minute. On trouve aussi
On a laissé en même temps se refroidir dans l'air à 1 2"* un vase de por- celaine, rempli d'eau échauffée à 60^ La valeur de <*"" dans ce cas a été trouvée de 0,98514, celle de H loge est o,ooG)o. On voit par là combien est petite la valeur de la fraction e~^, etque, après une seule minute, chaque terme multiplié par e~^' n'est pas la moitié de la dix- millième partie de ce qu'il était au commencement de cette minute. On doit donc n'avoir aucun égard à ces termes dans la valeur de i^ — u. Il reste l'équation
Uu
^'-"^7r=^H
ou
Ha H Hu
h h — n h
D'après les valeurs trouvées pour H et A, on voit que cette dernière
{^) Celle valeur de // est obtenue par remploi de la formule donnée à l'article pré- cédent, où Ton doit faire H = o,
v — u = ^c'^'. G. D.
3^4 THÉORIE DE LA CHALEUR.
quantité h est plus de six cent soixante-treize fois plus grande que H, c'est-à-dire que le thermomètre se refroidit dans l'eau plus de six cents fois plus vite que le vase ne se refroidit dans l'air. Ainsi le terme
. est certainement moindre que la six-centième partie de l'élévation
de la température de l'eau au-dessus de celle de l'air, et comme le
terme ,-370 —r- est moindre que la six-centième partie du précédent,
qui est déjà très petit, il s'ensuit que l'équation qu'on doit employer pour représenter très exactement l'erreur du thermomètre est
H^/
n
En général, si h est une quantité très grande par rapport à H, on aura toujours l'équation précédente.
300.
L'examen dans lequel on vient d'entrer fournit des conséquences très utiles pour la comparaison des thermomètres.
La température marquée par un thermomètre plongé dans un liquide qui se refroidit est toujours un peu plus forte que celle du liquide. Cet excès, ou erreur du thermomètre, diminue en même temps que l'élé- vation du thermomètre. On trouverait la quantité de la correction en multipliant l'élévation actuelle u du thermomètre par le rapport de la vitesse H du refroidissement du vase dans l'air à la vitesse h du refroi- dissement du thermomètre dans le liquide. On pourrait supposer que le thermomètre, lorsqu'il a été plongé dans le liquide, marquait une température inférieure. C'est même ce qui arrive presque toujours, mais cet état ne peut durer; le thermomètre commence à se rappro- cher de la température du liquide; en même temps, le liquide se refroidit, de sorte que le thermomètre passe d'abord à la température même du liquide, ensuite il indique une température extrêmement peu différente et toujours supérieure.
CHAPITRE V. - SPHÈRE SOLIDE. 325
On voit par ces résultats que, si l'on plonge dans un même vase rempli d'un liquide qui se refroidit lentement différents thermomètres, ils doivent tous indiquer à très peu près la même température dans le même instant. Appelant A, h\ A", ... les vitesses du refroidissement
de chacun de ces thermomètres dans le liquide, on aura -t-> -tt»
-yr > ••• pour les erreurs respectives. Si deux thermomètres sont égale- ment sensibles, c'est-à-dire si les quantités h et h sont les mêmes, leurs températures différeront également de celles du liquide. Les coef- ficients A, A', A", ... ont de grandes valeurs; en sorte que les erreurs des thermomètres sont des quantités extrêmement petites et souvent inappréciables. On conclut de la que, si un thermomètre est construit avec soin et peut être regardé comme exact, il sera facile de construire plusieurs autres thermomètres d'une exactitude égale. 11 suffira de placer tous les thermomètres que l'on voudra diviser dans un vase rempli d'un liquide qui se refroidit lentement, et d'y placer en mémo temps le thermomètre qui doit servir de modèle; on n'aura plus qu'à les observer tous de degré en degré, ou à de plus grands intervalles, et l'on marquera les points où le mercure se trouve en même temps dans les différents thermomètres. Ces points seront ceux des divisions cher- chées. Nous avons appliqué ce procédé à la construction des thermo- mètres employés dans nos expériences, en sorte que ces instruments coïncidaient toujours exactement dans des circonstances semblables.
Non seulement cette comparaison des thermomètres pendant la durée du refroidissement du liquide établit entre eux une coïncidence parfaite et les rend tous semblables à un seul modèle, mais on en déduit aussi le moyen de diviser exactement le tube de ce thermomètre principal sur lequel tous les autres doivent être réglés. On satisfait ainsi à la condition fondamentale de cet instrument, qui est que deux intervalles quelconques comprenant sur l'échelle un même nombre de degrés contiennent la même quantité de mercure. Au reste, nous omettons ici plusieurs détails qui n'appartiennent point directement à l'objet de notre Ouvrage.
326 THÉORIE DE LA CHALEUR.
301.
On a déterminé, dans les articles précédents, la température v que reçoit, après le temps écoulé /, une couche sphérique intérieure placée il la distance .xdu centre. Il s'agit maintenant de calculer la valeur de la température moyenne de la sphère, ou celle qu'aurait ce solide si toute la quantité de chaleur qu'il contient était également distribuée entre tous les points de la masse. Le solide de la sphère dont le rayon
est .r étant ^t: ^j la quantité de chaleur contenue dans une enveloppe
-5- y Ainsi
s
la chaleur movenne est
è/-
,— ou ^rr / oc^vdjc.
rintégrale étant prise depuis x = o jusqu'à a? = X. On mettra pour v sa valeur
-i<?-^«i'sm/iiX H 6?-*'*t'sm/i,x -\ e-*'*«'sm/i3j:-i-. . . ,
et l'on aura l'équation
3 r , , 3 / sin/ïiX — /i,\cos/i,X . *,
si n /i, X — /ij X cos /ij X . , * ,
»» *
'*ï
On a trouvé précédemment
4 (sin/i|X — ri/X cos/i/X)
«i —
fii ( 2 w/ X — sin 2 /i| X ) On aura donc, en désignant par z la température moyenne,
z__ _ (sin£i — Eicosej)^ ^- 0^1*;' (singj — £aCOS£>)' ^- nï^ 't' ^ 3.4 ~ e^ (2£i — sin2£i) £j(2£j— siiiacj)
équation dans laquelle tous les coefficients des exponentielles sont positifs.
-^^.'
CHAPITRE V, - SPHÈRE SOLIDE. 327
302.
Nous considérerons le cas où, toutes 1ns autres conditions demeu- rant les mêmes, la valeur X du rayon de la sphère deviendra infiniment grande. En reprenant la construction rapportée en l'article 28.5, on
voit que, la quantité -^ devenant infinie, la droite menée par Torigino
et qui doit couper les différentes branches de la courbe se confond avec Taxe des or. On trouve donc pour les différentes valeurs de £ les quantités t:, 21:, 3u,
Le terme de la valeur de z qui contient e *'" ^' devenant, à mesure que le temps augmente, beaucoup plus grand que les suivants, cette valeur de 2, après un certain temps, est exprimée sans erreur sensible
par le premier terme seulement. L'exposant -prry étant égal à K T^ïy^^»'
on voit que le refroidissement final est très lent dans les sphères d'un grand diamètre, et que l'exposant de e qui mesure la vitesse du refroi- dissement est en raison inverse du carré des diamètres.
303.
On peut, d'après les remarques précédentes, se former une idée exacte des variations que subissent les températures pendant le refroi- dissement d'une sphère solide. Les valeurs initiales de ces tempéra- tures changent successivement, à mesure que la chaleur se dissipe par la surface. Si les températures des diverses couches sont d'abord égales, ou si elles diminuent depuis la surface jusqu'au centre, elles ne peuvent point conserver leurs premiers rapports et, dans tous les cas, le système tend de plus en plus vers un état durable qu'il ne tarde point à atteindre sensiblement. Dans ce dernier état, les tempé- ratures décroissent depuis le centre jusqu'à la surface. Si Ton repré- sente par un certain arc e, moindre que le quart de la circonférence, le rayon total de la sphère et que, divisant cet arc en parties égales, on prenne en chaque point le quotient du sinus par l'arc, le système d(^ ces rapports représentera celui qui, s'établit de lui-même entre les tem-
328 THEORIE DE LA CHALEUR.
pératures des couches d'une égale épaisseur. Dès que ces derniers rap- ports ont lieu, ils continuent de subsister pendant toute la durée du refroidissement. Alors chacune des températures diminue comme l'or- donnée d'une logarithmique, le temps étant pris pour abscisse. On peut reconnaître que cet ordre est établi, en observant plusieurs valeurs successives s, z\ z'\ z'", ..., qui désignent la température moyenne pour les temps /, / -f- 6, ^ h- 26, t 4- 36, . . .; la suite de ces valeurs converge toujours vers une progression géométrique et, lorsque
z z* z"
les quotients successifs 9> tï» ^' •• ne changent plus, on en conclut
z z z V j
que les rapports dont il s'agit sont établis entre les températures. Lorsque la sphère est d'un petit diamètre, ces quotients sont sensible- ment égaux dès que le corps commence à se refroidir. La durée du refroidissement pour un intervalle donné, c'est-à-dire le temps néces- saire pour que la température moyenne z soit réduite à une partie
déterminée d'elle-même ~5 est d'autant plus grande que la sphère a un
plus grand diamètre*
304.
Si deux sphères de même matière et de dimensions différentes sont parvenues à cet état final où les températures s'abaissent en conservant leurs rapports, et que l'on veuille comparer les durées d'un même refroi- dissement, c'est-a-dire le temps 0 que la température moyenne z de la
première emploie pour se réduire à — > et le temps 6' que la tempéra- ture :;' de la seconde met à devenir — » il faut considérer trois cas diffé-
nx
rents. Si les sphères ont l'une et l'autre un petit diamètre, les durées B et 6' sont dans le rapport même des diamètres. Si les sphères ont l'une et l'autre un diamètre très grand, les durées 6 et 0' sont dans le rapport des carrés des diamètres; et si les sphères ont des diamètres compris entre ces deux limites, les rapports des temps seront plus grands que ceux des diamètres, et moindres que ceux de leurs carrés. On a rapporté plus haut les valeurs exactes de ces rapports. La question du mouvement de la chaleur dans une sphère comprend
CHAPITRE V. - SPHÈRE SOLIDE. 329
celle des températures terrestres. Pour traiter cette dernière question avec plus d'étendue, nous en avons fait l'objet d'un Chapitre séparé (*).
305. L'usage que l'on a fait précédemment de l'équation
lange
est fondé sur une construction géométrique qui est très propre à expli- quer la nature de ces équations. En effet, cette construction fait voir clairement que toutes les racines sont réelles ; en même temps elle en fait connaître les limites et indique les moyens de déterminer la valeur numérique de chacune d'elles. L'examen analytique des équa- tions de ce genre donnerait les mêmes résultats. On pourra d'abord reconnaître que l'équation précédente, dans laquelle X est un nombre connu, moindre que l'unité, n'a aucune racine imaginaire de la forme m 4- n\j — 1 . Il suffit de substituer au lieu de £ cette dernière quantité, et l'on voit, après les transformations, que le premier membre ne peut devenir nul lorsqu'on attribue à /w et n des valeurs réelles, à moins que n ne soit nulle (^). On démontre aussi qu'il ne peut y avoir dans
cette même équation
^ , £ cose — }. sine •
^ cose
aucune racine imaginaire, de quelque forme que ce soit.
( ^) Celle quoslion, qui est examinée avec de grands détails dans le Mémoire présenté en 181 1 par Fourier à l'Académie des Sciences, a été laissée de côté dans l'Ouvrage que nous réimprimons. La phrase du texte est reproduite textuellement d'après le Mémoire de Fourier. Voir Mémoires de l'Académie des Sciences, t. IV, p. 4^6; 1824- G. D.
(*) Écrivons en eiïet l'équation sous la forme
\
- = col E.
e
£n remplaçant e par x + j/ et égalant les parlies imaginaires dans les deux membres, on
trouve
Xr e^y^c-^y
xî-h/ï ~ {ey—e-yf-\- 4sinV-f*
U est aisé de voir que celle équation ne peut être vérifiée quand y est différent de zéro F. 42
330 THÉORIE DE LA CHALEUR.
En effet : i^ les racines imagin«iires du facteur =o n'appar-
COS£
tiennent point à Téquation e — X tang£ = o, puisque ces racines sont toutes (le la forme m -^ n\j— i; 2^ l'équation sine — jcoss = o a né- cessairement toutes ses racines réelles lorsque X est moindre que l'unité. Pour prouver cette dernière proposition, il faut considérer sins comme le produit d'une infinité de facteurs, qui sont
K'~5)('-A)('-Fp)('-4^)"-'
et considérer cose comme dérivant de sine par la différentiation. On supposera qu'au lieu de former sine du produit d'un nombre infini d facteurs on emploie seulement les m premiers, et que Ton désigne 1 produit par 9/„(£). Pour trouver la valeur correspondante qui remplace
cose, on prendra —^7^ ou 9^„(^)- ^^'^ posé, on aura l'équation
Or, en donnant au nombre m ses valeurs successives i, 2, 3, . . . de-
el que le second membre y est toujours plus grand en valeur absolue que le premier. En effet, ce second membre peut s'écrire •
ey -A- e-y ey —- (f-y
(ey—e-y)^
Or on a
ey-^e-y^ I 4sin*.r 4.r2
ey—e-y ^ jr^ (ë3— e-j)« ^ 4^*
Le second membre est donc plus grand que
1
r _ r .
1-1- — -^
il ne peut donc être égal à celte expression multipliée par la fraction X.
11 y a dans la suite de cet article un certain nombre de points inexacts ou contestables: mais, comme on pourrait le supprimer en entier sans interrompre la suite des idées, nous nous sommes contenté de reproduire sans changement le texte de Fourier.
G. D.
CHAPITRE V.- SPHERE SOLIDE. 331
puis I jusqu'à rinfini, on reconnaîtra, parles principes ordinaires de l'Algèbre, la nature des fonctions de £ qui correspondent k ces diffé- rentes valeurs de m. On verra que, quel que soit le nombre m des facteurs, les équations en t qui en proviennent ont les caractères dis- tinctifs de celles qui ont toutes leurs racines réelles. Do là on conclut rigoureusement que Téquation
langs
dans laquelle X est moindre que Tunitc, ne peut avoir aucune racine imaginaire. Cette même proposition pourrait encore être déduite d'une analyse différente que nous emploierons dans un des Chapitres sui- vants.
Au reste, la solution que nous avons donnée n'est point fondée sur la propriété dont jouit cette équation d'avoir toutes ses racines réelles. Il n'aurait donc pas été nécessaire de démontrer cette proposition par les principes de l'Analyse algébrique. Il suffit pour l'exactitude de la solution que l'intégrale puisse coïncider avec un état initial quel- conque; car il s*ensuit rigoureusement qu'elle doit représenter aussi tous les états subséquents.
CHAPITRE VI.
DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR DANS UN CYLINDRE SOLIDE.
306.
Le mouvement de la chaleur dans un cylindre solide d'une longueur infinie est représenté par les équations
dl ~ C\}\âJc^ "^ X
ôx) K ÔX
que Ton a rapportées (p. 97 et suivantes) dans les articles 118, H9 et 120. Pour intégrer ces équations, on donnera en premier lieu à r une valeur particulière très simple, exprimée par l'équation
i' r=z tf"'"'a;
m est un nombre quelconque et u une fonction de x. On désigne par k
K
le coefficient -^ qui entre dans la première équation, et par h le coef- ficient ~ qui entre dans la seconde. En substituant la valeur attribuée à r, on trouve la condition suivante :
d^u I du m dj'^ X ax k
On choisira donc pour u une fonction de x qui satisfasse à cette équa- tion différentielle. Il est facile de voir que cette fonction peut être exprimée par la série suivante
gx^ g^x^ g^x^ g^x^
2» 2^4* 2».4«.6* 2^4*. 6-. 8*
• • • <
g désignant la constante j- On examinera plus particulièrement par
CHAPITRE yi. ~ CYLINDRE SOLIDE. 333
la suite Téquation différentielle dont cette série dérive; on regarde ici la fonction u comme étant connue, et Ton a
*-gki
U
pour la valeur particulière de r.
L'état de la surface convexe du cylindre est assujetti à une condition exprimée par l'équation déterminée
dx
qui doit être satisfaite lorsque le rayon a? a sa valeur totale X; on en conclura Téquatton déterminée
\ 2* "^ 2*.4' 2-.4-.6» 7~ 2« 2'.4' 2^4^6» ••"
Ainsi le nombre g qui entre dans la valeur particulière e'^^'Ui n'est point arbitraire : il est nécessaire que ce nombre satisfasse à l'équation précédente, qui contient g etX. Nous prouverons que cette équation en g, dans laquelle A et X sont des quantités données, a une infinité de racines, et que toutes ces racines sont réelles. Il s'ensuit que l'on peut donner à la variable v une infinité de valeurs particulières, de la forme e'^^^u, qui différeront seulement par l'exposant g. On pourra donc composer une valeur plus générale en ajoutant toutes ces valeurs particulières, multipliées par des coefficients arbitraires. L'intégrale qui servira à résoudre dans toute son étendue la question proposée est donnée par l'équation suivante
gi, gi, g's» . . . désignent toutes.les valeurs de g qui satisfont a l'équa- tion déterminée; u^^ u^y u^, ... désignent les valeurs de u qui corres- pondent à ces différentes racines; «i, ^2, a,, ... sont des coefficients arbitraires, qui ne peuvent être déterminés que par l'état initial du solide.
( " •«
33V THEORIE DE LA CïlALEUH.
307.
Il faut maintenant examiner la nature de l'équation déterminée qui donne les valeurs de g et prouver que toutes les raeines de cette équa- lion sont réelles, recherche qui exige un examen attentif.
Dans la série
X* ^'X* ^*X*
2- a»./»» 2*. 4*. 6*
qui exprime la valeur que reçoit u lorsque ^ = X, on remplacera ^^
par la quantité 0, et, désignant par/(0) ou y cette fonction de 0, on aura
Téquation déterminée deviendra
h\ 2» 2«.3* ^2-. 3*. 4*
I — ^+ -= —
ou
/'(O) désignant la fonction ' Jr '
Chacune des valeurs de 0 fournira une valeur pour g, au moyen de Féquation
2^ -~^'
et Ton obtiendra ainsi les quantités ^,, g.^ qui entrent en nombre
infini dans la solution cherchée.
La question est donc de démontrer que ''équation
2 /(O)
doit avoir toutes ses racines réelles. Nous prouverons, à cet effet, quo l'équation
ï
p
CHAPITRE VI.- CYLINDRE SOLIDE. 335
a toutes ses racines réelles; qu'il en est de même, par conséquent, de Téquation
et qu'il s'ensuit que l'équation
A =
J\'^)
a aussi toutes ses racines réelles, A représentant la quantité connue
308.
L'équation
_ __ 0^ 0^ 0* _
étant diiïérentiée deux fois, donne la relation suivante :
dv .^ d* V
•^ dO dO*
On écrira, comme il suit, cette équation et toutes celles que l'on en déduit par la diiïérentiation
dy .d' y dO dh^
dv d^Y rd} Y
— =— -4- 1 — '-— -i- 0 — '— — O
dO ^ dh'' ' rfO» "" '
drY ^d^y ^d"" y
d^j^ dO' d^y*
et, en général.
d'y ,. ^d^^^y ^.d'^^Y
Or, si l'on écrit dans l'ordre suivant l'équation algébrique
X=io
et toutes celles qui en dérivent parla différentiation
d\ d^\ ^X r/*\
• • • •
336 THÉORIE DE LA CHALEUR.
et si l'on suppose que toute racine réelle d'une quelconque de ces équations, étant substituée dans celle qui la précède et dans celle qui la suit, donne deux résultats de signe contraire, il est certain que la proposée X = o a toutes ses racines réelles, et que, par conséquent, il en est de même de toutes ses équations subordonnées
d^-""' "Zt-^-"'' Z?^"-''' •••'
ces propositions sont fondées sur la théorie des équations algébriques et ont été démontrées depuis longtemps (*). Il suffit donc de prouver
(*) Fourier énonce ici une des conséquences du beau théorème qui conslilue sa décou- verle capitale dans cette théorie des équations algébriques et transcendantes qui n'a jamais cessé de l'occuper et à laquelle il a consacré un Ouvrage spécial, VJnaljse des équationx déterminées. On sait que la première Partie de ce Traité a seule paru et a été publiée en i83i par les soins de Navier, un an environ après la mort de Fourier.
Fourier applique à l'équation transcendante
J = o
une proposition qui n'est démontrée que pour les équations algébriques. Dans le XIX* Caliier du Journal de l'École Polj technique ^ page 382, Poisson présente à ce sujet quelques re- marques critiques qui paraissent justifiées. Il considère l'équation
(a) j- = c^-h 6c'«*'= o,
où a désigne une constante positive, différente de l'unité. La fonction y est une solution particulière de l'équalion différentielle
d^r , . dr
à laquelle on peut appliquer littéralement tous les raisonnements de Fourier. Si la propo- sition admise dans le texte était exacte, on devrait donc conclure que l'équation (a) a toutes ses racines réelles. Or cette équation n'a qu'une racine réelle si b est négatif; elle n'en a aucune si b est positif, et, dans les deux cas, elle a une infinité de racines imagi- naires. Cela suffit, semble-t-il, à décider la question.
Cette objection do Poisson avait été très sensible à Fourier; il y revient à diverses re- prises, notamment à la page 6i6 du tome VllI des Mémoires de l'Académie des Sciences et dans un travail spécial intitulé : Remarques générales sur l'appUcation des prbicipes de l'Analyse algébrique aux équations transcendantes, inséré au tome X, page 119, du même Recueil.
11 ne faudrait pas conclure des remarques précédentes que le théorème de Fourier ne peut être d'aucune utilité dans l'étude des équations transcendantes. Convenablement ap- pliqué, il joue, au contraire, dans la résolution de ces équations, un rôle très important que Fourier a été le premier à signaler. On s'en assurera aisément en relisant divers passages de l'Ouvrage que nous avons cité plus haut. G. D.
CHAPITRE VI. - CYLINDRE SOLIDE. 337
que les équations
y^o, ^=.0, ^:=o, ...
remplissent la condition précédente. Or cela suit de l'équation géné- rale
car, si Ton donne à ô une valeur positive qui rende nulle la fluxion
•^QM^ les deux autres termes -^ et ^^^^ recevront des valeurs de
signe opposé. A l'égard des valeurs négatives de 6, il est visible, d'après la nature de la fonction /(6), qu'aucune quantité négative mise à la place de 6 ne pourrait rendre nulle ni cette fonction, ni aucune de celles qui en dérivent par la différentiation ; car la substitu- tion d'une quantité négative quelconque donne à tous les termes le même signe. Donc on est assuré que l'équation
7 = 0
a toutes ses racines réelles et positives.
309. Il suit de là que l'équation
a aussi toutes ses racines réelles; ce qui est une conséquence connue des principes de l'Âlgëbre. Examinons maintenant quelles sont les
valeurs successives que reçoit le terme 6 -i^TETi ou 6 ~> lorsqu'on
donne à 6 des valeurs continuellement croissantes, depuis 6 = 0
jusqu'à 6 = 00. Si une valeur de 0 rend y nulle, la quantité 0^
devient nulle aussi; elle devient infinie lorsque 6 rend y nulle. Or il suit de la théorie des équations que, dans le cas dont il s'agit, toute racine de
F. 43
338 THÉORIE DE LA CHALEUR.
est placée entre deux racines consécutives de
et réciproquement. Donc, en désignant par Oj et 6, deux racines con sécutives de l'équation
y'= o.
et par Oj la racine de l'équation
7=0
qui est placée entre 0| et 0.„ toute valeur de 0, comprise entre 6, et 0^,
donnera à jun signe différent de celui que recevrait cette fonction y,
y' si 6 avait une valeur comprise entre 63 et 0,. Ainsi la quantité 6— est
nulle lorsque 0 = 6,; elle est infinie lorsque 0 = 0^, et nulle lorsque
6 = Ô3. Il est donc nécessaire que cette quantité 6— prenne toutes les
valeurs possibles, depuis zéro jusqu'à l'infini, dans l'intervalle de 0, à 62, et prenne aussi toutes les valeurs possibles de signe opposé, depuis l'infini jusqu'à zéro, dans l'intervalle de 63 à 0,. Donc l'équation
A = ^^ 7
a nécessairement une racine réelle entre 0, et 0,; et, comme l'équation a toutes ses racines réelles en nombre infini, il s'ensuit que l'équation
A = Ô^
a la même propriété. On est parvenu à démontrer de cette manière que l'équation déterminée
hX 2« a». 4* 2«.4*.6*
2 ,_^_^^'^' ^'X»
2* 2». 4* 2*.4«.6* dont l'inconnue est g*, a toutes ses racines réelles et positives.
CHAPITRE VI. - CYLINDRE SOLIDE. 339
Nous aUons poursuivre cet examen de la fonction // et de l'équation différentielle à laquelle elle satisfait.
310. De Téquation
on déduit Téquation générale
et, si Ton suppose 0 == o, on aura Téquation
^'^Vr _ > d^y
de^^' "" i-^i do
7 >
qui servira à déterminer les coefficients des différents termes du déve- loppement de la fonction /(ô); car ces coefficients dépendent des va- leurs que reçoivent les rapports différentiels lorsqu'on y fait la variable nulle. En supposant le premier connu et égal à i , on aura la série
_ __ e^ ô^ g* *
Si, maintenant, dans Téquation proposée
I du d^u
° X dx dx^
on fait
x'^
^^=^.
et que Ton recherche la nouvelle équation en u et 0, en regardant u comme une fonction de 0, on trouvera
du ,, cP //
d'où l'on conclut
W m — 0 + -: —
2« 2».3« 2«.3V4'
340 THÉORIE DE LA CHALEUR.
ou
U — l — ^-r- -h ^
2« 2*.4«
• • • •
Il est facile d'exprimer ia somme de cette série. Pour obtenir ce résultat, on développera comme il suit la fonction cos(asin.r) en cosinus d'arcs multiples. On aura, par les transformations connues,
*ae'»^- _!a«-'V-. - -U^'*^ Ue-'^-
2COs(asin.r) ^=e* e * 4-c * e*
et, désignant e^^^"* par o),
2 cos(asinjr) = c ' e * -h e * c * .
En développant le second membre selon les puissances de (o, on trou- vera que le terme qui ne contient point a> dans le développement de cos(asin.r) est
I —
a' a^ a* a*
2» a-. 4* 2*. 4*. 6* 2«.4«.6«.8»
les coefficients de (o\ w', o)% ... sont nuls; il en est de même des coefficients des termes qui contiennent (o"\ co""', (*>•"*, ...; le coef- ficient de co~^ est le même que celui de co'; le coefficient de oi' est
-~r-7r-3 — • « / ^-ô h ... ; le coefficient de co~* est le même que celui
2.4.6.8 2*. 4. 6.8. 10 '
de co*; il est aisé d'exprimer la loi suivant laquelle ces coefficients se succèdent; mais, sans s'y arrêter, on écrira 2cos2a? au lieu de (o)* -h 0)"*), ou 2cos4»ï? au lieu de (co* -+- co"*), et ainsi de suite. Donc la quantité cos(asina7) peut être facilement développée en une série
de la forme
A -H Bcos2.r-f- Ccos4^-hDcos6vF -k. . .
et le premier coefficient k est égal à
' 2* "^2*. 4* 2».4*.6*"^"
Si l'on compare maintenant l'équation générale que nous avons donnée
CHAPITRE VI. - CYLINDRE SOLIDE. 341
précédemment
à celle-ci
cos(asina7)=r A-h Bcosax -h Gcos4^ -H. . .,
on trouvera les valeurs des coefficients A, B, C exprimées par des inté- grales définies. Il suffit ici de trouver celle du premier coefficient A. On aura donc
A= - / cos(asinj?)e/a?,
rintégrale devant être prise depuis a? = o jusqu'à a: = u. Donc la va- leur de la série
est celle de l'intégrale définie
- I cos{ocs\nx)dx.
On trouverait de la même manière, par la comparaison des deux équa- tions, les valeurs des coefficients suivants B, C, . ..; on a indiqué ces résultats parce qu'ils sont utiles dans d'autres recherches qui dépendent de la même théorie (*)• Il suit de là que la valeur particulière de u qui satisfait à l'équation
d^u i du
H i — h irii = o
dx* X dx ^
(*) Les fonctions A, B, C, . . . , dont Fourier signale ici toute Timportance, sont celles qui ont été étudiées depuis par Bessel, Jacobi, Hansen et un grand nombre d'autres géomètres. Il faut, toutefois, pour avoir Tensemble des fonctions de Bessel, joindre aux précédentes celles qui résultent du développement de la fonction 8in((xsin.r).
Le groupe complet des fonctions de Bessel peut être considéré comme défini par les dcu-x équations
co8(acosjc)= Jo(«) -4-2Jî(a)cosax-+- 2J4(a)cos4.r4-....
sinCasinx) = aJi(a)sinx-+- 2J3(x)sin3.r -f-. . ..
G. D.
3^2 THEORIE DE LA CHALEUR.
est
- j cos{x ^gsinr) dry
l'intégrale étant prise depuis r=o jusqu'à r = Tz. En désignant par q celte valeur, on fera dans l'équation linéaire
Il z= (js;
l'équation en s ainsi obtenue aura pour intégrale
s
aeib désignant deux constantes arbitraires; on aura donc, pour l'in- tégrale complète de l'équation
d^u I du
l'expression
^-HÔTT / - r-.. — =jt| /cos(xv/isin/)flf/-.
^ J? I cos{x^^s'inr)dr\ y
Si l'on suppose 6 = o, a = 1, on aura, comme précédemment,
uz=z ^ j cos{x^S}nr)dr,
Nous ajouterons les remarques suivantes, relatives à cette dernière ex- pression.
311.
L'équation
se vérifie d'elle-même. En effet, on a
J J \ 2 2.3.4 2.3.4.5.6 /
CHAPITRE VL - CYLINDRE SOLIDE. 343
et, intégrant depuis w = o jusqu'à u = iz en désignant par Sj, S^, So, ... les intégrales définies
lie j^lZ yfTC
- / sin^udu, ~ I sin^ udUf - 1 sm^uduy ...,
T^Ja ^A *^A
on aura
6» 0^ 6«
cos(ôsin«)c/a=: i S, h tt-? S* ô— 7— -- tî S^-h . . .;
^ ' 5î 2.3.4 2.3.4.^.0
il reste à déterminer S2, S4, Se, Le terme sin"tt, /i étant un nombre
pair, peut être développé ainsi
sin^M^:: A„-f-B;,cos2w H-CrtCos4" + . • •;
en multipliant par du, et intégrant entre les limites u = o et u = t., on aura seulement
0
les autres termes s'évanouissent. On a, d'après la formule connue pour le développement des puissances entières du sinus,
AI . i«o . i>o<«j
2 2.4 2.4.0
En substituant ces valeurs de Sa, S4^Se, S,, . . ., on trouve
0» 6^ 9«
- I cos(9smu)du
2« 2».4* 2'.4*.6*
On peut rendre ce résultat plus général en prenant, au lieu de cos(^sinf/), une fonction quelconque 9 de /sinw.
Supposons donc que Ton ait une fonction 9(5) qui soit ainsi déve- loppée
9(5) = cp 4- 59'-h ^ / -h ^ < -h. . .;
on aura
(p(^sinw) =9 -I- ^9'sinw H — 9'sin'a H ^9''sin*a
2 2 • o
et
(«)
1 r t* t^
- / 9(^sinw)<iw = 9 -h ^9'S|H — 9' S, h ^ 9^^534-
ir ^y 2 2.0
3W THÉORIE DE LA CHALEUR.
Or il est facile de voir que S,, S„ S5, ... ont des valeurs nulles. A l'é- gard de S2, S4, Se» ...» leurs valeurs sont les quantités que nous avons désignées précédemment par A^, A4, A5, — C'est pourquoi, en sub- stituant ces valeurs dans l'équation (e), on aura généralement et quelle que soit la fonction ç
Dans le cas dont il s'agit, la fonction ff{z) représente coss, et Ton a o = I , ç" = — I , ç*"" = I , ç"" = — I et ainsi de suite ( * ).
312.
Pour connaître entièrement la nature de la fonction /(ô), et celle de Téquation qui donne la valeur de g^ il faudrait considérer la figure de la ligne qui a pour équation
y — I — ^ -h -r — rv-^r -h . . .
a' a-.o*
et qui forme avec Taxe des abscisses des aires, alternativement posi- tives ou négatives, qui se détruisent réciproquement; on pourrait aussi rendre plus générales les remarques précédentes sur l'expression des valeurs des suites en intégrales détinies. Lorsqu'une fonction d'une variable a; est développée selon les puissances de x^ on en déduit faci- lement la fonction que représenterait la même série si l'on remplaçait
(1) II va ici plusieurs fautes de calcul. Les ioLcgrales Si, S3. ... ne sont nulles que si elles sont prises entre les limites o et aie. Alors les intégrales Si, S4, Ss, ... ont pour valeurs, non les coefficients Aj, A4, Ae, mais leurs doubles. On est ainsi conduit à la for- mule
— / ç>(f 8intt)rfM = o -+- — <p'h- — — -©'M-
aitjç *^ ^ a* ^ a*. 4*^
Si Ton fait
9(Z) = C0S5,
on a évidemment
— I cos (i sïnu ) €iu = - j cos(/sintt)rf//,
et Ton retrouve la formule donnée plus haut par Fourier. G. D.
CHAPITRE IV. - CYLINDRE SOLIDE. 3/^5
les puissances
X, jc*^ a:*, ... par cos^r, cosa^r, ros3.r, ....
En faisant usage de cette réduction et du procédé indiqué à l'ar- ticle 235, on obtient les intégrales définies qui équivalent à des séries données : mais nous ne pourrions entrer dans cet examen sans nous écarter beaucoup de notre objet principal, il suffît d'avoir indiqué les moyens qui nous ont servi à exprimer les valeurs des suites en inté- grales définies. Nous ajouterons seulement le développement de la
ff(Q\
quantité ô ttût en une fraction continue.
313.
L'indéterminée V ou/(0) satisfait à Téquation
dy d*y
d'où l'on déduit, en désignant par y, y", y", y'", ... les fonctions
dy d^r d'y d*y
de' dô^' W' d¥' '" '
ou
|
• • |
-/ |
|
y |
y+Qf |
|
y" « |
-y |
|
y' |
ay + dy |
|
y' |
v* |
|
r* |
■iy' + eyy |
|
y" |
-y" |
I
V
f »
— I
9
y
— I
■ y V
'' - 4/^ -H ey ^ --7F
y
y
F. 4
/.
. 346 THÉORIE DE LA OIIALEUIl.
d'où l'on conclut
v' t
>• . ^-
9-
^- fj
3 ^ -
0 f. -
^ . 0
'--6-:
Ainsi la fonction fAr qui entre dans l'équation déterminée a pour
valeur la fraction continuée à l'infini
0_
0
, 0
,
3- > ---
4 —
0
r> — .
314.
Nous allons maintenant rappeler les résultats auxquels nous sommes parvenus jusqu'ici.
Le rayon variable de la couche cylindrique étant désigné par x, et la température de cette couche étant ç^, qui est fonction de .r et du temps /, cette fonction cherchées doit satisfaire à l'équation aux dif- férences partielles
on peut prendre pour ç^ la valeur suivante :
r--= e~""w;
u est une fonction de x qui satisfait à l'équation
Si l'on fait
m I du d^u
A' X ax dx^
, m .r*
CHAPITRE VI. - CYLINDRE SOLIDE. à^7
et que Ton considère u comme une fonction de 0, on aura
du . d} u
« H- -77- -+- y —rrr = O.
db dO^
La valeur suivante
2* Si*. 3* 2*. 3*. 4* ■•
satisfait à Téquation en wet 0; on prendra donc, pour valeur de // en .r, celle-ci :
m .r* //i* .7*^ ni^ jt^
Il ^=z\ -
A' 2^ A* 2*. 4* A» 2*. 4*. 6*
la somme de cette série est
- I cos I .r i / r sin /• I a/*,
l'intégrale étant prise depuis r= o jusqu'à / = tc. Cette valeur de u en .r et w satisfait à l'équation différentielle, et conserve une valeur finie lorsque x est nulle. De plus, l'équation
, dn
nu -\ — r- =^o dx
doit être satisfaite lorsque
X étant le rayon du cylindre. Cette condition n'aurait. pas lieu si l'on donnait à la quantité m qui entre dans la fonction // une valeur quel- conque; il faut que l'on ait I équation
»
AX 9
2
I —
4 _ r_
dans laquelle 0 désigne
m X-
 2^
ik» THÉORIE DE LA CHALEUR.
Cette équation déterminée, qui équivaut à la suivante
?. y "^ i» â'. 3' "^ ■ ■ 7 ~ "i^ "" 2«. 3» a' .'3'". 4'
•»
donne pour 0 une infinité de valeurs réelles que Ton désigne par 0,, Oj, 0,, ...; les valeurs correspondantes de m sont -yt* '
X* ' X»
Y*'» •••; par conséquent la valeur particulière de i' qui correspond à la racine 9, est exprimée ainsi
71 1' -. e
? ^' / cosf 2 ^V^, sin^ W^.
On peut mettre, au lieu de 0,, une des racines 6,, ôj, 0,, 0^, ... et Ton en composera une valeur plus générale exprimée par Téquation
/ cos ( 2 .. sJO^ sin 9 1 dq
-h «JE? . *
-h
/ cosf a !=Tv/(?iSin7 j c^y
'^^ / cosf 2 — y/ô, sinyj û^7
a,, a,, a,, ... sont dos coefficients arbitraires; la variable q disparait après les intégrations, qui doivent toutes avoir lieu depuis q = o jus- qu'à ^ = u.
315.
Pour démontrer que cette valeur de r satisfait à toutes les condi- tions de la question et qu'elle en contient la solution générale, il ne reste plus qu'à déterminer les coeflîcFents ^,, a^, a^, ... d'après l'état initial. On reprendra l'équation
• • » f
dans laquelle i/,, u^, u^ sont les difTérentes valeurs que prend la fonc-
CHAPITRE VI. - CYLINDRE SOLIDE. :î49
tion Uj ou
m jc' m* x^ tn} x^
-i H-
^ 2« ^* 2*. 4* ^' 2*.4».b«
m
lorsqu'on met successivement au lieu de -r les valeurs g^, g^, g^, .... En faisant / = o, on a Téquation
V = «1 w, -h «1 w, -h a, Mj -h . . . ,
dans laquelle V est une fonction donnée de x. Soit (f{œ) cette fonc- tion, et représentons la fonction u^ dont l'indice est i par ^{x \/gi). On aura
• « • •
Pour déterminer le premier coefficient, on multipliera chacun des membres de l'équation par a, dx, a^ étant une fonction de x, et Ton intégrera depuis 07 = 0 jusqu'à ^ = X. On déterminera cette fonction cr, en sorte qu'après les intégrations le second membre se réduise au pre- mier terme seulement, où se trouve le coefficient a<, toutes les autres intégrales ayant une valeur nulle. Pour déterminer le second coeffi- cient a,, on multipliera pareillement les deux termes de l'équation
(p(^) = ^1 Wi -h a, w, -h «3 «3 -h . . .
par un autre facteur 0-3 rfj?, et Ton intégrera depuis x = o jusqu'à x = X. Le facteur o-j devra être tel que toutes les intégrales du second membre s'évanouissent excepté une seule, savoir celle qui est affectée du coefficient «2. En général, on emploie une suite de fonctions de .r désignées par (r<, (Xj, a,, ..., qui correspondent aux fonctions u^, u.j,, w,, ... ; chacun de ces facteurs o- a la propriété de faire disparaître par l'intégration tous les termes qui contiennent des intégrales définies, excepté un seul; on obtient de cette manière la valeur de chacun des coefficients a,, «2» ^.j» H f^ut donc chercher quelles sont les fonc- tions qui jouissent de la propriété dont il s'agit.
\
350 THÉORIE DE LA CHALEUR.
316.
on a
Chacun des ternies du second membre de l'équation est une intégrale définie de cette forme afaudx\ u est une fonction de x qui satisfait k Téquation
m I du (Pu
A X dur djc^ '" '
on aura donc
/' , k r( fj du d^ii\ ,
a I (ju dx = — a — f | — 5 h a -7— r | ax,
j m J \x dx dx^ J
Kn développant, au moyen de l'intégration par parties, les termes
/(T du ' r d}u ,
J X dx X J \xj
r d^u . ^ du da f d*(7 ,
j^-^dx=:D+-a-^u-^ju — dx.
Les intégrales devant être prises entre les limites ,r — o et a; =: X, on déterminera par cette condition les quantités qui entrent dans le
développement et ne sont point sous le signe /. Pour indiquer que
l'on suppose x =^ o dans une expression quelconque en Xy on affectera cette expression de l'indice a, et on lui donnera l'indice (o pour indi- quer la valeur que prend la fonction de x lorsqu'on donne à cette va- riable X sa dernière valeur X.
On aura donc, en supposant a? = o dans les deux équations précé- .dentes,
on détermine ainsi les constantes C et D. Faisant ensuite 0- = X dans ces mêmes équations, et supposant que l'intégrale est prise depuis .r = o jusqu'à ir = X, on aura
J X dx '^ '^\ x)^'~'\x)ai j" \x)
CHAPITRE VI. - CYLINDRE SOLIDE. 351
et
,/ djc* \dj:^ dx) ^^ \dx dxjy^ J dx^ " '
on obtient ainsi l'équation
m
1
r , / \ d*^ "^[xj \. (du do a\
b)
(du di a \
dx dx «*'/a
317.
Si la quantité
0-
d>f3 ^\x dx* dx
"(-:
qui multiplie u sous le signe d'intégration dans le second membre était égale au produit de a par un coefficient constant, les termes
fh-'M]^' /'"
dx
pourraient être réunis en un seul et Ton obtiendrait, pour l'intégrale cherchée f^udx, une valeur qui ne contiendrait que des quantités dé- terminées, et aucun signe d'intégration. 11 ne resterait plus qu'à égaler cette valeur à zéro.
Supposons donc que le facteur cr satisfasse à l'équation différentielle du second ordre
d^a \'^/ 't
dx* dx k
-f- 7-(7=: O
de même que la fonction u satisfait à l'équation
d*u I du . m
dx* X dx k '
352 THÉORIE DE LA CHALEUR.
m et n étant des coefficients constants, on aura
n — m r , (du d(7 fs\ f du drs rj \
— , — /crartx — (-r-a — w-j hw— ) — (-j-o- — w-, — hw-l'
k J \da) dx ^J ta \dx dx x /«
Il existe entre a et a une relation très simple, qui se découvre lorsque, dans l'équation
<
('À
\x/ cPi
d
k dx dx^ '
on suppose
fj=. xs;
on a, par le résultat de cette substitution, l'équation .
n I ds d*s
k X dx dx^
ce qui fait voir que la fonction 5 dépend de la fonction u donnée par l'équation
m i du d*u
k X dx dx*
11 suffit, pour trouver ^, de changer m en n dans la valeur de u; on a désigné cette valeur de u par ^'(^v/^jî celle de a sera donc
On aura maintenant
du d(j a
-j-tj^ U-j 1-*/-
ax ax- X
-+(-\/^)+(«\/î) ++(^y^?)+(«y'j)-
Les deux derniers termes se détruisant d'eux-mêmes, il s'ensuit qu'en faisant a? = o, ce qui correspond à l'indice a, le second membre entier
CHAPITRE VI.— CYLINDRE SOLIDE. 353
s'évanouit. On conclut de là l'équation suivante :
X
\/f HVï) +(Vî)-
tl est aisé de voir que le second membre de cette équation est toujours nul lorsque les quantités m et n sont du nombre de celles que nous avons désignées précédemment par m,, m^, m,, .. . . On a, en effet.
AX =
comparant les valeurs de AX, on voit que le second membre de l'équa- tion (/) s'évanouiL
Il suit de là qu'après que l'on a multiplié par ddœ les deux termes (le l'équation
0(0-) z=: «1 Wi-t- a^Ui-^ a,Mj-+-. . . ■+- aiUi-h. . .
et intégré de part et d'autre depuis x = o jusqu'à a? = X, chacune des intégrales définies qui composent le second membre s'évanouit; il
suffît de prendre pour a la quantité xu, ou ^4* (^\/t )' " ^^"^ ^^' cepter le seul cas où n est égal à m; alors la valeur de / au dx tirée de Téquafion (/) se réduit à -j et on la détermine par les règles connues.
318.
Soit
/m In
Vl^f*' Va-""'
on aura
F. 45
354 THÉORIE DE LA CHALEUR.
le second membre étant différentié au numérateur et au dénominateur par rapport à v donnera, en faisant p. = v,
•|, ']/\ 1" désignant
•K/^^). '^(/^X), +^(/xX),
On a, d'un autre côté, Téquation
fl^ u I du
i»M —
-+- - :r:^-r"^o
d'oii résulte
i)i celle-ci
dx^ X dx
^«4."+^.y+;i«<l/^:o,
h"^ -\- jJHJ»'r= O
ï
que Ton vient de démontrer; on pourra donc éliminer, dans l'intégrale qu'il s'agit d'évaluer, les quantités '\' et '\" au moyen des équations précédentes, qui donnent
+'=-^' ^'-(p'x -0^'
on trouvera ainsi, pour la valeur de l'intégrale cherchée,
:;)
en mettant pour [k sa valeur, désignant par L\ la valeur que prend la
fonction u, ou 'H •^' v X )' 1^^^^"'^"^ suppose ^ = X, et par i le rang de la racine m de l'équation déterminée qui donne une infinité de va- leurs de m. Si Ion substitue m, ou -^^^- dans -( in ), on
aura
i'""''hCW]-
CHAPITRE VI. - CYLINDRE SOLIDE. 333
«
319. Il résulte de Tanalyse précédente que l'on a les deux équations
Jf X Ui Ui dx^r^Oy / vT Uj d.l' z=l\ | -J- ( ^.: | 1
1
la première a lieu toutes les fois que les nombres i et y sont différents, et la seconde lorsque ces nombres sont égaux. Reprenant donc l'équation
dans laquelle il faut déterminer les coefficients a,, a.,, a.^, .. ., on trou- vera un de ces coefficients, désigné par a^, en multipliant les deux membres de l'équation ^^v xuidx et en intégrant depuis .r = o jusqu'à X = \\ le second membre sera réduit par cette intégration à un seul terme, et l'on aura l'équation
iix^{x)Uidx^=z,ai\^\]j\\-\-{ — -=\ J,
J L Vn^^A/ J
qui donne la valeur de a,-. Les coefticientsûi, a^, «;,, ... étant ainsi déterminés, la condition exprimée par l'équation
qui se rapporte à l'état initial, sera remplie.
Nous pouvons maintenant donner la solution complète de la ques- tion proposée; elle est exprimée par l'équation suivante :
.X ^x
X (^{x)u^ dx
/ ^^{J^)uxdx „^ / x<f{x)u^dx „^.,
a
«iC ^' H--'—/ /l%'*-v-''2e
J\ X (^{x)u^dx _o
Yl •
«3^ ^ 4-
356 THEORIE DE LA CHALEUR.
La fonction de Xy qui est exprimée par Ui dans Téquation précédente, a pour expression
TT / ^^^ (iT ^^^ ^*" V ^^ '
toutes les intégrales par rapport à x doivent être prises depuis a == o jusqu'à ^ = X et, pour trouver la fonction i//, on doit intégrer depuis q=io jusqu'à 7 = 1:; ^(.r) est la valeur initiale de la température, prise dans l'intérieur du cylindre à la distance x de l'axe, et cette fonction est arbitraire; les quantités ô,, 63, 0,, ô^, ... sont les racines Téelles et positives de l'équation
4-
320.
Si Ton suppose que le cylindre ait été plongé pendant un temps in- fini dans un liquide entretenu à une température constante, toute la masse se trouvera également échauffée, et la fonction ff[x) qui repré- sente l'état initial sera remplacée par l'unité. Après cette substitution, l'équation générale représentera exactement les progrès successifs du refroidissement.
Si le temps écoulé / est infini, le second membre de l'équation ne contiendra plus qu'un seul terme, savoir celui où se trouve la moindre de toutes les racines 0<, ôj, 0,, ...; c'est pourquoi, en supposant que ces racines sont rangées selon leur grandeur et que 0, est la moindre de toutes, l'état final du solide sera exprimé par l'équation
A'X'T"""
Vr ».
On déduirait de la solution générale des conséquences semblables à
CHAPITRE VI. — CYLINDRE SOLIDE. 387
celles que présente le mouvement de la chaleur dans une masse sphé- rique. On reconnaît d'abord qu'il y a une infinité d'états particuliers dans chacun desquels les rapports établis entre les températures ini- tiales se conservent jusqu'à la fin du refroidissement. Lorsque l'état initial ne coïncide pas avec un des états simples» il est toujours com- posé de plusieurs d'entre eux, et les rapports des températures chan- gent continuellement à mesure que le temps augmente. En général, le solide arrive bientôt à cet état où les températures des différentes couches décroissent continuellement en conservant les mêmes rap- ports. Lorsque le rayon X est très petit, on trouve que les tempéra-
tures décroissent proportionnellement à la fraction e ^ (*). Si, au contraire, ce rayon X a une valeur extrêmement grande, l'exposant de e dans le terme qui représente le système final des températures contient le carré du rayon total. On voit par là comment la dimension du solide influe sur la vitesse finale du refroidissement (^). Si la tem- pérature du cylindre dont le rayon est X passe de la valeur A à la
(*) En înlroduisanl les nolations qui figurent. dans les deiLc premières équations de ce
Chapitre, on trouve
*^ t&^
e eux
pour la valeur de cette fraction. G. D.
(2) Les résultats énoncés ici se démontrent aisément. L'équation qui détermine 0 est. comme on Ta vu,
— (i — 0-t- — — ...) = 0 -\- -r-- — ....
2 \ a* y a' 2*. 3*
et il résulte des raisonnements des articles 307, 308, 309 que sa plus petite racine est comprise entre o et la plus petite racine de l'équation
2* 2». 3*
Si X est très petit, on a approximativement
Si, au contraire, X est très grand, Oi se rapproche de la plus petite racine de l'équation précédente dont la valeur est i,45 environ. Ces deux valeurs de Oi employées successive- ment conduisent aux deux résultats donnés par Fourier. G. D.
358 ÏHEOUIE DE LA CHALEUR.
valeur moindre B dans un temps T, la température d'un second cylindn' de rayon égal à X' passera de A à B dans un temps différent!'. Si les deux solides ont peu d'épaisseur, le rapport des temps T et T' sera celui des diamètres. Si, au contraire, les diamètres des cylindres sont très grands, le rapport des temps T et T' sera celui du carré des dia- mètres.
CHAPITRE VII.
PROPAGATION DE LA CHALKUR DANS UN PRISME RECTANGULAIRE.
L'équalion
321.
d^ i^ à* i^ d^ t'
^ ÔJr^ dy âz
o,
que nous avons rapportée dans la Section IV du Chapitre II (p. loii), exprime le mouvement uniforme de la chaleur dans l'intérieur d'un prisme d'une longueur infinie, assujetti par sa base à une température constante, et dont on suppose les températures initiales nulles. Pour intégrer cette équation, on cherchera, en premier lieu, une valeur par- ticulière de V, en remarquant que cette fonction i' doit demeurer la même lorsque y change de signe, ou lorsque z change de signe, et qu'elle doit prendre une valeur infiniment petite lorsque la distance or est infiniment grande. D'après cela, il est facile de voir que l'on peut choisir pour valeur particulière de ^ la fonction
ae-'**^ cos ny cosp z ;
et, faisant la substitution, on trouve
m* — n* — P* = ^^'
Mettant donc pour n et p des quantités quelconques, on aura
m ^- \/n^ H- p* .
La valeur de ^ doit aussi satisfaire à l'équation déterminée
360 THÉORIE DE LA CHALEUR.
lorsque V est égal à /ou à — /, et à Téquation
h dv
lorsque z est égal à /ou à — /(Sect. IV du Chàp. II, art. 125). Si Ton donne a r la valeur précédente, on aura
■
h ^ . h
— /isinw/4- :^cosny=.o et — /?sin/?-sH- |t-cos/>5 = o,
ou
1^ zn ni iang ni, r^ =Wlang/>/;
on voit par là que, si Ton trouvait un arc £ tel que s tange équivalût à la quantité toute connue |t/, on prendrait pour n ou pour p la quan- tité -.' Or il est facile de reconnaître qu'il y a une infinité d'arcs qui, multipliés respectivement par leur tangente, donnent un même pro- duit déterminé rr^ d'où il suit que l'on peut trouver pour n et pour /? une infinité de valeurs différentes.
322.
Si l'on désigne par e,, £2* ^39 ••• ^^^ ^rcs en nombre infini qui satis- font à l'équation déterminée
hl £ tange = 1^,
on pourra prendre pour n un quelconque de ces arcs divisé par /. Il en sera de même de la quantité p; il faudra ensuite prendre m^r=n^-{-p^. Si l'on donnait k n et k p d'autres valeurs, on satisferait à l'équation différentielle, mais non pas à la condition relative à la surface. On peut donc trouver de cette manière une infinité de valeurs particulières de f', et comme la somme de plusieurs quelconques de ces valeurs satis- fait encore à l'équation, on pourra former une valeur plus générale
CHAPITRE VIL — PRISME. RECTANGULAIRE. 361
On prendra successivement pour n et pour/? toutes les valeurs pos- sibles, qui sont y> y» y> — Désignant par a,, a^, a,, ...; h^y b.^,
Aj, ... des coefficients constants, on ^exprimera la valeur de v par l'équation suivante (*) :
v^=L-\- (a,e~^^'»î-^'*î cos/ïij4- a,e-*^'*î"^'»î cos/ijj H-- • J^i cos/i,^ -4- («ie-'^>^'*î"*-'*î cos/iij-h aje-^^^î^-^î cos/2,/-h. . .)Aj cosw,:;
4- (aie-*>'^"î-^«îcos/ii7-f- a,e-*^"5-^"îcos/i2 J-H. . .)^s cosAij^
323.
Si l'on suppose maintenant la distance x nulle, il faudra que chaque point de la section A conserve une température constante. Il est donc
( * ) Si Ton suivait strictement la méthode générale indiquée par Fourier, on serait con- duit, pour la valeur de c, à la série
(i) i' = 2 2 A/^it^-W"'-»-"* C0S///J cos/j;fr2.
où les coefficients ki^k auraient des valeurs quelconques. Fourier prend tout de suite, et
sans donner aucune explication,
A/A = aibk'
Le succès de la méthode justifie, sans Fexpliquor peut-être suftisammcnt, une pareille restriction imposée à la solution générale. Eu choisissant atlk pour la valeur particulière du coefGcient kiki Fourier admet que la série générale doit se réduire, quand on y fait .r = G, au produit de deux séries trigonométriques contenant chacune une seule des va- riables y y z. Ce point peut être aisément établi, si Ton admet toutefois la légitimité des développements en série employés par Fourier. Faisons, en effet, .r = o dans requation(i); (' devant se réduire à i, on aura
i = 2 2 A /A- cos /// r cos //yl 5 .
Si l'on multiplie les deux membres de cette égalité par cos//aJCOS//û3 et si l'on intègre par rapport à r et à 2 entre les limites o et /, on aura
/ cos«a vrfr / cosnozdz = ^I,Atjc I cos///jco8//ajrfr / COS///1-3 cos//tt2 f/^.
Les résultats établis à l'article 321 montrent que le second membre se réduit à
Ajtp / cos* /ifli^r dr 1 cos' //p z dz ; F. 46
362 THÉORIE. DE LA CHALEUR.
nécessaire qu'en faisant x = o, la valeur de v soit toujours la même, quelque valeur que Ton puisse donner à y ou à z, pourvu que ces valeurs soient comprises entre o et /. Or, en faisant ^ = o, on trouve
i' = (a, cos/i, j -+- a, cos/ii j-h a, cosn^y -h. . .) (6, cos/i|S -+- 6, cosn^z -4- 6, cos/i,5-h...).
En désignant par i la température constante de la base A, on prendra les deux équations
I zzz a, cos/ii vH- ût, cosn^y -h a^cosn^y -h. . ., 1 z=z bx cos /Ij .5 -h 6, cos /i, 5-4-6, cos n, 5 -h
■
Il suffit donc de déterminer les coefficients a,, a.^^ a^, ..., dont le nombre est fini, en sorte que le second membre de Téquatiou soit tou- jours égal à Tunité. On a résolu précédemment cette question dans le cas où les nombres ai,, w^, /i,, ... forment la série des nombres im- pairs (Section H du Chapitre III, page i49)- ïci les quantités n^, n^, /i,, ... sont des irrationnelles, données par une équation d'un degré infiniment élevé.
324. Posant l'équation
I =a| cos/i| r -h a, cos/i,j-h ajcos/ij j-h. . .,
on en multipliera les deux membres par cosn,yrfv, et l'on prendra l'intégrale depuis y = o jusqu'à y = 1. On déterminera ainsi le pre-
on a donc
sin^/oc/ein/io/
Si l'on pose
"«"8/ C0S'«aj<(|' / cos^nozdz
Clçti — ; = ; : >»
//« / cos*wajrrf/
• 0
on a
et Ton obtient les formules déânilives données dans le texte. G. D.
CHAPITRE VII. - PRISME RECTANGULAIRE. 363
miep coefficient a,. On suivra un procédé semblable pour déterminer les coefficients suivants. En général, si Ton multiplie les deux membres de l'équation par cosvyrfy, v étant l'une quelconque, des valeurs de /^ et que l'on intègre, un terme quelconque du second membre qui serait représenté par acosny donnera naissance à l'intégrale
a I cosny cosvv dy
ou
-al cos {n — v) V c(x H — « / cos ( n -h v ) >' ciy OU
- sin(/ï — y)y -^ sin(/i + v) v
2 [ /i — V ^ -" « -h V - I
et, faisant j = /,
a (/î -h v) sin(/i — v)l-h{n — v) sin(/i -I- v)/
2 n^ — V*
Or chaque valeur de n satisfait à l'équation
n\angnl=z j^;
il en est de même de v : on aura donc
/ilang/i/:= V langv/
ou
n sin ni cos v / — v sin v / cos ni = o.
Ainsi l'intégrale précédente, qui se réduit à
■^{n sin/i/cosv/ — vcos/i/sinv/),
n- — V
est nulle. Il faut excepter le seul cas où ^ — v. En reprenant alors l'in- tégrale
a rsin(/i -^v)/ sin(rt-hv)/l
2L 'ï — V /i + v I
on voit que, si Ton a /i = v, elle équivaut à la quantité -('-+- V
36^ THÉORIE DE LA CHALEUR.
Il résulte de là que si, dans Téquation
i=z:a, cos/i,y -h Ut COS riif -h a^cosn^y -h . . .,
on veut déterminer le coefficient d'un terme du second membre dési- gné paracos/ij, il faut multiplier les deux membres par cosnydy^ et intégrer depuis y = o jusqu'à j = /. On aura pour résultat l'équation
r » «/, sin2/i?\ I . ,
/ cos ny dyz=z - i-\ ) := - sm n L
Jo ^V 2/t ) n
d'où l'on tire
sin/z/ a
2nl -\- su\2nl 4
On déterminera de cette manière les coefficients a,, a^, a,, ...; il en sera de même des coefficients 6,, b.^, b^, . . ., qui seront respectivement les mêmes que les précédents.
325.
Il est aisé maintenant de former la valeur générale de i^ : i** elle sa- tisfera à l'équation
dx* dy* dz
m
2*" elle satisfera aux deux conditions
K^ — [-hvz=zo et K-z — h/*t'=^o; dy âz
3** elle donnera une valeur constante pour v, lorsqu'on fera a; = o, quelles que soient d'ailleurs les valeurs de y et des, comprises entre o et /; donc elle résoudra dans toute son étendue la question proposée. On est parvenu ainsi à l'équation
I sin/i,/cos/i,/ sinn^ l cos n^y sînn^l cos n^y
4 2/1,/-+- sin2/i,/ 2/i,/-i- sin2/e,/ 2/I3/ -f- sin2«3/ *'*' ou, en désignant par £,, s^» £3» •• • l^s arcs w,/, n^l, n^l, ...,
|
• |
£iV |
sine, cos -y^ |
■ |
csr |
||||
|
I |
sm£i |
cos — ^ |
sm |
Ê, cos "Y^ |
||||
|
"/ |
• |
4- |
« |
4- |
• |
|||
|
4 |
2e, -f |
- Sin2£, |
2£, -hsm2e. |
2Ê5 |
-h Sm26j |
I • • • ,
CHAPITRE VU. — PRISME RECTANGULAIRE. 3(}o
équation qui a lieu pour toutes les valeurs de j comprises entre o et / et, par conséquent, pour toutes celles qui sont comprises entre o et — /.
En substituant les valeurs connues de a,, 6,, a^, b.,y ... dans la va- leur générale de v^ on aura Téquation suivante, qui contient la solution complète de la question proposée
/ V sin/ii/cos/Zi;: / sin/^,/cos/^lr «./~r— * \
I z=i-\ — ( ^^e"''v«,-H«; _|_ I
14-4 2/ii/-h sina/ii/ \2/ii/-t- sin2Ai, / ' /
(E)
i ■+-
2
sin/Z]/cos/2s^ / sin/i,/cosw, V / ,^„« \
î«j/4- sin2/i|/ \2/ii/ -{- sin2/i,/ * ' /
Les quantités désignées par /i<, /i^, /ij, ... sont en nombre intini, et respectivement égales aux quantités
£, £, £,
7' 7' r '"^
les arcs £,, e^, £3, ... sont les racines de Téquation déterminée
hl
£ langÊ := 1^
326.
La solution exprimée par Téquation précédente (E) est la seule qui convienne à la question; elle représente l'intégrale générale de l'é- quation
dans laquelle on aurait déterminé les fonctions arbitraires d'après les conditions données. Il est facile de reconnaître qu'il ne peut y avoir aucune solution différente. En effet, désignons par ^{^(a;, j, z) la valeur de V déduite de l'équation (E); il est évident que, si l'on donne au solide des températures initiales exprimées par ^[x,y, z), il ne pourra survenir aucun changement dans le système des températures, pourvu
360 THÉORIE DE LA CHALEUR.
que la section à l'origine soit retenue à la température constante i : car, l'équation
étant satisfaite, la variation instantanée de la température est nécessai- rement nulle. Il n'en serait pas de même si, après avoir donné à chaque point intérieur du solide dont les coordonnées sont x^ y, z la tempéra- ture initiale ^(/r,j, 3), on donnait à tous les points de la section à l'origine la température constante o. On voit clairement, et sans aucun calcul, que, dans ce dernier cas, l'état du solide changerait continuel- lement et que la chaleur primitive qu'il renferme se dissiperait peu à peu dans l'air et dans la masse froide qui maintient la base à la tem- pérature o. Ce résultat est dû à la forme de la fonction ^[x,y^ z), qui devient nulle lorsque x a une valeur infinie, comme la question le suppose.
Un effet semblable aurait lieu si les températures initiales, au lieu d'être -f-vp(a?,j, 5), étaient —v|;(a:,j, 2) pour tous les points intérieurs du prisme, pourvu que la section à l'origine fût toujours retenue à la température o. Dans l'un et l'autre cas, les températures initiales se rapprocheraient continuellement de la température constante du mi- lieu, qui est zéro, et les températures finales seraient toutes nulles.
327.
Ces principes étant posés, considérons le mouvement de la chaleur dans deux prismes parfaitement égaux à celui qui est l'objet de la question. Pour le premier solide, nous supposons que les températures initiales sont -^"^[x.y^z) et que la base A conserve la température fixe 1 . Pour le second solide, nous supposons que les températures ini- tiales sont — ^[xyyy z) et que tous les points de la base A sont rete- nus à la température o. 11 est manifeste que, dans le premier prisme, le système des températures ne peut point changer et que, dans le second, ce système varie continuellement jusqu'à ce que toutes les températures deviennent nulles.
CHAPITRE VII. — PRISME RECTANGULAIRE.
367
Si maintenant on fait coïncider dans le même solide ces deux états différents, le mouvement de la chaleur s'opérera librement, comme si chaque système existait seul. Dans l'état initial formé des deux systèmes réunis, chaque point du solide aura une température nulle, excepté les points de la section A dont la température sera i, ce qui est con- forme à l'hypothèse. Ensuite, les températures du second système changeront de plus en plus et s'évanouiront entièrement, pendant que celles du premier se conserveront sans aucun changement. Donc, après un temps infini, le système permanent des températures sera celui que représente l'équation (E), ou
r = '|(j:,7, 2).
Il faut remarquer que cette conséquence résulte de la condition relative à l'état initial; on la déduira toutes les fois que la chaleur initiale contenue dans le prisme est tellement distribuée qu'elle s'évanouirait entièrement si l'on retenait la base A à la température o.
328.
Nous ajouterons diverses remarques à la solution précédente : I® Il est facile de connaître la nature de l'équation etange:
/a
K '
Fi g. i5.
\
\
r
i-
I I
-si-
0
>i«
/
1 ,e._ I
/
air
! /
I I
il suffit de supposer [\o\Tjîg. i5) que l'on ait construit la courbe
h:=lz longs,
l'arc £ étant pris pour abscisse et u pour ordonnée. Cette ligne est
308 . THÉORIE DE LA CHALEUR.
(
composée de branches asymptotiques. Les abscisses qui correspondent aux asymptotes sont -> — > — > • • • ; celles qui correspondent aux points
2 2 2
d'intersection sont t:, 2ir, 3?:, .... Si maintenant on élève à l'origine
une ordonnée égale à la quantité connue -^ et que, par son extrémité,
on mène une parallèle à Taxe des abscisses, les points d'intersection donneront les racines de Téquation proposée
/il e lange = ^ ■
La construction indique les limites entre lesquelles chaque racine est placée. Nous ne nous arrêterons point aux procédés de calcul qu'il faut employer pour déterminer les valeurs des racines. Les recherches de ce genre ne présentent aucune diftîculté.
329.
2° On conclut facilement de l'équation générale (E) que, plus la valeur de x devient grande, plus le terme de la valeur de (^ dans lequel se trouve la fraction e^^"*^"' devient grand par rapport à chacun des suivants. En effet, n,, /îj, n^, ... étant des quantités positives crois- santes, la fraction e"^"^^"* est la plus grande de toutes les fractions ana- logues qui entrent dans les termes subséquents.
Supposons maintenant que l'on puisse observer la température d'un point de l'axe du prisme situé à une distance x extrêmement grande, et la température d'un point de cet axe situé à la distance ^+f, I étant l'unité de mesure; on aura alors y = o, s = o, et le rapport de la seconde température à la première sera sensiblement égal à la frac- tion e~^^"*. Cette valeur du rapport des températures des deux points de l'axe est d'autant plus exacte que la distance x est plus grande.
Il suit de là que, si l'on marquait sur l'axe des points dont chacun fût distant du précédent de l'unité de mesure, le rapport de la tempé- rature d'un point à celle du point qui précède convergerait continuel- lement vers la fraction e'^^"'; ainsi les températures des points placés
CHAPITRE VIL- PRISME RECTANGULAIRE. 369
à distances égales finissent par décroître en progression géométrique. Cette loi aura toujours lieu, quelle que soit l'épaisseur de la barre, pourvu que l'on considère des points situés à une grande distance du foyer de chaleur.
II est facile de voir» au moyen de la construction, que, si la quantité appelée /, qui est la demi-épaisseur du prisme, est fort petite, /i| a une valeur beaucoup plus petite que n^, /I3, ...; il en résulte que la pre- mière fraction e~*^^ est beaucoup plus grande qu'aucune des fractions analogues. Ainsi, dans le cas où l'épaisseur de la barre est très petite, il n'est pas nécessaire de s'éloigner de la source de la chaleur pour que les températures des points également distants décroissent en progression géométrique. Cette loi règne alors dans toute l'étendue de
la barre.
330.
Si la demi-épaisseur /est une très petite quantité, la valeur générale de {^ se réduit au premier terme, qui contient ^-^«"î. Ainsi la fonc- tion sf qui exprime la température d'un point dont les coordonnées sont x.yetz^ est donnée, dans ce cas, par l'équation
\':^{ — r ; ^, 1 cos/ircos/i5e-^*'* ;
l'arc £ ou Al/ devient extrêmement petit, comme on le voit par la con- struction. L'équation
se réduit alors à
Ê lange 11= ^l
la première valeur de £, ou £|, est i/jr'y à l'inspection de layïg". i:5
(p. 367), on connaît les valeurs des autres racines, en sorte que les quantités £«, £2, £s« • • • sont les suivantes
1 / wT-) TT, 2 71, OTT, ....
F. 47
370 THÉORIE DE LA CHALEUU
Les valeurs de /i,, n,, Rj, . . . sont donc
I pd
7V/k
V T
on en conclut, comme on Ta dit plus haut, que, si / est une très petite quantité, la première valeur n est incomparablement plus petite que toutes les autres, et que Ton doit omettre dans la valeur générale de v tous les termes qui suivent le premier. Si maintenant on substitue dans ce premier terme la valeur trouvée pour ai, en remarquant que l'arc Ti/et l'arc 2/1/ sont égaux à leurs sinus, on aura
=^«'(v/S^)'^'(v/?0
le facteur i/^ qui entre sous les signes cosinus étant très petit, il s'en- suit que la température varie très peu pour les différents points d'une même section, lorsque la demi-épaisseur / est très petite. Ce résultat est, pour ainsi dire, évident de lui-même; mais il est utile de remarquer comment il est expliqué par le calcul. La solution générale se réduit en effet à un seul terme, à raison de la ténuité de la barre, et l'on a, en remplaçant par l'unité les cosinus d'arcs extrêmement petits.
i'irr e
équation qui exprime, dans le cas dont il s'agit, les températures sta- tionnaires.
On avait trouvé cette même équation précédemment (art. 76, p. 55); on l'obtient ici par une analyse entièrement différente.
331.
La solution précédente fait connaître en quoi consiste le mouvement de la chaleur dans l'intérieur du solide. Il est facile de voir que, lors- que le prisme a acquis dans tous ses points les températures station- naires que nous considérons, il existe, dans chaque section perpendi-
CHAPITRE VII. - PRISME RECTANGULAIRE. 371
culaire à Taxe, un flux constant de chaleur qui se porte vers l'extrémité non échauffée. Pour déterminer la quantité de ce flux qui répond à une abscisses, il faut considérer que celle qui traverse, pendant l'unité de temps, un élément de la section est égale au produit du coeffi- cient K, de l'aire dydz et du rapport -p pris avec un signe contraire. Il faudra donc prendre l'intégrale
^^l'yfrJ''
depuis 5=0 jusqu'à z = l, demi-épaisseur de la barre, et ensuite depuis j = o jusqu'à y = L On aura ainsi la quatrième partie du flux total.
Le résultat de ce calcul fait connaître la loi suivant laquelle décroit la quantité de chaleur qui traverse une section du prisme; et l'on voit que les parties éloignées reçoivent très peu de chaleur du foyer, parce que celle qui en émane immédiatement se détourne en partie vers la surface, pour se dissiper dans l'air. Celle qui traverse une section quel- conque du prisme forme, si l'on peut parler ainsi, une nappe de chaleur dont la densité varie d'un point de la section à l'autre. Elle est conti- nuellement employée à remplacer la chaleur qui s'échappe par la sur- face, dans toute la partie du prisme située à la droite de la section : il est donc nécessaire que toute la chaleur qui sort pendant un certain temps de cette partie du prisme soit exactement compensée par celle qui y pénètre en vertu de la conducibilité intérieure du solide.
332.
Pour vérifier ce résultat, il faut calculer lé produit du flux établi à la surface. L'élément de la surface est dx dy, et, ^ étant sa température* hvdxdy est la quantité de chaleur qui sort de cet élément pendant l'unité de temps. Donc l'intégrale Ay ^ y <^rfj exprime la chaleur totale émanée d'une portion finie de la surface. Il faut maintenant em- ployer la valeur connue de ^ en y en supposant s = /; puis intégrer, une fois depuis j = o jusqu'à y =^ /, et une seconde fois depuis x = x
372 THÉORIE DE LA CHALEUU.
jusqu'à j? = ao. On trouvera ainsi la moitié de la chaleur qui sort de la surface supérieure du prisnne; et, prenant quatre fois le résultat, on aura la chaleur perdue par les surfaces supérieure et inférieure.
Si Ton se sert maintenant de rexpre&sion h j dx f vdz, que l'on donne k y dans {^ sa valeur /, que l'on intègre, une fois depuis 5 = 0 jusqu'à :; = /, et une seconde fois depuis ;r =1 j? jusqu'à or =:x, on aura la quatrième partie de la chaleur qui s'échappe par les surfaces latérales.
L'intégrale h f dv I i^dy, étant prise entre les limites désignées,
donne la valeur
h^ . > t I — i — 'f
sin////rfts/i/i?--gv^"*^^'\
m ^m^ -h /^*
pour chacun des terme»
^g-a-v^/««-»-/i« cQg ,,^y çQs ,1 -
de ^, et l'intégrale A fdx I s^dz donne
donc la quantité de chaFeurque îe prisme perd à sa surface, dans foule la partie située à la droite de la section dont l'abscisse est jt, se com- pose de tous les termes analogues à celui-ci
v'^
g-jry/m'-t-/»»/ — sio m/cos w/ H — cosm/ sîn/i/ 1.
D'un autre côté,, la quantité de chaleur qui pénètre, pendant le même temps, à travers la section dont l'abscisse est x se compose des termes analogues à celwi-ci
4 K a sjhi^ -+- n* ^ r—i — î . ... ^ e-jr^m«-^«« s,n ^,/ §,„ ^/.
mn
il est donc nécessaire que l'on ait l'équation
K v^/n* -h /i« . h . A
— Sm/w/sm«/~ ' . — siniii/ços/i/H ==
ou
ros//i/sin/j/
K(m'-i- n*) sin/n/sin/i/==:/2//icosm/sin/i/4- A/zsinm/cos/i/;
CHAPITRE VIL- PRISME RECTANGULAIRE. 373
or on a séparément
Kw* sïn/n/sm/i/= hm cosnttsïnnt
OU
on a aussi ou
7/1 sinm/ ^^ h ^ cos ml K'
Kn* sin/z/sinm/ :r= /i/i cos ni sin ml
ns\nnl h cos ni ~ K'
donc Inéquation est satisfaite. Cette compensation qui s'établit sans cesse entre la chaleur dissipée et la chaleur transmise est une consé- quence manifeste de Thypothëser et le calcul reproduit ici la condition qui avait d'abord été exprimée; n»ais il était utile de remarquer cette conformité dans une matièi'e nouvelle, qui n'avait point encore été soumise à l'Analvse.
332.
Supposons que le demi-côté / rfu carré qui sert de base au prisme soit une ligne extrêmement grande, et que Ton veuille connaître la loi suivant laquelle les températures décroissent pour les difterents points de l'axe; on donnera dty eik z des valeurs nulles dans l'équation géné- rale, et à /une valeur extrêmement grande. Or la construction fait con- naître, dans ce cas, que la première valeur de e e»t - » la deuxième -^}
la troisième^ — > — On fera ces substitutions d»ns l'équation gêné-
raie, on remplacera /i,/, /lo/, /i,/, ... pa»r leurs valeurs 7» — > ~> •••>
1C r
et l'on mettra aussi la fraction a au lieu de e ". On trouve alors
-a^ — . . . I ^ )
-z\f -3* -^5" -•••;
374 THÉORIE DE LA CHALEUR.
On voit par ce résultat que la température des différents points de Taxe décroît rapidement à mesure qu'on s'éloigne de l'origine. Si donc on plaçait, sur un support échauffé et maintenu à une température permanente, un prisme d'une hauteur infinie, ayant pour base un carré dont le demi-côté / serait très grand, la chaleur se propagerait dans rintérieur du prisme et se dissiperait par la surface dans l'air environnant, qu'on suppose à la température o. Lorsque le solide serait parvenu à un état fixe, les points de l'axe auraient des tempéra- tures très inégales et, à une hauteur équivalente à la moitié du côté de la base, la température du point le plus échauffé serait moindre que la cinquième partie de la température de la base.
CHAPITRE VIII.
DU MOUVEMKNT DE LA CHALEUR DANS UN CUBE SOLIDE.
333. Il nous reste encore à faire usage de l'équation
(«)
|
dv |
K |
d*v |
â*f |
||
|
dt |
CD |
^'àf* |
■+- |
dz' |
qui représente le mouvement de la chaleur dans un solide de forme cubique exposé à l'action de l'air (Sect. Vdu Chapitre H, p. loO). On choisira en premier lieu pour {^ la valeur très simple
e""" cos n jc 0,0% p y cos g z ;
et, en substituant dans la proposée, on aura l'équation de condition
m :=i/{{n*-hp'-h 7*),
la lettre k désignant le coefficient tttt- 11 suit de là que, si Ton met au
lieu de n, p, q des quantités quelconques et si l'on prend pour m la quantité k{n^ -hp^ -h q')^ la valeur précédente de (^ satisfera toujours a l'équation aux différences partielles. On aura donc l'équation
L'état de la questioa exige aussi que, si x change de signe et si v et :; demeurent les mêmes, la fonction ne change point; et que cela ait aussi lieu par rapport à j et par rapport à 5; or la valeur de v satisfait évidemment à ces conditions.
376 THÉORIE DE LA CHALEUR.
334.
Pour exprimer l'état de la surface, on emploiera lés équations sui- vantes :
' d= K -r h /* r = o,
(h) { dtK^ +/m' = o,
ov
± K -T h /* r =1 o.
az
Elles doivent être satisfaites (*) lorsque Ton a a? = ii-a, ou y==hr7, ou z=^±a. On prend le centre du cube pour l'origine des coordon- nées et le côté est désigné par ia.
La première des équations [h) donne
e-""
h n%\\\nx ç,o%py ç,o%qz -h r^ cos/^J:^cos/?/ cos</5 — o
ou
h zç. n tang/io: 4- îT = o,
équation qui doit avoir lieu lorsque x = ±a{^).
Il en résulte que Ton ne peut pas prendre pour n une valeur quel- conque, mais que cette quantité doit satisfaire a la condition
h /m tang/2^ =z —a.
K.
( * ) Plus exaclement, on doit avoir
K -; — \-/iv= o
pour .r = « et
— K -T — h //(' = o ox
pour X = — a, et cela, quels que soient j- et z. Cet énoncé s'étend de lui-même aux deux autres équations. G. D.
(*) Avec correspondance des signes, c'est-à-dire on doit prendre j? = -h a s'il s'agit de
l'équation
// — n tang «.r h- — = o,
ot .r = — a dans le cas contraire. G. D.
CHAPITRE VIII. - CUBE SOLIDE. 37T
Il faut donc résoudre l'équation déterminée
h £tang6= g a,
ce qui donnera la valeur de e, et Ton prendra n = -• Or l'équation en
s a une infinité de racines réelles; donc on pourra trouver pour n une infinité de valeurs différentes. On connaîtra de la même manière les valeurs que l'on peut donner à /> et à y; elles sont toutes représentées par la construction que l'on a employée dans la question précédente (art. 328). Nous désignerons ces racines par n,, /i^, /ij, .... Ainsi l'on pourra donner à <^ la valeur particulière exprimée par l'équa- tion
pourvu que l'on mette, au lieu de n, une des racines /i^, /ig, AI3, ..., et qu'il en soit de même de p et de q.
335.
On peut former ainsi une infinité de valeurs particulières de i^, et il est visible que la somme de plusieurs de ces valeurs satisfera aussi h
l'équation différentielle (a) et aux équations déterminées {b). Pour
donner k ç^ la forme générale que la question exige, on réunira un
nombre indéfini de termes semblables à celui-ci
^g-A/(n«-4-/>'+7*) COS/IJC COSpy COS^S.
Nous exprimerons cette valeur de ^ par l'équation suivante :
(' ziz (a, cos/iia?e~^"î'-f- a2C0S/^2^e~*''«'^- a^ cos/i3^e""*'*î'-h. . .) («1 cos«,7e-*'*î'-h a, cos^ije-^^î'-f- a3C0S/i3/e-^'*î'-+-. . .) (ûfj cos/iise-*''î'H-a, cos/i,^e-^"î'-h a^c^o^n^z e-'"^^^ -^ . . .).
Le second membre doit se former (*) du produit des trois facteurs
(*) Il y a lieu de présenter ici une remarque analogue à celle qui se rapporte à l'ar- ticle 322, p. 36i. G. D.
F. A8
378 THÉORIE DE LA CHALEUR.
écrits dans les trois lignes horizontales, et les quantités ai, aj, a,, . . . sont des coefficients inconnus. Or, selon l'hypothèse, si l'on fait f = o, la température doit être la même pour tous les points du cube. Il faut donc déterminer a,, «2» ^3> ••• ^n sorte que la valeur de ^ soit con- stante quelles que soient celles de ^r, de y et de s, pourvu que cha- cune de ces valeurs soit comprise entre a et — a. Désignant par i la température initiale commune à tous les points du solide, on posera les équations
I z= «1 C0SAl|a?-4- ajC0S«jJ7-h asCOSWjJ^-h. . .,
I = a, cos /2,7 -H a, cos n^y + a» cos n^y 4- . . . , 1 =: «1 cos riiz H- a, cos n^z -h a^ cos n^z -h . . . ,
dans lesquelles il s'agit de déterminer a,, ^2, a,, Âpres avoir mul- tiplié chaque membre de la première par cosnixdx, on intégrera depuis x = o jusqu'à a7= a : or il résulte de l'analyse employée pré- cédemment (art. 325) que l'on a l'équation
2sin/2ia cos/2i j: asin/t«acos/2«x
- * _| 1 1 ._!_
I / • \ 1^ • * • ?
/ sin2n,a\ / sinîî/«-a\ n^ai n ) /i,a( in |
•
désignant par (/./ la quantité - ( i -H ^'"^^^^ )> on aura
sin^?ia sin/ua sin/i.a
1= — cos /Il X -\ COS/22<^ 4- — — - C0S/l,J7-h. . .;
/ii«fXi fhaiXi n^f^l^i
cette équation aura toujours lieu lorsque l'on donnera à x une valeur comprise entre a et — a.
On peut en conclure l'expression générale de ^; elle est donnée par 1 équation suivante :
/sin/i,a ... sinriia .,,, \
r= — cosni»re-*'»»'H cos ru xc'^'^'' -h. . .
sin/Jia . ., sin/iia ... ^— -cos/îi re""*"'' H cosw, >e-*'»«* -h. . .
/sin/îja ... sin/ija . ,. -i \
( ^ cos /ïi ze ^''t ' -I cos n, z e"***' ' -h . . .
\ /i,a/xi /^îafAî /
CHAPITRE VIII. ^ CUBE SOLIDE. 379
336.
L'expression de s^ est donc formée du produit de trois fonctions sem- blables, l'une de ce, l'autre de y et la troisième de 5, ce qu'il est facile de vérifier immédiatement.
En effet, si, dans l'équation
on suppose
i' =: XYZ,
en dénotant par X une fonction de x et/, par Y une fonction de y et t, et par Z une fonction de z et /, on aura
XY ^'^- + XZ ^' + YZ '^'^ ' ^-' ^'^' -^'^ - ^'^
dt dt de
= .(xv^'î.xz-...g>
on prendra les trois équations séparées
^ — x-^ Êl — k^ <^X. _ d» X
On doit avoir aussi, pour la condition relative à la surface, <^V A., dY h.. dV A,,
d'où l'on déduit
dX A -- dY h^ âZ h „
d^-*-K^=''' ôy^K^=°' ^-^K^^=*'-
il suit de là que, pour résoudre complètement la question, il suffit de prendre l'équation
du , d^ u dt dx-
et d'y ajouter l'équation de condition
du h
I
380 THÉORIE DE LA CHALEUR.
qui doit avoir lieu lorsque ^ = a. On mettra ensuite j ou 5 à la place de X, et Ton aura les trois fonctions X, Y, Z, dont le produit est la va- leur générale de v. Ainsi la question proposée est résolue comme il suit :
sinwjrt . •, sin/i,flf . ,.
(Dix, t) = — COS /Il 07 <?-*"' 'H cos/i,a:e"*"*'
^ 2_ cos/i3jre-*'»»'-h . . .;
^ii, ^*2» ^3, ... sont donnés par l'équation suivante
ha e lange = -|^>
dans laquelle t représente na\ la valeur de (x, est
•^(
^WiiHia
\-\ — |.
iriia
On trouve de la même manière les fonctions ç( y, /)» ç(5, /).
337.
On peut se convaincre que cette valeur de v résout la question dans toute son étendue, et que l'intégrale complète de l'équation aux diffé- rences partielles (a) doit nécessairement prendre cette forme pour ex- primer les températures variables du solide.
En effet, l'expression de (^ satisfait à l'équation (a) et aux conditions relatives à la surface. Donc les variations des températures qui résul- tent dans un instant de l'action des molécules et de l'action de l'air sur la surface sont celles que l'on trouverait en différentiant la valeur de {^ par rapport à /. Il s'ensuit que si, au commencement d'un instant, la fonction ^ représente le système des températures, elle représentera encore celles qui ont lieu au commencement de l'instant suivant, et l'on prouve de même que l'état variable du solide sera toujours ex- primé par la fonction ^, dans laquelle on augmentera continuellement
CHAPITRE Vin. - CUBE SOLIDE. â81
la valeur de /. Or cette même fonction convient a l'état initial : donc elle représentera tous les états ultérieurs du solide. Ainsi, l'on est assuré que toute solution qui donnerait pour v une fonction différente de la précédente serait erronée.
338.
Si l'on suppose que le temps écoulé / est devenu très grand, on n'aura plus à considérer que le premier terme de l'expression de r; car les valeurs n,, Wj, ... sont rangées par ordre, en commençant par la plus petite. Ce terme est donné par l'équation
/sin/i,a\' ,. ,,
voilà donc l'état principal vers lequel le système des températures tend continuellement, et avec lequel il coïncide sans erreur sensible au bout d'un certain temps. Dans cet état, la température de chacun des points décroît proportionnellement aux puissances de la fraction ^~^K; alors les états successifs sont tous semblables ou plutôt ils ne difie- rent que par la quantité des températures, qui diminuent toutes comme les termes d'une progression géométrique en conservant leurs rapports.
On trouvera facilement, au moyen de l'équation précédente, la loi suivant laquelle les températures décroissent d'un point à l'autre dans le sens des diagonales ou des arêtes du cube, ou enfin d'une ligne donnée de position. On reconnaîtra aussi quelle est la nature des sur- faces qui déterminent les couches de même température. On voit que, dans l'état extrême et régulier que nous considérons ici, les points d'une même couche conservent toujours la mémo température, ce qui n'avait point lieu dans l'état initial et dans ceux qui lui succèdent im- médiatement. Pendant la durée infinie de ce dernier état, la masse se divise en une infinité de couches dont tous les points ont une tempéra- ture commune.
382 THÉORIE DE LA CHALEUR.
339.
Il est facile de déterminer, pour un instant donné, la température moyenne de la masse, c'est-à-dire celle que l'on obtiendrait en prenant la somme des produits du volume de chaque molécule par sa tempéra- ture et en divisant celte somme par le volume entier. On formera ainsi
l'expression — ^-^ / / i vdxdydz^ qui est celle de la température
moyenne V. L'intégrale doit être prise successivement par rapport à x^ à j et à 5, entre les limites — a et a; v étant égal au produit XYZ, on aura
(iay\ ^ Ç\dx Ç\ dy Çldz;
ainsi la température moyenne est ( / "t~~) 5 ^^^ '^^ \.to\^ intégrales totales ont une valeur commune; donc
La quantité na équivaut à e, qui est une racine de l'équation
ha £ lange = -^,
et (X est égale à - ( n- ^'"^^V On a donc, en désignant les différentes racines de cette équation par e^, e^, . . .,
e "•
2 '^ \ ^1 / sin2ei \ Êî /
sin2£.
H ^ " ' IH
2£i 2£i
£, est entre o et-, e^^st entre t: et — > •••; les moindres limites tt, 21:, ...
approchent de plus en plus des racines £,, e,, ... et finissent par se confondre avec elles lorsque l'indice « est très grand. Les arcs doubles 2£,, 262, .. . sont compris entre o et ir, entre itz et Sir, ...; c'est pour-
CHAPITRE VIII. - CUBE SOLIDE. 383
quoi les sinus de ces arcs sont tous positifs; les quantités i
Sin2£,
s
I ^ _j, ... sont positives et comprises entre i et 2. Il suit de là que
tous les termes qui entrent dans la valeur de \/\ sont positifs.
340.
Proposons-nous maintenant de comparer la vitesse du refroidisse- ment dans le cube à celle que Ton a trouvée pour une masse sphé- rique. On a vu que, pour l'un et l'autre de ces corps, le système des températures converge vers un état durable qu'il atteint sensiblement après un certain temps; alors les températures des différents points du cube diminuent toutes ensemble en conservant les mêmes rapports, et celles d'un seul de ces points décroissent comme les termes d'une pro- gression géométrique, dont la raison n'est pas la même dans les deux corps. Il résulte des deux solutions que, pour la sphère, la raison est
<?-*"*, et, pour le cube, e *'' . La quantité n est donnée par l'équa- tion
cos na h
sxnna K
a étant le demi-diamètre de la sphère; et la quantité £ est donnée par l'équation
£ lange =1^ a,
a étant le demi-côté du cube.
Cela posé, on considérera deux cas différents : celui où le rayon de la sphère et le demi-côté du cube sont l'un et l'autre égaux à a, quan- tité très petite ; et celui où la valeur de a est très grande.
Supposons d'abord que les deux corps ont une petite dimension ;
-^ ayant une très petite valeur, il en sera de même de e; on aura donc
ha
K -^ '
_ 3E « ^ _ JJi_
donc la fraction e "' est égale à e ^""; ainsi les dernières tempéra-
38i THÉORIE DE LA CHALEUR.
tures que l'on observe ont une expression de cette forme
Ae c««.
Si maintenant, dans Téquation
nacosna h
snina K
on suppose que le second membre diffère très peu de l'unité, on trouve
h «*a
SA
donc la fraction e~^"' est e ^*^".
On conclut de là que, si le rayon de la sphère est très petit, les vi- tesses finales du refroidissement dans ce solide et dans le cube circon- scrit sont égales et qu'elles sont l'une et l'autre en raison inverse du rayon; c'est-à-dire que, si la température d'un cube dont le demi-côté est a passe de la valeur A à la valeur B dans le temps /, une sphère dont le demi-diamètre est a passera aussi dans le même temps de la température A à la température B. Si la quantité a venait à changer pour l'un et l'autre corps et devenait a', le temps nécessaire pour passer de A à B aurait une autre valeur /' et le rapport des temps t et /' serait celui des demi-côtés a et a'.
Il n'en est pas de même lorsque le rayon a est extrêmement grand ;
car £ équivaut alors à -> et les valeurs de na sont les quantités tt, 21:, Si:, — On trouvera donc facilement, dans ce cas, les valeurs des frac-
tions e ''' , e~^"*; ces valeurs sont e *"' et e "\ On tire de là ces deux conséquences remarquables :
i° Etant donnés deux cubes de grandes dimensions, dont a et a' soient les demi-côtés, si le premier emploie le temps / pour passer de la température A à la température B, et le second le temps /' pour ce même intervalle, les temps / et /' seront proportionnels aux carrés a^
CHAPITRE Vni. — CUBE SOLIDE. 385
et a'^ des demi-côtés. On a trouvé un résultat semblable pour le^ sphères de grande dimension.
2° Si un cube a pour demi-côté une longueur considérable a, et qu'une sphère ait la même quantité a pour rayon, et que pendant le temps / la température du cube s'abaisse de A à B, il s'écoulera un temps différent t pendant que la température de la sphère s'abaissera de  à B; et les temps t et t seront dans le rapport de 4 à 3.
Ainsi le cube et la sphère inscrite se refroidissent également vite lorsqu'ils ont une petite dimension ; et, dans ce cas, la durée du refroi- dissement est, pour l'un et l'autre corps, proportionnelle à l'épaisseur. Si le cube et la sphère inscrite ont une grande dimension, la durée du refroidissement final n'est pas la même pour 4es deux solides. Cette durée est plus grande pour le cube que pour la sphère, dans la raison de 4 à 3; et, pour chacun des deux corps en particulier, la durée du refroidissement augmente comme le carré du diamètre.
341.
On a supposé que le corps se refroidit librement dans l'air atmo- sphérique dont la chaleur est constante. On pourrait assujettir la sur- face à une autre condition et concevoir, par exemple, que tous ses points conservent, en vertu d'une cause extérieure, la température li^xe o. Les quantités n, p, q, qui entrent dans la valeur de ^ sous If^ signe cosinus, doivent être telles, dans ce cas, que nx devienne nulle lorsque œ reçoit sa valeur complète a, et qu'il en soit de même de py et de qz. Si le côté du cube 2a est représenté par tt, on pourra expri- mer une valeur particulière de ^ par l'équation suivante, qui satisfait en même temps à l'équation générale du mouvement de la chaleur et à l'état de la surface,
i' =z: e ^'^ cosjc cos/ coaz.
Cette fonction est nulle, quel que soit le temps /, lorsque x, ou j, ou z reçoivent leurs valeurs extrêmes h — ou ; mais l'expression de la
386 THÉORIE DE LA CHALEUR.
température ne peut avoir cette forme simple qu'après qu'il s'est écoulé un temps considérable, à moins que l'état initial donné ne soit lui- même représenté par la fonction cos^cosj'coss. C'est ce que Ton a supposé dans la Section VHI du Chapitre I (art. 100, p. 8i). L'analyse précédente démontre la vérité de l'équation employée dans l'article que l'on vient de citer.
On a traité jusqu'^ici les questions fondamentales de la Théorie de la chaleur et considéré l'action de cet élément dans les corps princi- paux. L'ordre et l'espèce des questions ont été tellement choisis que chacune d'elles présentât une difficulté nouvelle et d'un degré plus élevé. On a omis a dessein les questions intermédiaires, qui sont en trop grand nombre, tqjles que la question du mouvement linéaire de la chaleur dans un prisme dont les extrémités seraient retenues à des températures fixes, ou exposées à l'air atmosphérique. On pourrait généraliser l'expression du mouvement varié de la chaleur dans le cube ou le prisme rectangulaire qui se refroidit dans un milieu aéri- forme, et supposer un état initial quelconque i ces recherches n'exi- gent point d'autres principes que ceux qui sont expliqués dans cet Ou- vrage.
CHAPITRE IX.
DE LA DIFFUSION DE LA CHALEUU.
SECTION I.
DU MOUVEMENT LIBRE DE Lk COALEUR DANS UNE LIGNE INFINIE.
342.
On considère ici le mouvement de la chaleur dans une masse solide homogène dont toutes les dimensions sont infinies. On divise ce solide par des plans infiniment voisins et perpendiculaires à un axe commun, et Ton suppose d'abord qu'on a échauffé une seule partie de la masse, savoir celle qui est comprise entre deux plans A et B parallèles, dont la distance est g. Toutes les autres parties ont la température ini- tiale o; mais chacun des plans compris entre A et B a une température initiale donnée, que Ton regarde comme arbitraire, et qui est commune à tous ses points; cette température est différente pour les différents plans. L'état initial de la masse étant ainsi défini, il s'agit de déter- miner par le calcul tous les états successifs. Le mouvement dont il s'agit est seulement linéaire, et dans le sens de l'axe des plans; car il est évident qu'il ne peut y avoir aucun transport de chaleur dans un plan quelconque perpendiculaire à cet axe, puisque la chaleur initiale de tous ses points est la même.
On peut supposer, au lieu du solide infini, un prisme d'une très petijte épaisseur, et dont la surface convexe est totalement impéné- trable à la chaleur. On ne considère donc le mouvement que dans une ligne infinie, qui est l'axe commun de tous les plans.
La question est plus générale lorsqu'on attribue des températures
388 THÉORIE DE LA CHALEUR.
entièrement arbitraires k tous les points de la partie de la masse qui a été échauffée, tous les autres points du solide ayant la température ini- tiale o. Les lois de la distribution de la chaleur dans une masse solide infinie doivent avoir un caractère simple et remarquable, parce que le mouvement n'est point troublé par l'obstacle des surfaces et par l'ac- tion du milieu.
343.
La position de chaque point étant rapportée à trois axes rectangu- laires, sur lesquels on mesure les coordonnées x^ y, z, la température cherchée est une fonction des variables ^, r, z et du temps /. Celte fonction (^ ou ^[x, y, z, t) satisfait k l'équation générale
De plus, il est nécessaire qu'elle représente l'état initial, qui est arbi- traire; ainsi, en désignant par Y[x^y,z) la valeur donnée delà tem- pérature d'un point quelconque, prise lorsque le temps est nul, c'est- à-dire au moment où la diffusion commence, on doit avoir
{b) ^{^O'y -, o) = F(x, y, z), .
11 faut trouver une fonction v des quatre variables x^ y, 5, t qui satis- fasse k l'équation différentielle [a) et k l'équation déterminée {b).
Dans les questions que nous avons traitées précédemment, l'inté- grale est assujettie k une troisième condition qui dépend de l'état de la surface. C'est pour cette raison que l'analyse en est plus composée et que la solution exige l'emploi des termes exponentiels. La forme de l'intégrale est beaucoup plus simple lorsqu'elle doit seulement satis- faire k l'état initial, et il serait facile de déterminer immédiatement le mouvement de la chaleur selon les trois dimensions. Mais, pour ex- poser cette partie de la théorie et faire bien connaître suivant quelle loi la diffusion s'opère, il est préférable de considérer d'abord le mou- vement linéaire, en résolvant les deux questions suivantes; on verra par la suite comment elles s'appliquent au cas des trois dimensions.
CHAPITRE IX.— DIFFUSION DE LA CHALEUR. 389
344.
Première question. — Une partie ab d'une ligne infinie est élevée dans tous ses points à la température i; les autres parties de la ligne ont la température actuelle o, on suppose que la chaleur ne peut se dissiper dans le milieu environnant; il faut déterminer quel est Tétat de la ligne après un temps donné. On peut rendre cette question plus générale en supposant : i^ que les températures initiales des points compris entre a et è sont inégales et représentées par les ordonnées d'une ligne quelconque, que nous regarderons d'abord comme com- posée de deux parties symétriques [yow Jîg. i6); i"" qu'une partie de la chaleur se dissipe par la surface du solide, qui est un prisme d'une très petite épaisseur et d'une longueur infinie.
La seconde question consiste à déterminer les états successifs d'une barre prismatique, dont une extrémité est assujettie à une tempéra- ture constante, et qui est infiniment prolongée.
La résolution de ces deux questions dépend de l'intégration de l'équation
di "" CD dx' CDS ^'
(art. 105), qui exprime le mouvement linéaire de la chaleur; v est la température que le point placé à la distance x de l'origine doit avoir après le temps écoulé /; K, H, C, D, L, S désignent la conducibilité propre, la conducibilité extérieure, la capacité spécifique de chaleur, la densité, le contour de la section perpendiculaire, et l'aire de cette section.
345.
Nous considérons d'abord le premier cas, qui est celui où la chaleur se propage librement dans la ligne infinie dont une partie ab a reçu des températures initiales quelconques, tous les autres points ayant la température initiale o. Si l'on élève en chaque point de la barre l'or- donnée d'une courbe plane qui représente la température actuelle de ce point, on voit qu'après une certaine valeur du temps /, l'état du
390 THÉORIE DE LA CHALEUR,
solide est exprimé par la figure de la courbe. Nous désignerons par ç=^¥(^x) Téquation donnée qui correspond à l'état initial, et nous sup- posons d'abord, pour rendre le calcul plus simple, que la figure ini- tiale de la courbe est composée de deux parties symétriques, en sorte que Ton a la condition
Soit
dans l'équation
on fera
et Ton aura
|
Cl) ' |
IIL cus~ |
h; |
|
dv dt |
an- |
|
|
(•: |
— e-'"u. |
|
|
du dt |
,d'u -Sx'' |
On prendra pour u la valeur particulière ae~^^*^cosqx; a et ç sont des constantes arbitraires. Soient y,, ^2, y,, ... une suite de valeurs quel- conques de y, et a,, a^, «s, • . . une suite de valeurs correspondantes jlu coefficient a; on aura
Supposons : i® que les valeurs ^r,, y^, y,, ... croissent par degrés in- finiment petits, comme les abscisses g d'une certaine courbe, en sorte qu'elles deviennent égales à dq, adq, 3dq, ..., dq étant la différentielle constante de l'abscisse; 2° que les valeurs a,, a^, a^, ... soient pro- portionnelles aux ordonnées Q de la même courbe, et qu'elles devien- nent égales à Qidq, Qzdq^ Qzdq, ..., Q étant une certaine fonction de q. Il en résulte que la valeur de u pourra être exprimée ainsi
à :=z f Qe'^''*' COSq a: dq ,
Q est une fonction arbitraire /(y), et l'intégrale peut être prise de q=zo à ,y = 00. La difficulté se réduit a déterminer convenablement la fonction Q.
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 39!
346.
Pour y parvenir, il faut supposer t=o dans l'expression de u et régaler à Y{x). On a ainsi Féquation de condition
F(jr) = yO COS^.r dq.
Si Ton mettait au lieu de Q une fonction quelconque de q, et que Ton achevât l'intégration depuis y = o jusqu'à y = qo, on trouverait une fonction de x\ il s'agit de résoudre la question inverse, c'est-à-dire de connaître quelle est la fonction de q qui, étant mise au lieu de Q, don- nera pour résultat la fonction F(ir), prohlëme singulier dont la solution exige un examen attentif.
En développant le signe de l'intégrale, on écrira comme il suit l'équation dont il faut déduire la valeur de Q
¥{x) m QiCOS^i J7f/^-*- Q^COSqtX dq -h QtCO^q^xdq -f-. . . .
Pour faire disparaître tous les termes du second membre, excepté un seul, on multipliera de part et d'autre par co^rxdx, et l'on intégrera ensuite par rapport à x depuis a? = o jusqu'à a? = /iir, n étant un nombre infini; r représente une grandeur quelconque égale à l'une des suivantes
7l> ^t» 73>
ou, ce qui est la même chose.
dq^ *idq^ Sdq,
• • • •
Soient y,- une valeur quelconque de la variable y, et qj une autre valeur qui est celle que l'on a prise pour r; on aura
r = jdq
et
q =. idq.
On considérera ensuite le nombre infini n ^comme exprimant com-
392 THÉORIE DE LA CHALEUR.
bien l'unilé de longueur contient de fois l'élément dq, en sorte que Ton
aura
I
dq
En procédant à l'intégration, on reconnaîtra que la valeur de l'inté- grale / cosy^cosr^rrfj:- est nulle toutes les fois que r et y sont des
grandeurs différentes; mais cette même valeur de l'intégrale est —
lorsque q=^r. Il suit de là que l'intégration élimine dans le second membre tous les termes, excepté un seul, savoir celui qui contient qj ou r. La fonction qui affecte ce même terme est Qy; on aura donc
/ITT
i
Xà
et, mettant pour ndq sa valeur i, on a
2
■^ = i F(vr) cosqxdx;
on trouve donc, en général,
-^ = / F{x)cosgjrd.r.
Ainsi, pour déterminer la fonction Q qui satisfait à la condition pro- posée, il faut multiplier la fonction donnée F(.r) par cosy^rr/.r, et in- tégrer de a? nulle k a: infinie, en multipliant le résultat par -j c'est- à-dire que, de l'équation
¥{x) — I f{q) cosqjcdq,
on déduit celle-ci
/{q)=i- I V{x)cosqœdjr.
Va\ substituant la valeur de f[q) dans l'expression de V[x), on obtient l'équation générale
(c) --V{x)=zl cosiqjcdq I ¥{x')cosqJcd.r.
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 393
347.
La fonction ¥{œ) représentant les températures initiales d'un prisme infini dont une partie intermédiaire seulement est échauffée, si Ton substitue dans l'expression de v la valeur que l'on a trouvée pour la fonction Q, on a l'intégrale suivante, qui contient la solution complète de la question proposée :
L'intégrale par rapport à x étant prise de x nulle à x infinie, il en résulte une fonction de q; et, prenant ensuite l'intégrale par rapport à y de y = o à y = Qo, on obtient pour s^ la fonction de a? et / qui repré- sente les états successifs du solide.
Puisque l'intégration par rapport à x fait disparaître cette variable, on peut la remplacer dans l'expression de ^ par une variable quel- conque a, en prenant l'intégrale entre les mêmes limites, savoir depuis a :i= o jusqu'à a = oo. On a donc
— = g-'" / e-^i*' cos q X dq I F(a)cosqad(x,
OU
-^ z=:e;-^' / F{(x)doc f e-^'i^'cosqx cosqadq.
L'intégration par rapport à q donnera une fonction de â?, / et a; et, en prenant l'intégrale par rapport à a, on trouve une fonction de a: et ^ seulement. Il serait facile d'effectuer, dans la dernière équation, l'in- tégration par rapport à y, et l'on changerait ainsi l'expression de c^. On peut, en général, donner diverses formes à l'intégrale de l'équation
# -
dt dx^ '
elles représentent toutes une même fonction de x et /.
F. 5o
394 THÉORIE DE LA CHALEUR.
348.
Supposons en premier lieu que toutes les températures initiales des points compris entre a et b, depuis j? = — i jusqu'à x = i^ aient pour valeur commune i, et que les températures de tous les autres points soient nulles. La fonction Y{x) sera donnée par cette condition. Il faudra donc intégrer, par rapport à x, depuis x = o jusqu'à x=\; car le reste de l'intégrale est nul d'après l'hypothèse. On trouvera ainsi
__ ^ sin<7 et
Le second membre peut être facilement converti en série convergente, comme on le verra par la suite; il représente exactement l'état du solide en un instant donné et, si l'on y fait / = o, on exprime l'état initial.
Ainsi la fonction
îfsi
dq smr? Ç.O%qx-^
7
équivaut à l'unité si l'on donne à a? une valeur quelconque comprise entre — i et r, mais cette fonction est nulle si l'on donne à x toute autre valeur non comprise entre — i et i. On voit par là que les fonc- tions discontinues peuvent aussi être exprimées en intégrales définies.
■
349.
Pour donner une seconde application de la formule précédente, nous supposerons que la barre a été échauffée en un de ses points par l'action constante d'un même foyer, et qu'elle est parvenue à l'état permanent que l'on sait être représenté par une courbe logarith- mique.
Il s'agit de connaître suivant quelle loi s'opérera la diffusion de la chaleur après qu'on aura retiré le foyer. En désignant par f{x) la va-
CHAPITRE IX. ^ DIFFUSION DE LA CHALEUR. 395
leur initiale de la température, on aura (art. 76)
/HL
F(x) = Ae ^"^^
A est la température Initiale du point le plus échauffé. On fera, pour simplifier le calcul.
On a donc on en déduit
F(x)=:e-';
2
= / e"' cosqxdx
et, prenant l'intégrale de x nulle à x infinie,
7rO_ I
2 ~ I -h O*
Ainsi la valeur de ^ en a; et / est donnée par l'équation suivante :
2
1 '-H7'
350.
Si Ton fail / = o, on aura
m* /•* cos<7J? ,
ce qui correspond à l'état initial. Donc l'expression - / — -^dq équi- vaut à e'^. il faut remarquer que la fonction ¥[x), qui représente l'état initial, ne change point de valeur, d'après l'hypothèse, lorsque x de- vient négative; car la chaleur communiquée par le foyer avant que l'état initial fût formé s'est propagée également à la droite et à la gauche du point o qui la reçoit immédiatement. Il s'ensuit que la ligne dont l'équation serait
2 /** cosqjr ,
396 THEORIE DE LA CHALEUR.
est composée de deux branches symétriques que l'on forme en répé- tant, à gauche de Taxe dey^ la partie de la logarithmique qui est à la droite de cet axe et a pour équation
On voit ici un second exemple d'une fonction discontinue exprimée par une intégrale définie (*). Cette fonction - / — ^ dq équivaut à e'-* lorsque x est positive; mais elle est é^ lorsque x est négative.
351.
La question de la propagation de la chaleur dans une barre infinie dont l'extrémité est assujettie à une température constante se réduit, comme on le verra dans la suite, à celle de la diffusion de la chaleur dan^ une ligne infinie; mais il faut supposer que la chaleur initiale, au lieu d'affecter également les deux moitiés contiguës du solide, y est distribuée d'une manière contraire; c'est-à-dire qu'en représentant par F(^) la température d'un point dont la distance au milieu de la ligne est x, la température initiale du point opposé, pour lequel la dis- tance est — £F, a pour valeur — F(a;). Cette seconde question diffère très peu de la précédente et pourrait être résolue par une méthode sem- blable; mais il est préférable de faire dépendre sa solution de l'analyse qui nous a servi à déterminer le mouvement de la chaleur dans les solides de dimensions finies.
Supposons qu'une partie aft [fis* ^^) ^® '^ barre prismatique infinie soit échauffée d'une manière quelconque et que la partie opposée a ^ soit dans un état pareil, mais de signe contraire, tout le reste du solide ayant la température initiale o. On suppose aussi que le milieu envi- ronnant est entretenu à la température constante o, et qu'il reçoit de la barre ou lui communique la chaleur par la surface extérieure. Il
(1) 11 ne s'agit plus ici d'une fonction réellement discontinue, mais plutôt d'une fonction exprimée par deux lois diiïérontcs suivant que la variable est positive ou négative.
G. D.
CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR. 397
s'agit de trouver quelle sera, après un temps donné /, la température i^ d'un point dont la distance à l'origine est x.
Fîg. i6.
I
.1.
^
y
xf a
\
a:' \ ^^Q
^rH 'A,
5<-
On considérera d'abord la barre échauffée comme ayant une longueur finie 2X, et comme étant soumise à une cause extérieure quelconque qui retient ses deux extrémités à la température constante o; on fera ensuite X = oo,
362,
On emploiera d'abord l'équation
às^ K d*'v HL
ou
dt "" CD dx^ CDS *'
dt dx^
et, faisant
on aura
:= we-^',
du __ jrd^u dt "~ d^*
On exprimera comme il suit la valeur générale de //
faisant ensuite a? = X, ce qui doit rendre nulle la valeur de ^, on aura, pour déterminer la série des exposants g^ la condition
sin^X = o ou gX^zin^
398 THÉORIE DE LA CHALEUR.
/ étant un nombre entier. Donc
i/ = aie '^ sin -TT- -4- a,e * sma -y" H-
il ne reste plus qu'à trouver la série des constantes a,, a^, a,, — Fai- sant / = o, on a
TZ JC TZ ce TT «^f
u ■=. l^{x) == a|SÎn-Y~ "♦" «îSinQ -y- 4-ûf, sinS-Y" -H
Soit •^ =r, et désignons F(a7) ou F( — j par/(r); on aura
/"(r) =z a|Sinr bassina/' -+- a|Sin3/-+-
Or on a trouvé précédemment
ai= - I /{r)s\nirdr;
donc
F(a?)sini-s7-rfa\
Xa,-
2
L'intégrale devait être prise der = oàr = Tc; donc elle doit être prise, par rapport à x, depuis œ = o jusqu'à a? = X. En faisant ces substitu- tions, on forme l'équation
€ * sm-^ / ¥ {x) s\n -:^ da;
e ^
sin2-=T- I F(J7) sin2- c/^ -h. . . j .
353.
Telle serait la solution si le prisme avait une longueur Knie repré- sentée par 2X. Elle est une conséquence évidente des principes que nous avons posés jusqu'ici; il ne reste plus qu'à supposer la dimen- sion X infinie. Soit X = /itc, n étant un nombre infini ; soit aussi q une variable dont les accroissements infiniment petits dq sont tous égaux;
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 399
on écrira j- au lieu de /i. Le terme général de la série qui entre dans Téquation [a) étant
e ^ sin«-r^l t(a?) sini-^- a-F,
on représentera par ~ le nombre i, qui est variable et qui devient in- fini. Ainsi Ton aura
V TT \ . q
X z= -7- , n=: -j-f lz= -j- *
dq dq dq
En faisant ces substitutions dans le terme dont il s'agit, on trouvera
^-^^''sin^JT / l?{x)^\tïqxdx.
(Chacun de ces termes doit être divisé par X ou ^ : il devient par là
une quantité infiniment petite, et la somme de la série n'est autre chose qu'une intégrale, qui doit être prise par rapport à çr de 7 = o à ^ = 00. Donc
(a) vz=. -e-^' / e-^'i*^i\ïiqxdq 1 ¥{x)s\nqxdx.
L'intégrale par rapport à x doit être prise de x = o a x =z x>, ce qui donne une fonction de q; et la seconde intégrale doit être prise par rapport à y de 7 = o à y = oo. On peut aussi écrire
— = e-^' I e-^^^'s'inqxdq I ¥ {a) sïn q a doi
ou
nv r* /**
-- — e-^^l ¥{oi)dix j e-''^*^s'\nqxs\nqadq.
L'équation (a) contient la solution générale de la question ; et, en sub- stituant pour F (.r) une fonction quelconque, assujettie ou non à une loi continue, on pourra toujours exprimer en a? et / la valeur de la température : il faut seulement remarquer que la fonction F(.r) cor- respond à une ligne formée de deux parties égales et alternes.
400
THÉORIE DE LA CHALEUR.
354.
Si la chaleur initiale est distribuée dans le prisme de telle manière que la ligne FFFF [fig. 17) qui représente cet état initial soit formée
Fiff. 17,
de deqx arcs égaux placés à droite et à gauche du point fixe o, le mou- vement variable de la chaleur est exprimé par Téquation
T^V /"* /**
— 1= e-*' / F(a) dcf. 1 e-^'^^^'cosqxcosqadq.
Si la ligne ^/^(yîg-. 18} qui représente l'état initial est formée de
Fig. 18.
deux arcs pareils et alternes, l'intégrale qui donne la valeur de tempe-
«
rature est
— =L €^^' I /{a)d(X I e~^^*'s\nqœs\nqadq.
Lorsqu'on supposera la chaleur initiale distribuée d'une manière quel- conque, il sera facile de conclure des deux solutions précédentes l'ex- pression de ^. En effet, quelle que soit la fonction ç (a?) qui représente la température initiale et donnée, elle se décompose toujours en deux autres F (a?) 4-/(^), dont l'une correspond à la ligne FFFF, et l'autre à la Vif^ne////^ en sorte que l'on a ces trois conditions :
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. Wl
On a déjà fait usage de cette remarque dans les articles 233 et 234. On sait aussi que chaque état initial donne lieu à un état variable par- tiel qui se forme comme s'il était seul; la composition de ces divers états n'apporte aucun changement dans les températures qui auraient lieu séparément pour chacun d'eux. Il suit de là qu'en désignant parc la température variable produite par l'état initial que représente la fonction totale 7(^)9 on doit avoir
4-1 e-''^*^ s'in q X dq I' /(a) sinyarfa 1 .
Si l'on prenait entre les limites — oo et + qo les intégrales par rap- port à a, il est évident que l'on doublerait les résultats. On peut donc, dans l'équation précédente» omettre au premier membre le dénomina- teur 2, et prendre dans le second les intégrales pour a depuis a = — oc jusqu'à a = H-oo. On voit facilement aussi que l'on pourrait écrire
f (p(a j cos^a doL au lieu de / F(a) cosça doL ; car il résulte de la condition à laquelle est assujettie la fonction /(a) que l'on doit avoir
0=1 /(a)cosqadx.
«/ _ «D
On peut encore écrire / <f{oL)s\nqoLdoL au lieu de / /[oLJ^inqoLdoL, car on a évidemment
o = / ¥{a)s\nqoidx.
On en conclut
rr = e-'"/ e-*^''r/^| / <f{x)cosqoicosqxda -{- I <^{oL)s\nqots\nqa: dsLl
OU
Tzç^ze-'*' I e'''*i*^dq l <p(a)cos7(j: — a)^a F. 01
402 THÉORIE DE LA CHALEUR.
ou
nv = e-'^'l <p(a)(fa/ e^'^''*' cos g {x — a) dq.
355.
La solution de celte seconde question fait connaître dislinctemenl quel rapport il y a entre les intégrales définies que nous venons d'em- ployer et les résultats de l'analyse que nous avons appliquée aux solides d'une figure déterminée. Lorsque, dans les séries convergentes que cette analyse fournit, on donne aux quantités qui désignent les dimensions une valeur infinie, chacun des termes devient infiniment petit, et la somme de la série n'est autre chose qu'une intégrale. On pourrait passer directement de la même manière, et sans aucune con- sidération physique, des diverses séries trigonométriques que nous avons employées dans le Chapitre III aux intégrales définies; il nous suffira de donner quelques exemples de ces transformations dont les résultats sont remarquables.
35G.
Dans l'équation
- z= sinw -H 7ï sinSw H- -sinS^i h — sin 7 «-+-.. .,
4 3 5 7 '
donnée aux articles 184 et 222, on écrira au lieu de u la quantité -;
X est une autre variable et n est un nombre infini égal à -y-; q est une
quantité formée successivement par l'addition de ses parties infini- ment petites égales à dq. On représentera le nombre variable i par
-7^- Si, dans le terme général —. sin (2/ 4- i)-, on met pour 1 et n
dq ^ 2 i -h I ^ ^ n *^
leurs valeurs, ce terme deviendra —çXniqx. Donc la somme de la
'Aq *
série sera
dq <1
- I su
2j
CHAPITRE IX. — DIFFUSION DE LA CHALEUR. 403
l'intégrale étant prise dey = oay = oo;ona donc Téquation
dq
qui a toujours lieu quelle que soit la valeur positive de x. Soit 2qx=zr, r étant une nouvelle variable, on aura
dq dr
— —— el
- = 1 sin/- — :
f sinr— est connue depuis long-
0
temps. Si, en supposant r négatif, on prenait la même intégrale de
r= o k r = — oc, on aurait évidemment un résultat de signe contraire
7:
Q
357. La remarque que nous venons de faire sur la valeur de Tintégralo / siny^r — , qui est - ou — -, peut servir à faire connaître la nature
t'y y A À
de l'expression
2 r- dq
dont nous avons trouvé précédemment (art. 348) la valeur égale à i ou à o, selon que x est ou n'est pas comprise entre r et — i. En effet, on a
/dq I r . / .dq i T . , . dq
COSq.TSinq-^=z-J sin^(j? -h i) -^ _^Jsin7(x-i)-i;
le premier terme vaut j ou — 7' selon que x-\-i est une quantité
positive ou négative; le second - j s'inq{x — 1) — vaut y ou — 7»
selon que x— i est une quantité positive ou négative. Donc l'intégrale totale est nulle si ^ h- 1 et a?— 1 ont le même signe; car, dans ce cas, les deux termes se détruisent; mais, si ces quantités sont de signe dif- férent, c'est-a-dire si l'on a en même temps ir4-i>o eto:— i<;o,
les deux termes s'ajoutent et la valeur de l'intégrale est -• Donc i'inté-
Mk
THÉORIE DE LA CHALEUR.
grale définie - / smqcosqx-^ est une fonction de x égale à i , si la
variable x a une valeur quelconque comprise entre i et — i ; et cette même fonction est nulle pour toute autre valeur de x non comprise entre les limites i et — i.
358.
On pourrait déduire aussi de la transformation des séries en inté- grales les propriétés des deux expressions
3 r"^ COSqjrdq 3 r* qstnqxdq
La première (art. 350) équivaut à e~^ lorsque x est positive, et à r' lorsque x est négative. La seconde équivaut à e'^ si x est positive, et à — e^ si a? est négative; en sorte que ces deux intégrales ont la même valeur lorsque x est positive, et ont des valeurs de signe contraire
Fig. JQ.
¥iQ, 30.
K
1
lorsque x est négative. L'une est représentée par la ligne eeee{Jîg. 19), l'autre par la ligne eeee (y?^. 20). L'équation (*)
1 . TTJ? sinasinjT sinaasins^r sinSasînS^r
Sm = :: : h
aa a tt' — a' ' tt* — a'a* ' t:* — 3*a'
I TZJC
(*) Plus exactement, le second membre de Téquation est égal à — sin — si la
variable x est comprise entre o et a; il est égal à zéro si x est comprise entre a et ic. Pour retrouver l'intégrale déterminée par Fourier, il suffit de suivre sa méthode en rem- plaçant dans le terme général de la série
sa sin/7igt sinmx
ir* — m* a*
a, X, m respectivement par izdq, xdq^ -^*
G. D.
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. W5
que nous avons rapportée (art. 226), donne immédiatement Tintégralc ^ I — __ ; — -; cette dernière expression équivaut a s\nx si x est
comprise entre o et ir, et sa valeur est nulle toutes les fois que œ sur- passe TT.
359. La même transformation s'applique à l'équation générale
faisant « = ^» on désignera 9(m), ou î(^)> par /(^); on introduira
dans le calcul une quantité q qui reçoit des accroissements infiniment
petits, égaux kdq; n sera égal a -^ et r à —-; substituant ces valeurs dans le terme général
. ,x r ( x\ , .X dx
sm*— /q>| — isini 1
' /i J ^ \ /* / n n
on trouvera
dq '^Wkqœ 1 /{x)s\nqxdx.
L'intégrale par rapport à u est prise deM = oàM = Tc; donc l'inté- gration par rapport à x doit avoir lieu de â? = o à â:^ = ni:, ou de a; nulle à 07 infinie.
On obtient ainsi un résultat général exprimé par cette équation
{e) - f{x) = I sinqxdq I /{x)sinqxdx;
c'est pourquoi, en désignant par Q une fonction de g telle que l'on ait
/(«)~ / Qsïnqudq,
équation dans laquelle f{u) est une fonction donnée, on aura
Q=- j /{u)sinqudUf
l'intégrale étant prise de u nulle à u infinie. Nous avons déjà résolu
406 THÉORIE DE LA CHALEUH.
une question semblable (art. 346) et démontré Téquation générale
(£) -F(j:)=:/ COSq:rdql ¥{jt')co^(j^r dx,
qui est analogue à la précédente.
360.
Pour donner une application de ces théorèmes, nous supposerons f[x)=af] le second membre de l'équation (e) deviendra par cette substitution
/ sin fj.vdrj I œ^ %n\f]x dx,
• 0 «-0
L'intégrale
I x^sïncjxdx ou —^r^ f qiç^^y^'ii^Ç-cdx
équivaut à -^^ j u''sii\udu, l'intégrale élant prise de u nulle à u in- finie. Soit uL cette intégrale totale
/ Wsiiiudu;
* 0
il reste à prendre l'intégrale
/ sin<7J7-^rf</ ou [xx^ j u-^'*^^"^ sïim du.
Désignant par v cette dernière intégrale prise de u nulle à u infinie, on aura pour résultat des deux intégrations successives le terme cT^ulv. On doit donc avoir, selon la condition exprimée par l'équation (e),
-X'^zilTJX'^ OU |ULV:=-;
f u''s\niidu ei f i/"''sinw— est
-' Par exemple, en faisant r= > on trouve pour / — ^ - sa va-
leur connue
vAl
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 407
On trouve de la même manière
/cosudu /t:
et, de ces équations, on pourrait aussi conclure la suivante
/
0 ^
qui est employée depuis longtemps (').
361.
On peut résoudre au moyen des équations [e) et (e) le problème suivant, qui appartient aussi à l'analyse des différences partielles : Quelle est la fonction Q de la varifible q qui doit être placée sous le
signe intégral pour que l'expression j Qe'^^dq soit égale à une fonc- tion donnée, l'intégrale étant prise de q nulle à q infinie? Mais, sans s'arrêter à ces diverses conséquences, dont l'examen nous éloignerait de notre objet principal, on se bornera au résultat suivant, que l'on obtient en combinant les deux équations {e) et (e). Elles peuvent être mises sous cette forme
^f{x)z=zl sinqxdqj /{(x)sïnqoLd<x
et
-F(oc)=i/ cosqjcdq I F{a) cos q a dct.
Si l'on prenait les intégrales par rapport à a depuis —x» jusqu'à -f-oc, le résultat de chaque intégration serait doublé, ce qui est une consé- quence nécessaire dés deux conditions
/(«)=-/(- «) et F(«) = F(- «); (») Pair, plus loin, art. 407. G. D.
408 THÉORIE DE LA CHALEUR.
on a donc les deux équations
et
7r/(x)=/ sinqjcdq l /{(x)siagacix irF(j7)=/ cosqxdq I ¥{(x)cosgad<x.
On a remarqué précédemment qu'une fonction quelconque f (a;) se décompose toujours en deux autres, dont Tune Ffrr) satisfait à la con- dition F(ir) == F(— j?), et dont l'autre /(^t?) satisfait à la condition f[x) =: — /(— x). On a aussi les deux équations
0=:/ ¥{(x)s\nqotd(x et 0=1 /(a)cosyarf«; on en conclut
sïnqa:dq j /{»)s\nqadx 4-/ COSqxdq I ¥{(x)C0Sqxdix
«< 0 «A. m
et
Sinqacdq I ç(«) siri^aûfa-4- / COS q a: dq 1 (f {a) cos q a dot
OU
o{a)da I (sîn^J?sin^a -hcos^xcos^a)^^ ou enfin
(E)
ç(a?) = -/ o{oL)d(x I COSq{x — (x)dq.
L'intégration par rapport à y donne une fonction de x et a, et la se- conde intégration ferait disparaître la variable a. Ainsi la fonction
représentée par l'intégrale définie / cosg'(.xr — oi)dq a celte singu-
lière propriété que, si on la multiplie par une fonction quelconque 9(a) et par da, et si l'on intègre par rapport à a entre des limites infi-
CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR. 409
nies, le résultat est égal à i:ç(x); en sorte que l'eflet de Tintégralion est de changer a en a; et de multiplier par le nombre ît ( * ).
(») L'intégrale
/**
cosg{jc — aL)dg
I
dont parle Fourier n*a aucune valeur déterminée; car on a
/
* , . , sin//(.r— a)
C0S<7(^ — oi)dq = -
jc — a
et le second membre ne tend vers aucune limite lorsque /i grandit indéfiniment. 11 semble donc difficile d'attacher un sens précis à la proposition énoncée dans ce dernier para- graphe.
La formule célèbre (E), que donne ici Fourier et à laquelle son nom est resté attaché, peut recevoir une signification très nette lorsqu'on la présente de la manière suivante :
Considérons une fonction (p(x), analogue à celles que l'on rencontre en Physique mathé- matique, demeurant comprise entre deux Jimites fixes lorsque jc varie de — » à h- oo, n'ayant qu'un nombre limité de discontinuités et de maxima ou de minima. Désignons, à l'exemple de Dirichlet (Journal de Crelle, t. 17), par «p(x-t-o) la limite do «p(A*H-/i) et par «p(ar — o) la limite de «p(x — /i) lorsque h tend vers zéro par des valeurs positives. Cela posé, on peut énoncer les propositions suivantes :
L'intégrale double
J(A,B,/i)=- / cp(a)rfa / cosq(x—7.)dq = - j dq j (^{a)cosq(j: — ct)da^
où /i est un nombre positif et où Ton a B < A, tend vers une limite déterminée J (.\, B,oo) lorsque, A et B restant fixes, // grandit indéfiniment. Cette limite est - [«p(.r+o)-i- cp(.r — o)]
si X est compris entre A et B, - <p(B -t- o) si o: est égal à B, - <p(A — o) si .r est égal à A,
o ^ïx est plus grand que A ou plus petit que B.
Il résulte de là que J(A, B, «>) a une limite déterminée Jo(-^) lorsque B et A tendent respectivement vers — » et -f- «, et que cette limite déterminée est égale à
^[o(x + o)-+-ç(.r— o)],
ou à <p(j?) lorsque ^{x) est continue pour la valeur de x considérée. Les propositions précédentes subsisteront alors même que la fonction <p(.r) deviendrait
infinie pour certaines valeurs de x, en nombre limité, pourvu que l'intégrale /^(x) dx demeure finie pour les valeurs de x qui rendent (p(x) infinie. G. D.
F. 52
MO THÉORIE DE LA CHALEUR.
362.
On pourrait déduire directement l'équation (E) du théorème, rap- porté dans Tarticle 234 (p. 23o et a3i), qui donne le développement d'une fonction quelconque ¥{x) en série de sinus et de cosinus d'arcs multiples. On passe de cette dernière proposition à celles que nous venons de démontrer en donnant une valeur infinie aux dimensions. Chaque terme de la série devient dans ce cas une quantité différen- tielle. Ces transformations des fonctions en suites trigonométriques sont des éléments de la Théorie analytique de la chaleur; il est indis- pensable d'en faire usage pour résoudre les questions qui dépendent de cette théorie.
La réduction des fonctions arbitraires en intégrales définies, telle que l'expriment l'équation (E) et les deux équations élémentaires dont elle dérive, donne lieu à diverses conséquences que l'on omettra ici, parce qu'elles ont un rapport moins direct avec la question physique. On fera seulement remarquer que ces mêmes équations se présentent quelquefois dans le calcul sous d'autres formes. On obtient, par exemple, ce résultat
(E') (f{x)=i- I (f{a)d(xl cos<7(j? — OL)dq^
qui diflere de l'équation (E) en ce que les limites de l'intégrale prise par rapport à a sont o et oo, au lieu d'être — c» et +qo. Il faut consi- dérer, dans ce cas, que les deux équations (E) et (E') donnent pour le second membre des valeurs égales lorsque la variable x est posi- tive. Si cette variable est négative, l'équation (E') donne toujours pour le second membre une valeur nulle. Il n'en est pas de même de l'équation (E), dont le second membre équivaut à ?(^), soit que l'on donne à x une valeur positive ou une valeur négative. Quant à l'équa- tion (E'), elle résout le problème suivant : Trousser une fonction de x telle que, si x est positive, la valeur de la fonction soit ^{x), et que, si x est négative, la valeur de la fonction soit toujours nulle.
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. Ul
363.
La question de la propagation de la chaleur dans une ligne infinie peut encore être résolue en donnant à l'intégrale de l'équation aux différences partielles une forme différente que nous ferons connaître dans l'article suivant. Nous examinerons auparavant le cas où la source de la chaleur est constante.
Supposons que, la chaleur initiale étant répartie d'une manière quelconque dans la barre infinie, on entretienne la tranche A à une température constante, tandis qu'une partie de la chaleur communi- quée se dissipe par la surface extérieure. Il s'agit de déterminer l'état du prisme après un temps donné, ce qui est l'objet de la seconde question que nous nous sommes proposée. En désignant par i la tem- pérature constante de l'extrémité A, par o celle du milieu, on aura
^ ' *""* pour l'expression de la température finale du point situé à la distance x de cette extrémité. Désignant par (^ la température variable du même point après le temps écoulé /, on a, pour déterminer ç^, cette équation
d^ JK_ ^ _ HL ât "^ CD du-* CDS
-i\
Soit maintenant
/m.
on aura
ou
ôii' _ _K_ ^' _ JWL , di ~ CD ô.i'' CDS "
en remplaçant ttjt par k et pr-v^r par h. Si l'on fait «'= e~^^u, on a
Cl) ^ CDS
du , d^ u
— — — fi^ — —
ôt d.r
1
U2 THEORIE DE LA CHALEUR.
— X
La valeur de u' ou ^ — e *^^ est celle de la différence entre la tem- pérature actuelle et la température finale; cette différence u\ qui tend de plus en plus à s'évanouir, et dont la dernière valeur est nulle, équi- vaut d'abord à
en désignant par F{x) la température initiale d'un point situé à la distance x. Soit /{x) cet excès de la température initiale sur la tem- pérature finale, il faudra trouver pour u' une fonction qui satisfasse à
l'équation
du' ,d'u' , ,
-T— =1 a:-t— 7 — nu ,
qui ait pour valeur initiale /(^), et pour valeur finale, o. Au point A,
-xv*V- oii X est égal à o, la quantité ^^ — e *^^ a, par hypothèse, une valeur
constante égale à o. On voit par là que m' représente une chaleur excé- dante qui est d'abord accumulée dans le prisme, et qui ensuite s'éva- nouit, soit en se propageant à l'infini, soit en se dissipant dans le milieu. Ainsi, pour représenter l'effet qui résulte de réchauffement uniforme de l'extrémité A d'une ligne infiniment prolongée, il faut con- cevoir : i^ que cette ligne est aussi prolongée à la gauche du point A, et que chaque point situé à droite est présentement affecté de la tem- pérature initiale excédante; 2^ que l'autre moitié de la ligne à la gauche du point A est dans un état contraire, en sorte qu'un point placé à la distance — o? du point A a pour température initiale —f{oc)\ ensuite la chaleur commence à se mouvoir librement dans l'intérieur de la barre et à se dissiper à la surface. Le point A conserve la tempé- rature o, et tous les auti^es points parviennent insensiblement au même état. C'est ainsi que l'on peut ramener le cas où le foyer exté- rieur communique incessamment une nouvelle chaleur à celui ou la chaleur primitive se propage dans l'intérieur du solide. On pourrait donc résoudre la question proposée de la même manière que celle de la diffusion de la chaleur (art. 347, 353 et 354); mais, afin de mul-
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 413
tiplier les moyens de résolution dans une matière aussi nouvelle, on emploiera l'intégrale sous une forme différente de celle que nous avons considérée jusqu'ici.
364.
On satisfait à l'équation
du ,d^u
en supposant u égale à e~^é'^. Or, cette dernière fonction de ^r et / peut être mise sous la forme d'intégrale définie, ce qui se déduit très facile- ment de la valeur connue de ie^^dq. On a en effet \/tc = j e-'f^dq
lorsque l'intégrale est prise de y=— oc à y =4-00. On aura donc aussi
b étant une constante quelconque, et les limites de l'intégrale étant les mêmes qu'auparavant. De l'équation
v/7r=ô-*' r
^-{q^^tbq) fXq^
on conclut, en faisant b^ =^ kt^
-»-oo
e*' = -^ Ç e-^' e'^'f V*' dq ;
donc la valeur précédente de u ou c^ef^^ équivaut à
/>« + M
4 / e-^*e-^^^^'f^')dq.
On pourrait aussi supposer u égale à la fonction
a et n étant deux constantes quelconques; et Ton trouvera de même que cette fonction équivaut à
-^ f e-^'eM^^^'H^Odq.
ïik THÉORIE DE LA CHALEUR.
On peut donc prendre, en général, pour valeur de u la somme d'une infinité de valeurs semblables, et l'on aura
Les constantes a^, a^, «,, ... et w,, Wj, /ij, . .. étant indéterminées, la série représente une fonction quelconque de ^ 4- 2qyjkt\ on a donc
L'intégrale doit être prise de m = — 30 à a = oc, et la valeur de // satis- fera nécessairement à l'équation
du 1.^*''
Cette intégrale, qui contient une fonction arbitraire, n'était point connue lorsque nous avons entrepris nos rechercbes sur la Théorie de la chaleur, qui ont été remises à l'Institut de France dans le mois de décembre 1807; elle a été donnée par iM. Laplace, dans un Ouvrage qui fait partie du Tome VIII du Journal de V École Polytechnique (';; nous ne faisons que l'appliquer à la détermination du mouvement linéaire de la chaleur. On en conclut
mj e-'J' o{x-h2q\^Al)dq -^-e ^^^^;
— ri'"'
lorsque / est égal à zéro, la valeur de u est F(£r) — e *''* ou /(^) ;
donc
r *"* ' I
f{.r)= (^{x)e-^i*dq et ?(x) == -.^ /(a:).
Ainsi la fonction arbitraire qui entre dans l'intégrale est déterminée
(*) Laplace, Mémoire sur dwers points d'Analyse : Sur le Calcul des fonctions géné- ratrices. — Sur les intégrales définies des équalions à différences partielles. — Sur le passage réciproque des Résultats réels aux Résultats imaginaires. — Sur l'intégration des équations aux différences finies non linéaires. — Sur la Réduction des fonctions en Tables {Journal de l'Ecole Polj technique , XV* Cahier, p. 229-265. Foir plus particulièrement p. 235 à 2 Î4). G. D.
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. kio
au moyen de la fonction donnée /(^); et Ton a l'équation suivante qui contient la solution de la question
il serait facile de représenter ce résultat par une construction.
365.
Nous appliquerons la solution précédente au cas où, tous les points de la ligne AB ayant la température initiale o, on échauffe l'extrémité A pour la retenir continuellement à la température i. 11 en résulte que F(,a?) a une valeur nulle lorsque x diffère de o. Ainsi, f[x) équivaut à
'Vïïs
— 6» *'^ toutes les fois que x diffère de zéro, et k zéro lorsque .r est nulle. D'un autre côté, il est nécessaire qu'en faisant x négative, la valeur de f[x) change de signe, en sorte que l'on a la condition /(— o:) = — /(^r). On connaît ainsi la nature de la fonction discon-
/ïïL ./ÏÏL
tinue f{x)\ elle est — e *^^ lorsque x surpasse o, et -t- ^ *^^ lorsque X est moindre que o. Il faut maintenant écrire, au lieu de Xj la quan- tité X -h iqyjkt. Pour trouver u ou
on prendra d'abord l'intégralp depuis x -h 2q \/kt = o jusqu'à .r -h 2y }Jkt = 00, et ensuite depuis x -\- 2q \Jkl = — x> jusqu'à X -h 2(7 \/Ft = o. Pour la première partie, on a
i/rr . /
et, remplaçant k par sa valeur ^.t , on a
^-Ve^ '^«^".^^"SrfV
416 THÉORIE DE LA CHALEUR.
ou
y/TT y
OU
/ML IlLf /• / . ./HL/V
yjTz
En désignant par r la quantité y -h yîMjc* l'expression précédente
est
, /HL Hl. t
v/t:
kS CDS A-r»^^.
cette intégrale j e ''* dr doit être prise, par hypothèse, depuis ^^vCD ~^ jusqu a ir-hayi/'^j =00, ou depuis y = ,r^
a
/HL^ œ
jusqu'à y = Qo, ou de r = i/ ^jy^ — ^^ jusqu'à r = 00.
La seconde partie de l'intégrale est
^" Cl)
ou
ou
/HL IIL/
' 'Vks
y/îT
''*"**/'-"*■
en désignant par r la quantité q — i/rijg' L'intégrale / e~^'' dr doit être prise, d'après l'hypothèse, depuis x -\- ^yi/p^y = — oo jusqu'à r -f- 2yi/pjv = 0, OU de y = — x> à y = — - — — rr> c'est-à-dire
^^^CD
,^ , /HL/ X
i8r=-oojusquar=-y/^,-j,-g .j^^-
VcD
depuis r = —
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 417
Ces deux dernières limites peuvent, d'après la nature de la fonc- tion e'*^, être remplacées. pa'r celles-ci :
VcD
ce H —=^ et r:=oo.
Il suit de là que la valeur de u est exprimée ainsi :
/iïL mA ^ __ /ïiL m A
Ks CDS A-r« clr— -Le '^«is-^<^ï>^ fe-'-'dr;
I '
v/tt J ' \J'
la première intégrale doit être prise depuis ^ = v/ri)s
X
/Kt VCI)
jusqu'à r = cc, et la seconde depuis ^ = \/-r^ -p^ jusque
r = oc. Représentons maintenantparvp(R) l'intégrale -^ /e-'^'rfr depuis r= R jusqu'à r = oc; on aura
HL/ /ML
CDS 'Vks
gCDS ^ *^s ^r
IIL/
Donc w', qui équivaut à e ^^^i/, a pour expression
HL
\ , / /ÔLi X \ -xV^I , /, /HL7 j:
et Ton a
F. 53
418 THÉORIE DE LA CHALEUR.
La fonction désignée par 'I'(R) est connue depuis longtemps et Ton peut calculer facilement, soit au moyen de séries convergentes, soit par les fractions continues, les différentes valeurs que reçoit cette fonction lorsqu'on met au lieu de R des quantités données; ainsi l'application numérique de la solution n'est sujette à. aucune diffi- culté (*).
366. Si l'on fait H nulle, on a
Cette équation représente la propagation ^le la chaleur dans une barre infinie dont tous les points étaient d'abord à la température o, et dont Textrémité est élevée et entretenue à la température constante i. On suppose que la chaleur ne peut se dissiper par la surface extérieure de la barre ou, ce qui est la même chose, que cette barre a une épais- seur infiniment grande. Cette dernière valeur de v fait donc connaître la loi suivant laquelle la chaleur se propage dans un solide terminé par un plan infini, en supposant que ce mur, infiniment épais, a d'abord
(*) Pour ce qui concerne le calcul numérique dos fondions que Fourier désigne ici el dans l'arlicle suivant par iJ'CR) et cp(R), on pourra consulter :
Krvmp, Analyse des réfractions astronomiques et terrestres, Strasbourg et Leipsick, an vu.
Cet Ouvrage contient : i** une Table des valeurs de l'intégrale / e-'*dt; a* une Table
des logarithmes de cette intégrale; 3** les logarithmes du produit e"^* j e-'*dt.
Besskl, Fundamenta /^v/ro/iomi/ç (Kœnigsberg, i8i8).
Legendrk, Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulé'riennes, t. II, p. Sao,
S'il. E.NX K Ë , yistronomisches Jahrhuch fur 1 8 34 , Berli n . 1 83 a .
Kadau (R-)j Tables de l'intégrale il(Z)= c^* / e-'*dt. — annales de l'observatoire de
Paris, Partie théorique, t. XVIII.
Les Tables que contient ce Mémoire permettent d'obtenir le logarithme do *\{Z) à {- d'unité près du septième ordre décimal. G. D.
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. il9
dans toutes ses parties une température constante initiale o et que Ton assujettit la surface à une température constante i . Il ne sera point inutile de faire observer quelques résultats de cette solution.
En désignant par ç(R) l'intégrale -^ /e~''Vr prise depuis / = o jusqu'à r = R, on a
^(R)^i_ç(R) et 4;(-R)=i4-ç(R),
lorsque R est une quantité positive; donc
4^(-R)-iKR) = 2<p(R) et ^ = i-2<p^ "^
VCD
En développant l'intégrale 9(R)» on a
<p(R)=^fR-iiR»-f- — iR» î_iR7 4... V
V^TTX '^- 1.20 1.2.37 /
donc
I/-I/- X \ \ / X \^ \ \ / X
2 ^ 2 ^ /X7 ï 3 I fwl I I .2 D
v/§ ' vv/S/ '"' vVcïï
i^ Si Ton suppose x nulle, on trouvera v = \.
0? Si, X n'étant point nulle, on suppose ^ = o, la somme des termes
qui contiennent x représente l'intégrale Ic^^dr prise depuis r = o
jusqu'à r = 00, et par conséquent équivaut à - y/Tx ; donc ^ est nulle.
3^ Différents points du solide placés à des profondeurs différentes o?,, 072, aTj, ... parviennent à une même température après des temps
différents /,, /j» '3» •••» qui sont proportionnels aux carrés des Ion-
gueurs X ^ , x<2% x^^ ....
4*^ Pour comparer les quantités de chaleur qui traversent pendant
un instant infiniment petit une section S placée dans l'intérieur du
solide à la distance x du plan échauffé, on prendra la valeur de la
^20 THÉORIE DE LA CHALEUR.
quantité — KS~, et l'on aura
<JX
s/%n \\/W ''Wm) \
-v^«-^^
ainsi l'expression de la quantité ^ est entièrement dégagée du signe intégral, La valeur précédente, à la surface du solide échauffé, est
S i/ — —y ce qui fait connaître comment le flux de chaleur à la surface
varie avec les quantités C, D, K, /; pour trouver combien le foyer com- munique de chaleur au solide pendant un temps écoulé /, on prendra
l'intégrale
r^ ^ /CÏ)K dt ^ /CDK r
ainsi la chaleur acquise croît proportionnellement à la racine carrée du temps écoulé.
367.
On peut traiter par une analyse semblable la question de la diffusion de la chaleur, qui dépend aussi de l'intégration de l'équation
On représentera par /(a?) la température initiale d'un point de la ligne placé à la distance x de l'origine, et Ton cherchera à déterminer quelle doit être la température de ce même point après un temps i. Faisant
on aura
v=ze'^*^z.
et par conséquent
CHAPITRE IX. — DIFFUSION DE LA CHALEUR. 421
Lorsque t est égal à zéro, on doit avoir
,ou
donc
(p(ar) = 4=:/(x);
\/7r
r= — =- / e-«'' f[x-\-2q\/kt)dq.
Pour appliquer celte expression générale au cas où une partie de la ligne, depuis a? = — a jusqu'à a? == a, est uniformément échauffée, tout le reste du solide étant à la température o, il faut considérer que
le facteur f{x -+- :iq\kt)y qui multiplie e^\ a, selon l'hypothèse, une valeur constante i lorsque la quantité qui est sous le signe de la fonc- tion est comprise entre — a et a, et que toutes les autres valeurs de ce
facteur sont nulles. Donc l'intégrale l c^^dq doit être prise depuis œ -^ 2q\JAt = — OL jusqu'à a? -f- 2y y/:/ = a, ou depuis q = --^-
2 y A' 6
jusqu'à q = "7 ^ ^ - En désignant, comme ci-dessus, par ^(R) l'inté- grale -^ / e^'^'dr prise depuis r = R jusqu'à r = ao, on aura
V T %/
ç z= e-^^'
K ^^n *( 2%j\'
368. rious appliquerons encore l'équation générale
v = ^—- j er'i^ f{x'\-iq\pa)dq
au cas où la barre infinie, échauffée par un foyer d'une intensité con- stante I, est parvenue à des températures fixes et se refroidit ensuite librement dans un milieu entretenu à la température o. Pour cela, il suffit de remarquer que la fonction initiale désignée par/(;r) équivaut
^22 THÉORIE DE LA CHALEUR.
il e * tant que la variable x qui est sous le signe de fonction est
positive, et que cette même fonction équivaut à e * lorsque la variable qui est affectée du signe /est moindre que zéro. Donc
yjïz
la première intégrale doit être prise depuis x -h 2q^kt = o jusqu'à
.r -f- 2<7\/^ = 00, et la seconde depuis x -{- 2q \fkt = ^ 'X) jusqu'à
X -+- iqsfFl = o.
La première partie de la valeur de v est
, -*Vï-*'
y/TT
A •" ie-i'-^^^'dg
OU
ou
v/tt J
V/TT J
.r
en faisant r = q-\-\jht. L'intégrale doit être prise depuis q = — ~
2 Y " ^
•~~~ ce
jusqu'à y = X), ou depuis r = yjht — jusqu'à r = zc,
La seconde partie de la valeur de (^ est
ou
-=e ^* / e-9'-+-^v^^y
7" 1
V/tt j
e-**' dr.
en faisant r = q — \jht. L'intégrale doit être prise de r= — oc à
r — — JTÏt ;=: ou de r = sJhl h -= à r = x.
^ 2s/kt ^ 2\/kt
\ \
CHAPITRE IX. — DIFFUSION DE LA CHALEUR. 423
On en conclut l'expression suivante :
369. On a obtenu (art. 367) l'équation
pourexprimer la loi de la diffusion de la chaleur dans une barre peu épaisse, échauffée uniformément à son milieu entre les limites données d:* = — a, a? = H- a. On avait précédemment résolu la même question en suivant une méthode différente et l'on était parvenu, en supposant a = I, à Téquation
(' = -e-'*' / e-y'^'oos^x sin7 -^ (art. 3W).
Pour comparer ces deux résultats, on supposera dans l'un et l'autre X = o; désignant encore par ']f{^) et 9(R) les mêmes intégrales qu'a l'article 366, on a
OU
V r=.
2^-'"
2^r_a I 1 / g Y I 1 / « Y 1 1/ g Y 1
0
D'un autre côté, on doit avoir
dq
OU
«7'
= ie-'" f e-i'*' dq ( i - -^
3 2 .3.4.5
• • . I •
Or Tintégrale re~"*w^'"rfM, prise depuis m = o jusqu'à w = oo, a une
V2i THÉORIE DE LA CHALEUR.
valeur connue {voir l'article suivant) : m étant un nombre entier posi- tif, on a en général
X
.1 • , I 3 5 7 2m — I 1 /-
2 2 2 2
l'équation précédente donne donc, en faisant q^kt = u-.
' ~~ T.\lkt,h ^ "V" 2.3 Aï "^2.3.4.5 Fî« 2.3.4.5.6.7 Xr'i'"^ "7'
ou
v/^ [3 V' ^-^ ^ ^XisJktJ 1 . 2 5 \^2 sjkt) 1 . 2 . 3 7 \^2 sjkt) \
m
Cette équation est la même que la précédente, lorsqu'on suppose a = i . On voit par là que ces intégrales, que l'on a obtenues par des procédés différents, conduisent aux mêmes séries convergentes. On parvient aussi à deux résultats identiques quelle que soit la valeur de x.
On pourrait, dans cette question comme dans la précédente, compa- rer les quantités de chaleur qui, dans un instant donné, traversent différentes sections du prisme échauffé. L'expression générale de ces quantités ne contient aucun signe d'intégration; mais, sans s'arrêter à ces remarques, on terminera cette Section par la démonstration du résultat que l'on vient d'employer et la comparaison des différentes formes que l'on a données à l'intégrale de l'équation qui représente la diffusion de la chaleur dans une ligne infinie.
370. De l'équation connue
on conclut celle-ci
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR, 425
a étant une constante quelconque; on a donc
Vît*/-
OU
Cette équation a lieu quelle que soit la valeur de a. On peut développer le premier membre; et, par la comparaison des termes, on obtiendra
les valeurs déjà connues de l'intégrale /e"^5r''rfy. Cette valeur est
nulle lorsque n est impair; et Ton trouve, lorsque n est un nombre pair 2m,
r** «t ,m j I 3 5 7 2m— -i r-
I e-'i g^"*dq= •^« •• 1/7:.
J ^^2222 2^
371.
Pour satisfaire à l'équation
du __ d^u
on peut supposer u = er^e^^, et en général u = e~"'^e^*^^\ on en déduit facilement (art. 364) l'intégrale
On a employé précédemment pour l'intégrale de la même équation l'expression
u =:aie-'Ȕ*'cos/i|:r H-aje"*"5^*'cos/iiJ:4- a3e~"5*'cos/ij;r
OU celle-ci
M mai e-"î*'sin/iiJt' 4- aie""î*'sin/ï,jr -h fl,e-"î*'sin/i|*r + . . . ,
a,, a^, «3, . . . et /i,, n^, n^^ ... étant deux séries de constantes
arbitraires. Il est aisé de voir que chacun^ de ces termes équivaut à
F. 54
f-1
426 THÉORIE DE LA CHALEUR.
l'intégrale
/ e-^'cos/i(x -h 2q^kt)dq
OU
/ e-^* sin/i(vF -h iq\'kt)dq.
Kn effet, pour déterminer la valeur de l'intégrale
/ e"^'sin(j7 -h 'iqsfki)dq,
on lui donnera la forme suivante :
/ e-^' si n J7 COS 2 q >Jkt dq -h 1 e~^* COS jrs'iïï'iq \J kt dq
OU celle-ci :
e-^ sinxl 1 ) ^Ç -^ I e~^'cosjr{ — —=:=^ -=- ) dq,
V2 ^ J J \2^—l 2 V^ - I /
qui équivaut à
e-*^
L'intégrale /^~(^v^-^)*^y^ prise depuis q =i ^ 'Xi jusqu'à y = x, est v/t:; on a donc, pour la valeur de l'intégrale J(?~^'sin(.r -h 2^ v^7)rfy, la quantité \/T:e~^'sin^, et en général
y/7re~"*^'sin/ijc = / e-*i* %\\\n[jo '{-2q^kt)dq,
On déterminera de la même manière l'intégrale
/ e~'f* COS n{x -h 2q^kt)dqf
dont la valeur est y/ize"'*'''^ cosna;.
'év
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 427
On voit par là que Tintégrale
équivaut à
— I e'*f dq \ [.
La valeur de la série représente, comme on l'a vu précédemment, une fonction quelconque de a? -h ^q y/At; l'intégrale générale sera donc ex- primée ainsi :
Au reste, l'intégrale de l'équation
du L.^^^
peut être présentée sous diverses autres formes. Toutes ces expressions sont nécessairement identiques.
SECTION IL
DU MOUVEMENT LIBRE DE LÀ CHALEUR DANS UN SOLIDE INFINI.
372.
L'intégrale de l'équation
(«)
di^
K d'v
dt CD ôx^
fournit immédiatement celle de l'équation à quatre variables
(A)
dt " CD \dx^ "^ dy^ '^ dz^y
comme nous Tavons déjà remarqué en traitant la question de la propa- gation de la chaleur dans un cube solide. C'est pour cela qu'il suffit, en général, de considérer l'eifet de la diffusion dans le cas d'un solide
hl
k'2S THEORIE DE LA CHALEUR.
linéaire. Lorsque les corps n*ont point leurs dimensions infinies, la dis- tribution de la chaleur est continuellement troublée par le passage du milieu solide au milieu élastique; qu, pour employer les expressions propres à TAnalyse, la fonction qui détermine la température ne doit pas seulement satisfaire à Téquation aux différences partielles et à Tétat initial : elle est encore assujettie a des conditions qui dépendent de la figure de la surface. Dans ce cas, l'intégrale a une forme plus difficile à connaître, et il faut examiner la question avec beaucoup plus de soin pour passer du cas d'une coordonnée linéaire à celui des trois coordon- nées orthogonales; mais, lorsque la masse solide n'est point interrom- pue, aucune condition accidentelle ne s'oppose à la libre diffusion de la chaleur : cet élément se meut de la même manière dans tous les sens.
La température variable ^ d'un point d'une ligne infinie est ex- primée par l'équation
(i) ^=-7= I e-i'/{j:-i-2qs/^t) dq.
X désigne la distance entre un point fixe o et le point m dont la tem- pérature équivaut à s^ après le temps écoulé t: On suppose que la cha- leur ne peut se dissiper par la surface extérieure de la barre infinie*, et l'état initial de cette barre est exprimé par l'équation v = f[x). L'équation différentielle à laquelle la valeur de v doit satisfaire est celle-ci :
^^^ àt ~CD dr**
Mais, pour simplifier le calcul, on écrit
{b)
dt ■"■ dx^ '
ce qui suppose que l'on emploie au lieu de t une autre indéterminée / égale a ^.
Si, dans une fonction f[x) de x et de constantes, on substitue
Vi
«se;
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. V29
X -^ in\Jt à 0? et si, après avoir multiplié par -p^e~"*dn, on intègre
V'iT
par rapport à n entre des linniites infinies, l'expression
I /*^*
-^ / e-'**/{x-h2n\/t)dn
satisfera, comme on Ta démontré plus haut, a l'équation différen- tielle [b)\ c'est-à-dire que cette expression a la propriété de donner une même valeur pour la fluxion seconde par rapporta x et pour la fluxion première par rapport a t. D'après cela, il est évident qu'une fonction de trois variables f{oo,y^z) jouira d'une semblable propriété si l'on substitue, au lieu de x, y, z, les quantités
et si l'on intègre après avoir multiplié par
V^TT V " V ^
En effet, la fonction que l'on forme ainsi -\ /»"•"* •»-»-• /*"'■" - ' .
TT ' / / / e-^^-P^''f*f[x 4- in\ft, y-^'^P^Jiy 5 H- 2^ V^^) dn dpdq
donnera trois termes pour la fluxion par rapport à /, et ces trois termes ' sont ceux que l'on trouverait en prenant la fluxion seconde pour cha- cune des trois variables x, y, z. Donc l'équation
(I) v — if*! f f e"'^-P*-^^*/{a:'h2n\^ty y-h2p\/l, Z'^2q\^i)dndpdq
donne une valeur de v qui satisfait à l'équation aux différences par- tielles
^^^ * dt~d^-'^dy^'^â^'
*
m
430 THÉORIE DE LA CHALEUH.
373.
Supposons maintenant qu'une masse solide sans figure, c'est-à-dire qui remplit l'espace infini» contienne une quantité de chaleur dont la distribution actuelle est connue. Soit
m
l'équation qui exprime cet état initial et arbitraire, en sorte que la molécule dont les coordonnées sont œ, r, z a une température ini- tiale égale à la valeur de la fonction donnée ¥{x,y,z). On peut se représenter que la chaleur initiale est contenue dans une certaine partie de la masse dont le premier élat est donné au moyen de l'équa- tion i> = ¥{x,y, z), et que tous les autres points ont une température initiale nulle. Il s'agit de connaître quel sera, après un temps donné, le système des températures. Il faut, par conséquent, exprimer la tem- pérature variable {^ par une fonction ^(x.y^z^t) qui doit satisfaire à l'équation générale (A) et à la condition
Or la valeur de cette fonction est donnée par l'intégrale
En effet, cette fonction v satisfait à l'équation (A) et, si l'on y fait / = o, on trouve
ao ^-H «e r»-^»
3 ^-I-W ^-T-W >-l-T-W
:"*/ / / e-"'-P'-'i*¥{x,y,z)dndpd(]
OU, en achevant les intégrations,
F(J", J, -),
I ..#. -j..
CHAPITRE IX. — DIFFUSION DE LA CHALEUR.
VJl
374.
Puisque la fonction ^ ou ff{x,y,z,t) représente l'état initial lors- qu'on y fait / = o, et qu'elle satisfait à l'équation différentielle de la propagation de la chaleur, elle représente aussi Tétat du solide qui a lieu au commencement du second instant; et, en faisant varier le se- cond état, on en conclut que la même fonction représente le troisième état du solide et tous les états suivants. Ainsi la valeur de ^^ que l'on vient de déterminer, contenant une fonction entièrement arbitraire des trois variables x, y, 5, donne la solution de la question; et l'on ne peut supposer qu'il y ait une expression plus générale, quoique d'ail- leurs la même intégrale puisse être mise sous des formes très di- verses.
Au lieu d'employer l'équation
on pourrait donner une autre forme à l'intégrale de l'équation
dv _ à- y 5? ""dû"»'
et il serait toujours facile d'en déduire l'intégrale qui convient au cas des trois dimensions. Le résultat que l'on obtiendrait serait nécessaire- ment le même que le précédent.
Pour donner un exemple de ce calcul, nous ferons usage de la va- leur particulière qui nous a servi à former l'intégrale exponentielle.
Reprenant donc l'équation
(b)
ât
dx^
nous donnerons à (^ la valeur très simple ^""''cosw^r, qui satisfait évi demment à l'équation différentielle [b). En effet, on en tire
dt
3r — n- V
et
■=■ — /i*i'.
■*r^Si
i
432 THÉORIE DE LA CHALEUR.
Donc l'intégrale
€~'^*^ cos n X dn
L
convient aussi à Téquation (b); car cette valeur de ^ est formée de la somme d'une infinité de valeurs particulières. Or l'intégrale précé-
dente est connue, et l'on sait qu'elle équivaut à -7= e *' {voir Tarticle
suivant). Cette dernière fonction de a? et / convient donc aussi avec l'équation différentielle (b). Il est d'ailleurs très facile de reconnaître
immédiatement que la valeur particulière -i^c ^^ satisfait à l'équation
dont il s'agit.
Ce même résultat aura lieu si l'on remplace la variable x par a; — a, a étant une constante quelconque. On peut donc employer comme va-
leur particulière la fonction — e *' , dans laquelle on attribue à a
une valeur quelconque. Par conséquent, la somme / -^^ ^e *' doL
satisfait aussi à l'équation différentielle [b)\ car cette somme se com- pose d'une infinité de valeurs particulières de la même forme, multi- pliées par des constantes arbitraires. Donc on peut prendre pour valeur de {^ satisfaisant à l'équation [b)
'■<
 étant un coefficient constant.
Si, dans cette dernière intégrale, on suppose
a — X
i\ji
7'
en faisant aussi À == — p? on aura
OU
1 z»"^*
CHAPITRE IX, - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 433
On voit par là comment l'emploi des valeurs particulières
e-'^'^cosna: ou — r e *'
s/t
conduit à Tintégrale sous forme finie.
375.
La relation qu'ont entre elles ces deux valeurs particulières se dé- couvre lorsqu'on détermine l'intégrale
/ e-'^^'cosno' dn.
Pour effectuer l'intégration, on pourrait développer le facteur cosnx et intégrer par rapport à n. On obtient ainsi une série qui représente un développement connu; mais on déduit plus facilement ce résultat de l'analyse suivante. L'intégrale 1 e''^*^cosnxdn se rapporte à celle-ci :
/ e-p*cos2pudp,
en supposant n^l = p^ et nx = 2pu. On a ainsi
e~'^*' cos n o' dn=z —r j q^P* Q,o^ipit dp.
On écrira maintenant
Çe-P'co%ipudp— - fe-P'^^P^^dp-h - j e-P*-^P"^^ dp
— ig-»' I e-P*^^P'*V^-^'''dp-^ -e-'*' I e-P^-^P'^'J-^-^^^dp
- ie-»' f€-ip-''yr''ydp -h - e"** fe-ip^'^^^'Ydp.
Or chacune des intégrales qui entrent dans ces deux termes équivaut à v^-î:. En effet, on a, en général,
\fK= I e-1^ dq, F. 55
kSk THÉORIE DE LA CHALEUR
et, par conséquent,
quelle que soit la constante b. On trouve donc, en faisant 6 = i:tt\/—* et remplaçant q par/?,
/ e-P* cos 2 pu dp ^= v^TT e-"';
donc
et, mettant pour u sa valeur — -y on aura
r^' fit -- '
j e-'*''cosnxrf/2=: i /- <? *'.
Au reste, la valeur particulière 7= <? *' est assez simple pour qu'elle se
présente immédiatement sans qu'il soit nécessaire de la déduire de celle-ci : e~"''^cosnx. Quoi qu'il en soit, il est certain que la fonction
_.r«
-p e ^' satisfait à l'équation différentielle
dv d'V ^
<.r — g)'
il en est de même, par conséquent, de la fonction -j=€ *' , quelle
que soit la quantité a.
376.
Pour passer au cas des trois dimensions, il suffit de multiplier la
l.r — OL)*
fonction enxett,—e *' , par deux autres fonctions semblables^
l'une en y et /, l'autre en s et en /; le produit doit évidemment satis- faire à l'équation
dv _ d*v d*v d^v
CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR. 435
On prendra donc pour (^ la valeur ainsi exprimée
tj--tti' (r-?>" (5-T)*
V =:
e *' e *^ e *'
\/'t \ft s/~t
Si maintenant on multiplie le second membre par dtx, d^, dy et par une fonction quelconque /(a, p, y) des quantités a, [3, y, on trouvera, en indiquant l'intégration, une valeur de i^ formée de la somme d'une infinité de valeurs particulières multipliées par des constantes arbi- traires.
11 suit de là que la fonction v peut être ainsi exprimée :
(./) ^'=j J J ^'^ *' aoi,i^,y)doLd^dy;
cette équation contient l'intégrale générale de la proposée (A). Le pro- cédé qui nous a conduit à cette intégrale doit être remarqué, parce qu'il s'applique aux cas les plus variés; il est principalement utile lorsque l'intégrale doit satisfaire à des conditions relatives à la sur- face. En l'examinant avec attention, on reconnaîtra que les transfor- mations qu'il exige sont toutes indiquées par la nature physique de la question. On peut aussi, dans l'équation (y), changer d'indéterminées; si l'on prend
i\jt i\Jt i^t
on aura, en multipliant le second membre par un coefficient con- stant A,
V = 2^ Afffe-^''*-*-P*-*-^*^ f{x -\-2nyft, y -\-'xp\Jlj z-\-icj\ft)dndp dq.
Prenant les trois intégrales entre les limites — ao et 4- œ et faisant / = o, afin de connaître l'état initial, on trouvera
Ainsi, en représentant les températures initiales connues par F(ar, y, :;),
436 THEORIE DE LA CHALEUR.
et donnant à la constante A la valeur 2'*'rt ^, on parviendra à l'intégrale
« ^, -4- gs y^+ OD
qui est la même que celle de l'article 372.
L'intégrale de l'équation (A) peut être mise sous plusieurs autres formes, parmi lesquelles on choisit celle qui convient le mieux à la question que l'on se propose de résoudre.
Il faut observer en général, dans ces recherches, que deux fonctions ç(a7, y, z, i) sont les mêmes lorsqu'elles satisfont l'une et l'autre à l'é- quation différentielle (A) et lorsqu'elles sont égales pour une valeur déterminée du temps, il suit de ce principe que les intégrales qui se réduisent, lorsqu'on y fait ^ = o, à une fonction arbitraire F(x, j, 5) ont toutes le même degré de généralité; elles sont nécessairement iden- tiques.
Le second membre de l'équation différentielle (a) était multiplié par
TTjTî et l'on a supposé dans l'équation (6) ce coefficient égal à l'unité.
Il suffira, pour rétablir cette quantité dans le calcul, d'écrire çjc au lieu
de /, dans l'intégrale (i), ou dans l'intégrale (I). Nous indiquerons maintenant quelques-unes des conséquences que l'on déduit de ces équations.
377.
La fonction qui sert d'exposant au nombre e dans l'équation (y) ne peut représenter qu'un nombre absolu, ce qui suit des principes géné- raux du calcul, comme on l'a prouvé explicitement dans la Section IX du Chapitre II (p. i35). Si, dans cet exposant, on remplace l'indéter-
minée t par -p^f on voit que, les dimensions de K, C, D et / par rapport
à l'unité de longueur étant —1,0, — 3, et o, la dimension du déno-
minateur ^ est 2, comme celle de chaque terme du numérateur, en
sorte que la dimension totale de l'exposant est o. Considérons le cas où la valeur du temps t augmente de plus en plus; et, pour simplifier
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 437
cet examen, employons d'abord l'équation
'XSj'KtJ
qui représente la diffusion de la chaleur dans une ligne infinie. Sup- posons que la chaleur initiale est contenue dans une portion donnée de la ligne, depuis x=i — h jusqu'à x = -h g^ et que l'on attribue à x une valeur déterminée X, qui fixe la position d'un certain point m de cette
mI ty ^ ^C
ligne. Si le temps l croît sans limite, les termes — 7- et H — rj- qui
entrent dans l'exposant deviendront des nombres absolus de plus en plus petits, en sorte que, dans le produit
__r' ia.r _a^
e »~'e*' e *',
on pourra omettre les deux derniers facteurs, qui se confondent sensi- blement avec l'unité ('). On trouvera ainsi
(7)
C'est l'expression de l'état variable de la ligne après un temps très
(1) Cette partie des raisonnements nous échappe complètement, et nous croyons même que les résultats énoncés par Fourier sont inexacts. Si, dans le produit
W Q kt c *',
on omet les doux derniers facteurs « qui se confondent sensiblement avec l'unité »y pour- quoi ne pas omettre le premier qui se trouve dans les mêmes conditions ? D'ailleurs, si Ton change l'origine dos abscisses en la déplaçant d'une longueur / sur la
droite, il faudra remplacer le facteur e *' par e *' , ce qui donnerait autant de lois nouvelles que l'on attribuera de valeurs différentes à la constante /. Il nous semble qu'il serait plus exact de raisonner de la manière suivante :
(x—OD*
Lorsque t grandit indéfiniment, le facteur e ^' tend vers Tunité, et la température v tend vers l'expression asymptotique
c'est-à-dire que l'on a
V =:ǻl(l-f- W),
i^38 THÉORIE DE LA CHALEUR.
long; elle s'applique à toutes les parties de cette ligne qui sont moins
/{0L)d0L
h désigne la quantité de chaleur totale B contenue dans le solide, et Ton
b> étant une quantité qui. tend vers zéro, pour chaque valeur de x, lorsque t augmente indéfiniment. Si Ton veut avoir une expression plus approchée de v, on remplacera Texponentielle
e *' par la valeur approchée i— — ~ — -f les termes négligés étant de l'ordre de — > et l'on aura
les termes négligés étant de l'ordre de — -^ • On trouve ainsi un résultat de la forme
(^) ^^=^1(1 jj y
A et B s'exprimant par un calcul facile en fonction des intégrales
f af(0i)ii0L, f 0L^fi0L)d%.
h
On pourrait encore écrire au môme ordre d'approximation
(3) v-vie *'
Si l'on prenait, comme le propose Fourier,
on conserverait un terme — -r- et Ton en négligerait deux autres du même ordre ' ,
4» 4 '
- — ; ce qui est évidemment inadmissible.
Au reste, les formules que nous proposons de substituer à celles de Fourier peuvent devenir illusoires dans le cas particulier où l'on a
c'est-à-dire où la température moyenne de la barre est nulle. Mais la méthode que nous
avons suivie demeurera encore applicable. Il suffira de déveloi^per l'exponentielle e et de conserver dans l'intégrale les premiers termes qui diffèrent de zéro. G. D.
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 439
voit -que la distribution primitive n'a plus d'influence sur les tempé- ratures après un temps très long. Elles ne dépendent plus que de la somme B, et non de la loi suivant laquelle la chaleur a été répartie.
378.
Si Ton suppose qu'un seul élément o), placé à l'origine, a reçu la température initiale /et que tous les autres avaient la température o,
le produit o)/ sera équivalent à Tintégrale / /(a) d% ou B. La con-
stante/sera extrêmement grande, puisqu'on suppose la ligne co très petite. L'équation
2
s/tzI
représente le mouvement qui aurait lieu si un seul élément placé à l'origine eût été échauffé. En effet, si l'on donne à x une valeur quel-
e *'
conque a, non infiniment petite, la fonction — ^ sera nulle lorsqu'on supposera / = o. Il n'en sera pas de même si la valeur de x est nulle.
kl
Dans ce cas, la fonction -— =- reçoit au contraire une valeur infinie pour
^ = o. On connaîtra distinctement la nature de cette fonction si Ton applique les principes généraux de la théorie des surfaces courbes à la surface qui aurait pour équation
L'équation
X*
2
y/ïâ
exprime donc la température variable d'un point quelconque du prisme lorsqu'on suppose toute la chaleur initiale réunie dans un seul élément placé à l'origine. Cette hypothèse, quoique particulière, appartient à
kkO THÉORIE DE LA CHALEUR.
une question générale, parce que, après un temps assez long, l'état
«
variable du solide est toujours le même que si la chaleur initiale eût été rassemblée à l'origine. La loi suivant laquelle la chaleur a été dis- tribuée influe beaucoup sur les températures variables du prisme; mais cet effet s'affaiblit de plus en plus et finit par devenir entièrem-ent insensible.
379.
Il est nécessaire de remarquer que Téquation réduite (y) ne s'ap- plique point à la partie de la ligne qui est placée au delà du point /ti dont la distance a été désignée par X. En effet, quelque grande que soit la valeur de temps, on pourrait choisir une valeur de x telle que
le terme e *' différât sensiblement de l'unité, et alors ce facteur ne doit pas être supprimé. Il faut donc se représenter que Ton a marqué, de part et d'autre de l'origine o, deux points m et m' placés à une cer- taine distance X ou — X, et que l'on augmente de plus en plus la va- leur du temps, en observant les états successifs de la partie de la ligne qui est comprise entre m et m\ Cet état variable convergera de plus en plus vers celui qui est exprimé par l'équation
(/)
Quelle que soit la valeur attribuée à X, on pourra toujours trouver une valeur du temps assez grande pour que l'état de la ligne m'om ne diffère pas sensiblement de celui qu'exprime l'équation précédente (y). Si Ton demande que cette même équation s'applique à d'autres parties plus éloignées de l'origine, il faudra supposer une valeur du temps plus grande que la précédente.
L'équation (j)».qui exprime dans tous les cas l'état final d'une ligne quelconque, fait voir que, après un temps extrêmement long, les divers points acquièrent des températures presque égales, et que les tempé- ratures d'un même point finis^nt par varier en raison inverse de la racine carrée des temps écoulés depuis le commencement de la diff^u-
CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR. Ul
sion. Les décroissements de la température d'un point quelconque deviennent toujours proportionnels aux accroissements du temps.
380. Si Ton faisait usage de Tintégrale
(0
2 y/TT kt J
pour connaître Fétat variable des points de la ligne placés à une grande distance de la portion échauffée et que, pour exprimer cette dernière
a« ~ î a .r
condition, on supprimât encore le facteurs *^' , les conséquences que Ton obtiendrait ne seraient pas exactes. En effet, en supposant que la portion échauffée s'étende seulement depuis a = o jusqu'à a = g\ et que la limite g soit très petite par rapport à la distance x du point
dont on veut déterminer la température, la quantité — . , qui forme l'exposant se réduit bien à 7-77-; c'esl-à-dire que la raison des
deux quantités ^ . et -rrr approche d'autant plus de l'unité que
la valeur de x est plus grande par rapport à celle de a ; mais il ne s'en- suit pas que Ton puisse remplacer l'une de ces quantités par l'autre dans l'exposant de e. En général, l'omission des termes subordonnés ne peut avoir lieu ainsi dans les expressions exponentielles ou trigo- nométriques. Les quantités placées sous les signes de sinus ou de co- sinus, ou sous le signe exponentiel e, sont toujours des nombres absolus, et l'on ne peut omettre que les parties de ces nombres dont la valeur est extrêmement petite; leurs valeurs relatives ne sont ici d'aucune considération. Pour juger si l'on peut réduire l'expression
doc
0
à celle-ci :
■**' / Aa)dcc,
0
F. 56
W2 THÉORIE DE LA CHALEUR.
il ne faut pas examiner si le rapport de a? à a est très grand, mais si. les termes -7^ > ^^ sont des nombres très petits. Cette condition a
[\kt i\kt ^
toujours lieu lorsque le temps écoulé t est extrêmement grand; mais elle ne dépend point du rapport
X CfL
381.
Supposons maintenant que Ton veuille connaître combien il doit s'écouler de temps pour que les températures de la partie du solide comprise depuis 07=0 jusqu'à a; = X puissent être représentées à très peu près par l'équation réduite
o et pétant les limites de la portion primitivement échauiïée. La solution exacte est donnée par l'équation
g _'*-'^'
(0 s^^ , / e ''' /{oL)d(x
et la solution approchée est donnée par l'équation
(7)
isjTikt J.
K
k désignant la valeur ^^ de la conducibilité. Pour que l'équation (y) puisse être en général substituée k la précédente (i), il faut que le
iOL.r — ix*
facteur e ^^' , qui est celui que Ton omet, diffère très peu de l'unité; car, s'il était 2 ou ^, on pourrait craindre de commettre une erreur égale à la valeur calculée, ou à la moitié de cette valeur. Soit donc
(u étant une petite fraction, comme 7^ ou 7^, on en conclura la
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. W3 condition
aao: — a* aaj? — a' j- =&> ou /= — ;r-, >
et, si la plus grande valeur g que puisse recevoir la variable a est très petite par rapport à x^ on aura
On voit par ce résultat que, plus les points dont on veut déterminer la température au moyen de l'équation réduite sont éloignés de l'ori- gine, plus il est nécessaire que la valeur du temps écoulé soit grande ( * ). Ainsi la chaleur tend de plus en plus à se distribuer suivant une loi indépendante de réchauffement primitif. Après un certain temps, la diffusion est sensiblement opérée; c'est-à-dire que l'état du solide ne dépend plus que de la quantité de la chaleur initiale, et non de la dis- tribution qui en avait été faite. Les températures des points assez voi- sins de l'origine ne tardent pas à être représentées sans erreur par l'équation réduite (j); mais il n'en est pas de même des points très distants de ce foyer. On ne peut alors faire usage de la même équation que si le temps écoulé est extrêmement long. Les applications numé- riques rendront cette remarque plus sensible.
382.
Supposons que la substance dont le prisme est formé est le fer, et que la portion de ce solide qui a été échauffée a o",i d'étendue, en sorte que ^= o,i. Si l'on veut connaître quelle sera, après un temps donné, la température d'un point m dont la distance à l'origine est i*", et si Ton emploie pour ce calcul l'intégrale approchée (j), on com-
(*) Les explications données plus haut montrent quo ces conclusions sont inexactes. Pour les points assez voisins do l'origine, la loi représentée par l'équation réduite Q) ne sera jamais applicable. Elle pourra, au contraire, convenir aux points très éloignés pendant
la période de temps pour laquelle - a des valeurs très petites, — ayant, au contraire, des
valeurs sensibles. " G. I).
4U THÉORIE DE LA CHALEUR.
mettra une erreur d'autant plus grande que la valeur du temps sera moindre. Cette erreur sera plus petite que la centième partie de la quantité cherchée si le temps écoulé surpasse trois jours et demi.
Dans ce cas, la distance comprise entre l'origine o et le point m dont on détermine la température est seulement dix fois plus grande que la portion échauffée. Si ce rapport est loo au lieu d'être lo, l'intégrale réduite {y) donnera la température à moins de -^ près lorsque la va- leur du temps écoulé surpassera un mois. Pour que Tapproximation
soit admissible, il est nécessaire, en général, i° que la quantité — j^- —
ne puisse équivaloir qu'à une très petite fraction, comme -—^ ou ~ au plus; 2° que l'erreur qui en doit résulter ait une valeur absolue beaucoup moindre que les petites quantités que l'on observe avec les thermomètres les plus sensibles.
Lorsque les points que l'on considère sont très éloignés de la portion du solide qui a été primitivement échauffée, les températures qu*il s'agit de déterminer sont extrêmement petites; ainsi l'erreur que l'on commettrait en se servant de l'équation réduite aurait une très petite valeur absolue; mais il ne s'ensuit pas que l'on soit autorisé à faire usage de cette équation; car, si l'erreur commise, quoique très petite, surpasse ou égale la quantité cherchée, ou même si elle en est la moitié, ou le quart, ou une partie notable, l'approximation doit être rejetée. Il est manifeste gue, dans ce cas, l'équation approchée {y) n'exprimerait point l'état du solide, et que l'on ne pourrait point s'en servir pour déterminer les rapports des températures simultanées de deux ou plusieurs points.
383.
Il suit de cet examen que l'on ne doit point conclure de l'intégrale
r^-— :. / e *^' /{oc)da
que la loi de la distribution primitive n'inQue pas sur la température des points très éloignés de l'origine. L'effet résultant de cette distri-
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. W5
bution cesse bientôt d'avoir lieu pour les points voisins de la portion échauffée, c'est-à-dire que leur température ne dépend plus que de la quantité de chaleur initiale, et non de la répartition qui en avait été faite; mais la grandeur de la distance ne concourt point à effacer l'em- preinte de la distribution; elle la conserve, au contraire, pendant un très long temps et retarde la diffusion de la chaleur. Ainsi l'équa- tion
ne représente les températures des points extrêmement éloignés de la partie échauffée qu'après un temps immense. Si on l'appliquait sans cette condition, on trouverait des résultats doubles ou triples des véri- tables, ou même incomparablement plus grands ou plus petits; et cela n'aurait pas lieu seulement pour des valeurs très petites du temps, mais pour de grandes valeurs telles que une heure, un jour, une année. Enfin cette expression serait d'autant moins exacte, toutes choses égales d'ailleurs, que les points seraient plus éloignés de la partie primitivement échauffée.
384.
Lorsque la diffusion de la chaleur s'opère dans tous les sens, l'état du solide est représenté, comme on l'a vu, par l'intégrale
(y) v>z:z / rie ^*' f{a,%y)dad^dy.
Si la chaleur initiale est contenue dans une portion déterminée de la masse solide, on connaîtra les limites qui comprennent cette partie échauffée; et les quantités a, p, y qui varient sous le signe intégral ne pourront point recevoir de valeurs qui excèdent ces limites. Supposons donc que l'on marque sur les trois axes six points dont les distances sont -f-X, -h Y, -hZ et —X, —Y, — Z, et que l'on considère les états successifs du solide compris entre les six plans qui passent à ces
W6 THÉORIE DE LA CHALEUR.
distances; on voit que l'exposant de e^ sous le signe d'intégration, se réduit à — ^- — -;^- — — lorsque la valeur du temps écoulé augmente
sans borne. En effet, les termes tels que ^77 et -rr. reçoivent dans ce
cas des valeurs absolues très petites, parce que les numérateurs sont compris entre des limites fixes et que les dénominateurs croissent à rinfini. Ainsi les facteurs que l'on omet diffèrent extrêmement peu de l'unité. Donc l'état variable du solide, après une grande valeur du temps, a pour expression
.r' -♦->•*-»- 5 •
—-3^ *" ////(a,(3,y)^a^?^y.
Le facteur
représente la quantité totale de chaleur B que le solide contient. Ainsi le système des températures ne dépend point de la distribution de la chaleur initiale, mais seulement de sa quantité. On pourrait supposer que toute la chaleur initiale était contenue dans un seul élément pris- matique placé à l'origine, et dont les dimensions orthogonales et extrê- mement petites seraient co,, (O2, (O3. La température initiale de cet élé- ment serait désignée par un nombre extrêmement grand /, et toutes les autres molécules du solide auraient une température initiale nulle. Le produit Oô.tOa 0)3/ équivaut, dans ce cas, k l'intégrale
fJJf{0L,%y)dadpdy.
Quel que soit réchauffement initial, l'état du solide qui correspond à une valeur du temps très grande est le même que si toute la chaleur avait été réunie dans un seul élément placé à l'origine.
385.
Supposons maintenant que l'on ne considère que les points du so- lide dont la distance à l'origine est très grande par rapport aux dimen- sions de la partie échauffée; on pourrait d'abord penser que cette con-
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 417
dition suffit pour réduire Texposanlde e dans l'intégrale générale. En effet, cet exposant est
kkt '
et les variables a, p, y sont, par hypothèse, comprises entre des limites déterminées, en sorte que leurs valeurs sont toujours extrêmement petites par rapport à la plus grande coordonnée d'un point très éloigné de l'origine. Il suit de là que l'exposant de e se compose de deux par- ties M et [Jb, dont l'une est très petite par rapport à l'autre. Mais de ce que
le rapport — est une très petite fraction on ne peut pas conclure que
l'exponentielle é^'^^ devienne égale à ^^ ou n'en diffère que d'une quantité très petite par rapport à sa propre valeur. Il ne faut point considérer les valeurs relatives de M et [jl, mais seulement la valeur absolue de (x. Pour que l'on puisse réduire l'intégrale exacte (y) à l'équation
|
B |
e |
||
|
2^ |
'(j.kt)^ |
il est nécessaire que la quantité
2aj?-f- 2^/-+- 2y-3 — a* — (3' — y*
l^kt '
dont la dimension est o, soit toujours un nombre fort petit. Si l'on sup- pose que la distance de l'origine au point m dont on veut déterminer la température est très grande par rapport a l'étendue de la partie qui a été d'abord échauffée, on examinera si la quantité précédente est tou- jours une très petite fraction o). Il faut que cette condition soit satis- faite pour que l'on puisse employer l'intégrale approchée
mais cette équation ne représente point l'état variable de la partie de la masse qui est très distante du foyer. Elle donne au contraire un
kkS THÉORIE DE LA CHALEUR.
résultat d'autant moins exact, toutes choses d'ailleurs égales, que les points dont on détermine la température sont plus éloignés du foyer.
La' chaleur initiale contenue dans une portion déterminée de la masse solide pénètre successivement les parties voisines et se répand dans tous les sens; il n'en parvient qu'une quantité extrêmement petite aux points dont la distance à l'origine est très grande. Lorsqu'on exprime par l'analyse la température de ces points» l'objet du calcul n'est pas de déterminer en nombre ces températures, qui ne sont point mesurables, mais de connaître leurs rapports. Or ces quantités dépendent certainement de la loi suivant laquelle la chaleur initiale a été distribuée, et l'effet de cette répartition initiale dure d'autant plus que les parties du prisme sont plus éloignées du foyer. Mais, si les
termes qui font partie de l'exposant, tels que -jj-r ^^ rr}^ ^"^ ^^s va- leurs absolues qui décroissent sans limite, on doit employer les inté- grales approchées.
Cette condition a lieu dans les questions où l'on se propose de déter- miner les plus hautes températures des points très éloignés de l'ori- gine. En effet, on peut démontrer que, dans ce cas, les valeurs du temps croissent dans un plus grand rapport que les distances, et qu'elles sont proportionnelles au carré de ces distances lorsque les points que l'on considère sont très éloignés de l'origine. Ce n'est qu'après avoir établi cette proposition qu'on peut opérer la réduction sous l'exposant. Les questions de ce genre seront l'objet de la Section suivante.
SECTION III.
PES PLUS HAUTES TEMPÉRATURES DANS UN SOLIDE INFINI.
386.
Nous considérerons en premier lieu le mouvement linéaire dans une barre infinie dont une portion a été uniformément échauffée, et nous chercherons quelle doit être la valeur du temps écoulé pour
j
CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR. W9
qu'un point donné de cette ligne parvienne à sa plus haute tempéra- ture.
On désignera par ag l'étendue de la partie échauffée dont le milieu coïncide avec l'origine o des distances x. Tous les points dont la distance à l'axe des y est moindre que g et plus grande que —g ont, par hypothèse, une température initiale commune /, et toutes les au- tres tranches ont la température initiale o. On suppose qu'il ne se fait à la surface extérieure du prisme aucune déperdition de chaleur, ou, ce qui est la même chose, on attribue à la section perpendiculaire à l'axe des dimensions infinies. Il s'agit de connaître quel sera, pour un point donné dont la distance est x, le temps t qui répond au maximum de température.
On a vu, dans les articles précédents, que la température variable d'un point quelconque est exprimée par l'équation -
(a-.r)«
V:=^ / le '"' f{(X)d0L.
Le coefficient k représente tt^j K étant la conducibilité spécifique,
G la capacité de chaleur et D la densité. On fera k = i pour simplifier
le calcul et, dans le résultat, on écrira kt ou 7^ au lieu de t. L'expres- sion de v" est donc
Elle est l'intégrale de l'équation
La fonction -5- mesure la vitesse avec laquelle la chaleur s'écoule sui- vant l'axe du prisme. Or cette valeur de -r- est donnée dans la ques- tion actuelle sans aucun signe d'intégrale. On a, en effet.
sJ-KtJ-g ^^ F. ^ 57
kSO THÉORIE DE LA CHALEUR.
ou, en achevant l'intégration ^
387. . La fonction ~ peut donc aussi être exprimée sans signe d'inté-
grale; or elle équivaut à la fluxion du premier ordre ^; donc, en éga-
lant à zéro cette valeur de j-> qui mesure Taccroissement instantané
de la température d'un point quelconque, on aura la relation cherchée entre x et /. On trouve ainsi
ce qui donne
(jc-^g)e *' —{x-'g)e *' ;
on en conclut
tr= — ^
'<i^)
On a supposé /^ij = i; pour rétablir le coeffîcient, il faut écrire kjj au lieu de t, et Ton a
Les plus hautes températures se succèdent suivant la loi exprimée par cette équation. Si l'on suppose qu'elle représente le mouvement varié d'un corps qui décrit une ligne droite, x étant l'espace parcouru et t le temps écoulé, la vitesse du mobile sera celle du maximum de température.
Lorsque la quantité^ est infiniment petite, c'est-à-dire lorsque toute la chaleur initiale est réunie dans un seul élément placé à l'origine, la
valeur de i se réduit à - et, par la differentiation ou le développement
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. i51
en série, on trouve
CD "" 2 •
On a fait abstraction de la quantité de chaleur qui se dissipe par la surface du prisme; nous allons maintenant avoir égard à cette déper- dition, et nous supposerons que la chaleur initiale est contenue dans un seul élément de la barre prismatique infinie.
388.
Dans la question précédente, on a déterminé l'état variable d'un prisme infini dont une portion déterminée était affectée dans tous les points d'une température initiale /. On supposait que la chaleur ini- tiale était distribuée dans une étendue finie, depuis x = o jusqu'à ,x = b. On suppose maintenant que la même quantité de chaleur bf est contenue dans un élément infiniment petit, depuis 07 — 0 jusqu'à
X = 0). La température de la tranche échauffée sera donc — > et il ré- sulte de ce qui a été dit précédemment que l'état variable du solide sera exprimé par l'équation
2 sjizkt
le coefficient ^, qui entre dans l'équation différentielle
^' - L ^ _ / dt ~" CI) dx^ '
HL
est ici encore désigné par k\ quant au coefficient A, il équivaut à çTy^'y
on désigne par S l'aire de la section du prisme, par L le contour de cette section et par H la conducibilité de la surface extérieure. En sub- stituant ces valeurs dans l'équation (a), on a
(A) ri= % P. '^' e ^"S ;
/représente la température moyenne initiale, c'est-à-dire celle qu'au-
ko2 THÉORIE DE LA CHALEUR.
rait un seul point si Ton distribuait également la chaleur initiale entre tous les points d'une portion de la barre dont ia longueur serait b ou, plus simplement, l'unité de mesure. Il s'agit de déterminer la valeur du temps écoulé t qui répond au maximum de température d'un point donné.
Pour résoudre cette question, il suffit de déduire de l'équation {a) la dt
valeur de -rr et de l'égaler à zéro; on aura
dv . a:' IV
et
I ik i l\hk
(^)
t^ x- t X
t
Donc la valeur 6 du temps qui doit s'écouler pour que le point placé à la distance x atteigne sa plus haute température est exprimée par l'équation
(c) Okz=i
x^ \ x"^ ^ kx*
Pour connaître la plus haute température V, on remarquera que
l'exposant de e"* dans l'équation (a) est ht -h j-rr 0"* l'équation [h) donne
, X^ I
donc
, X^ X^ {
ht -f- y-T- ■= —,
4 kl 2 kl 2
et, mettant pour - sa valeur connue, on a
substituant cet exposant de e~* dans l'équation (a), on a
2\/nk9
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CFIALEUR. 1^33
et, remplaçant y^O par sa valeur connue, on trouve, pour l'expression du maximum y.
Les équations {c) et (rf) contiennent la solution de la question; on remplacera h et k par leurs valeurs >,^ ^^ n>» ^^ P®^^ aussi écrire -
au lieu de |r> en représentant par g la demi-épaisseur du prisme, dont la base est un carré. On aura, pour déterminer 6 et V, les équations
(C) ^e=- -'
I-I-2
Au , i
n^^ v ¥ a / AK , i e ^k^' "^î (D) V=-^i/ i + 2 4/=^,r«-h 7
2^nV y ^^ 4 ^
Ces équations s'appliquent au mouvement de la chaleur dans une barre peu épaisse dont la longueur est très grande. On suppose que le milieu de ce prisme a été affecté d'une certaine quantité de chaleur bf, qui se propage jusqu'aux extrémités et se dissipe par la surface con- vexe. V désigne le maximum de température pour le point dont la dis- tance au foyer primitif est a?; 0 est le temps qui s'écoule depuis le commencement de la diffusion jusqu'à l'instant où la plus haute tem- pérature V a lieu. Les coefficients C, H, K, D désignent les mêmes pro- priétés spécifiques que dans les questions précédentes; et g est le demi-côté du carré formé par une section du prisme.
389.
Si l'on veut rendre ces résultats plus sensibles par une application numérique, on supposera que la substance dont le prisme est formé est le fer, et que le côté 2gdn carré est là vingtK^inquième partie d'un mètre.
Nous avons mesuré autrefois,, par nos expériences, les valeurs de
1^5'* THÉORIE DE LA CHALEUR.
U, K; celles de C et D étaient déjà connues. En prenant le mëtre pour unité de longueur, la minute sexagésimale pour unité de temps et em- ployant les valeurs approchées de H, K, CD, on déterminera les valeurs de V et de 6 relatives à une distance donnée. Pour Texamen des con- séquences que nous avons en vue, il n'est pas nécessaire de connaître les coefficients avec une grande précision.
On voit d'abord que, si la distance x est d'environ un mètre et demi
Q H .
ou deux mètres, le terme r— ^^ qui entre sous le radical a une grande
valeur par rapport au second terme j. Le rapport de ces termes est d'autant plus grand que la distance est plus grande.
Ainsi la loi des plus hautes températures devient de plus en plus simple à mesure que la chaleur s'éloigne de l'origine. Pour déterminer cette loi régulière qui s'établît dans toute l'étendue de la barre, il faut supposer que la distance x est très grande, et l'on trouve
CD^-
/aH
ou
et _
■
390.
On voit par la première équation que le temps qui répond au maxi- mum de température croit proportionnellement à la distance. Ainsi la vitesse de l'onde (si toutefois on peut appliquer cette expression au mouvement dont il s'agit) est constante, ou plutôt elle le devient de plus en plus et conserve cette propriété en s'éloignant à l'infini de l'o- rigine de la chaleur.
On remarquera aussi dans la seconde équation que la quantité
CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR, 455
fe "^ exprime les températures permanentes que prendraient les différents points de la barre si Ton affectait l'origine d'une tempéra- ture fixe/, comme on peut le voir dans le Chapitre I (art. 76, p. 55). Il faut donc, pour se représenter la valeur de V, concevoir que toute là chaleur initiale que le foyer contient est également distribuée dans une portion de la barre dont la longueur est b, ou l'unité de mesure. La température /qui en résulterait pour chaque point de celte portion est, en quelque sorte, la température moyenne. Si l'on supposait que la tranche placée à l'origine fût retenue pendant un temps infini à la température constante /, toutes les autres tranches acquerraient des
températures fixes dont l'expression générale est/e ^^, en désignant para? la distance delà tranche. Ces températures fixes, représentées par les ordonnées d'une logarithmique, sont extrêmement petites lorsque la distance est- un peu considérable; elles décroissent, comme on le sait, très rapidement à mesure que l'on s'éloigne de l'origine. Or l'é- quation (S) fait voir que ces températures fixes, qui sont les plus hautes que chaque point puisse acquérir, surpassent beaucoup les plus hautes températures qui se succèdent pendant la diffusion de la chaleur. Pour déterminer ce dernier maximum , il faut calculer la valeur du maximum fixe, la 'multiplier par le nombre constant
(|7— y -tLt, et diviser par la racine carrée de la distance x.
Ainsi les plus hautes températures se succèdent dans toute l'étendue de la ligne comme les ordonnées d'une logarithmique divisées par les racines carrées des abscisses, et le mouvement de l'onde est uniforme. C'est suivant cette loi générale que la chaleur réunie en un seul point se propage dans le sens de la longueur du solide.
391.
Si l'on regardait comme nulle la conducibilité de la surface exté- rieure du prisme, ou si la conducibilité K ou l'épaisseur 2g était supposée infinie, on obtiendrait des résultats très différents. On
\S6 THEORIE DE LA CHALEUR.
omettrait alors le terme =7- ac*. et l'on aurait
!^? = i:r« et \^ jL ' CI) a y^2 7re "^
Dans ce cas, la valeur du maximum est en raison inverse de la distance; ainsi le mouvement de l'onde ne serait point uniforme, llfaut remar- quer que cette hypothèse est purement théorique et que, si la condu- cibilité H n'est pas nulle, mais seulement une quantité extrêmement petite, la vitesse de Tonde n'est point variable dans les parties du prisme qui sont très éloignées de l'origine. En effet, quelque petite que soit la valeur de H, si cette valeur est donnée, ainsi que celles de K et g, et si l'on suppose que la distance x augmente sans limite, le
terme ît^^^ deviendra toujours beaucoup plus grand que \. Les dis- tances peuvent d'abord être assez petites pour que ce terme jr-^^t* doive
être omis sous le radical : alors les temps sont proportionnels aux car- rés des distances; mais, à mesure que la chaleur s'écoule dans le sens de la longueur infinie, la loi de la propagation s'altère, et les temps deviennent proportionnels aux distances. La loi initiale, c'est-à-dire celle qui se rapporte aux points extrêmement voisins du foyer, diffère beaucoup de la loi finale qui s'établit dans les parties très éloignées et jusqu'à l'infini; mais, dans les portions intermédiaires, les plus hautes températures se succèdent suivant une loi mixte, exprimée par les deux équations précédentes (C) et (D).
392.
Il nous reste à déterminer les plus hautes températures pour le cas où la chaleur se propage à l'infini et en tout sens dans la matière solide. Cette recherche ne présente aucune difficulté d'après les prin- cipes que nous avons établis.
Lorsqu'une portion déterminée d'un solide infini a été échauffée, et que toutes les autres parties de la masse ont la température initiale o« la chaleur se propage dans tous les sens et, après un certain temps.
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. W7
l'état du solide est le même que si elle avait été primitivement réunie dans un seul point à l'origine des coordonnées. Le temps qui doit s'é- couler pour que ce dernier effet ait lieu est extrêmement grand lorsque les points de la masse sont très éloignés de l'origine. Chacun de ces derniers points, qui avait d'abord la température o, s'échauffe insen- siblement; sa température acquiert ensuite la plus grande valeur qu'elle puisse recevoir (^); et elle finit par diminuer de plus en plus jusqu'à ce qu'il ne reste dans la masse aucune chaleur sensible. L'état variable est en général représenté par l'équation
(E) v^\ / / — -—^——f{a,h,c)dadbdn
J J J 2 y 71^ 2^71^ 2\jT:t
les intégrales doivent être prises entre les limites
a = — a,, «=:a,; 6=: — b^ b=-bx\ c = — C|, c=zc^.
Les limites —a,, h- a^, — -^i» -f-^a» — ^i» -+-^2 sont données; elles comprennent toute la portion du solide quia été primitivement échauf- fée. La fonction/(a, 6, c) est aussi donnée ; elle exprime la température initiale du point dont les coordonnées sonta, b^ c. Les intégrations dé- finies font disparaître les variables a, b, c et il reste pour t' une fonc- tion de ce, J, z, t et des constantes. Pour déterminer le temps 0 qui répond au maximum de t', en un point m donné, il faut tirer de l'équa-
tion précédente la valeur de -j-; on formera ainsi une équation qui
contient 0 et les coordonnées du point m. On en pourra donc déduire la valeur de 0, Si l'on substitue ensuite cette valeur de 0 au lieu de / dans l'équation (E), on connaîtra la valeur de la plus haute tempéra- ture V exprimée en a?, y, z et en constantes. On écrira, au lieu de l'équation (E),
V = fff^f{ciy b, c) da db de,
(*) Il ne parait pas certain que la température passe par un seul maximum; il pourrait y avoir, au moins en certains points^ toute une succession de maxima et de minima.
G. D.
F. 58
458 THÉORIE DE*LA CHALEUR.
en désignant par P le produit des trois fonctions semblables; on aura ensuite
(O
Tt^-l'i-^J JJ kl} fna.b.c)dadbdc.
393.
Il faut maintenant appliquer cette dernière expression aux points (lu solide qui sont très éloignés de Torigine. Un point quelconque de la portion qui contient la chaleur initiale a pour coordonnées les va- riables a, h, c; et le point m dont on veut déterminer la température a pour coordonnées^,/, z. Le carré de la distance de ces deux points est [a — 37)^4- [b — j)^-i- [c — s)', et cette quantité entre comme fac- teur dans le second terme de ^- Or, le point m étant très éloigné de
Torigine, il est évident que sa distance A à un point quelconque de la portion échauffée se confond avec la distance D de ce même point à Torigine; c'est-à-dire que, le point m s'éloignant de plus en plus du foyer primitif qui contient l'origine des coordonnées, la dernière raison des distances D et A est i .
Il suit de là que, dans l'équation (e) qui donne la valeur de -^r ''
faut remplacer le facteur(a — x)^-h(6 — j)^-f-(c — 5)'* par x^-i- y^-^rz^
ou r^, en désignant par r la distance du point m à l'origine. On aura
donc
dv 3 V '•'
ou
dt \W 2tJ
Kt
Si l'on met pour v sa valeur et si l'on remplace / par t^> afin de rétablir
K
le coetlicient ^Tt que l'on avait supposé égal à i , on aura
(^'^ dî='U[Ki) -ZKi\[ï^t) J J J ' Aa,b,c)dadbdc
à
1
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUU. 459
394.
Ce résultat ne convient qu'aux points du solide dont la distance à l'origine est très grande par rapport à la plus grande dimension du foyer. Il faut toujours remarquer avec soin qu'il ne résulte pas de cette condition que l'on puisse omettre les variables a, b, c sous le signe exponentiel. On doit seulement les omettre hors de ce signe. Si Ton ne faisait point cette distinction, on pourrait commettre une erreur considérable. En effet, le terme qui entre sous les signes d'intégration et qui multiplie/(a, 6, c) est le produit de plusieurs facteurs tels que
CD , CD ■ CD .
Or il ne suffit pas que le rapport - soit toujours un très grand nombre
pour que l'on puisse supprimer les deux premiers facteurs ; par exemple, si l'on suppose a égal à o™,î et x égal à lo"*, et si la sub- stance dans laquelle la chaleur se propage est le fer, on voit qu'après
CD
neuf ou dix heures écoulées le facteur e^^^ est encore plus grand que 2; donc, en le supprimant, on s'exposerait à réduire le résultat
cherché à la moitié de sa valeur. Ainsi la* valeur de -t-> telle qu'elle
convient aux points très éloignés de l'origine, et pour un temps quel- conque, doit être exprimée par l'équation (a); mais il n'en est pas de même si l'on ne considère que des valeurs du temps extrêmement grandes et qui croissent proportionnellement au carré des distances. Il faut, d'après cette condition, omettre sous le signe exponentiel même les termes qui contiennent a, ou 6, ou c. Or la condition a lieu lorsqu'on veut déterminer la plus haute température qu'un point éloi- gné puisse acquérir, comme nous allons le prouver.
395.
En effet, la valeur de g- doit être nulle dans le cas dont il s'agit; on aura donc
CD~"6
r«/CpY__3 CD_ 4 \Kt) 2 Kr""^
ou rq^ =1 7T /•*.
460 THÉORIE DE LA CHALEUR.
Ainsi le temps qui doit s'écouler pour qu'un point très éloigné ac- quière sa plus haute température est proportionnel au carré de la dis- tance de ce point à l'origine ( * ).
Si, dans l'expression de v, on remplace ^-j-- par sa valeur — ;5» l'ex- posant de e~* , qui est
3 (a-a-)«-h{6-.rr-+-(c-:;)*
2 r*-
peut se réduire à |, parce que les facteurs que l'on omet se confondent avec l'unité.
On trouve, par conséquent,
3
,t /•» ,1
L'intégrale j j j f[a,b,c)dadbdc représente la quantité de chaleur initiale; le volume de la sphère dont le rayon estr estluA^, en sorte
( 1) Si, dans l'expression exacte
(n—T)*-\-[b—y)*-^-(c—z i«
v^ — i— j / / le • *»^' f{a,b,c)dadbdc.
on prend la dérivée par rapport à t^ on trouve
Supposons, pour fixer les idées, la température primitive /(«. b, c) toujours positive. L'in- tégrale précédente no pourra être nulle que si le facteur
~ f/ "^ 4¥7? f^'' ~ •^^' ■*" ^ '^ ~^ ^' "^ ^ ^ ~ ' ^' 1
change de signe dans les limites des intégrations et, par conséquent, s'annule pour un point (^, 7], ^) compris dans l'intérieur du parallélépipède primitivement échauffé. On a donc pour / la valeur
qui devient sensiblement proportionnelle à j7»-f-^«H- z* lorsque le point (.«', j, z) s'éloigne indéfiniment. G. D.
CHAPITRE IX.- DlFFUSlOiN DE LA CHALEUR. Wl
que, en désignant par /la température que recevrait chaque molécule de cette sphère si Ton distribuait également entre ses parties toute la chaleur initiale, on aura
'"G
=^v/S
Les résultats que nous avons exposés dans ce Chapitre font connaître suivant quelle loi la chaleur contenue dans une portion déterminée d'un solide infini pénètre progressivement toutes les autres parties dont la température initiale était nulle. Cette question est résolue par une analyse plus simple que celle des Chapitres précédents, parce qu'en attribuant au solide des dimensions infinies on fait disparaître les conditions relatives à la surface, et que la principale difficulté con- siste dans l'emploi de ces dernières conditions. Les conséquences géné- rales du mouvement de la chaleur dans une masse solide non terminée sont très remarquables, parce que le mouvement n'est point troublé par l'obstacle des surfaces : il s'accomplit librement en vertu des pro- priétés naturelles de la chaleur. Notre analyse est, à proprement parler, celle de l'irradiation de la chaleur dans la matière solide.
SECTION IV.
COMPARAISON DES INTÉGRALES.
396.
L'intégrale de l'équation de la propagation de la chaleur se présente sous différentes formes qu'il est nécessaire de comparer. Il est facile, comme on le voit dans la Section II de ce Chapitre (art. 372 et 376, p. 427 et 434), de ramener le cas des trois dimensions à celui du mou- vement linéaire; il suffit donc d'intégrer l'équation
ou celle-ci :
|
ds> |
K d*v |
|
dt ~~ |
CD dx^ |
|
dv |
d^v |
|
dt |
~ dx* |
h62 THÉORIE DE LA CHALEUR.
Pour déduire de cette équation difTérentielle les lois de la propagation de la chaleur dans un corps d*une figure déterminée, par exemple dans une armille, il était nécessaire de connaître Tintégrale, et de Tobtenir sous une certaine forme propre à la question et qui ne pourrait être suppléée par aucune autre. Cette intégrale a été donnée, pour la pre- mière fois, dans notre Mémoire remis à l'Institut de France le 21 dé- cembre 1807 (art. 84, page 12^4 de ce Mémoire) : elle consiste dans réquation suivante, qui exprime le système variable des températures d'un anneau solide,
doit être prise, par rapport à a, depuis a = o jusqu'à a == 2i:R ou, ce qui donne le même résultat, depuis a = — irR jusqu'à a = rR; i est un nombre entier quelconque et la somme Z doit être prise depuis I — — 00 jusqu'à e = -^ Qo; i^ désigne la température que l'on observe- rait après le temps écoulé / en chaque point d'une section séparée par Tare X de celle qui est à l'origine. On représente par v = F(£r) la tem- pérature initiale d'un point quelconque de l'anneau. Il faut donner à i les valeurs successives
o, ^ I, -h 2, -h 3, -h. . . et
t y ^, w», • • • f
( < ) L.e Mémoire maDuscrit que cite ici Fourier ne nous est connu que par un extrait publié dans le Bulletin des Sciences de la Société philomathique, année 1808, p. 112. Plus tard, le 28 septembre 1811, Fourier a présenté un autre Mémoire qui a été couronné dans la séance publique du 6 janvier 1812. Ce second Mémoire, qui doit être considéré comme une rédaction nouvelle du premier et qui est conservé dans les Archives de l'Académie des Sciences, a été imprimé sans aucun changement dans le tome IV des Mémoires de l'Aca- démie rojrale des Sciences de l'Itt^titut de France (pour les années 18 19 et 1820), publié en 1824, et dans le tome V du même Recueil (pour les années 1821 et 1822), publié en 1826. On voit que la publication intégrale du Mémoire de 181 1 est postérieure à celle de la Théorie analytique de la chaleur , qui a eu lieu en 1822. Les résultats des recherches de Fourier avaient d'ailleurs été indiqués d'une manière détaillée dans divers articles des Annales de Chimie et de Physique et du Bulletin des Sciences de la Société philomathique .
G. D.
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE l\ CHALEUR. 463
'X — a
et, au lieu de cosi . > écrire
cosi s cost Yy -+- sine jr sïni ^; n 1\ K U
on obtient ainsi tous les termes de la valeur de i^. Telle est la forme sous laquelle doit être mise Tintégrale de l'équation (a), pour ex- primer le mouvement variable de la chaleur dans une armille (Chap. IV, art. 241, p. 244)- On considère le cas où la forme et l'étendue de la section génératrice de Tarmille sont telles que les points d'une même section conservent des températures sensiblement égales. On suppose aussi qu'il ne se fait à la superficie de l'anneau aucune déperdition de
la chaleur.
397.
L'équation (a) s'appliquant à toutes les valeurs de R, on y peut sup- poser R infini : elle donne, dans ce cas, la solution de la question sui- vante. L'état initial d'un prisme solide d'une petite épaisseur et d'une longueur infinie étant connu et exprimé par l'équation
déterminer tous les états subséquents. On considère le rayon R comme contenant un nombre n de fois le rayon i des Tables trigonométriques. Désignant par q une variable qui devient successivement dq, idq,
Zdq idq^ ..., le nombre infini n sera exprimé par ^i et le
nombre variable i par ~ • Faisant ces substitutions, on trouve
i;= — V dqfe-^*^cosq{x — a)F{(x)d(x.
Les termes qui entrent sous le signe 2) sont des quantités difieren- tielles, en sorte que ce signe devient celui d'une intégrale définie et l'on a
(;3) v= — / F{a)d(xf e-''*'cosq{X'- (x)dq.
W* THÉORIE DE LA CHALEUR.
Cette équation est une seconde forme de l'intégrale de l'équa- tion (a); elle exprime le mouvement linéaire de la chaleur dans un prisme d'une longueur infinie (Chap. Vil, art. 354, p. 402). Elle est une conséquence évidente de la première intégrale (a).
398.
On peut, dans l'équation (P), effectuer l'intégration définie par rap- port à q; car on a, selon un lemme connu et que l'on a démontré pré- cédemment (art. 375, p. 434)»
I c"-' cos a A 5 ^5 = v^ e-'*\
Faisant donc z^ = g^i et h= — ~y on trouvera
f e-v''cos^(j7 — a)^7 = i/- e ^ *^
-4 A. (7;^).
donc l'intégrale (P) de l'article précédent devient
(y) «'=—7= / e~^ *»'' ^ F(a)e/a.
Si l'on emploie, au lieu de a, une autre indéterminée ^ en faisant on trouve
Cette forme (S) de l'intégrale de l'équation {a) a été donnée par M. La- place dans le Tome VIII du Journal de l'École Polytechnique (*). Ce grand géomètre est parvenu à ce résultat en considérant la série infinie qui représente l'intégrale.
(») P^oir la note p. ^14.
— r" el K' —.c -\- C s^" dt;
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 465
Chacune des équations (P), (y), (S) exprime la diffusion linéaire de
la chaleur dans un prisme d'une longueur infinie. Il est évident que ce
sont trois formes d'une même intégrale, et qu'aucune ne peut être
considérée comme plus générale que les autres. Chacune d'elles est
contenue dans l'intégrale (a), dont on la dérive en donnant à R une
valeur infinie.
399.
Il est facile de développer la valeur de v déduite de l'équation [a] en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de l'une ou l'autre variable. Ces développements se présentent d'eux-mêmes, et nous pourrions nous dispenser de les rapporter; mais ils donnent lieu à des remarques utiles pour la recherche des intégrales. En désignant parc, 9", 9 , ... les fonctions -^, _^A^_^ _^-A_J, .. ., on a
ât
la constante représente ici une fonction quelconque de x\ En mettant pour v" sa valeur c"-f- jv^'^dt, et continuant toujours des substitutions semblables, on trouve
v — c~\-fv''dt
= c-^f{c'-{-fi''''dt)dt
^c^f[c'A-J'{c''-\- f'ç''''dt)dt^ ou
(T) ^ = c4-/c'-+- ~c'^'-h -^c^''-h— Ç^c^"' + ....
Dans cette série, c désigne une fonction arbitraire en œ.
Si l'on veut ordonner le développement de la valeur de v selon les puissances ascendantes de a:, on écrira
et, désignant par ç,, ç,,, ç,^,, ... les fonctions
d(^ d}o d^(^
dt' 'dt^' IF' ■"'
F. 59
466 THÉORIE DE LA CHALEUR.
on aura d'abord
a et b représentent ici deux fonctions quelconques de /. On mettra ensuite pour k\ sa valeur
a, -+- b,x -h f d.r I i\ dx,
et pour V,, sa valeur
a^-\- b^x + I dx j {\ dxy
et ainsi de suite. On trouvera, par ces substitutions continuées,
v:=:za ->r bx H- / dx J V, dx ~a-\-bx->r- j dx I {o,-^ b^x -h f dxj^i^ dx) dx zzza-^ bx-h fdxj[a,-^ b^x-\- f dx j (a^-h b^x -\- f dx j v^dx)dx]dx
ou
(\)
^ = ^ ^^^ T ^^^2.14 ■^''-2. 3.^75.6 "^••-
'2.3 ^2.3.4.5 ^'2.3.4.5.6.7
Dans cette série, a et b désignent deux fonctions arbitraires de /.
Si, dans cette série donnée par Téquation (X), on met, au lieu de a et i, deux fonctions ç(/) et '|(^), et qu'on les développe selon les puissances ascendantes de ^ en ordonnant le résultat total par rapport à CCS mêmes puissances de /, on ne trouve qu'une seule fonction arbi- traire de X, au lieu des deux fonctions a et b. On doit cette remarque à M. Poisson, qui l'a donnée dans le Tome VI du Journal de VÈcole Polytechnique, page uo (*).
Réciproquement, si, dans la série exprimée par l'équation (T), on développe la fonction c selon les puissances de .r, en ordonnant le ré- sultat par rapport k ces mêmes puissances de x^ les coefficients de ces
( * ) Poisson, Mémoire sur les solutions particulières des équfttions différenùelles et des équations aiuc différences. Lu à l'Institut le 23 floréal, an XHI. — Journal de l'École P<dj- technique, XHI* Cahier, l. VI, avril 1806. — Foir aussi la Théorie de la chaleur du même Auteur, p. i33 et suiv. G. D.
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUH. 467
puissances se trouvent formés de deux fonctions entièrement arbitraires de /, ce que Ton peut aisément vérifier en faisant le calcul.
400.
La valeur de i^, développée selon les puissances de t, ne doit en effet contenir qu'une fonction arbitraire en x : car Téquation différen- tielle (a) montre clairement que, si l'on connaissait en fonction de x la valeur de 9 qui répond à / = o, les autres valeurs de cette fonction r qui répondent aux valeurs subséquentes de / seraient par cela mên^e déterminées.
Il n'est pas moins évident que la fonction ^, étant développée selon les puissances ascendantes de x^ doit contenir deux fonctions entière- ment arbitraires de la variable t. En effet, l'équation différentielle
montre que, si l'on connaissait en fonction de / la valeur de v qui ré- pond a une valeur déterminée de x^ on ne pourrait pas en conclure les valeurs de v qui répondent à toutes les autres valeurs de x. Il fau- drait de plus que l'on donnât en fonction de / la valeur de v qui répond a une seconde valeur de a?, par exemple à celle qui est infiniment voi- sine de la première. Alors tous les autres états de la fonction r, c'est- à-dire ceux qui répondent à toutes les autres valeurs de x^ seraient déterminés. L'équation différentielle (a) appartient à une surface courbe, l'ordonnée verticale d'un point quelconque étant v et les deux coordonnées horizontales étant j? et /. Il suit évidemment de cette équa- tion (a) que la forme de la surface est déterminée lorsqu'on donne la figure de la section verticale dans le plan qui passe par l'axe des x\ et cela résulte aussi de la nature physique de la question : car il est manifeste que, l'état initial du prisme étant donné, tous les états subséquents sont déterminés. Mais on ne pourrait pas construire la surface si elle était seulement assujettie à passer par une courlx» tracée sur le premier plan vertical des / et des^; il faudrait de plus
VH8 THÉORIE DE LA CHALEUR.
connaître la courbe tracée sur un second plan vertical parallèle au premier, et que l'on peut supposer extrêmement voisin. Les mêmes remarques s'appliquent à toutes les équations aux diflerences partielles, et l'on voit que l'ordre de l'équation ne détermine point pour tous les cas le nombre des fonctions arbitraires.
401. La série (T) de l'article 399, qui dérive de Téquation
peut être mise sous cette forme
On développera l'exponentielle selon les puissances de I), et Ton écrira -j—, au lieu de D', en considérant i comme indice de diflerentia- (ion. On aura ainsi
dx' 2 dx^ 2.3 dx^
Suivant la même notation, la première partie de la série ($) (art. 399), (jui ne contient que des puissances paires de .r, sera exprimée sous cette forme :
v.o%{x\/^ J)) 9(^).
On développera selon les puissances de x, et Ton écrira .-^ au lieu de D',
en considérant i comme indice de différentiation. La seconde partie de la série (X) se déduit de la première, en intégrant par rapport à .r et changeant la fonction (p(/) en une autre fonction arbitraire '|(/). On a donc
t'~cos(.rv/— 0)9(0 + W
et
( * ) Ou mieux
\\ - r cos(xv^— i))'^(o^^' (')
•^0
smW-1)) V — D
G. 1).
J
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 4G9
Ces notations abrégées et connues dérivent des analogies qui existent entre les intégrales et les puissances. Quant à Tusage que nous en foi- sons ici, il a pour objet d'exprimer les séries et de les vérifier sans aucun développement. Il suffit de différentier sous les signes que cette notation emploie. Par exemple, de l'équation i^ = 6?'"'(p(.r) on déduit, en différentiant par rapport à t seulement,
ce qui montre immédiatement que la série satisfait à l'équation diffé- rentielle [a). Pareillement, si l'on considère la première partie de la série (X), en écrivant
i'rrC0s(.rv/— D) 9(0,
on aura, en différentiant deux fois par rapport à .r seulement,
^^;=Dcos(a'v/-n)9(0-Dr=^.
Donc cette valeur de v satisfait a l'équation différentielle [a). On trouvera de la même manière que l'équation différentielle
donne, pour l'expression de v en série développée selon les puissances
croissantes de j,
i' = cos(/D) (^{jc).
Il faut développer par rapport à j et écrire ^ au lieu de D. En effet, on déduit de cette valeur de c
|;^=-D'cos(7D)cp(^)=zz-I)«.^-^;.
La valeur sin(jD)K.r) satisfait aussi à l'équation différentielle : donc la valeur générale de v est
v-^ cos(/D) 9(^') -h sin(/D) 4'(-'')-
470 THÉORIE DE LA CHALEUR.
402.
Si l'équation différentielle proposée est
et que Ton veuille exprinier r en série ordonnée selon les puissances de /, on désignera par Dç» la fonction
Ou;*- âv^ et, l'équation étant
on aura
r =:z cos(/ v^— ti) ?(-^^ j)'
Kn effet, on en conclut
Il faut développer la valeur précédente de <' selon les puissances de /,
écrire y-yrt ~^ )~i) ^^ ''^^ ^^ 0'» ^^ regarder ensuite les exposants
comme des indices de différenliation. La valeur suivante
■ J'cos{t v^— I)) ^(x, y) dt
satisfait a la même condition ; ainsi la valeur la plus générale de r est
V r=cos(/ v^— I)) ^{Xyjr) -f- W, OÙ
r est une fonction /(a:, y, /] de trois variables; si Ton fait / = o, on a
/(x, j, o) = 9(j^,7); ( * ) Ou encore
y'J-D ^^ '•' ' . G. D.
CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR. kli
et, désignant 4}/(^f J»0 P^^*/!^» J» 0» ^" ^"'***
Si l'équation proposée est
la valeur* de ç^en série ordonnée selon les puissances de l sera en désignant ^-^ par D : car on en déduit
r= — D* P r=: — •
La valeur générale de i% qui ne peut contenir que deux fonctions arbi- traires de .r, est donc
avec
\V— r cos(/D')^P(^)r// (»).
Désignant v par/(.r, /), et %- par /'(.r, /), on a, pour déterminer les deux fonctions arbitraires,
403.
Si l'équation différentielle proposée est
on désignera par Do la fonction . ; H- —ï' ^'^ ^^i*!^* qti<* t)1^9 ^" '^^?
(M Ou mieux
siiurD») " D* ^' *• G. l).
472 THEORIE DE LA CHALEUR.
so formera en élevant le binôme ,-^ -h -.-^ au carré et regardant les
exposants comme indices de différentiation. L'équation {c) deviendra donc
1- l)*i* — o*
et la valeur de ^\ ordonnée selon les puissances de /, sera
cos(/D)9(j', j);
car on en tire ou
— D-r
La valeur la plus générale de r ne pouvant contenir que deux fonctions arbitraires en œ ci y, ce qui est une conséquence évidente de la forme de l'équation, cette valeur sera ainsi exprimée
Les fonctions ç et j» sont déterminées comme il suit: en désignant la
di
cp( j7, y)—f{x, y, o), ^{x, y) ==. /(.r, r, o),
Enfin, soit proposée l'équation différentielle
^•^ ^ dt ÔJC' dx* dx
fonction i' par /(.r, y,/), et -t. /{ol, y, t) p^r f^oc, y, t), on a
6 • • •
OÙ les coefficients a, b, c, .. . sont des nombres connus, l'ordre de l'équation étant indéfini.
La valeur la plus générale de r ne peut pas contenir plus d'une fonc- tion arbitraire en x; car il est évident par la forme même de l'équation
( ' ) Ou encore
i' = cos(f D) o(u:, j)H ^' 'K^,/;-
G. D.
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 473
que, si Ton connaissait en fonction de x la valeur de v qui répond a / = o, toutes les autres valeurs de ^ qui répondent aux valeurs succes- sives de / seraient déterminées. On aura donc, pour exprimer v, l'équa- tion
on désigne par Dç(a7) l'expression
dx^ dx^ dx^
«:T3î + ^-jri-HC:ri -+-...,
c'est-k-dire que, pour former la valeur de \\ il faudrait développer selon les puissances de / la quantité
et écrire ensuite ^ au lieu de a, en considérant les exposants de a
comme des indices de diflerentiation. En effet, cette valeur de v étant différentiée par rapport à / seulement, on a
il serait inutile de multiplier ces applications d'un même procédé. Pour les équations très simples, on peut se dispenser des expressions abrégées; mais, en général, elles suppléent à des calculs très com- posés. Nous avons choisi pour exemples les équations précédentes, parce qu'elles se rapportent toutes à des phénomènes physiques dont l'expression analytique est analogue à celle du mouvement de la cha- leur. Les deux premières, {a) et (6), appartiennent k la théorie de la chaleur; les trois suivantes (c), (rf), (e) a des questions dynamiques; la dernière (/) exprime ce que serait le mouvement de la chaleur dans les corps solides si la transmission instantanée n'était pas bornée k une distance extrêmement petite. On a un exemple de ce genre de question dans le mouvement de la chaleur lumineuse qui pénètre les milieux diaphanes.
F. 6o
47i THÉORIE DE LA CHALEUR.
404.
On peut obtenir par divers moyens les intégrales de ces mêmes équations. Nous indiquerons en premier lieu celui qui résulte de l'usage du théorème énoncé dans l'article 361 (p. 4o8), et que nous allons rappeler.
Si Ton considère l'expression
(^)
o{(x) dx I cosp{jr — oi)dp,
— 90 *- — •
on voit qu'elle représente une fonction de x\ car les deux intégrations définies, par rapport à a et/?, font disparaître ces variables, et il reste une fonction de x. La nature de cette fonction dépendra évidemment de celle que l'on aura choisie pour 9(a): On peut demander quelle doit être la fonction ^(a) pour que, après les deux intégrations défi- nies, on obtienne une fonction donnée /(.r). En général, la recherche des intégrales propres à exprimer divers phénomènes physiques se réduit à des questions semblables à la précédente. Ces questions ont pour objet de déterminer les fonctions arbitraires sous les signes d'in- tégration définie en sorte que le résultat de cette intégration soit une fonction donnée. Il est facile de voir, par exemple, que l'intégrale générale de l'équation
serait connue si, dans l'expression précédente (a), on pouvait déter- miner 9 (a) en sorte que le résultat de l'équation fût une fonction donnée /(.r). En efi'et, on forme immédiatement une valeur particu- lière de i\ ainsi exprimée
et l'on trouve cette condition
m m ap^ — bp'' -h cf/' — . . . .
On pourra donc prendre aussi
r=:e-"''cos/?(.r — a),
CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR. /^75
en donnant à la constante a une valeur quelconque. On aura pareille- ment
Il est évident que cette valeur de v satisfait à Téquation différen- tielle (/); elle n'est autre chose qu'une somme de valeurs particu- lières. De plus, supposant / = o, on doit trouver pour ç une fonction arbitraire de x. Désignant cette fonction par f[oc), on a
f{x) z= i (^{aL)dx f cos/?(j7 — a) dp.
Or il résulte de la forme de l'équation (/) que la valeur la plus générale de r ne peut contenir qu'une seule fonction arbitraire en œ. En effet, cette équation montre clairement que, si l'on connaît en fonc- tion de X la valeur de i^ pour une valeur donnée du temps /, toutes les autres valeurs de (^ qui correspondent aux autres valeurs du temps sont nécessairement déterminées. Il s'ensuit rigoureusement que, si l'on connaît en fonction de / et de a: une valeur de ^ qui satisfasse à l'équation différentielle et si, de plus, en y faisant / = o, cette fonc- tion de 07 et / devient une fonction entièrement arbitraire de x, la fonc- tion de 07 et / dont il s'agit est l'intégrale générale de l'équation (/). Toute la question est donc réduite à déterminer dans l'équation la fonction ç(a) en sorte que le résultat des deux intégrations soit une fonction donnée /{x). Il est seulement nécessaire, pour que la solu- tion soit générale, que l'on puisse prendre pour /{x) une fonction entièrement arbitraire, et même discontinue. Il ne s'agit donc que de connaître la relation qui doit toujours exister entre la fonction donnée /{x) et la fonction inconnue ç(a). Or cette relation très simple est exprimée par le théorème dont nous parlons. Elle consiste en ce que, les intégrales étant prises entre des limites infinies, la fonction (p(a)
est — /(a); c'est-à-dire qu'on a l'équation
27:
(B) f{x)=z—j /{oc)daJ cosp{x--cx)dp.
i76 THÉORIE DE LA CHALEUR.
On en conclut, pour l'intégrale générale de la proposée (/),
(?)
405. Si l'on propose l'équation
qui exprime le mou\emeni vibratoire d'une lame élastique, on consi- dérera que, d'après la forme de cette équation, la valeur la plus géné- rale de i^ ne peut contenir que deux fonctions arbitraires en x; car, en désignant cette valeur de f' par /(^, /), et par f\oc^t) la fonction
■T-f{oo,t)^ il est évident que, si l'on connaissait /(^, o) et f\x^o),
c'est-à-dire les valeurs de v et de wj au premier instant, toutes les
autres valeurs de v seraient déterminées.
Cela résulte aussi de la nature même du phénomène. En effet, con- sidérons dans son état de repos une lame élastique rectiligne : x est la distance d'un point quelconque de cette lame à l'origine 0 des coor- données; on change extrêmement peu la figure de cette lame en l'écar- tant de sa position d'équilibre, où elle coïncidait avec l'axe de x sur le plan horizontal; ensuite on l'abandonne à ses forces propres excitées par le changement de figure. On suppose le déplacement arbitraire, mais très petit, et tel que la figure initiale donnée à cette lame soit celle d'une courbe comprise dans un plan vertical qui passe par l'axe des X. Le système changera successivement de forme et continuera à se mouvoir dans le plan vertical de part et d'autre de la ligne d'équi- libre. C'est ce mouvement dont l'équation
(cl)
dl^ ÔJc
exprime la condition la plus générale.
Un point quelconque m, placé dans la situation d'équilibre k la dis-
j
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. W7
tance x de rorigine 0 et sur le plan horizontal, est, a la fin du temps /, éloigné de ce point de la hauteur perpendiculaire r. Cet écart variable v est une fonction de x et /. La valeur initiale de v est arbitraire ; elle est exprimée par une fonction quelconque ^[x). Or l'équation (rf), déduite des principes fondamentaux de la Dynamique, fait connaître que la
seconde fluxion de v, prise pour /, ou ^) et la fluxion du quatrième
ordre, prise pour a:, ou -t-;> sont deux fonctions de a? et / qui ne diffé- rent que par le signe. Nous n'entrons point ici dans la question spé- ciale relative à la discontinuité des fonctions; nous n'avons en vue que l'expression analytique de l'intégrale. On peut supposer aussi qu'après avoir déplacé arbitrairement les divers points de la lame on leur imprime des vitesses initiales très petites et dans le plan vertical où les vibrations doivent s'accomplir. La vitesse initiale donnée à un point quelconque m, placé à la distance x, a une valeur arbitraire. Elle est exprimée par une fonction quelconque 'i^{x) de la distancer.
Il est manifeste que, si l'on donne : i** la figure initiale du système, ou ?(^); a° les impulsions initiales, ou la fonction "^{x), tous les états subséquents du système sont déterminés. Ainsi la fonction v^ ou f{xy t), qui représente, après un temps quelconque /, la forme cor- respondante de la lame, contient deux fonctions arbitraires 9 (a;) et '^{x).
Pour déterminer la fonction cherchée /(or, ^), nous considérons que, dans l'équation
on peut donner à i^ la valeur très simple ou celle-ci
u =1 COS7'/ cosf/{a; — a),
en désignant par q et a des quantités quelconques qui ne contiennent ni X ni t. On aura donc aussi
ÏIS THÉORIE DE LA CHALEUR.
F(a) étant une fonction quelconque, et quelles que soient les limites (les intégrations. Cette valeur de ç n'est autre chose qu'une somme de valeurs particulières. .
Il est nécessaire maintenant que, pour / = o, la valeur de w soil celle que nous avons désignée par/(.r, o), ou <f{or). On aura donc
¥(3i)dx I cosq {x ^ (x)dq,
«
Il faut déterminer la fonction F(a) en sorte que, les deux intégrations étant achevées, le résultat soit la fonction arhitraire o{x). Or le théo- rème exprimé par Téqualion (B) fait connaître que, les limites de cha- cune des intégrales étant —oc et -Hoc, on a
F ( a ) = — ^ ( « ) •
Donc la valeur de u est donnée par l'équation suivante :
Si Ton intégrait par rapport à / cette valeur w, en y changeant o en ]/, il est évident que l'intégrale, désignée par W, satisferait encore à l'équation différentielle proposée [d), et Ton aurait
W r= — - I ^(oi)dx I — s'inq-t cosq(jr — x) d/.
Celte valeur W devient nulle pour / = o; et si l'on prend l'expression
4- « ^ -♦- «0
=L - I 'lt{oc)dxj cosq'tcosq{x — x)dq.
on voit que, pour / = o, elle devient égale à '|(^). Il n'en est pas de
du
ôt
même de l'expression -77; elle devient nulle pour ^ = o, et m devient
égal à o[x).
Il suit de là que l'intégrale de l'équation [d) est
V~: — I (^{oL)doL\ QOSq^tCOSq{T — x)dq -\-\\ :=::za-h\\
V — oo t/ _. aa
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. M9
avec
Wzn— / ^(7.)d<xl' sin7*/cos<7(j:-~a)-|-
En effet :
1^ Cette valeur de i^ satisfait à l'équation différentielle (r/). 2* Lorsqu'on fait / = o, elle devient égale à la fonction entièrement arbitraire 9(^).
l^"" Lorsqu'on fait / = o dans l'expression^, elle se réduit à une
seconde fonction arbitraire ^'(.a:^). Donc la valeur de i^ est l'intégrale complète de la proposée, et il ne peut y avoir une intégrale plus gé- nérale.
406.
On peut réduire la valeur de m à une forme plus simple en achevant l'intégration par rapport à q. Cette réduction et celle d'autres expres- sions du même genre dépendent des deux résultats exprimés par les équations (i) et (2), qui seront démontrées dans l'article suivant,
(i) / cos7'^cos75^7=i /- sin ( 7 ^- ^ J,
(2) 1 s\n fjU cos q z dq z=zi/-^s\n(^ y- ^ Y
On en conclut
I r^* pTr ( r — a)* 1 (0) u — — — sin y4-^ — ^- — ?(a)^a.
Désignant — ^^ par une autre indéterminée [jl, on aura
a = j7 4- 2 jjL y/7, daL^=.i\Jt dix.
Mettant, au lieu de sin ( 7 -^ [x^ j, sa valeur
y/isin/x'^^^cosfxS
1^80 THEORIE DE LA CHALEUR.
on aura
Nous avons prouvé, dans un Mémoire particulier, que ces inté- f^rales (S) ou (S') de l'équation (d) représentent d'une manière claire et complète le mouvement des diverses parties de la lame élastique infinie (*). Elles contiennent l'expression distincte du phénomène et en font connaître facilement toutes les lois. C'est sous ce point de vue surtout que nous les avons proposées à l'attention des géomètres. Elles montrent comment les oscillations se propagent et s'établissent dans toute l'étendue de la lame, et comment l'effet du déplacement initial, qui est arbitraire et fortuit, s'altère de plus en plus en s'éloignant de l'origine, devient bientôt insensible, et ne laisse subsister que l'action des forces propres du système, qui sont celles de l'élasticité.
407.
Les résultats exprimés par les équations (1) et (2) dérivent des inté-
î^rales définies
. • y-»
I cosœ^ dx et / sinjc'^.r.
Soit
^
= / cos x^ djc, h^zj sïtix^ d<r.
et regardons g et A comme des nombres connus. Il est évident que, dans les deux équations précédentes, on peut mettre y -h h au lieu de ce, en désignant par h une constante quelconque, et que les limites des intégrales seront les mêmes. Ainsi l'on a
4,»^=/ cos{y^ -h 2 bj' -^ b^)dy, h^^ I sin( v*H- 2Ôv -f- 6*) ûf;>'.
À'
r^ * l cosj- cos 2 by cos b* — cos/' sin 2 by sin b^ j
J_^ I — sin/*sin2Ô/cos6*— sinj*cos2 6r sinft' )
( 1 ) n faut joindre à « la partie W qui dépend de la seconde fonction arbitraire et qui a été définie à la page précédente. G. D.
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 481
Or il est facile de voir que toutes les intégrales qui contiennent le fac- teur siu 2 by sont nulles si les limites sont — oo et -i- oo : car sin 2 6v change de signe en même temps que/. On a donc
(a) g = cos6* / cosy-cos^bydy-^ s\nb^rs}ny^C0S2bydf.
L*équation en h donnera aussi
=/!
sin/* cos26j^cos^*-+-cos/'cos26/sir\^* cosy* sin 2 6/ cos 6' — sin/* sin 2 by sin 6* '
omettant encore les termes qui contiennent sm iby, on aura
(b) A = cosb* Csiny* côs2^/ dy -h sin^' fcosy^ cos2 6j dy.
Les deux équations (a) et (b) donnent donc en ^ et A les deux inté- grales
fcosy* cos 2 6/ dyy Csiny* cos 2 6/ dy
que nous désignerons respectivement par  et B. On fera ensuite
y*z=:p*e, et 2by = pz, ou y—p\]ly b^-^-
2\/t
On a donc
^Ccosp^tcosps dp = \, ^Jsïnp^tcospz dp zn B.
On déduit immédiatement les valeurs de ^ et A du résultat connu
= / e-^* dj^.
M.
En effet, cette dernière équation est identique et, par conséquent, ne cessera point de l'être lorsqu'on mettra au lieu de x la quantité
c-
/■
cette substitution donne
F. 61
W2 THÉORIE DE LA CHALEUR.
Ainsi la partie réelle du second membre de cette dernière équation est )Jtz, et la partie imaginaire est nulle. On en conclut
V/^2 TT =r / cos^' df 4- f%\ny^ dy et o = fco^y^ dy — js'iny* dy,
ou
f cos7'e/j=:^ = y/ ^, j s\ny^dy = h=z^^.
Il ne reste plus qu'à déterminer, au moyen des équations {a) et (fc), les valeurs des deux intégrales
/ cos^*cos2Ôyc(f/ et / s'iny* s'ini bydy.
Elles seront ainsi exprimées :
A =r / cos J* cos 2bydy=^h sin b*-j- g cos &',
B = / sin/'cosa^yrf/ — /icosô' — ^sinô*. On en conclut
f_ ^ospUcospzdp=.^^^(^cos'^^-i-sïn^^^^ f_ sin/>*/ cos/..- c//.=z y/il (cos ^- sin ^^).
Écrivant sin 7 ou cos 7 au lieu de i/-) on a
4 4 V a
(i) / cosp*tcospzdp — i/--s\n1-T -h Y,)^
(2) I sin^*/cos/?5âr/? = W^sinQ - — V
408.
La proposition exprimée par l'équation (B) (art. 404, p. 475) ou par l'équation (E) (art. 361; p. 4o8), qui nous a servi à découvrir cette intégrale (S) et les précédentes, s'applique évidemment à un plus
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 483
grand nombre de variables. En effet, dans Téquation générale
^^ ■^— on ^B* oA
— OB
OU
/(^) = ^/ ^^y C0SjD(x — «)/(«) ^a,
on peut regarder /(a:) comme une fonction de deux variables a? et y. La fonction /(a) sera donc une fonction de a et j. On regardera main- tenant celte fonction /(a,/) comme une fonction de la variable j, et Ton conclura du même théorème (B) (p. 47^)
On aura donc, pour exprimer une fonction quelconque des deux va- riables a: et y, Téquation suivante :
+■» r» 4-»
(BB) /(a:,jK)=(^yy *^«y f{cx,^)d^J^ \osp{x-OL)dpJ cosq{y-?)dq.
On formera de la même manière Téquation qui convient aux fonctions de trois variables, savoir :
(BBB) /(x,7, z) = (^)y^«/i^P //(«, P,y) dyfcospijr - a) dpfcosq{y - (3) dqfcosr{z - y)dr,
chacune des intégrales étant prise entre les limites — oo et -h qo. Il est manifeste que la même proposition s'étend aux fonctions qui com- prennent un nombre quelconque de variables (*).
Il nous reste à montrer comment cette proposition s'applique à la recherche des intégrales, lorsque les équations contiennent plus de
deux variables.
409.
Par exemple, l'équation différentielle étant
(*) Los équatioDS (BB) et (BBB) appellent évidemment des remarques analogues à celles que nous avons déjà présentées à la page 409. G. D.
484 THÉORIE DE LA CHALEUR.
on veut connaître la valeur de f^, fonction de x^y^ /, et telle : i*^ qu'en supposant / = o, v ou f[pc^y^i) devienne une fonction arbitraire
^{oo,y) de x et j; 2*^ qu'en faisant / = o dans la valeur de -r- ou
f'ix.y^i)^ on trouve une seconde fonction entièrement arbitraire
Nous pouvons conclure de la forme de Téquation différentielle [c] que la valeur de \^ qui satisfera à cette équation et aux deux conditions précédentes sera nécessairement l'intégrale générale. Pour découvrir cette intégrale, nous donnons d'abord à i' la valeur particulière
V = cosm^ cospx cosqy. La substitution de (^ fournit la condition
m
= V>*-+-^«.
Il n'est pas moins évident que l'on peut écrire
ç =:cos/?(x — a) cosg {y — (3) cosf \//?*-h ^^ ou encore
V z= f da JY {oL,^) d^ J CO%p{x — ol) dp J cosq{y ^ ^) COStsJp^ -^ q^ dqy
quelles que soient les quantités^, q, a, p et F(a, P), qui ne contiennent ni X, ni y, ni /. En effet, cette dernière valeur de v n'est autre chose qu'une somme de valeurs particulières.
Si l'on suppose / = o, il est nécessaire que v devienne ç(^, j). On aura donc
Ainsi la question est réduite à déterminer F(a, P) en sorte que le résultat des intégrations indiquées soit c^[x^y). Or, en comparant la dernière équation à l'équation (BB), on trouve
9(^, y) = (-^yf dc^f 9(«. (5) ^Pj C0S/>(a: - a) dpj COSq{y ^ ^) dq
CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR. 485
Donc l'intégrale sera ainsi exprimée :
= ( — ] / da I (p{oc,^)d^ I cosp(x—a)dp I cosç{y — ^)cosl\/^p^-\-q^dq.
On obtient ainsi une première parties de l'intégrale; désignant par W la seconde partie, qui doit contenir l'autre fonction arbitraire ^(^•.v). on aura
et l'on prendra pour W l'intégrale fudt^ en changeant seulement 9 en vp. En effet, u devient égale à 9(^,7) lorsqu'on fait ^ = o; et en même temps W devient nulle, puisque l'intégration par rapport à/
change le cosinus en sinus. De plus, si l'on prend la valeur de ^
et que l'on fasse / = o, la première partie, qui contient alors un sinus, devient nulle, et la seconde partie devient égale à ^1^(^,7). Ainsi l'équation
a
est l'intégrale complète de la proposée.
On formerait de la même manière l'intégrale de l'équation
d^v d*p d'i' d^v
dt* "" dJi* dy^ ds* '
il suffirait d'introduire un nouveau facteur
— cos/*(5 — y),
et d'intégrer par rapport à r et y.
410. Soit proposée l'équation
d*p d*p <)*r _
il s'agit d'exprimer ç^ en une fonction/(ar, j, s) telle : 1*^ que/(ar, j^, o)
486 THÉORIE DE LA CHALEUR.
soit une fonction arbitraire ç(^» j); 2^ que, si Ton fait 5 =: o dans la
fonction ^/(^fj»^), on trouve une seconde fonction arbitraire '|{a-,/).
Il suit évidemment de la forme de Téquation différentielle que la fonc- tion ainsi déterminée sera l'intégrale complète de la proposée. Pour connaître cette fonction, on remarquera d*abord que Ton satisfait à Té- quation en écrivant
les exposants/? et q étant des nombres quelconques, et la valeur de m
étant dz >Jp^ -^ q^>
On pourrait donc aussi écrire
i^ =r cosp{x -- a) cos7(7 — (3) (e*^'-^* -h e--v^^-*-'?), et encore
dix f Y {a, ^)d^jj cosp(jr - a) cosq{y - (3) ( --^ j dp dq.
Si Ton fait 5 = 0, on aura, pour déterminer F{a, P), la condition suivante :
?(^'^fy)--~-f^^f^i^*^)^?f^osp(x — (x)dpfcosq(y — ^)dq;
et, en comparant à l'équation (BB), on voit que
On aura donc, pour l'expression d'une première partie de l'intégrale :
« = ^_fd(xfç.{(X, (3) d^fcospix — «) dpfcosq{y^^){e-^P'~^''^ c--^P^^')dq,
Cette valeur de u se réduit k 9(^,7) lorsque 5 = o, et la même sub- stitution rend nulle la valeur de -r^-
ôz
On pourrait aussi intégrer par rapport à :? la valeur de w, et Ton donnerait à l'intégrale la forme suivante, dans laquelle ^ est une nou-
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. hSl
velle fonction arbitraire :
La valeur de W devient nulle lorsque ^ = o, et la même substitution
rend la fonction -77- égale à ^(^, j). Donc l'intégrale générale de la proposée est
411. Enfin, soit Téquation
on veut connaître pour i^ une fonction /(a?, j,/), qui satisfasse à la proposée (e) et aux deux conditions suivantes, savoir : 1® que la sub- stitution de/ = odans/(a:,j^, t) donne une fonction arbitraire 9(^.7);
2? que la même substitution dans ^/(a?, j, /) donne une seconde fonc- tion arbitraire 'll^» j)-
Il suit évidemment de la forme de Téquation {e) et des principes que nous avons exposés plus haut que la fonction <;, étant déterminée en sorte qu'elle satisfasse aux conditions précédentes, sera l'intégrale complète de la proposée. Pour découvrir cette fonction, on écrira
d'abord
ç =z cospx cosqy cos mtf
d'où l'on tire
t
On a donc la condition m =/?* -h q^. Ainsi l'on écrira
p = cospx cosqy C0S/(/>*-H 9')
ou
i^ — cosp{x — a) cosç(/ — {3) cost{p^-h q*)y
hSS THÉORIE DE LA CHALEUR.
ou encore
Lorsqu'on fait / = o, on doit avoir ♦' = ?(^tj). ce qui sert à déter- miner la fonction F(a, P). Si Ton compare à l'équation générale (BB), on trouve que, les intégrales étant prises entre des limites inûnies,
la valeur de F(a, P) est ( ^ j (p(a, P). On aura donc, pour exprimer
une première partie u de l'intégrale,
« = f — j / d(X I (p(a, P)é/p/ cosp{x — (x)dpl COSq{jr — ^)cos{p*t-^q^t)d(].
En intégrant la valeur de u par rapport à /, et 4^ désignant la seconde fonction arbitraire, on trouvera une autre partie W de Fintégrale ainsi exprimée :
Si l'on fait / = o dans u et dans W, la première fonction devient égale à 9(^,7)1 et la seconde nulle; si l'on fait aussi / = o dans -^ et dans -TT-j la première fonction devient nulle, et la seconde devient égale à v};(£r, r) : donc
est l'intégrale générale de la proposée.
412.
On peut donner à la valeur de u une forme plus simple en effectuant les deux intégrations par rapport à /? et 9. On fait usage, pour ce cal- cul, des deux équations (i) et (2) que nous avons démontrées dans l'article 407 (p. 482), et l'on obtient l'intégrale suivante :
»-♦-• x»-+-«
CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR. 489
Désignant par u cette première partie de l'intégrale, et par W la se- conde, qui doit contenir une autre fonction arbitraire, on a
W — ( udt el r — M -f- W.
Si l'on désigne par [x et v deux nouvelles indéterminées, telles que Ton ait
ai — X 3 — r
et que l'on substitue pour a, jî, rfa, dJ^ leurs valeurs on aura cette autre forme de l'intégrale
r— - / ^fx / sin(/x'-h v') o(jr 4- 2/JLv^^/^- 2vv/7)^v H- W.
Nous ne pourrions multiplier davantage ces applications de nos for- mules sans nous écarter de notre sujet principal. Les exemples précé- dents se rapportent à des phénomènes physiques dont les lois étaient inconnues et difficiles à découvrir; et nous les avons choisis parce que les intégrales de ces équations, que l'on avait inutilement cherchées jusqu'ici, ont une analogie remarquable avec celles qui expriment le mouvement de la chaleur.
413,
On peut aussi, dans la recherche des intégrales, considérer d'abord les séries développées selon les puissances d'une variable, et sommer ces séries au moyen des théorèmes exprimés par les équations (B), (BB). Voici un exemple de cette analyse, choisi dans là théorie même de la chaleur, et qui nous a paru remarquable.
On a vu (art. 399, p. 466) que la valeur générale de v, déduite de l'équation
F. 6a
490 THÉORIE DE LA CHALEUR.
développée en série selon les puissances croissantes de la variable /, contient une seule fonction arbitraire de x; et qu'étant développée en série selon les puissances croissantes de x, elle contient deux fonc- tions entièrement arbitraires de /. La première série est ainsi exprimée :
(T) ç = <^{x)~^t /(a:) -h ^' 9^^(:r) 4- -^ 9^''(:r) + . . . .
L'intégrale désignée par {^) (art. 397, p. 463), ou
(j3) i>=z — I 9(a)ûfa/ e-^''cos/>(j? — «)rf/>,
représente la somme de cette série, et contient la seule fonction arbi- traire ^{x).
La valeur de {^, développée suivant les puissances de x, contient deux fonctions arbitraires/(/) et F(/), et est ainsi exprimée :
(X) J
2.3 a. 3. 4.^ 2.3.4.i).<>.7
II y a donc, indépendamment de l'équation (P), une autre forme de l'intégrale, qui représente la somme de cette dernière série et qui con- tient deux fonctions arbitraires, /(/) etF(/). Il s'agit de découvrir cette seconde intégrale de l'équation proposée, qui ne peut être plus géné- rale que la précédente (P), mais qui contient deux fonctions arbi- traires.
On y parviendra en sommant chacune des deux séries qui entrent dans l'équation (X). Or il est évident que, si l'on connaissait en fonc- tion de ^ et / la somme de la première série qui contient /(/), il fau- drait, après l'avoir multipliée par rfar, prendre l'intégrale par rapport hx, et changer /(/) en F(/). On trouverait ainsi la seconde série. De plus, il suffirait de connaître la somme des termes de rang impair qui entrent dans la première série; car, en désignant cette somme par (x.
CHAPITRE IX. — DIFFUSION DE LA CHALEUR. Ml
et la somme de tous les autres termes par v, on a évidemment
A Ja <
dt
11 reste donc à trouver la valeur de [x. Or la fonction f[t) peut être ■ainsi exprimée, au moyen de l'équation générale (B) :
(H)
/(O — — / f{oi)doLl cosp{l — oc)dp.
Il est facile d'en déduire les valeurs des fonctions
il est évident que la différentiatîon se réduit à écrire dans le second membre de l'équation (B), sous le signe fdp, les facteurs respectifs
— />^ H-/>\ —p^, -+-/)«
On aura donc, en écrivant une seule fois le facteur commun cosp{t — a),
M - ^fA(x)dixJ*dpcosp{t — a)
\ 2.3./
^.. 1 * _x. ^ ^ ^
4 3.3.4-5.6.7.8 2.3. ..12
Ainsi la question consiste à trouver la somme de la série qui entre dans le second membre, ce qui ne présente aucune difficulté. En effet, soit y la valeur de cette série : on en conclut
dx^ ^ 2.3.4 '2.3.4.-.0 «-P
Intégrant cette équation linéaire, et déterminant les constantes arbi-
dv d^ V d^ V
traires en sorte que, x étant nulle, j soit i, et ^> -r^» -r^ soient nulles, on trouve, pour la somme de la série.
= ;(/^^r'V^f)eo,(Yf)
&9â THÉORIE DE LA CHALEUR.
Il serait inutile de rapporter le détail de ce calcul; il suffit d*en énoncer le résultat, qui donne pour Tintégrale cherchée
Le terme W est la seconde partie de l'intégrale; on le forme en inté- grant la première partie par rapport à x, depuis x = o jusqu'à x = x, et en changeant / en F. Sous cette forme, l'intégrale contient deux fonctions entièrement arbitraires, /(/) et F(/). Si, dans la valeur de r, on suppose x nulle, le terme VV devient nul par hypothèse, et la pre- mière partie u de l'intégrale devient /(/). Si l'on fait la même substi- tution X = 0 dans la valeur de y-» il est évident que la première partie -ç- deviendra nulle, et que la seconde .— > qui ne diffère de la première
que par la fonction F placée au lieu de/, se réduira à F(/). Ainsi l'inté- grale exprimée par l'équation (|3^) satisfait à toutes les conditions, et elle représente la somme des deux séries qui forment le second membre de l'équation (X)(^).
C'est cette forme de l'intégrale qu'il est nécessaire de choisir dans plusieurs questions de la Théorie de la chaleur; on voit qu'elle est très différente de celle qui est exprimée par l'équation ((î) (art. 397).
414.
On peut employer des procédés de calcul très variés pour exprimer en intégrales définies les sommes des séries qui représentent les inté-
(') On peut retrouver l'intégrale donnée ici par Fourier en suivant une autre méthode, dont cette partie de TOuvrage contient déjà plusieurs applications. Si Ton cherche des solutions particulières de Téquation
qui soient de la forme
A cospt -h B sin/>/,
A et B dépendant exclusivement de x, on est conduit par un calcul facile aux quatre solu-
j
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. M3
grales des équations différentielles. La forme de ces expressions dépend aussi des limites des intégrales définies. Nous citerons un seul exemple
lions particulières suivantes
e*i^ sin[çj: -f- iq^{t — a)], e-^^ sin[— ^j-h iq^{t — a)],
qu'il est aisé de vérifier directement et où a désigne une constante arbitraire. En prenant la demi-somme dos deux premières, on obtient une fonction paire de x,
-e9^ CO^lqx H- :kq^{t — a)] H — c-1^ cos[ — qx-h 2q^(t — a)],
se réduisant à cosi q^(t — a) pour x = o. Maintenant, si dans l'équation (E ) de la page 408,
on remplace/? par 'iq^, on a
(C) f(t)=^f f{0L)daf''c0S2q^{t--a)qdq.
Si donc on considère l'intégrale doublo
,-»-co
u=- I f{a)da I \e*i^cos[qx-i-2q^{t — aj]^e-^^cos[—qx-h:iq^(t — oi)]\qdq.
elle se réduira à f{t) pour a: = o et sera évidemment une fonction paire de x. Comme elle est d'ailleurs une somme do solutions particulières de l'équation (a), elle satisfera également à cette équation. Considérons de mémo l'intégrale
VV=--^ Ç F{a)d(x I \e'^'8ln\qx-^2q^{t--a)-h~^-'e-^^sïn\--■qx-h2q^(t —
Pour la mémo raison elle satisfait à l'équation (a), et elle est d'ailleurs une fonction im- paire de X s'annulant pour x = o. Si l'on prend sa dérivée par rapport à x, on trouve qu'elle se réduit, pour / = o, à
- / F(a)rfa / C0S'3Lq^{t — a)qdq^
c'est-à-dire à F(f), en vertu de l'équation (C).
Si l'on prend
('=«-+- W,
u représentera la somme de la première ligne de la série (X) et W la somme do la seconde ligne. G. D.
49%' THÉORIE DE LA CHALEUR.
de ce calcul en rappelant le résultat de Tarticle 311 (p. 343). Si, dans l'équation qui termine cet article, on écrit x + /sinii sous le signe de fonction ç, on a
- / 9(^ -+- ^ sin w) ^w = 9{x) -h ^ /(x) -h -,--j,- o'^(x)-t- . . . .
Désignant par v la somme de la série qui forme le second membre, on voit que, pour faire disparaître dans chaque terme un des facteurs 2', 4^, ... qui terminent le dénominateur, il faut différentier une fois par rapport à /, multiplier le résultat par /, et diiïérentier une seconde fois par rapport à /. On conclut de là que v satisfait à Téquation aux diffé- rences partielles
d^v I d ( dv\ ()*(' d'i' I dt'
ou
^%
dx^ t dl\ dtj <>.r» ât* t di
On a donc, pour exprimer Tintégrale de cette équation.
=z - / o(»r -h /sin«)£/« 4- W .
La seconde partie W de Tintégrale contient une nouvelle fonction arbitraire- La forme de cette seconde partie W de l'intégrale diffère beaucoup de celle de la première, et pourrait aussi être exprimée en intégrales définies. Les résultats que l'on obtient au moyen des inté- grales définies varient selon les procédés de calcul dont on les déduit, et selon les limites des intégrales. On peut dire, en général, que ces recherches n'ont point un but assez déterminé lorsqu'on les sépare des questions physiques auxquelles elles se rapportent.
415.
11 est nécessaire d'examiner avec soin la nature des propositions générales qui servent à transformer les fonctions arbitraires : car l'usage de ces théorèmes est très étendu et l'on en déduit immédia- tement la solution de plusieurs questions physiques importantes, que
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. W5
l'on ne pourrait traiter par aucune autre méthode. Les démonstrations suivantes, que nous avons données dans nos premières recherches, sont très propres à rendre sensible la vérité de ces propositions. Dans Téquation générale
!-♦-• •»->-•
A^)='f /(«)^«/ C0S/>(a — jr)ûf/?,
qui est la même que Téquation (B) (p. 47^), on peut effectuer l'inté- gration par rapport à/?, et l'on trouve
■^ ^mt OQ
ê
On doit donc donner à/?, dans cette dernière expression, une valeur infinie; et, cela étant, le second membre exprimera la valeur de/{x). On reconnaîtra la vérité de ce résultat au moyen de la construction suivante. Nous examinerons d'abord l'intégrale définie
f.
00 *
smj?
a?
dXy
que l'on sait être égale à - (art. 356).
Si l'on construit au-dessus de l'axe des a: la ligne dont l'ordonnée
est sinar et celle dont l'ordonnée est -> et qu'ensuite on multiplie
l'ordonnée de la première ligne par l'ordonnée correspondante de la seconde, on considérera le produit comme l'ordonnée d'une troisième ligne dont il est très facile de connaître la forme.
Sa première ordonnée à l'origine est i, et les ordonnées suivantes deviennent alternativement positives ou négatives; la courbe coupe l'axe aux points où a? = ir, air, Su, ... et elle se rapproche de plus en plus de cet axe. Une seconde branche de la courbe, entièrement sem- blable à la première, est située à la gauche de l'axe des y. L'intégrale
/
-f-« . sin^ , -dx
X
496 THÉORIE DE LA CHALEUR.
est Taire comprise entre la courbe et Taxe des x^ comptée depuis .r = o jusqu'à une valeur positive infinie de x. L'intégrale définie
r sin/>.i
dans laquelle /> est supposé un nombre positif quelconque, a la même valeur que la précédente. En effet, soit px = z; l'intégrale proposée deviendra
/
"sine , - -az
et, par conséquent, elle équivaut aussi à -• Cette proposition est vraie
quel que soit le nombre positif />. Si Ton suppose , par exemple,
p= lo, la courbe dont l'ordonnée est a des sinuosités beau-
coup plus rapprochées et plus courtes que celles dont l'ordonnée est
; mais l'aire totale, depuis x = o jusqu'à a? = oc, est la même.
Supposons maintenant que le nombre p devienne de plus en plus grand et qu'il croisse sans limite, c'est-à-dire qu'il soit infini. Les
Q I 11 n Y*
sinuosités de la courbe dont - -— est l'ordonnée sont infiniment voi- sincs. Leur base est une longueur infiniment petite, égale à -• Cela étant, si l'on compare l'aire positive qui repose sur un de ces inter- valles - à l'aire négative qui repose sur l'intervalle suivant, et si Ton
désigne par X l'abscisse finie et assez grande qui répond au commen- cement du premier arc, on voit que l'abscisse x, qui entre comme
m
dénominateur dans l'expression -- - de l'ordonnée, n'a aucune varia-
tion sensible dans le double intervalle — qui sert de base aux deux
aires. Par conséquent, l'intégrale est la même que si x était une quan- tité constante. Il s'ensuit que la somme des deux aires qui se succèdent est nulle. Il n'en est pas de même lorsque la valeur de x est infiniment petite,
CHAPITRE IX. -- DIFFUSION DE LA CHALEUH. W7
271
parce que Tintervalle — a, dans ce cas, un rapport fini avec la valeur (le X. On connaît par là que l'intégrale
/
'■"/'•^rfx.
JC
dans laquelle on suppose/? un nombre infini, est entièrement formée de la somme de ses premiers termes, qui répondent à des valeurs extrêmement petites de x. Lorsque l'abscisse a une valeur finie X, l'aire ne varie plus, parce que les partiea qui la composent se dé- truisent deux à deux alternativement. Nous exprimerons ce résultat en écrivant
La quantité cd, qui désigne la limite supérieure de la seconde inté- grale, a une valeur infiniment petite; et la valeur de l'intégrale est la même lorsque cette limite est (o et lorsqu'elle est oo,
416. Cela posé, reprenons l'équation^
j,, . I r^* j., ,sinp(a — ^O , f{x)—-l /(a) — ^^ - —^dx.
Ayant placé l'axe des abscisses a, on tracera au-dessus de cet axe la ligne ^, dont l'ordonnée est /(a). La forme de cette ligne est entiè- rement arbitraire; elle pourrait n'avoir d'ordonnées subsistantes que dans une ou dans quelques parties de son cours, toutes les autres ordonnées étant nulles.
On placera aussi au-dessus du même axe des abscisses une ligne
courbe $s dont l'ordonnée est '"/^^> z désignant l'abscisse et p un
nombre positif extrêmement grand. Le centre de cette courbe, ou le
point qui répond à la plus grande ordonnée/?, pourra être placé, soit
à l'origine o des abscisses a, soit à l'extrémité d'une abscisse quel- F. 63
V98 THÉORIE DE LA CHALEUR.
conque. On suppose que ce centre est successivement déplacé, et qu'il se transporte en tous les points de Taxe des a, vers la droite à partir du point o. Considérons ce qui a lieu dans une certaine position de la seconde courbe, lorsque le centre est parvenu au point x qui termine une abscisse .r de la première courbe.
La valeur de x étant regardée comme constante, et a étant seuh* variable, l'ordonnée do la seconde courbe sera
sin/)(a — X) a — .r
Si donc on conjugue les deux courbes pour en former une troisième, c'est-à-dire si l'on multiplie cbaque ordonnée de la première par l'or- donnée correspondante de la seconde, et si l'on représente le produit par l'ordonnée d'une troisième courbe tracée au-dessus de l'axe des a, ce produit sera
y. --- .r
L'aire totale de la troisième courbe, ou l'aire comprise entre cette courbe et l'axe des abscisses, sera donc exprimée par
Or, le nombre /> étant infiniment grand, la seconde courbe a toutes ses sinuosités infiniment voisines; on reconnaît facilement que, pour tous les points qui sont à une distance finie du point x, l'intégrale définie, ou l'aire totale de la troisième courbe, est formée de parties égales alternativement positives ou négatives et qui se détruisent deux k deux. En effet, pour un de ces points placés à une certaine distance du point .r, la valeur de /(a) varie infiniment peu lorsqu'on augmente
la distance d'une quantité moindre que — Il en est de même «lu
. f
dénominateur a — a-, qui mesure cette distance. L'aire qui répond à
l'intervalle — ^ est donc la même que si les quantités /(a) et a — a-
n'étaient pas variables. Par conséquent, elle est nulle lorsque a — ,r
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. k99
est une grandeur finie. Donc l'intégrale définie peut être prise entre des limites aussi voisines que l'on veut et elle donne, entre ces limites» le même résultat qu'entre des limites infinies. Tout se réduit donc à prendre l'intégrale entre des points infiniment voisins, l'un k gauche, l'autre à droite de celui où a — ce est nul, c'est-à-dire depuis ol =x —oj jusqu'à a = a? -h 0), en désignant par co une quantité infiniment petite. Or, dans cet intervalle, la fonction /(a) ne varie point; elle est égale à/(^) et peut être mise hors du signe d'intégration. Donc la valeur de l'expression est le produit de /{ce) par
/
sin/?(a — .r) ,
a — .r
prise entre les limites ol — œ = — (netoL — x — (o.
Or cette intégrale est égale à tt, comme on l'a vu dans Tarlicle pré- cédent; donc l'intégrale définie est égale à izf[x)\ d'où l'on conclut l'équation (*)
(R)
~ — / f{a)doL I cos p {.T ~ <x) dp,
•^ — «0 i' _ eo
417.
La démonstration précédente suppose la notion des quantités infi- nies, telle qu'elle a toujours été admise par les géomètres. Il serait facile de présenter la même démonstration sous une autre forme en examinant les changements qui résultent de l'accroissement continuel du facteur^ sous le signe sinp{a — x). Ces considérations sont trop connues pour qu'il soit nécessaire de les rappeler.
Il faut surtout remarquer que la fonction /{x) à laquelle cette démonstration s'applique est entièrement arbitraire, et non assujettie
(*) Les raisonnements présentés dans cet article et le précédent ne diffèrent pas essen- tiellement, on le reconnaît immédiatement, des considérations plus rigoureuses par les- quelles Lejeunc-Dirichlet a établi les propositions de Fourier relatives aux séries trigono- métriques. Nous reviendrons plus loin sur cette remarque. G. D.
500 THÉORIE DE LA CHALEUR.
à une loi continue. On pourrait donc concevoir qu'il s'agit d'une fonc- tion telle que l'ordonnée qui la représente n'a de valeurs subsistantes que si l'abscisse x est comprise entre deux limites données a et b\ toutes les autres ordonnées seraient supposées nulles, en sorte que la courbe n'aurait de forme tracée qu'au-dessus de l'intervalle Ae x = a à or = 6, et se confondrait avec l'axe des a dans toutes les autres parties de son cours.
La même démonstration fait connaître que l'on ne considère point ici des valeurs infinies de x^ mais des valeurs actuelles et déterminées.
On pourrait aussi examiner d'après les mêmes principes les cas où la fonction /(a?) deviendrait infinie pour des valeurs singulières de j- comprises entre des limites données; mais cela ne se rapporte point à l'objet principal que nous avons en vue, qui est d'introduire dans les intégrales les fonctions arbitraires; il est impossible qu'aucune ques- tion naturelle conduise à supposer que la fonction /(o-) devient infinie lorsqu'on donne à x une valeur singulière comprise entre des limites données.
En général, la fonction /(^) représente une suite de valeurs, ou ordonnées, dont chacune est arbitraire. L'abscisse x pouvant recevoir une infinité de valeurs, il y a un pareil nombre d'ordonnées f{x). Toutes ont des valeurs numériques ac/M^/Ze^, ou positives, ou négatives, ou nulles. On ne suppose point que ces ordonnées soient assujetties à
■
une loi commune; elles se succèdent d'une manière quelconque, et chacune d'elles est donnée comme le serait une seule quantité.
11 peut résulter de la nature même de la question et de l'analyse qui s'y applique que le passage d'une ordonnée à la suivante doive s'opérer d'une manière continue. Mais il s'agit alors de conditions spéciales, et l'équation générale (B), considérée en elle-même, est indépendante de ces conditions. Elle s'applique rigoureusement aux fonctions discon- tinues.
Supposons maintenant que la fonction /(a:) coïncide avec une cer- taine expression analytique, telle que sino:, e"^ ou ç(^)f lorsqu'on donne à x une valeur comprise entre deux limites a et 6, et que toutes
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 501
les valeurs de /(a?) soient nulles lorsque x n'est pas comprise entre a et b\ les limites de l'intégration par rapport à a, dans l'équation pré^ cédente (B), seront donc a = a, a = 6 : car le résultat serait le même que pour les limites a = -- oo, a = oo, toutes les valeurs de /(a) étant nulles, par hypothèse, lorsque a n'est point comprise entre a et h. On aura donc l'équation
(B') f{x)=-^j (p{<x)dxj confia: — a) dp.
Le second membre de cette équation (B') est une fonction de la va- riable X : car les deux intégrations font disparaître les variables a et/?, et il ne reste que x et les constantes a et b. Or cette fonction équiva- lente au second membre est telle qu'en y substituant pour ^ une valeur quelconque comprise entre a et b on trouve le même résultat qu'en substituant cette valeur de x dans ^{x), et que l'on trouve un résultat nul si, dans le second membre, on met au lieu de x une valeur quel- conque comprise entre a et b. Si donc, en conservant toutes les autres quantités qui forment le second membre, on remplaçait les limites a et b par des limites plus voisines a' et b\ dont chacune fût comprise entre a et b, on changerait la fonction de x qui équivaut au second membre, et l'effet du changement serait tel que ce second membre de- viendrait nul toutes les fois que l'on donn,erait à x une valeur non comprise entre a' et b'; et, si la valeur de x était comprise entre a' et //, on aurait le même résultat qu'en substituant cette valeur de x dans ^{x).
On peut donc varier à volonté les limites de l'intégrale dans le se- cond membre de l'équation (B'). Cette équation subsistera toujours pour les valeurs de x comprises entre les limites quelconques a et b que l'on aura choisies; et, si l'on emploie toute autre valeur de x, le second membre sera nul. Représentons (f{x) par l'ordonnée variable d'une courbe dont x est l'abscisse; le second membre, dont la valeur est/(^), représentera l'ordonnée variable d'une seconde courbe dont la figure dépendra des limites a et b. Si ces limites sont — oo et -f-oo,
vm THÉORIE DE LA CHALEUR.
les deux courbes, dont Tune a pour ordonnée ?(^), et Tautre a pour
ordonnée /(a;), coïncideront exactement dans toute Tétendue de leur
cours. Mais, si Ton donne d'autres valeurs a et 6 à ces limites, les deux
courbes coïncideront exactement dans toute la partie de leur cours
qui répond à Tintervalle de^ = aàir = 6. A droite et à gauche de
cet intervalle, la seconde courbe se confondra précisément dans tous
ses points avec l'axe des x. Cette conséquence est très remarquable,
et détermine le véritable sens de la proposition exprimée par Té-
quation (B).
418.
Il faut considérer sous le même point de vue le théorème exprimé par l'équation (II) de l'article 234 (p. :23i). Cette équation sert à dé- velopper une fonction arbitraire/(^) en une suite de sinus et de cosinus d'arcs multiples. La fonction /(a?) désigne une fonction entièrement arbitraire, c'est-à-dire une suite de valeurs données, assujetties ou non à une loi commune, et qui répondent à toutes les valeurs de ce com- prises entre o et une grandeur quelconque X.
La valeur de cette fonction est représentée par l'équation suivante :
L'intégrale par rapport à a doit être prise entre les limites a=:aet 0L = b; chacune de ces limites aetb est une quantité quelconque com- prise entre o et X. Le signe 2 affecte le nombre entier i, et indique que l'on doit donner à i toutes ses valeurs négatives ou positives, savoir :
et prendre la somme des termes placés sous ce signe 2. Le second membre devient, par ces intégrations, une fonction de la seule va- riable X et des constantes a et b. La proposition générale consiste en ce que : i° la valeur du second membre que l'on trouverait en y met- tant, au lieu de x^ une quantité comprise entre a ei h est égale à celle que l'on obtiendrait en mettant cette même quantité au lieu de x dans
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 503
la fonction /( a?) ; 2® toute autre valeur de x comprise entre o et X, mais non comprise entre a et b, étant substituée dans le second membre, donne un résultat nul.
11 n'y a ainsi aucune fonction /(or), ou partie de fonction, que l'on ne puisse exprimer en une suite trigonométrique.
La valeur du second membre est périodique, et l'intervalle de la pé- riode est X; c'est-à-dire que cette valeur du second membre ne change point lorsqu'on écrit a? -h X au lieu de^r. Toutes ses valeurs successives se renouvellent à chaque intervalle X.
La suite trigonométrique égale au second membre est convergente; le sens de cette dernière proposition est que, si l'on donne à la va- riable X une valeur quelconque, la somme des termes de la suite s'approche de plus en plus, et infiniment près, d'une limite déterminée. C'est cette limite qui est zéro, si l'on a mis pour x une quantité com- prise entre zéro et X, mais non comprise entre a et b; et, si cette quantité mise pour x est comprise entre a et b, la limite de la série a la même valeur que /{x). Cette dernière fonction n'est assujettie à aucune condition, et la ligne dont elle représente l'ordonnée peut avoir une forme quelconque; par exemple, celle d'un contour formé d'une suite de lignes droites et de lignes courbes. On voit par là que, les limites a et 6, l'intervalle total X et la nature de la fonction étant arbi- traires, cette proposition a un sens très étendu; et comme elle n'ex- prime pas seulement une propriété analytique, mais qu'elle conduit facilement à la solution de plusieurs questions naturelles importantes, il était nécessaire de la considérer sous divers points de vue et d'en indiquer les principales applications. On a donné plusieurs démonstra- tions de ce théorème dans le cours de cet Ouvrage. Celle que nous rapporterons dans un des articles suivants (art. 423) a l'avantage de s'appliquer aussi à des fonctions non périodiques. •
Si l'on suppose l'intervalle X infini, les termes de la série deviennent des quantités différentielles; la somme indiquée par le signe 2 devient une intégrale définie, comme on le voit dans les articles 353 et 355; et l'équation (A) se transforme dans l'équation (B). Ainsi cette der-
I
50i THÉORIE DE LA CHALEUR.
niërc équation (B) est contenue dans la précédente et convient au cas où l'intervalle X est infini : alors les limites a et 6 sont évidemment des constantes entièrement arbitraires.
419.
Le théorème exprimé par l'équation (B) offre aussi diverses appli- cations analytiques, que nous ne pourrions exposer sans nous écarter de l'objet de cet Ouvrage; mais nous énoncerons le principe dont ces applications dérivent.
On voit que, dans le second membre de l'équation
(B') -^(^^^^ f fi^)^<^f cosp(x^a)dp,
la fonction /(ir) est tellement transformée que le signe de fonction/ n'affecte plus la variable x^ mais une variable auxiliaire a. La va- riable X est seulement affectée du signe cosinus. Il suit de là que, pour différentier la fonction f{x) par rapport à x^ autant de fois que l'on voudra, il suffira de différentier le second membre par rapport à x sous le signe cosinus. On aura donc, en désignant par i un nombre entier quelconque.
dx^'
~^^ 7 /(«)^«/ p^'co^p{x^a)dp
On écrit le signe supérieur lorsque i est pair, et le signe inférieur lorsque i est impair. On aura, en suivant cette même règle relative au choix du signe :
On pei>t aussi intégrer plusieurs (pis de suite par rapport à ^ le se- cond membre de l'équation (B); il suffit d'écrire au devant du signe sinus ou cosinus une puissance négative de/>.
La même remarque s'applique aux différentiations finies, ou aux intégrales désignées par le signe 2, et en général aux opérations ana-
J
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 505
lytiques qui peuvent s'effectuer sur les quantités Irigonométriques. Le caractère principal du théorème dont il s'agit est de transporter le signe général de fonction à une variable auxiliaire, et do placer la va- riable X sous le signe trigonométrique. La fonction /(^r) acquiert en quelque sorte, par cette transformation, toutes les propriétés des quan- tités trigonométriques; les différentiations, les intégrations et la som- mation des suites s'appliquent ainsi à des fonctions générales de la même manière qu'aux fonctions trigonométriques ou exponentielles. C'est pour cela que l'emploi de cette proposition donne immédiatement les intégrales des équations à différences partielles à coefficients con- stants. En effet, il est évident que Ton peut satisfaire à ces équations par des valeurs particulières exponentielles; et, comme les théorèmes dont nous parlons donnent à des fonctions générales et arbitraires le caractère des quantités exponentielles, ils conduisent facilement à l'expression des intégrales complètes. Cette même transformation donne aussi, comme on l'a vu dans l'article 413 (p. 490» ^^ moyen facile de sommer les suites infinies, lorsque ces suites contiennent les différentielles successives ou les intégrales successives d'une même fonction : car la sommation de la suite est réduite, par ce procédé, à celle d'une suite de termes algébriques.
420.
On peut aussi faire usage du théorème dont il s'agit pour substituer sous le signe général de fonction un binôme formé d'une partie réelle et d'une partie imaginaire. Cette question d'Analyse s'est présentée dès l'origine du calcul des différences partielles, et nous l'indiquerons ici parce qu'elle a un rapport plus direct avec notre objet principal.
Si, dans la fonction /(a?), on écrit (x-hvv^— i au lieu de x, le ré- sultat sera formé de deux parties © -f- 'j» ^— i . Il s'agit de connaître en [X et V chacune des deux fonctions <p et vj/. On y parviendra facilement si l'on remplace/(ar) par l'expression
F. 64
1
506 THÉORIE DE LA CHALEUR.
car la question sera réduite à substituer [jl + v y/— i au lieu de x sous le signe cosinus, et à calculer le terme réel et le coefTicient de v^— (• On aura ainsi
/■(x)=/(^^-v^/^l)
~I~ I /(*)^^/ [(eP'^-h e-P'')cosp(ii'- oc) --s/^i ieP'^ — e-P^) sinpiiJL — (x)]dp;
donc
9:^+7^ f /{x)daf (eP^~he-P^)cosp{ii-x)dp,
| = -7^r f(.<x)d<xf (e'"-e-i»)sinp{n-x)dp.
Ainsi toutes les fonctions /(a?) que Ton peut concevoir, même celles
qui ne sont assujetties à aucune loi de continuité, sont réduites à la
forme M -+- N y^^^i , lorsqu'on y remplace la variable x par le binôme
fx-hvv^'^(*).
421.
Pour donner un exemple de Tusage de ces dernières formules, nous considérerons l'équation
qui se rapporte au mouvement uniforme de la chaleur dans une Table rectangulaire. L'intégrale générale de cette équation contient évidem- ment deux fonctions arbitraires. Supposons donc que l'on connaisse en fonction de a? la valeur de v lorsque j = o, et que l'on connaisse aussi*
par une autre fonction de ar, la valeur de j- lorsque y = o; on peut
(1) Les intégrales données ici par Fourier ne peuvent avoir aucun sens, puisque les éléments de ces intégrales no tendent pas vers zéro et dépassent môme toute grandeur donnée lorsque/) grandit indéfiniment. G. D.
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 507
déduire l'intégrale cherchée de celle de Téquation
qui est connue depuis longtemps; mais on trouve des quantités imagi- naires sous le signe de fonction. Cette intégrale est
La seconde partie W de l'intégrale dérive de la première en intégrant par rapport à y, et changeant ç en ^. Il reste donc k transformer les quantités <^{x -h y y/— i) et 9(0? — y y^— i), afin de séparer les parties réelles des parties imaginaires. Suivant le procédé de l'article précé- dent, on trouve, pour la première partie w de l'intégrale,
1 4- «0 f% ¥ »
u=zj- I f{oL)dciii (ePy'-he-py)cosp{x — oc)dpj
et, par conséquent,
W=7^ r F{a)daC (ePr— e-py)cosp{a: — oc)^-
L'intégrale complète de la proposée, exprimée en termes réels, est donc
et l'on reconnaît en effet: 1® qu'elle satisfaite l'équation différentielle; a° qu'en y faisant y = o, elle donne t^ = f[x)\ 3® qu'en faisant j = o
dans la fonction -t-> le résultat est Yix).
422.
Nous ferons aussi remarquer que l'on peut déduire de l'équation (B) une expression très simple du coefficient différentiel de l'ordre indé-
fini •jTif{^)y ^^ de l'intégrale / f{x)dx\
L'expression cherchée est une certaine fonction de x et de l'in- dice I. Il s'agit de connaître cette fonction sous une forme telle que le
508 THÉORIE DE LA CHALEUR.
nombre i n'y entre point comme indice, mais comme une quantité, afin de comprendre dans une même formule tous les cas où Ton attribue à i des valeurs positives ou négatives quelconques. Pour y parvenir, nous remarquerons que l'expression
•î)
ITT .171
cosir-hi-) ou cos/cos smrsm —
2 a
devient successivement
— sinr, — cosr, 4-sinr, -hcosr, — sinr, ...,
si les valeurs respectives de i sont i, 2, 3, 4» 5, Les mêmes
résultats reviennent dans le même ordre lorsqu'on augmente la valeur de i. Il faut maintenant, dans le second membre de l'équation
/(•2') = — / f{^)d(xj cosp{x — <x)dp,
écrire le facteur^' au devant du signe cosinus, et ajouter sous ce signe le terme H On aura ainsi
ï^-^^^^'^i^/ /(a)c?aj cos(pj:-p»-^i'^jp^dp.
Le nombre i qui entre dans le second membre sera regardé comme une quantité quelconque, positive ou négative.
Nous n'insisterons point sur ces applications à l'Analyse générale; il nous suffit d'avoir montré par divers exemples l'usage de nos théo- rèmes. Les équations du quatrième ordre {d) (art. 405, p. 476) et {e) (art. 401, p. 471) appartiennent, comme nous l'avons dit, à des ques- tions dynamiques. On ne connaissait point encore les intégrales de ces équations lorsque nous les avons données dans un Mémoire sur les vibrations des sur/aces élastiques, lu à la séance de l'Académie des Sciences le 6 juin 1816 (art. VI, § 10 et 11, et art. VII, § 13 et 14) (*).
( ^ ) La date indiquée ici par Fourier est inexacte ; nous nous en sommes assuré en con- sultant les procès- verbaux des séances de l'Académie des Sciences. En réalité, le Mémoire
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 509
Elles consistaient dans les deux formules (S) et (S') (art. 406, p. ^'jgoX 480) et dans les deux intégrales exprimées, Tune par la première équa- tion de l'article 412 (p. 488), l'autre par la dernière équation du même article. On a donné ensuite diverses autres démonstrations de ces mêmes résultats. Ce Mémoire contenait aussi l'intégrale de Téquar tion {c) (art. 409, p. 483) sous la forme rapportée dans cet article. Quant a l'intégrale (PP) de l'équation (a) (art. 413, p. 489 et 492), elle est ici publiée pour la première fois.
«
423.
Les propositions exprimées par les équations (B') et (A) (art. 417 et 418, p. Soi et 002), dont nous avons montré diverses applications, peuvent être considérées sous un point de vue plus général. La con- struction indiquée dans les articles 415 et 416 (p. 495 et 496) ne s'ap- plique pas seulement à la fonction trîgonométrique ^_^^ • ®H^
convient à toutes les autres fonctions et suppose seulement que, le nombre/? devenant infini, on trouve la valeur de l'intégrale par rap- port a a en prenant cette intégrale entre des limites extrêmement voi- sines. Or cette condition n'appartient pas seulement aux fonctions trigonométriques : elle s'applique à une infinité d'autres fonctions. On parvient ainsi à exprimer une fonction arbitraire /(^) sous diverses formes très remarquables; mais nous ne faisons point usage de ces transformations dans la recherche spéciale qui nous occupe.
Quant à la proposition exprimée par l'équation (A) (art. 418, p. 002), il est également facile d'en rendre la vérité sensible par des construc- tions, et c'est pour ce théorème que nous les avons d'abord employées. Il suffira d'indiquer la marche de la démonstration.
de Fourier a été lu dans la séance du 8 juin 181 8. Ce travail n'a pas été imprimé. Un extrait en a paru, sous le titre : Note relative aux vibrations des surfaces élastiques et au mouve- ment des ondes, par M. Fourier, dans le Bulletin des Sciences de la Société philomathique y livraison de septembre 181 8, p. 129. Le Mémoire est d'ailleurs signalé dans Y Analyse des travaux de l'Académie des Sciences pour l'année 1818. G. D.
510 THÉORIE DE LA CHALEUR.
Dans Téquation (A), savoir
— — — •
on remplacera la somme des termes placés sous le signe 2) par sa valeur qui se déduit de théorèmes connus. Nous avons vu précédemment divers exemples de ce calcul (Sect. III, Chap. III). En supposant, pour rendre l'expression plus simple, X = 2ir, et désignant a — ic par r, il donne ce résultat
sinr
2cosi/=:cosy>4-siny>g.^^^.
— /
Il faut donc multiplier le second membre de cette équation par/(a) É?a, supposer le nombrey infini, et intégrer depuis a = -— ir jusqu^à a = -h u. La ligne courbe dont l'abscisse est a et l'ordonnée cosyr étant conju- guée avec la ligne dont l'abscisse est a et l'ordonnée /(a), c'est-à-dire les ordonnées correspondantes étant multipliées l'une par l'autre, il est manifeste que l'aire de la courhe produite, prise entre des limites quelconques, devient nulle lorsque le nombre/croit sans limite. Ainsi le premier terme cosyr donne un résultat nul.
Il en serait de même du terme sinyr s'il n'était pas multiplié par le
facteur . y -, mais, en comparant les trois courbes qui ont pour
abscisse commune a, et pour ordonnées sinr, . ^ > /(*), on recon-
naît évidemment que l'intégrale / sinyr V^y /{oL)doL n'a de valeurs
subsistantes que pour de certains intervalles infiniment petits; savoir,
lorsque l'ordonnée . ,. devient infinie. Cela aura lieu si r ou a — x
est nulle; et, dans cet intervalle où a diffère infiniment peu de o^, la valeur de /(a) se confond avec/(£r). Donc l'intégrale devient
f sinyr p^^/- ou 4/(^) / sin/r — ,
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 511
qui est égale à 'nzf{x) (art. 415 et 356, p. 496 et 4o3). On en conclut Téquation précédente (A)(*).
Lorsque la variable x est précisément égale à — ir, ou -h u, la con- struction fait connaître quelle est la valeur du second membre de cette équation (A).
Si les limites de l'intégration ne sont pas — ir et h- ir, mais d'autres
(M L'intégrale peut aussi se mettre sous la forme
« ,7C — Jî"
/ /( J7 -h r) sin /> . ., dr.
— li — X
Fourier montre ici, par des raisonnements exacts dans le fond, bien que manquant de pré- cision, que, lorsque le nombre j croît indéfiniment, cette intégrale « n'a de valeurs sub- sistantes que pour de certains intervalles infiniment petits, ceux pour lesquels l'ordonnée
• ■
. ., devient infinie ». D'après cela, si la variable x est comprise entre — it et h- n, . ., smVr r j V sniVr
devient infinie pour la seule valeur zéro donnée à r, et Ton a, pour la limite,
-H»
fix)f siny> j^ dr = 2/(.r) / 8iny>-f = 4/(j:) / siny> ■-
OU 2t:/(x).
Fourier indique aussi que la méthode s'applique aux valeurs limites — ir et + ir. En effet, prenons, par exemple, x= — n. Dans ce cas, l'intégrale dont il s'agit d'obtenir la limite sera
I y(r -• TTjsinyr . -. dr: Q smVr '
sin/* le facteur . deviendra infini pour r = o et pour r = 21t. En réduisant Tintégraie à sa
valeur prise dans le voisinage de ces limites, on a, pour r = o,
f* dr
sinyVj- =7t/(— it)
et, pour r = 2t:, en remplaçant r par 27t — /•',
dr'
Je dr
f sinyX J--7 = «/(-»- ît). 0 j
La valeur limite de l'intégrale est donc
^[/(-T^)-^-/(-+-^)]- Fourier considère aussi le cas où les limites de l'intégration comprennent un intervalle
512 THEORIE DE LA CHALEUR.
nombres a et 6, dont chacun est compris entre — ir et -h ir, on voit par la même figure quelles sont les valeurs de x pour lesquelles le second membre de Téquation (Â) est nul.
Si l'on conçoit qu'entre les limites de l'intégration certaines valeurs de a deviennent infinies, la construction indique dans quel sens la proposition générale doit être entendue. Mais nous ne considérons point ici les cas de cette nature, parce qu'ils n'appartiennent point aux questions physiques.
Si, au lieu de restreindre les limites — it et -hir, on donne plus
supérieur ù a?:, et il indique que « le second membre de Téqualion (A) est alors formé do plusieurs termes et donne le résultat d'une intégration (c'est-à-dire d'une sommation) finie, quelle que soit la fonction /(jr) ». Considérons, en effet, l'intégrale
b'
J] f(a) sin /> . „ dr ou
b'- .r
J(x +- r) sm;r — "j.— dr, ^ •'^ ^ "^ smVr '
f
et supposons que la différence b' — a' soit supérieure à itz. Alors il y aura plusieurs inler-
«
valles infiniment petits pour lesquels l'ordonnée . .. deviendra infinie. Soient
O, 'ITt, ^TZj . . ., ihiz
les valeurs correspondantes de /*. En général, aucune de ces valeurs n'est égale à la limite
inférieure ou à la limite supérieure de l'intégrale. Alors, en appliquant la méthode de Fou-
fier, on trouvera
2Tr[/(j7) -\-f{jr-^ 2Tr)-h. . .-i-/(.r-f- a/zr)]
pour la limite do Tintégrale. Tel est le résultat de « l'intégration » dont parle Fourier dans le passage cité. Si une des valeurs de o ou 2/1 x est égale à une des limites de l'intégrale, il faudra remplacer le terme correspondant par sa moitié.
Telles sont les règles qui résultent do la construction; elles auraient mérité d'être énon- cées, au lieu d'être simplement indiquées. Lejeune-Dirichlot, nous croyons utile de le ré- péter, a suivi précisément la marche qui est indiquée ici par Fourier, mais en apportant dans les raisonnements une oxtrêmo précision, qui était d'ailleurs bien nécessaire dans une iqucstion aussi importante. Loin de nous la pensée do méconnaître le progrès réel et consi- dérable apporté par les Mémoires de Dirichlet, dans un sujet où les efforts de Poisson et do Cauchy n'avaient pas été couronnés d'un plein succès. Mais il nous parait juste de remar- quer que Fourier, avec ce sens si profond des questions de philosophie naturelle qui doit exciter notre admiration, avait indiqué et même parcouru, bien qu'à pas incertains, la voie dans laquelle on devait trouver la première démonstration exacte des résultats fondamen- taux que lui doit la Physique mathématique. G. l>.
CHAPITRE IX. ~ DIFFUSION DE LA CHALEUR. 513
d'étendue a l'intégrale, en choisissant des limites plus distantes a' et //, on connaît par la même figure que le second membre de l'équa- tion (A) est formé de plusieurs termes, et donne le résultat d'une intégration finie, quelle que soit la fonction /(a?).
On trouve des résultats semblables si l'on écrit -^(a — ^r) au lieu
de r, et si les limites de l'intégration sont — X et -hX.
Il faut considérer maintenant que les conséquences auxquelles on est parvenu auraient encore lieu pour une infinité de fonctions diffé- rentes de sinyr. Il suffit que ces fonctions reçoivent des valeurs alter- nativement positives et négatives, en sorte que l'aire devienne nulle
lorsque y croît sans limite. On peut faire varier aussi le facteur -—y-'
ainsi que les limites de l'intégration, et l'on peut supposer que l'inter- valle devient infini. Ces sortes d'expressions sont donc très générales et susceptibles des formes les plus diverses. Nous ne pouvons nous arrêter à ces développements; mais il était nécessaire de montrer l'emploi des constructions : car elles résolvent sans aucun doute les questions qui peuvent s'élever sur les valeurs extrêmes et sur les valeurs singulières; elles n'auraient pu servir à découvrir ces théo- rèmes, mais elles les démontrent et en dirigent toutes les appli- cations.
424.
Nous avons encore à faire envisager ces mêmes propositions sous un autre point de vue. Si l'on compare entre elles les solutions rela- tives au mouvement varié de la chaleur dans l'armille, la sphère, le prisme rectangulaire, le cylindre, on voit que nous avions à développer une fonction arbitraire /(a?) en une suite de termes tels que
La fonction 9, qui, dans le second membre de l'équation (A), est un
cosinus ou un sinus, est remplacée ici par une fonction qui p^ut être
très différente du sinus. Les nombres [jl,, (jl^, [Xg, ..., au lieu d'être
F. '65
514 THÉORIE DE LA CHALEUR.
des nombres entiers, sont donnés par une équation transcendante dont les racines, en nombre infini, sont toutes réelles. La question consis- tait à trouver les valeurs des coefficients a,, ^a, «3, ... ; on y est par- venu au moyen des intégrations définies qui font disparaître toutes les inconnues excepté une seule. Nous allons examiner spécialement la nature de ce procédé et les conséquences exactes qui en dérivent.
Afin de donner à cet examen un objet plus déterminé, nous choi- sirons pour exemple une des questions les plus importantes, savoir celle du mouvement varié de la chaleur dans la sphère solide. On a vu (art. 290, p. 3 12) que, pour satisfaire à la distribution initiale de la chaleur, il faut déterminer les coefficients
Ui, Uif tZj, • > • ,
dans l'équation
(e) a:V{x) zzza, sinfjL, J74- «iSin/jL,jr 4- ajsin/jtjjr -h
La fonction F(a?) est entièrement arbitraire; elle désigne la valeur v de la température initiale et donnée de la couche sphérique dont le rayon est X. Les nombres [x,, pL.,, ... sont les racines [jl de l'équation trans- cendante
X est le rayon total de la sphère; h est un coefficient numérique connu, d'une valeur positive quelconque. Nous avons prouvé rigoureusement, dans nos premières recherches, que toutes les valeurs de (x, ou les racines de l'équation (/), sont réelles. Cette démonstration est déduite de la théorie générale des équations et n'exige point que Ton suppose connue la forme des racines imaginaires que toute équation peut avoir. Nous ne l'avons point rappelée dans cet Ouvrage, parce qu'elle est sup- pléée par des constructions qui rendent la proposition plus sensible. Au reste, nous avons traité cette même question par l'Analyse, en déterminant le mouvement varié de la chaleur dans un corps cylin- drique (art. 308, p. 335 et 336). Cela posé, la question consiste à
CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR. 515
trouver pour a,, a^» ^^s» ••• des valeurs numériques telles que le second membre de l'équation [e) devienne nécessairement égal à x¥{x) lorsqu'on y mettra pour x une valeur quelconque comprise entre o et la longueur totale X.
Pour trouver le coefficient a,-, nous avons multiplié l'équation {e) par sin[iixdx, et ensuite intégré entre les limites x=:o, .r = X, et nous avons démontré (art. 291, p. 3i3) que l'intégrale
f
X
sin/jL/j: sUïiÂjxdx
a une valeur nulle toutes les fois que les indices i ety" ne sont point les mêmes; c'est-à-dire lorsque les nombres (x, et (Xy sont deux racines différentes de l'équation (/). 11 suit de là que, l'intégration définie faisant disparaître tous les termes du second membre excepté celui qui contient «/, on a, pour déterminer ce coefficient, l'équation
/x¥{x)s\nnia: (ix =zai I sin'jUL/x^j?.
Mettant cette valeur du coefficient a^ dans l'équation {e), on en con- clut l'équation identique
/ aF(a) sin/jL^a t/a
(s) ûcF{x) =2 sinyLiX — j^
f sinV/|3^(3
Il faut, dans le second membre, donner à i toutes ses valeurs, c'est- à-dire mettre successivement, au lieu de (jl„ toutes les racines [x de l'équation (/). L'intégrale doit être prise pour a, depuis a = o jusqu'à a = X, ce qui fait disparaître l'indéterminée a. Il en est de même de p, qui entre dans le dénominateur; en sorte que le terme sintx/^ est mul- tiplié par un coefficient a^ dont la valeur ne dépend que de X et de l'indice i. Le signe 2 indique qu'après avoir donné à i ses différentes valeurs, il faut écrire la somme de tous les termes.
L'intégration offre donc un moyen très simple de déterminer immé-
3IG THÉORIE DE LA CHALEUR.
(liâtement les coefficients; mais il faut examiner attentivement l'ori- gine de ce procédé, ce qui donne lieu aux deux remarques suivantes : 1** Si, dans l'équation (e), on avait omis d'écrire une partie des termes, par exemple tous ceux où l'indice est un nombre pair, on trouverait encore» en multipliant l'équation par sin[Uixdjc et intégrant depuis x = o jusqu'à ^ = X, cette même valeur de a, qui a été déter- minée précédemment; et l'on formerait ainsi une équation qui ne serait point vraie; car elle ne contiendrait qu'une partie des termes de l'équation générale, savoir ceux dont l'indice est impair.
2° L'équation complète (e) que l'on obtient après avoir déterminé les coefficients, et qui ne diffère point de l'équation rapportée à l'ar- ticle 291 (p. 3i4), dans laquelle on ferait / = o et ^ = F(^), est telle que, si l'on donne à x une valeur quelconque comprise entre o et X, les deux membres sont nécessairement égaux; mais on ne peut point conclure, comme nous l'avons fait observer, que cette égalité ait lieu si, choisissant pour le premier membre œ¥{x) une fonction assujettie h une loi continue, telle que sina? ou coso?, on donnait à x une valeur non comprise entre o ctX. En général, l'équation résultante (e) doit être appliquée aux valeurs de x comprises entre o et X. Or le procédé qui détermine le coefficient a,- ne fait point connaître pourquoi toutes les racines pi/ doivent entrer dans l'équation (e), et pourquoi cette équation se rapporte uniquement aux valeurs de x comprises entre o et X.
Pour résoudre clairement ces questions, il suffit de remonter aux principes qui servent de fondement a notre analyse.
Nous divisons l'inlervalle X en un nombre infini n de parties égales à dx, en sorte que Ton a
n dx =z X ;
et, écrivant/(.r) au lieu de xF{x), nous désignons par
• yi» yi» ya» •••» y/i •••» Jn
les valeurs de/(:r) qui répondent aux valeurs
cixj 2 dx, 3 dx, . . . , idx, . . . , n dx
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 517
attribuées à x; nous composons l'équation générale {e) d'un nombre /^ (le termes, en sorte qu'il y entre n coefficients inconnus
Cela posé, cette équation (e) représente les n équations du premier degré que l'on formerait en y mettant successivement, au lieu de .r, ses n valeurs
djCy 2 dxy 3 cljCy , • . , n dx^
Ce système de n équations contient dans la première /,, dans la seconde/2, dans la troisième/,, . . . , dans la ^i*^™*/^. Pour déterminer le premier coefficient a<, on multiplie la première équation par œ^, la seconde par a^, la troisième par (T3, ainsi de suite, et l'on ajoute ensemble les équations ainsi multipliées. Les facteurs a,, o-j, 0*3, . . . , a^ doivent être déterminés par cette condition que la somme de tous les termes des seconds membres qui contiennent a^ soit nulle, et qu'il en soit de même pour tous les coefficients suivants «3, a^, ..., a„. Donc, toutes les équations étant ajoutées, le coefficient a, entre seul dans le résultat, et l'on a une équation pour déterminer ce coefficient. Ensuite, on multiplie de nouveau toutes les équations par d'autres facteurs respectifs p^, pa, pa, ..., p„, et ces facteurs sont déterminés en sorte qu'en ajoutant les n équations, tous les coefficients soient éliminés excepté a^. On a donc une équation pour déterminer a.^. On continue des opérations semblables, et, choisissant toujours de nouveaux facteurs, on détermine successivement tous les coefficients inconnus. Or il est manifeste que ce procédé d'élimination est préci- sément celui qui résulte de l'intégration entre les limites o et X. La série a,, a^, 0-3, . . ., ci„ des premiers facteurs est
%\ï\{lkidœ)dxy sm{2 II idx)dx y ..., s\n{niXidx)dx.
En général, la série des facteurs qui servent à éliminer tous les coefficients, excepté a/, est
s\n{iXidx)dx, sin {2 iJiidx)dx y ..., s\n{nii{dx)dx;
.,18 THEORIE DE LA CHALEUR.
elle est représentée {Wir le terme général sin (x^o; ctr, dans lequel on donne successivement k x toutes les valeurs
dx^ 1 cix, 3 dx^ . . , , n dx.
On voit par là que le procédé qui nous sert à déterminer les coef- ficients ne diflere en rien du calcul ordinaire de Télimination dans les équations du premier degré. Le nombre n des équations est égal à celui des quantités inconnues a,, a^^ a,, ..., a^,, et le même que le nombre des quantités données/,, /a, /j, ...,/„. Les valeurs trouvées pour les coefficients sont celles qui doivent avoir lieu pour que les n équations subsistent à la fois, c'est-à-dire pour que Téquation [t) subsiste lorsqu'on donne à x une de ces n valeurs comprises entre o et X; et, comme le nombre n est infini, il s'ensuit que le premier membre f[x) coïncide nécessairement avec le second, lorsque la valeur x substituée dans l'un et l'autre est comprise entre o et X.
La démonstration précédente ne s'applique pas seulement aux déve- loppements dont la forme est
rtj sinjULix 4- asSinjULsJT +a3sin|UL3^ -h. . . -h a,sin|ji^x;
elle convient à toutes les fonctions <^{^ix) que l'on pourrait substituer à sin[JL,a? en conservant la condition principale, savoir que l'intégrale
x
/ <p(//rr)(p(//yj;)e/^
ait une valeur nulle lorsque i eij sont des nombres différents. Si l'on propose de développer /(j?) sous cette forme
/{x) =z a 4-^1 cosj? H- a, C0S2JC -h. . .-f- a/cos/x-h. . . -f- 6, sin:r 4- ^tsin^^r -+-...-+- biS'mix -h. . .,
les racines [x,, [Xj, [Xg, ..., jX/, ... seront des nombres entiers et, la condition
r . X .X
COS 2 71 1 ^ COS 2 TTy ^ dx 1=1 o
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 5lî)
ayant toujours lieu lorsque les indices i et y sont des nombres diffé- rents, on obtient, en déterminant les coefficients a/, b^, l'équation générale (II) (art. 234, p. 23i) qui ne diffère pas de Téquation (A)
(art. 418, p. 5o2).
425.
Si Ton omettait dans le second membre de l'équation [e] un ou plu- sieurs des termes qui répondent a une ou plusieurs racines [ji,- de Téquation (/), Téquation (e) ne serait pas vraie en général. Pour s'en convaincre, supposons qu'un terme contenant (Xy et Uj ne soit point écrit dans le second membre de l'équation (e), on pourrait multiplier respectivement les n équations par les facteurs
ç\ii(\ijdx)dx, sïn ( Il j 2 dx)d.r, ..., s\n{[ï.jndx) dx^
et, en les ajoutant, la somme de tous les termes des seconds membres serait nulle; en sorte qu'il ne resterait aucun des coefficients inconnus. Le résultat formé de la somme des premiers membres, c'est-à-dire la somme des valeurs /,, /a,/,, ...,/„, multipliées respectivement par les facteurs
%m{[ijdx) dxj s\ïi{\Ljidx)dxj ..., sin{iJijndx)dx,
se réduirait à zéro. Il faudrait par conséquent que cette relation existât entre les quantités données /^ , /j, /j, . . . , Z^, et l'on ne pourrait point les considérer comme entièrement arbitraires, ce qui est contre l'hypo- thèse. Si ces quantités/^,/2,/3, ...»/« ont des valeurs quelconques, la relation dont il s'agit ne subsiste point, et l'on ne pourrait pas satis- faire aux conditions proposées en omettant un ou plusieurs termes tels que ajS\n[Ujx dans l'équation {e). Donc, la fonction /(a?) demeu- rant indéterminée, c'est-à-dire représentant le système d'un nombre infini d'e constantes arbitraires qui correspondent à des valeurs de .r comprises entre o et X, il est nécessaire d'introduire dans le second membre de l'équation {e) tous les termes tels que ay sin [Ujx, qui satis- font à la condition
/ sinyiixsinixjxdx^zo,
«-0
520 THEORIE DE LA CHALEUR.
les indices «ety étant différents; mais s'il arrivait que la fonction /(a-) fût telle que les n grandeurs/,, /a, /g, ,..,/„ eussent entre elles cette relation exprinnée par l'équation
/
X
sinixjx /{x) dx =io.
il est évident que le terme ajûn^jX pourrait être omis dans Téqua- tion [e).
Ainsi, il y a plusieurs classes de fonctions f{x) dont le dévelop- pement, représenté par le second membre de l'équation (c), ne con- tient pas certains termes correspondants à quelques-unes des racines [x. Il y a, par exemple, des cas où Ton doit omettre tous les termes dont l'indice est pair, et nous en avons vu divers exemples dans le cours de cet Ouvrage. Mais cela ne peut avoir lieu si la fonction f{jo) a toute la généralité possible. Dans tous les cas, on doit supposer le second membre de l'équation [e] complet, et le calcul fait connaître les termes qui peuvent être omis parce que leurs valeurs deviennent nulles.
426.
On voit clairement par cet examen que la fonction f[x) représente, dans notre analyse, le systëirne d'un nombre n de quantités séparées, correspondantes aux n valeurs de x comprises entre o et X, et que ces n quantités ont des valeurs actuelles, et par conséquent non infinies^ choisies à volonté. Toutes pourraient être nulles, excepté une seule dont la valeur serait donnée.
Il pourrait arriver que la série de ces n valeurs/,,/2,/3, ...,/, fût exprimée par une fonction assujettie à une loi continue, telle que x^ x^9 siniT, cosa?, ou en général ^{x); alors la ligne courbe dont les ordonnées représentent les valeurs correspondantes aux abscisses x, et qui est placée au-dessus de l'intervalle de a: = o à a? = X, se con- fond dans cet intervalle avec la courbe dont l'ordonnée est 9(0?), et les coefficients a,, a^, a,, ..., a^ de l'équation (e), déterminés par la
CHAPITRE IX. — DIFFUSION DE LA CHALEUR. 621
règle précédente, satisfont toujours à cette condition qu'une valeur de ce comprise entre o et X donne le même résultat, étant substituée dans ç(cr) et dans le second membre de l'équation (e).
F(j?) représente la température initiale de la couche sphérique dont le rayon est X. On pourrait supposer, par exemple, que l'on a F{x) = bx, c'est-à-dire que la. chaleur initiale croît proportionnellement à la dis- tance, depuis le centre, où elle est nulle, jusqu'à la surface, où elle est bX. Dans ce cas, xF{x) o\x/{x) est égale à bx^; en appliquant à celte fonction la règle qui détermine les coefficients, on développe- rait bx^ en une suite de termes, tels que
fli sin/JL, J7 H- a, sinfxsx -h «s sin/jLjx -+-
Or chaque terme sin[iL/a;, étant développé selon les puissances de x, no contient que des puissances de rang impair, et la fonction bx^ est une puissance de rang pair. Il est très remarquable que cette fonction bx'\ désignant une suite de valeurs données pour l'intervalle de o à X, puisse être développée en une suite de termes, tels que
a/sin|jL/^.
Nous avons déjà prouvé l'exactitude rigoureuse de ces résultats, qui ne s'étaient point encore présentés dans l'Analyse, et nous avons montré le véritable sens des propositions qui les expriment. On a vu, par exemple, dans l'article 223 (p. 2i4) que la fonction cosx est déve- loppée en une suite de sinus d'arcs multiples; en sorte que, dans l'équation qui donne ce développement, le premier membre ne con- tient que des puissances paires de la variable et le second ne contient que des puissances impaires. Réciproquement, la fonction sinx, où il n'entre que des puissances impaires, est résolue (art. 225, p. 217) en une suite de cosinus, qui ne contiennent que les puissances paires.
Dans la question actuelle relative à la sphère, la valeur de xY{x) est développée au moyen de l'équation (e). Il faut ensuite, comme on le voit (art, 290, p. 3 12), écrire dans chaque terme le facteur expo- nentiel, qui contient /, et l'on a, pour exprimer la température fs qui F. 66
522 THÉORIE DE LA CHALEUR.
est une fonction de x et /, l'équation
/ aF(a) sin|UL,a^a
(E) a:v =y! e^^^V s\ïi[LiX~ ^
f sinV/P^P
La solution générale que donne celte équation (E) est totalement indé- pendante de la nature de la fonction Y{x), parce que cette fonction ne représente ici qu'une multitude infinie de constantes arbitraires, qui répondent à autant de valeurs de x comprises entre o et X.
Si Ton supposait la chaleur primitive contenue dans une seule partie de la sphère solide, par exemple depuis a; = o jusqu'à x = ^X, et que les températures initiales des couches supérieures fussent nulles, il suffirait de prendre l'intégrale
J%\X\li.tOLf{(X)d(X
m
entre les limites a? = o et j? = ^X.
En général, la solution exprimée par l'équation (E) convient à tous les cas, et la forme du développement ne varie point selon la nature de la fonction.
Supposons maintenant que, ayant écrit sina? au lieu de F(.r), on ait déterminé par l'intégration les coefficients a, et que l'on ait formé l'équation
Il est certain qu'en donnant à x une valeur quelconque comprise entre o et X, le second membre de cette équation équivaut à x^\nx\ c'est une conséquence nécessaire de notre calcul. Mais il ne s'ensuit nullement qu'en donnant à x une valeur non comprise entre o et X, la même égalité aura lieu. On voit très distinctement le contraire dans les exemples que nous avons cités; et, si l'on excepte les cas particu- liers, on peut dire que la fonction, assujettie à une loi continue, qui formerait le premier membre des équations de ce genre ne coïncide
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 523
avec là fonction exprimée par le second membre que pour les valeurs de X comprises entre o et X.
A proprement parler, Téquation (e) est identique, et elle subsiste pour toutes les valeurs que Ton attribuerait à la variable x; mais Tun et Tautre membre de cette équation représentent une certaine fonction analytique qui coïncide avec une fonction connue f{x) si Ton donne à la variable x des valeurs comprises entre o et X. Quant à l'existence de ces fonctions, qui coïncident pour toutes les valeurs de la variable comprises entre certaines limites et différent pour les autres valeurs, elle est démontrée par tout ce qui précède, et les considérations de ce genre sont un élément nécessaire de l'analyse des différences par- tielles.
Au reste, il est évident que les équations (e) et (E) ne s'appliquent pas seulement à la sphère solide dont le rayon est X : elles représentent, l'une l'état initial, l'autre l'état variable du solide infiniment étendu dont le corps sphérique fait partie; et lorsqu'on donne dans ces équa- tions, à la variable ar, des valeurs plus grandes que X, elles se rap- portent aux parties de ce solide infini qui enveloppe la sphère. Cette remarque convient aussi à toutes les questions dynamiques que l'on résout par l'analyse des différences partielles. *
427.
Pour appliquer la solution donnée par l'équation (E) au cas où une seule couche sphérique aurait été primitivement échauffée, toutes les autres ayant une température initiale nulle, il suffirait de prendre l'in- tégrale
j 0LÏ{a)^m\Li(xdcf,
entre deux limites extrêmement voisines a = ret a = r-f-i/, r étant le rayon de la surface intérieure de la couche échauffée, et u l'épaisseur de cette couche.
On peut aussi considérer séparément l'effet résultant de réchauffe- ment initial d'une autre couche comprise entre les limites r+<i et
52i THÉORIE DE LA CHALEUR.
r'i'2u; et, si l'on ajoute la température variable due à cette seconde cause à la température que Ton avait d'abord trouvée lorsque la pre- mière couche était seule échauffée, la somme des deux températures est celle qui aurait lieu si les deux couches étaient échauffées a la fois. Il suffirait, pour avoir égard aux deux causes réunies, de prendre l'in- tégrale
y « F(a) sinixiocdoc
entre les limites a = ret a = r-i- 2u. Plus généralement, l'équation (E) pouvant être mise sous cette forme
on reconnaît que l'effet total de réchauffement des différentes couches est la somme des effets partiels que Ton déterminerait séparément en supposant que chacune des couches a été seule échauffée. La même conséquence s'étend à toutes les autres questions de la Théorie de la chaleur; elle dérive de la nature même des équations, et la forme des intégrales la rend manifeste. On voit que là chaleur contenue dans chaque élément d'un corps solide produit son effet distinct, comme si cet élément avait été seul échauffé, tous les autres ayant une tempéra- ture initiale nulle. Ces divers états se superposent en quelque sorte et se rassemblent pour former le système général des températures.
C'est pour cette raison que la forme de la fonction qui représente l'état initial doit être regardée comme entièrement arbitraire. L'inté- grale définie qui entre dans l'expression de la température variable, ayant les mêmes limites que le solide échauffé, montre expressément que l'on réunit tous les effets partiels dus à réchauffement initial de chaque élément.
428.
Nous terminerons ici cette Section, dont l'objet appartient presque entièrement à l'Analyse. Les intégrales que nous avons obtenues ne
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 5^5
sont point seulement des expressions générales qui satisfont aux équa- tions différentielles : elles représentent de la manière la plus distincte l'effet naturel, qui est l'objet de la question. C'est cette condition prin* cipale que nous avons eue toujours en vue, et sans laquelle les résultats du calcul ne nous paraîtraient que des transformations inutiles. Lorsque cette condition est remplie, l'intégrale est, à proprement parler, Véqua^ tion du phénomène; elle en exprime clairement le caractère et le pro- grès, de même que l'équation finie d'une ligne ou d'une surface courbe fait connaître toutes les propriétés de ces figures. Pour découvrir ces solutions, nous ne considérons point une seule forme de l'intégrale; nous clierchons à obtenir immédiatement celle qui est propre à la question. C'est ainsi que l'intégrale qui exprime le mouvement de la chaleur dans une sphère d'un rayon donné est très différente de celle qui exprime ce mouvement dans un corps cylindrique, ou même dans une sphère d'un rayon supposé infini. Or chacune de ces intégrales a une forme déterminée, qui ne peut pas être suppléée par une autre. Il est nécessaire d'en faire usage si l'on veut connaître la distribution de la chaleur dans le corps dont W s'agit. En général, on ne pourrait apporter aucun changement dans la forme de nos solutions sans leur faire perdre leur caractère essentiel^ qui est de représenter les phéno- mènes.
Ces diverses intégrales pourraient être déduites les unes des autres; car elles ont la même étendue. Mais ces transformations exigent de longs calculs et supposent presque toujours que la forme des résultats est connue d'avance. On peut considérer, en premier lieu, des corps dont les dimensions sont finies et passer de cette question à celle qui se rapporte à un solide non terminé. On substitue alors une intégrale définie à la somme désignée par le signe I^. C'est ainsi que les équa^ lions (a) et (P), rapportées au commencement de cette Section, dé- pendent Tune de l'autre. La première devient la seconde lorsqu'on suppose le rayon R infini. On peut réciproquement déduire de cette seconde équation (p) les solutions relatives aux corps de dimensions limitées.
526 THEORIE DE LA CHALEUR.
En général, nous avons cherché à obtenir chaque résultat par la voie la plus courte. Voici les éléments principaux de la méthode que nous avons suivie :
1^ On considère à la fois la condition générale donnée par l'équation aux différences partielles et toutes les conditions singulières qui déter- minent entièrement la question; et Ton se propose de former l'expres- sion analytique qui satisfait à toutes ces conditions.
2® On reconnaît d'abord que cette expression contient un nombre indéfini de termes où il entre des constantes inconnues, ou qu'elle équivaut à une intégrale où se trouvent une ou plusieurs fonctions arbitraires. Dans le premier cas, c'est-à-dire lorsque le terme général est affecté du signe 2, on déduit des conditions spéciales une équation transcendante déterminée, dont les racines donnent les valeurs d'un nombre infini de constantes.
Le second cas a lieu lorsque le terme général devient une quantité infiniment petite; alors la somme de la série se change en une inté- grale définie.
3° On peut démontrer par les théorèmes fondamentaux de l'Algèbre, ou même par la nature physique de la question, que l'équation trans- cendante a toutes ses racines réelles et en nombre infini.
4® Dans les questions élémentaires, le terme général est formé de sinus ou cosinus; les racines de l'équation déterminée sont des nombres entiers, ou des quantités réelles et irrationnell.es : chacune d'elles est comprise entre deux limites déterminées.
Dans les questions plus coniposées, le terme général est formé d'une fonction implicitement donnée au moyen d'une équation différentielle, intégrable ou non. Quoi qu'il en soit, l'équation déterminée subsiste; elle a toutes ses racines réelles et en nombre infini. Cette distinction des parties dont l'intégrale doit être composée est très importante, parce qu'elle fait connaître clairement la forme de la solution et les relations nécessaires entre les coefficients.
5" Il reste à déterminer les seules constantes qui dépendent de l'état initial, ce qui se fait par l'élimination des inconnues dans un nombre
CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 527
infini d'équations du premier degré. On multiplie l'équation qui se rapporte k l'état initial par un facteur différentiel, et Ton intègre entre des limites définies, qui sont le plus souvent celles du solide où le mouvement s'accomplit.
Il y a des questions pour lesquelles nous avons déterminé les coef- ficients par des intégrations successives, comme on le verra dans le Mémoire qui a pour objet la température des habitations. Dans ce cas, on considère les intégrales exponentielles qui conviennent à l'état ini- tial du solide infini; car il est facile d'obtenir ces intégrales.
Il résulte des intégrations que tous les termes du second membre disparaissent, excepté celui dont on veut déterminer le coefficient. Dans la valeur de ce coefficient, le dénominateur ne devient jamais nul, et l'on obtient toujours une intégrale définie dont les limites sont celles du solide et dont un des facteurs est la fonction arbitraire qui convient à l'état initial. Cette forme du résultat est nécessaire, parce que le mouvement variable qui est l'objet de la question se compose de tous ceux qui auraient lieu séparément si chaque point du solide était seul échauffé et que la température initiale de tous les autres fût nulle.
Lorsqu'on examine avec soin ce procédé d'intégration qui sert h déterminer lés coefficients, on voit qu'il contient une démonstration complète, et qu'il montre très distinctement la nature des résultats; en sorte qu'il n'est nullement nécessaire de les vérifier par d'autres calculs.
La plus remarquable des questions que nous ayons exposées jus- qu'ici, et la plus propre à faire connaître l'ensemble de notre analyse, est celle du mouvement variable de la chaleur dans un corps cylin- drique. Dans d'autres recherches, la détermination des coefficients exigerait des procédés de calcul que nous ne connaissons point encore. Mais il faut remarquer que l'on peut toujours, sans déterminer les valeurs des coefficients, acquérir une connaissance exacte de la ques- tion et de la marche naturelle du phénomène qui en est l'objet; la considération principale est celle des mou^^ements simples.
5-28 THÉORIE DE LA CHALEUR.
6** Lorsque Texpression cherchée contient une intégrale définie, on détermine les fonctions inconnues placées sous le signe / , soit par les théorèmes que nous avons donnés pour exprimer les fonctions arbi- traires en intégrales définies, soit par un procédé plus composé, dont on trouvera divers exemples dans la seconde Partie.
Ces théorèmes s^élendent à un nombre quelconque de variables. Ils appartiennent en quelque sorte à une méthode inverse d'intégration définie : car ils servent à déterminer sous les signes /et 2) des fonc- tions inconnues qui doivent être telles que le résultat de l'intégration soit une fonction donnée.
Les mêmes principes s'appliquent k diverses autres questions de Géométrie, de Physique générale ou d'Analyse, soit que les équations contiennent des différences finies ou infiniment petites, soit qu'elles comprennent les unes et les autres.
Les solutions que l'on obtient par cette méthode sont complètes et consistent dans des intégrales générales. Aucune autre intégrale ne peut avoir plus d'étendue. Les objections qui avaient été proposées à ce sujet sont dénuées de tout fondement; il serait aujourd'hui superflu de les discuter.
7*^ Nous avons dit que chacune de ces solutions donne Yéquation propre du phénomène y parce qu'elle le représente distinctement dans toute l'étendue de son cours, et qu'elle sert à déterminer facilement en nombre tous les résultats.
Les fonctions que l'on obtient par ces solutions sont donc composées d'une multitude de termes, soit finis, soit infiniment petits; mais la forme de ces expressions n'a rien d'arbitraire : elle est déterminée par le caractère physique du phénomène. C'est pourquoi, lorsque la valeur de la fonction est exprimée par une série où il entre des exponentielles relatives au temps, il est nécessaire que cela soit ainsi, parce que l'effet naturel dont on recherche les lois se décompose réellement en parties distinctes, correspondantes aux différents termes de la série. Ces parties expriment autant de mouvements simples compatibles avec les condi- tions spéciales; pour chacun de ces mouvements, toutes les tempéra-
CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR. 529
tures décroissent en conservant leurs rapports primitifs. On ne doit pas voir dans cette composition un résultat de l'Analyse, dû à la seule forme linéaire des équations différentielles, mais un effet subsistant, qui devient sensible dans les expériences. Il se présente aussi dans les questions dynamiques où Ton considère les causes qui anéantissent le mouvement; mais il appartient nécessairement à toutes les questions de la théorie de la chaleur, et il détermine la nature de la méthode que nous avons suivie pour les résoudre.
La théorie mathématique de la chaleur se forme : i® de la définition exacte de tous les éléments du calcul; n^ des équations différentielles; 3° des intégrales propres aux questions fondamentales. On peut arriver aux équations par plusieurs voies; on peut aussi obtenir les mêmes intégrales, ou résoudre d'autres questions, en apportant quelque chan- gement dans la marche du calcul. Nous pensons que ces recherches ne constituent point une méthode différente de la nôtre; mais elles con- firment et multiplient les résultats.
9® On avait objecté au sujet de notre analyse que, les équations transcendantes qui déterminent les exposants ayant des racines imagi- naires, il serait nécessaire d'employer les termes qui en proviennent, et qui indiqueraient dans une partie du phénomène le caractère pério- dique : mais cette objection n'est point fondée, parce que les équa- tions dont il s'agit ont, en effet, toutes leurs racines réelles, et qu'au- cune partie du phénomène ne peut être périodique.
lo*^ On avait allégué que, pour résoudre avec certitude les questions de ce genre, il est nécessaire de recourir dans tous les cas à une cer- taine forme de l'intégrale, que l'on désignait comme générale; et l'on proposait, sous cette dénomination, l'équation (y) de l'article 398; mais cette distinction n'est point fondée; et l'usage d'une seule inté- grale n'aurait pour effet, dans plusieurs cas, que de compliquer le calcul sans nécessité. Il est d'ailleurs évident que cette intégrale (y) se déduit de celle que nous avons donnée en 1807 pour déterminer le mouvement de la chaleur dans une armille d'un rayon déterminé R; il suffit de donner à R une valeur infinie.
F. 67
530 THÉORIE DE LA CHALEUR.
1 1** On a pensé que la méthode qui consiste à exprimer l'intégrale par une suite de termes exponentiels, et à déterminer les coefficients au moyen de l'état initial, ne résout point la question relative à un prisme qui perd inégalement sa chaleur par ses deux extrémités; ou que, du moins, il serait très difficile de vérifier ainsi la solution que l'on déduit de l'intégrale (y) par de longs calculs. On reconnaîtra par un nouvel examen que notre méthode s'applique directement à cette question, et qu'il suffit même d'une seule intégration.
1*1^ Nous avons développé en séries de sinus d'arcs multiples des fonctions qui paraissent ne contenir que des puissances paires de la variable, par exemple cos^r. Nous avons exprimé par des suites con- vergentes, ou en intégrales définies, des parties séparées de diverses fonctions ou des fonctions discontinues entre certaines limites, par exemple celle qui mesure l'ordonnée dans un triangle. Nos démonstra- tions ne laissent aucun doute sur l'exacte vérité de ces équations.
i3** On trouve dans les Ouvrages de tous les géomètres des résultats et des procédés de calcul analogues à ceux que nous avons employés. Ce sont des cas particuliers d'une méthode générale, qui n'était point encore formée et qu'il devenait nécessaire d'établir, pour connaître, même dans les questions les plus simples, les lois mathématiques de la distribution de la chaleur. Cette théorie exigeait une analyse qui lui est propre, et dont un élément principal est l'expression analytique des /onctions séparées , ou des parties de fonctions.
Nous entendons ^^v fonction séparée^ ou partie de fonction, une fonction /(^r) qui a des valeurs subsistantes lorsque la variable a: est comprise entre des limites données, et dont la valeur est toujours nulle si la variable n'est pas comprise entre ces limites. Cette fonction mesure l'ordonnée d'une ligne qui comprend un arc fini d'une forme arbitraire et se confond avec l'axe des abscisses dans tout le reste de son cours.
Cette notion n'est point opposée aux principes généraux du Calcul; on pourrait même en trouver les premiers fondements dans les écrits de Daniel Bernoulli, de Clairaut, de Lagrange et d'Euler. Toutefois on
CHAPITRE IX. ~ DIFFUSION DE LA CHALEUR. 531
avait regardé comme manifestement impossible d'exprimer en séries de sinus d'arcs multiples, ou du moins en séries trigonométriques con- vergentes, une fonction qui n'a de valeurs subsistantes que si celles de la variable sont comprises entre certaines limites, et dont toutes les autres valeurs seraient nulles. Mais ce point d'analyse est pleinement éclairci; et il demeure incontestable que les fonctions séparées, ou parties de fonctions, sont exactement exprimées par des séries trigo- nométriques convergentes, ou par des intégrales définies. Nous avons insisté sur cette conséquence dès l'origine de nos recherches jusqu'à ce jour, parce qu'il ne s'agit point ici d'une question abstraite et isolée, mais d'une considération principale, intimement liée aux applications les plus utiles et les plus étendues. Rien ne nous a paru plus propre que les constructions géométriques à démontrer la vérité de ces nou- veaux résultats, et à rendre sensibles les formes que l'Analyse emploie pour les exprimer.
i4® Les principes qui nous ont servi à établir la théorie analytique de la chaleur s'appliquent immédiatement à la recherche du mouve- ment des ondes dans les liquides dont une partie a été agitée. Ils donnent aussi celles des vibrations des lames élastiques, des surfaces ilexibles tendues, des surfaces planes élastiques de très grandes dimen^ sions, et conviennent en général aux questions qui dépendent de la théorie de l'élasticité. Le propre des solutions que l'on déduit de ces principes est de rendre les applications numériques faciles, et de pré- senter des résultats distincts et sensibles, qui déterminent réellement l'objet de la question, sans faire dépendre cette connaissance d'inté- grations ou d'éliminations qu'on ne peut effectuer. Nous regardons comme superflue toute transformation des résultats du calcul qui no satisfait point à cette condition principale.
429.
♦
1° Nous présenterons maintenant diverses remarques concernant les équations différentielles du mouvement de la chaleur.
532 THEORIE DE LA CHALEUR.
Si deux molécules d'un même corps sont extrêmement voisines et ont des températures inégales^ celle qui est la plus échauffée communique directe- ment à Vautre pendant un instant une certaine quantité de chaleur; cette quantité est proportionnelle à la différence extrêmement petite des tempé- ratures : c'est-à-dire que, si cette différence devenait double, triple, quadruple et que toutes les autres conditions demeurassent les mêmes, la chaleur communiquée serait double, triple, quadruple.
Cette proposition exprime un fait général et constant, qui suffît pour servir de fondement à la théorie mathématique. Le mode de transmis- sion est donc connu avec certitude, indépendamment de toute hypo- thèse sur la nature de la cause, et il ne peut être envisagé sous deux points de vue différents. Il est évident que la communication immé- diate s'opère suivant toutes les directions, et qu'elle n'a lieu, dans les . fluides ou les liquides non diaphanes, qu'entre des molécules extrê- mement voisines.
Les équations générales du mouvement de la chaleur, dans l'inté- rieur des solides de dimensions quelconques, et à la surface de ces corps, sont des conséquences nécessaires de la proposition précédente. Elles s'en déduisent rigoureusement, comme nous l'avons prouvé dans nos premiers Mémoires en 1807, et l'on obtient facilement ces équa- tions au moyen de lemmes dont la démonstration n'est pas moins exacte que celle des propositions élémentaires de la Mécanique.
On déduit encore ces équations de la même proposition en détermi- nant par des intégrations la quantité totale de fchaleur qu'une molécule reçoit de celles qui l'environnent. Ce calcul n'est sujet à aucune diffi- culté. Les lemmes dont il s'agit suppléent aux intégrations, parce qu'ils donnent immédiatement l'expression du flux, c'est-à-dire la quantité de chaleur qui traverse une section quelconque. L'un et l'autre calcul doivent évidemment conduire au même résultat; et, comme il n'y a aucune différence dans le principe, il ne peut point y en avoir dans les conséquences.
2P Nous avons donné en 181 1 l'équation générale qui se rapporte à la surface. Elle n'a pas été déduite de cas particuliers, comme on l'a
CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR. 533
supposé sans aucun fondement; et elle n'aurait pu Tètre : la proposi- tion qu'elle exprime n'est point de nature à être découverte par voie d'induction ; on ne peut pas la connaître pour certains corps et l'ignorer pour les autres; elle est nécessaire pour tous, afin que V état de la super- ficie ne subisse pas dans un temps déterminé un changement infini. Nous avons omis dans notre Mémoire les détails de la démonstration, parce qu'ils consistent seulement dans l'application de propositions connues. Il suffisait dans cet écrit de donner le principe et le résultat,* comme nous l'avons fait dans l'article 15 du Mémoire cité.
On déduit aussi de cette même condition l'équation générale dont il s'agit, en déterminant la quantité totale de chaleur que chaque molé- cule placée à la surface reçoit et communique. Ces calculs, très com- posés, ne changent rien à la nature de la démonstration.
Dans la recherche de l'équation différentielle du mouvement de la chaleur, on peut supposer que la masse n'est point homogène, et il est très facile de déduire cette équation de l'expression analytique du flux; il suffit de laisser sous le signe de la différentiation le coefficient qui mesure la conducibilité.
3"* Newton a considéré le premier la loi du refroidissement des corps dans l'air : celle qu'il a admise pour le cas où l'air est emporté avec une vitesse constante est d'autant plus conforme aux observations que la différence des températures est moindre; elle aurait lieu exac- tement si cette différence était infiniment petite.
Âmontons a fait une expérience remarquable sur l'établissement de la chaleur dans un prisme dont l'extrémité est assujettie à une tempé- rature déterminée. La loi logarithmique du décroissement des tempé- ratures dans ce prisme a été donnée pour la première fois par Lambert, de l'Académie de Berlin. MM. Biot et de Rumford ont confirmé cette loi par des expériences.
Pour découvrir les équations différentielles du mouvement variable de la chaleur, et même dans les cas les plus élémentaires, comme celui du prisme cylindrique d'un très petit rayon, il était nécessaire de con- naitre l'expression mathématique de la quantité de chaleur qui tra-
534 THÉORIE DE LA CHALEUR.
verse une partie extrêmement petite du prisme. Cette quantité n'est pas seulement proportionnelle à la différence des températures des deux sections qui terminent la tranche. On prouve de la manière la plus rigoureuse qu'elle est aussi en raison inverse de l'épaisseur de cette tranche ; c'est-à-dire que, si deux tranches d'un même prisme étaient inégalement épaisses et que, pour la première y la différence des températures des deux hases fût la même que pour la seconde, les quantités de chaleur qui traversent ces tranches pendant le même instant seraient en raison inverse des épaisseurs. Le lemme précédent ne convient pas seulement k des tranches dont l'épaisseur est infiniment petite : il s'applique à des prismes d'une épaisseur quelconque. Cette notion du flux est fon- damentale; tant qu'on ne Ta point acquise, on ne peut se former une idée exacte du phénomène et de l'équation qui l'exprime.
Il est évident que l'accroissement instantané de la température d'un point est proportionnel à l'excès de la quantité de chaleur que ce point a reçue sur la quantité qu'il a perdue, et qu'une équation différentielle partielle doit exprimer ce résultat; mais la question ne consiste pas à énoncer cette proposition, qui est le fait lui-même : elle consiste k former réellement l'équation différentielle, ce qui exige que l'on con- sidère ce fait dans ses éléments. Si, au lieu d'employer l'expression exacte du flux de chaleur, on omet le dénominateur de cette expres- sion, on fait naître par cela même une difficulté qui n'est nullement inhérente à la question; et il n'y a aucune théorie mathématique qui n'en présentât de semblables si l'on commençait par altérer le principe des démonstrations. Non seulement on ne peut former ainsi une équa- tion différentielle, mais il n'y a rien de plus opposé à une équation qu'une proposition de ce genre, où l'on exprimerait l'égalité de quan- tités qui ne peuvent être comparées. Pour éviter cette erreur, il suffit de donner quelque attention à la démonstration et aux conséquences du lemme précédent (art. 65, G6, 67 et 75).
4^ Quant aux notions dont nous avons déduit pour la première fois les équations différentielles, elles sont celles que les physiciens ont toujours admises. Nous ignorons si quelqu'un a pu concevoir le mou-
CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR. 535
vement de la chaleur comme étant produit dans Tintérieur des corps par le seul contact des surfaces qui séparent les différentes parties. Pour nous, une telle proposition nous paraîtrait dépourvue de tout sens intelligible. Une surface de contact ne peut être le sujet d'aucune qualité physique : elle n'est ni échauffée, ni colorée, ni pesante. Il est évident que, lorsqu'une partie d'un corps donne sa chaleur à une autre, il y a une infinité de points matériels de la première qui agissent sur une infinité de points de la seconde. Il faut seulement ajouter que, dans l'intérieur des matières opaques, les points dont la distance n'est pas très petite ne peuvent se communiquer directement leur chaleur; celle qu'ils s'envoient est interceptée par les molécules intermédiaires. Les tranches en contact sont les seules qui se communiquent immé- diatement leur chaleur. Lorsque l'épaisseur de ces tranches égale ou surpasse la distance que la chaleur envoyée par un point parcourt avant d'être entièrement absorbée, il n'y a d'action directe qu'entre les points matériels extrêmement voisins; et c'est pour cela que l'ex- pression du flux a la forme que nous lui attribuons. Ce flux résulte donc d'une multitude infinie d'actions dont les effets s'ajoutent; mais ce n'est point pour cette cause que sa valeur pendant l'unité de temps est une grandeur finie et mesurable, quoiqu'il ne soit déterminé que par une différence extrêmement petite entre les températures.
Lorsqu'un corps échauffé perd sa chaleur dans un milieu élastique, ou dans un espace vide d'air terminé par une enveloppe solide, la va- leur de ce flux extérieur est assurément une intégrale; elle est encore due à l'action d'une infinité de points matériels, très voisins de la sur- face, et nous avons démontré autrefois que ce concours détermine la loi du rayonnement extérieur; cependant la quantité de chaleur émise pendant l'unité de temps serait infiniment petite si la différence des températures n'avait point une valeur finie. Dans l'intérieur des masses, la faculté conductrice est incomparablement plus grande que celle qui s'exerce à la superficie; cette propriété, quelle qu'en puisse être la cause, nous est connue de la manière la plus claire, puisque, le prisme étant parvenu à son état constant, la quantité de chaleur qui
536 THÉORIE DE LA CHALEUR.
traverse une section pendant l'unité de temps compense exactement celle qui se dissipe par toute la partie de la surface échauffée qui est placée au delà de cette section, et dont les températures surpassent celle du milieu d'une grandeur finie. Lorsqu'on n'a point égard à ce fait principal, et que l'on omet le diviseur dans l'expression du. flux, il est entièrement impossible de former l'équation différentielle, même pour le cas le plus simple; à plus forte raison serait-on arrêté dans la recherche des équations générales.
5^ De plus, il est nécessaire de connaître comment les dimensions de la section du prisme influent sur les valeurs des températures ac- quises. Quoiqu'il s'agisse seulement du mouvement linéaire, et que tous les points d'une section soient regardés comme ayant la même température, il ne s'ensuit pas que l'on puisse faire abstraction des dimensions de la section, et étendre à d'autres prismes les consé- quences qui ne conviennent qu'à un seul. On ne peut point former l'équation exacte sans exprimer cette relation entre l'étendue de la section et l'eflet produit à l'extrémité du prisme.
Nous ne développerons pas davantage l'examen des principes qui nous ont conduit à la connaissance des équations difl*érentielles; nous ajoutons seulement que, pour porter un jugement approfondi sur l'u- tilité de ces principes, il faut aussi considérer des questions variées et difficiles : par exemple, celle que nous allons indiquer, et dont la solu- tion manquait à notre théorie, ainsi que nous l'avions fait remarquer depuis longtemps. Cette question consiste à former les équations difle- rentielles qui expriment la distribution de la chaleur dans les liquides en mouvement lorsque toutes les molécules sont déplacées par des forces quelconques, combinées avec les changements de température. Ces équations, que nous avons données dans le cours de l'année 1820, appartiennent à l'Hydrodynamique générale; elles complètent cette branche de la Mécanique analytique.
CHAPITRE IX. - DIFFUSION JDE LA CHALEUR. 537
430.
Les différents corps jouissent très inégalement de cette propriété que les physiciens ont appelée co/irfac//éiAVe ou conducibilùé, c'est-à-dire de la faculté d'admettre la chaleur et de la propager dans l'intérieur des masses. Nous n'avons point changé ces dénominations, quoi- qu'elles ne nous paraissent point exactes. L'une et l'autre, et surtout la première, exprimeraient plutôt, selon toutes les analogies, la faculté d'être conduit que celle de conduire.
La chaleur pénètre avec plus ou moins de facilité la superficie des diverses substances, soit pour s'y introduire, soit pour en sortir, et les corps sont inégalement perméables à cet élément; c'est-à-dire qu'il s'y propage avec plus ou moins de facilité en passant d'une molécule intérieure à une autre. Nous pensons que l'on pourrait désigner ces deux propriétés distinctes par les noms de pénétrabilité et de perméa- bilité.
11 faut surtout ne point perdre de vue que la pénétrabilité de la sur- face dépend de deux qualités différentes : l'une est relative au milieu extérieur, et exprime la facilité de la communication par le contact; l'autre consiste dans la propriété d'émettre ou d'admettre la chaleur rayonnante. Quant à la perméabilité spécifique, elle est propre à chaque substance et indépendante de l'état de la superficie. Au reste, les définitions précises sont le vrai fondement de la théorie; mais les dénominations n'ont point, dans la matière que nous traitons, le même
degré d'importance.
431.
On ne peut point appliquer cette dernière remarque aux notations ; car elles contribuent beaucoup aux progrès de la science du calcul. On ne doit les proposer qu'avec réserve, ni les admettre qu'après un long examen. Celle que nous avons employée se réduit à indiquer au- dessous et au-dessus du signe d'intégration y les limites de l'intégrale, en écrivant immédiatement après ce signe la différentielle de la quan- tité qui varie entre ces limites.
F. 68
538 THÉORIE DE LA CHALEUR.
On se sert aussi du signe i^ pour exprimer la somme d'un nombre indéfini de termes qui dérivent d'un terme général, où Ton fait varier l'indice i. Nous plaçons cet indice (*), s'il est nécessaire, au devant du signe, et nous écrivons la première valeur de i au-dessous, et la der- nière au-dessus. L'emploi habituel de ces notations en fera connaître toute l'utilité, principalement lorsque le calcul des intégrales définies devient composé, et lorsque les limites de l'intégrale sont elles-mêmes
l'objet de ce calcul.
432.
Les résultats principaux de notre théorie sont les équations différen- tielles du mouvement de la chaleur dans les corps solides ou liquides et l'équation générale qui se rapporte à la surface. La vérité de ces équations n'est point fondée sur une explication physique des effets de la chaleur. De quelque manière que l'on veuille concevoir la nature de cet élément, soit qu'on le regarde comme un être matériel distinct qui passe d'une partie de l'espace dans une autre, soit qu'on fasse consister la chaleur dans la seule transmission du mouvement, on par- viendra toujours aux mêmes équations, parce que l'hypothèse qu'on aura formée doit représenter les faits généraux et simples dont les lois mathématiques sont dérivées.
La quantité de chaleur que se transmettent deux molécules dont les températures sont inégales dépend de la différence de ces tempéra- tures. Si la différence est infiniment petite, il est certain que la cha- leur communiquée est proportionnelle à cette différence; toutes les expériences concourent à démontrer rigoureusement cette proposition. Or, pour établir les équations différentielles dont il s'agit, on considère seulement l'action réciproque des molécules infiniment voisines. Il
(I) Nous avons laissé subsister ce passage sans aucune modificalion, bien que les règles qui y sont indiquées n'aient été presque jamais suivies par Fourier. La notation il. n'est employée nulle part dans la Théorie de la chaleur et n'a pas d'ailleurs été adoptée par les géomètres. Quant aux signes /, ils ne portent presque jamais l'indication des limites ; nous avons, dans celte nouvelle édition, rétabli les limites toutes les fois que leur indication nous a paru utile ou nécessaire et qu'elle n'était pas donnée dans le texte. G. D.
CHAPITRE IX. ~ DIFFUSION DE LA CHALEUR. 539
d'y a donc aucune incertitude sur la forme des équations qui se rap- portent à rintérieur. de la masse.
L'équation relative à la surface exprime, domme nous l'avons dit, que le flux de la chaleur, dans le sens de la normale, et à l'extrémité du solide, doit avoir la même valeur, soit que l'on calcule l'action mu- tuelle des molécules du solide, soit que l'on considère l'action que le milieu exerce sut l'enveloppe. L'expression analytique de la première valeur est très simple et exactement connue; quant à la seconde va- leur, elle est sensiblement proportionnelle à la température de la sur- face lorsque l'excès de cette température sur celle du milieu est une quantité assez petite. Dans les autres cas, il faut regarder cette seconde valeur comme donnée par une série d'observations : elle dépend de l'état de la superticie, de la pression et de la nature du milieu; c'est cette valeur observée qui doit former le second membre de l'équation relative à la surface.
Dans plusieurs questions importantes, cette dernière équation est remplacée par une condition donnée, qui exprime l'état, ou constant, ou variable, ou périodique de la superficie.
433.
Les équations différentielles du mouvement de la chaleur sont des conséquences mathématiques analogues aux équations générales de l'équilibre et du mouvement, et qui dérivent, comme, elles, des faits naturels les plus constants.
Les coefficients C, A, K, qui entrent dans ces équations, doivent être considérés en général comme des grandeurs variables, qui dépendent de la température ou de l'état des corps. Mais, dans l'application aux questions naturelles qui nous intéressent le plus, on peut attribuer à ces coefficients des valeurs sensiblement constantes.
Le premier coefficient C varie très lentement à mesure que la tem- pérature s'élève. Ces changements sont presque insensibles dans un intervalle d'environ So*". Une suite d'observations précises, dues à
5i0 THÉORIE DE LA CHALEUR.
MM. les professeurs Dulong et Petit, indique que cette valeur de la capacité spécifique croît fort lentement avec la température.
Le coefficient h^ qui mesure la pénétrabifité de la surface, est plus variable, et se rapporte à un état très composé. ,11 exprime la quantité de chaleur communiquée au milieu, soit par Tirradiation, soit par le contact. Le calcul rigoureux de cette quantité dépendrait donc de la question du mouvement de la chaleur dans les milieux liquides ou aériformes. Mais, lorsque l'excès de température est une quantité assez petite, les observations prouvent que la valeur du coefficient peut être regardée comme constante. Dans d'autres cas, il est facile de déduire des expériences connues une correction qui donne au résultat une exactitude suffisante.
On ne peut douter que le coefficient K, mesure de la perméabilité, ne soit sujet à des variations sensibles; mais on n'a encore fait, sur ce sujet important, aucune suite d'expériences propres à nous apprendre comment la facilité de conduire la chaleur change avec la température et avec la pression. On voit par les observations que cette qualité peut être regardée comme constante dans une assez grande partie de l'é- chelle thermométrique; mais ces mêmes observations nous porteraient à croire que la valeur du coefficient dont il s'agit est beaucoup plus changée parles accroissements de température que celle de la capacité spécifique.
Enfin la dilatabilité des solides, ou la disposition à augmenter de volume, n'est point la même à toutes les températures; mais, dans les questions que nous avons traitées, ces changements ne peuvent point altérer d'une manière sensible la précision des résultats. En général, dans l'étude des grands phénomènes naturels qui dépendent de la dis- tribution de la chaleur, on est fondé à regarder comme constantes les valeurs des coefficients. Il est nécessaire de considérer d'abord sous ce point de vue les conséquences de la théorie. Ensuite la comparaison attentive de ces résultats avec ceux d'expériences très précises fera connaître quelles sont les corrections dont on doit faire usage; et l'on donnera aux recherches théoriques une extension nouvelle à mesure
CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR. 341
que les observations deviendront plus nombreuses et plus exactes. On connaîtra alors quelles sont les causes qui pourraient modifier le mou- vement de la chaleur dans l'intérieur des corps, et la théorie acquerra une perfection qu'il serait impossible de lui donner aujourd'hui.
La chaleur lumineuse, ou celle qui accompagne les rayons de lumière envoyés par les corps enflammés, pénètre les solides et les liquides diaphanes, et s^y éteint progressivement en parcourant un intervalle de grandeur sensible.
On ne pourrait donc point supposer, dans l'examen de ces questions, que les impressions directes de la chaleur ne se portent qu'à une dis- tance extrêmement petite. Lorsque cette distance a une valeur finie, les équations différentielles prennent une forme différente; mais cette partie de la théorie ne présenterait des applications utiles qu'en se fondant sur des connaissances expérimentales que nous n'avons point encore acquises.
Les expériences indiquent que, pour les températures peu élevées, une portion extrêmement faible de la chaleur obscure jouit de la même propriété que la chaleur lumineuse; il est vraisemblable que la dis- tance où se portent les impressions de la chaleur qui pénètre les solides n'est pas totalement insensible, et qu'elle est seulement fort petite : mais cela n'occasionne aucune différence appréciable dans les résultats de la théorie; ou, du moins, ces différences ont échappé jus- qu'ici à toutes les observations.
FIN DU TOME PREMIER.
TABLE DES MATIERES
DU TOME PREMIER.
Pages
AVANT-PROPOS DES OEUVRES DE FOURIER v
THÉORIE ANALYTIQUE DE LA CHALEUR ^ ' K
Discours prbliiiinaiiib xv
CHAPITRE I.
INTRODUCTION.
SECTION I.
EXPOSITION DE l'oBJET DE CKT OUVRAGE.
Arliclcft
1 . Objet des recherches théoriques.
2-10. Exemples divers, armille, cube, sphère, prisme iiiGui; la température variable d'un point quelconque est une fonction des coordonnées de ce point et du temps. — La quantité de chaleur qui, pendant l'unité do temps, traverse une surface donnée dans l'intérieur du solide est aussi une fonction du temps écoulé et des quantités qui déterminent la forme et ia position de la sur- face. — La théorie a pour objet de découvrir ces fonctions 9.
1 1 . Les trois quantités spécifiques qu'il est nécessaire d'observer sont la capacUc,
la conducibililé propre ou perméabilité, et la conducibilité extérieure ou pénétrabilité. Les coefficients qui les expriment peuvent d'abord ôlre re- gardés comme des nombres constants, indépendants des températures 6
12. Premier exposé de la question des températures terrestres 8
( ' ) Chaqae paragraphe do cette Table indique la maUère traitée dans les articles qui sont écrite à gaacbc de ce parographi*. Le premier de ces articles commence à la liage marquée à droite.
^k TABLE DES MATIÈRES.
Articles Pafcs
13-15. Condilions nécessaires aux applications de la théorie, objet des expériences. . . 9
16-21. Les rayons de chaleur qui sortent d'un même point d'une surface n'ont poiot la même intensité. L'intensité de chaque rayon est proportionnelle au cosinus de l'angle que sa direction fait avec la normale à la surface. Re- marques diverses et considérations sur l'objet et l'étendue des questions thermologiques et sur les rapports de l'analyse générale avec l'étude de la nature 10
SECTION II.
NOTIONS GÉNÉRALES ET DÉFINITIONS PRÉLIMINAIRES.
22-24. Température permanente, thermomètre. La température désignée par o est colle de la glace fondante. Nous désignons par i celle do TébuUition de l'eau dans un vase donné, sous une pression donnée i5
25. L'unité qui sert à mesurer les quantités do chaleur est la chaleur nécessaire
pour résoudre en eau liquide une certaine masse d'eau glacée lO
26. Capacité spécifique de chaleur 17
27-29. Températures, mesurées par les accroissements do volume ou par les quantités de chaleur ajoutées. ~ On no considère ici que les cas où les augmenta- tions de volume sont proportionnelles aux augmentations de la quantité de chaleur. Cette condition n'a point lieu dans les liquides, en général; elle est sensiblement .vraie pour les corps solides dont les températures diffèrent beaucoup de celles qui causent le changement d'état 17
30. Notion de la conducibilité extérieure 18
31. On peut regarder d'abord la quantité de chaleur perdue comme proportion-
nelle à la température. Cette proposition n'est sensiblement vraie que pour certaines limites de température 19
32-35. La chaleur perdue dans le milieu est formée de plusieurs parties. Cet effet est
composé et variable. Chaleur lumineuse 19
36. Mesure de la conducibilité extérieure 21
37. Notion de la conducibilité propre; on observe aussi cette propriété dans les
liquides ai
38-39. Équilibre des températures. Cet effet est indépendant du contact 22
40-49. Premières notions de la chaleur rayonnante et de l'équilibre qui s'établit dans les espaces vides d'air, de la cause qui réfléchit les rayons de la chaleur ou qui les contient dans les corps, du mode de communication entre les molé- cules intérieures, de la loi qui règle l'intensité des rayons émis. Cette loi n'est point troublée par la réflexion de la chaleur 23
50-51 . Première notion des effets de la chaleur réfléchie 28
52-56. Remarques sur les propriétés statiques ou dynamiques de la chaleur. Elle est le principe de toute élasticité, et la force élastique des fluides aériformes indique exactement les températures 3i
CHAPITRE I. 545
SECTION III.
PRINCIPE DE LA COXMUMGATION DE LA CHALEUR.
ArlirlP» Pajçe-j
57-39. Lorsque doux molécules d'un mémo solide sont extrêmement voisines et ont des températures inégales, la molécule plus échauflée communique à celle qui l'est moins une quantité de chaleur exactement exprimée par le produit formé de la durée de l'instant, do la difTérence extrêmement petite des tem- pératures, et d'une certaine fonction de la distance des molécules 3'3
()0. Lorsqu'un corps échauffé est placé dans un milieu aériforme d'une tempéra- ture moins élevée, il perd à chaque instant une quantité de chaleur que l'on peut regarder, dans les premières recherches, comme proporlionnelle à l'excès de la température do la surface sur la température du milieu. ... 35
61-64. Les propositions énoncées dans les deux articles précédents sont fondées sur diverses observations. Le premier objet de la théorie est de découvrir toutes les conséquences oxaclos de ces propositions. On peut ensuite mesurer les variations des coefTicionls, en comparant les résultats du calcul avec des expériences très précises 36
SECTION IV.
DU MOUVEMENT UNIFORME ET LINÉAIRE DE LA CHALEUR.
6S. Les températures permanentes d'un solide infini compris entre deux bases parallèles retenues à des températures fixes sont exprimées par l'équation
h^
a
V — « = 5 ;
c
a ai b sont les températures des deux plans extrêmes, e leur distance, et v
la température do la section dont la distance au pian inférieur est 2 38
66-67. Notion et mesure du flux de chaleur. 41
68-69. Mesure do la conducibilité propre 45
70. Remarques sur les cas où l'action directe de la chaleur se porterait à une di-
stance sensible ^i\
71. État du même solide, lorsque le plan supérieur est exposé à l'air Î7
72. Conditions générales du mouvement linéaire do la chaleur Î9
SECTION V.
LOI DES TEMPÉRATURES PERMANENTES DANS UN PRISME D*UNE PETITE ÉPAISSEUR.
73-80. Équation du mouvement linéaire do la chaleur dans le prisme. Conséquences
diverses de celte équation 5 1
SECTION VI.
DE L^ÉCHAUPFEMENT DES ESPACES CLOS.
81-84. L'état final de l'enceinte solide qui termine l'espace échauffé par une surface 7, F. 69
5%6 TABLE DES MATIÈRES.
Articles Paff»
maintenue à la température a, est exprimée par l'équation suivante :
m — « =(« — 'Oj— p-
La valeur de P est - ( j -h ^ -+- ^ ); //i est la température do l'air inté- rieur, n la température do l'air extérieur; g y /i, H mesurent respective- ment la pénélrabilité de la surface échauflée œ, celle de la surface intérieure de l'enceinte s et celle de la surface exlérieuro .f ; e est l'épaisseur de l'en- ceinte et K sa conducibililé propre 07
85-86. Conséquences remarquables de l'équation précédente 61
87-91. Mesure de la quantité de chaleur nécessaire pour retenir à une température constante un corps dont la surface est séparée de l'air extérieur par plusieurs enceintes successives. Effets remarquables de la séparation dos surfaces. Ces conséquences s'appliquent à des questions très variées 63
SECTION VII.
DU MOUVEMENT UNIFORME DE LÀ CHALEUR SUIVANT LES TROIS DIMENSIONS.
■
92-93. Les températures permanentes d'un solide compris entre six plans rectangu- laires sont exprimées par l'équation
p = A -h ax -T- bj -h cz ;
X, j/z sont les coordonnées d'un point quelconque, dont v est la tempéra- ture; AyO, b, c sont des nombres constants. Si les plans extrêmes sont re- tenus par des causes quelconques à des températures fixes qui satisfont à l'équation précédente, le système final de toutes les températures intérieures sera exprimé par la même équation 70
9i-95. Mesure du flux de chaleur dans ce prisme 73
SECTION VIII.
MESURE DO MOUVEMENT DE LA CHALEUR EN UN POINT DONNÉ D^UNE MASSE SOLIDE.
96-99. On suppose que le système variable des températures d'un solide est exprime
par l'équation
v = F(xyX,z,t%
QÙ V désigne la température que l'on observerait) après le temps écoulé t, au point dont les coordonnées sont x, j, z, et l'on forme l'expression ana- lytique du flux de chaleur dans l'intérieur du solide, suivant une direction donnée 76
100. Application du théorème précédent au cas où la fonction F est
e-^' cosx cos/ cosz 81
CHAPITRE II. 5W
CHAPITRE II.
ÉQUATION DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR
SECTION I.
ÉQUATION DU MOUVEMENT VARIÉ DE LA CHALEUR DANS UNE ARMILLE.
Arliclcs Pages
101-105. Le mouvement variable de la chaleur dans Farroille est exprimé par Téqua-
tion
^ _ K_ £«^ hl^
de ~ CD àx^ CD6 ^'*
L'arc X mesure la distance d'une tranche à Torigine o; v est la tempéra- ture que cette tranche acquiert après le temps écoulé r ; K, G, D, h sont des coefficients spécifiques; S est la surface de l'a section dont la révolu- tion engendre Tanneau ; / est le contour de cette section 84
106-110. Les températures des points placés à égales distances sont représentées par les termes d'une série récurrente. L'observation des températures vi, ('2,
('3 de trois points consécutifs donne la mesure du rapport |t : on a
et
La distance de deux points consécutifs est X, et logu> est le logarithme décimal d'une des deux valeurs de w 87
SECTION IL
ÉQLATION DU MOUVEMENT VARIÉ DE LA CHALEUR DANS UNE SPHfcRB SOLIDE.
111-113. X désignant le rayon d'une couche quelconque, le mouvement de la chaleur dans la sphère est exprimé par l'équation
Ot ~ CD \dxi " il i-1 17. Conditions relatives à l'état de la surface et à Tétat initial du solide 9*;^
"" " X ôx) ^^
SECTION III.
ÉQUATION DU MOUVEMENT VARIÉ DE LA CHALEUR DANS UN CYLINDRE SOLIDE.
1 18-120. Les températures de ce solide sont déterminées par trois équations : Tune se rapporte aux températures intérieures; la seconde exprime l'état con- tinuel de la surface; la troisième exprime l'état initial du solide 95
548 TABLE DES MATIÈRES.
SECTION IV.
ÉQUATION DU MOUVEMENT UNIFORME DE LA CHALEUR DANS UN PRISME SOLIDE
d'une LONGt*EUR INFINIE. Articles Page*
421-123. Le système des températures fixes satisfait à Féquation
d^v d^v d^i^
d.i'^ ôj^ ôz^ '
V est la température d'un point dont les coordonnées sont -r^x, z 98
424-125. Équation relative à l'état de la surface et à c^lui de la première tranche. . . 10 1
SECTION V.
ÉQUATION DU MOUVEMENT VARIÉ DE LA CHALEUR DANS UN CUBE SOLIDE.
126-131. Le système des températures variables est déterminé par trois équations : Tune exprime l'état intérieur; la seconde se rapporte à l'état de la sur- face, et la troisième exprime l'état initial i<>3
SECTION VI.
ÉQUATION GÉNÉRALE DE LA PROPAGATION DE LA CHALEUR DANS L^NTÉRIEUR DES SOLIDES.
132-139. Démonstration élémentaire des propriétés du mouvement uniforme de la cha- leur dans un solide compris entre six plans rectangulaires, les tempéra- tures constantes étant exprimées par l'équation linéaire
V = A — ajc — bjr — cz.
Les températures no peuvent changer, parce que chaque point du solide reçoit autant de chaleur qu'il en donne. La quantité de chaleur qui tra- verse, durant l'unité de temps, un plan perpendiculaire à l'axe des z est la môme en quelque point de cet axe que passe le plan. — La valeur . de ce flux commun est celle qui aurait lieu si les coefficients a et ^ étaient nuls * 107
140-141. Expression analytique du flux dans l'intérieur d'un solide quelconque. L'é- quation des températures étant
la fonction — Kw — rfr exprime la quantité do chaleur qui traverse, pen-
oz
dant l'instant dt^ une aire infiniment petite co perpendiculaire à l'axe
des 3, au point dont les coordonnées sont .r, jT; 2 et dont ia température
est V après le temps écoulé / 114
CHAPITRE II. 349
Article» Pbkcs
142-145. Il est facile do déduire du théorème précédent l'équation générale du mou- vement de la chaleur, qui est
àv _ K^ /ù^v d^v d2v dt ~ CD \ôx^ '^ dj'^'^ d:.
(AEi îir = Jl f — ^ — ^g) n8
SECTION VII.
ÉQUATlOrt GÉNÉRALE RELATIVE A LA SURFACE.
146-154. On démontre que les températures variables des points de la surface d'un corps qui se refroidit dans Tair satisfont à cette équation
f)v di> di' h
mdx-hndjr-^pdz = o étant Téquation différentielle de la surface qui
t termine le solide, et q étant égale 5 (/n* -4- w'^-/?* )*. Pour découvrir cette
équation, on considère une molécule de Tenveloppe qui termine le solide, et l'on exprime que la température de cet élément ne change point d'une grandeur unie pendant un instant infiniment petit. Celte condition a lieu et continue de subsister après que l'action régulière du milieu s'est exercée pendant un instant très petit. — On peut donner à l'élément de l'enve- loppe une forme quelconque. Le cas où cette molécule est formée par des sections rectangulaires offre des propriétés remarquables. Dans le cas le plus simple, qui est celui où la base est parallèle au plan tangent, la vé- rité de l'équation est évidente 122
SECTION VIII.
APPLICATION DES ÉQUATIONS GÉNÉRALES.
155-156. En appliquant l'équation générale (E) au cas du cylindre et de la sphère, on trouve les mêmes équations que celles de la Section III et de la Sec- tion Il de ce Chapitre i33
SECTION IX.
REMARQUES GÉNÉRALES.
157-162. Considérations fondamentales sur la nature des quantités x, r, v^ K, /i, C, D qui entrent dans toutes les expressions analytiques de la théorie de la chaleur. Chacune de ces quantités a un exposant de dimension qui se rapporte, ou à la longueur, ou à la durée, ou à la température; on trouve ces exposants en faisant varier les unités de mesure i35
550 TABLE DES MATIÈRES.
CHAPITRE m.
PROPAGATION DE LA CHALEUR DANS UN SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI,
SECTION I.
BXPOSITION DB LÀ QOBSTION. Arlicle.<t Ptfes
163-166. Les températures constantes d'une lame rectangulaire, comprise entre deux arêtes parallèles infmies retenues à la température zéro, sont exprimées par l'équation
5^-+-^ = o «41
167-170. On considère Fétat de cette lame à une distance extrêmement grande de l'arête transversale; le rapport des températures de deux points, dont -Cl, X et xj, jr sont les coordonnées, change à mesure que la valeur do j augmente, xi et xt conservant leurs valeurs respectives. Ce rapport a une limite dont il approche de plus en plus et, lorsque ^' est infinie, il est exprimé par le produit d*une fonction de jc et d'une fonction de f. Cette remarque suffit pour découvrir la forme générale de v^ savoir :
V = \^«/c?-i*'-*'* cos(2/— i).r.
1=1
11 est facile de connaître comment le mouvement de la chaleur s'accomplit dans cette lame 1 44
' SECTION II.
PREMIER EXEMPLE DE L'USAGE DBS SÉRIES TRIGONOMÉTRIQIES DAlfS LA THÉORIE
DE LA CHALEUR.
171-178. Recherche des coefficients dans l'équation
1 = a cosj -f- b cos3j -+- c cos5/ -+- rf cos 7/ -+-
On en conclut
4 (-iV^« «/= -.
TZ 11 — I OU
j = cosj — r^ cos 3j H- - cos5/ cosyj' -^ 1 49
SECTION III.
REMARQUES SUR CES SÉRIES.
179-181. Pour trouver la valeur do la série qui forme le second membre, on suppose que le nombre m des termes est limité, et la série devient une fonction
i
CHAPITRE III. âSi
Article* PafC!i
de X et m. On développe cette fonction selon les puissances réciproques
de m^ et l'on fait m infini i58
182-184. On applique le même procédé à plusieurs autres séries i6i
185-188: Dans le développement précédent, qui donne la valeur de la fonction de .r et de m, on détermine rigoureusement les limites dans lesquelles est com- prise la somme de tous les termes, à partir d'un terme donné i65
189. Procédé très simple pour former la série
T = — ^ ^7377 C08(2/ — I) JT Ib9
1 = 1
SECTION IV.
SOLUTION GÉNÉRALE.
190-191. Expression analytique du mouvement de la chaleur dans la table rectangu- laire; it se décompose en mouvements simples 170
192-195. Mesure de la quantité de chaleur qui traverse une arête parallèle ou per- pendiculaire à la base. Cette expression du flux sufiBrait pour vérifier la solution 172
196-199. Conséquences de cette solution. La table rectangulaire doit être considérée comme faisant partie d'un plan infini; la solution exprime les tempéra- tures permanentes de tous les points de ce plan 1 76
âOO-204. On démontre que la question proposée n'admet aucune solution différente
de celle que l'on vient de rapporter 1 78
SECTION V.
EXPRESSION FINIE DU RÉSULTAT DE LA SOLUTION.
205-206. La température d'un point de la table rectangulaire, dont x et j sont les coordonnées, est ainsi exprimée
7t , acosr
-i^ = arctang-^— ^ 184
SECTION VI.
DÉVELOPPEMENT D*UNK FONCTION ARBITRAIRE EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUBS.
207-214. On obtient ce développement en déterminant les valeurs des coefficients in- connus dans les équations suivantes, dont le nombre est infini,
A = «-h2 ^H-3 C-+-4 rf^-...,
B = «-h 2'^ H- 3'c-+-4'^-+-«-M C =a-^- 2»ô-H3*c-h4»rf-f-..., D = a-ha'AH-3"'c-+v47rfH-...,
Pour résoudre ces équations, on suppose d'abord que le nombre des
552 TABLE DES MATIÈRES.
Articles . Papes
équations est m, et qu'il y a seulement un nombre m d'inconnues a, b, 6', r/, . . . , en omettant tous les termes subséquents. On détermine les inconnues pour une certaine valeur du nombre m\ ensuite on augmente successivement cette valeur de m, et l'on cherche la limite dont s'ap- prochent continuellement les valeurs des coefiBcients ; ces limites sont les quantités qu'il s'agit de déterminer. — Expression des valeurs de «, ^, c, É?, e, ... lorsque m est infini 187
215-216. On développe sous la forme
a sinjr -\- h sinao^n- csinJjr -h rfsin4^-H- • .
la fonction ^{x\ que l'on suppose d'abord ne contenir que des puis- sances impaires do jt 201
217-218. Expression différente de ce même développement. Application à la fonction
e^ — e~^ 204
219-221. La fonction quelconque 9(x) peut être développée sous celte forme :
asinx -f- «1 sin2J:-f- «3 8in3x-h. . .4- ai^Wiix -h. . . .
2 /-^ La valeur du coeflBcient général «/ est - / ?(^) %\Viixdx. On
'^ Jq
,[]' ' '"en con- dut ce théorème très simple :
•K nlt
^^{x) = s\nx I cp(a)8inac?a4- sin'iJT / o(a)sin3aflfa
H-sinSjr 1 ^(a) siniac?a-4-. . .
ou
- ^(.r) = \ sin/.r / <j>(a) sin/arfa.
207
,=i '»
i22-223. Application do co Ihéorèmo ; on en déduit cette série remarquable :
v-cosj: = ~T sinax-f- — -. siniJ^-^ 7 — sin6x-h 212
4 1.3 3.^ 5.7
224-226. Second théorème sur le développement des fonctions en séries trigonomé- triques :
,1t
'7r^(j:)= ^ cos/.r / tjy(a) cos/a rfa.
I — — ao
Applications ; on en conclut cette série remarquable :
T. . I cos2.r co*s4 2^ cos6.r .
7 sm.r = 5— r 2i5
4 2 1-3 3.5 5.7
226-230. Les théorèmes précédents s'appliquent aux fonctions discontinues et ré- solvent les questions qui se sont élevées sur l'analyse de Daniel BernouUi
CHAPITRE 111. 333
Articles Page»
dans le problème des cordes vibrantes. — La valeur do la série
sinjTsinVaH — sin2j:sinV2a-i- tz sin3xsinV3a-h. . .
2 3
TZ
est - j si Ton choisit pour x une quantité plus grande que o et moindre
que a; et la valeur de la série est o, si x est une quantité quelconque
comprise entre a et - • Application à d'autres exemples remarquables :
lignes courbes ou surfaces qui se confondent dans une partie do leur cours, et diffèrent dans toutes les autres parties aiK
231-233. Une fonction quelconque F(.r) peut être développée sous cette forme :
!rtiC08Jr-h atcosijr -\- a^cos^x -^ a^cosix -^ . . . 6i s\nx-hO% sm2J7-i- b^ sm3j: -\- b^ sm4.r-H
Chacun des coefiQcients est une intégrale définie. On a en général
«
F{x)dxj Tzai= I ¥{x)co8ixdx, izbi^ j ¥(x)sinixdjr.
On forme ainsi ce théorème général, qui est un des éléments principaux de notre analyse :
F(.i')= \^ l cosix f F(a)cos/arfa-t- sinrr / F(a) sin/af?a j
ou
XTZ ¥{x) = ^ / F(a) cos«(.r — a)rfa 22^
i=— 00
234. On doit regarder comme entièrement arbitraires les valeurs de F('^') ^ui
répondent aux valeurs de x comprises entre — ir et -f- tt. On peut aussi choisir pour x des limites quelconques 23o
235. Remarques diverses sur Tusage des développements en séries trigonomé-
triques 23 1
SECTION VII.
APPLICATION A LA QUESTION ACTUELLE.
236-237. Expression des températures permanentes dans la table rectangulaire infmie,
î'élat de Tarôte transversale étant représenté par une fonction arbitraire. 235
F. 70
551t TABLE DES MATIÈRES.
CHAPITRE IV.
niî MOUVEMENT LINÉAIRE ET VARIÉ DE LA CHALELU DANS INE ARMILLE.
SECTION I.
SOLUTION GÉNÉRALE DE LA QUESTION. Articles Pages
238-241. Le mouvement variable que Ton considère est composé do mouvements simples. Dans chacun de ces mouvements, les températures conservent leurs rapports primitifs et décroissent, avec le temps, comme les ordon- nées V de la ligne dont l'équation est
Formation de Texpression générale : 289
242-244. Application à des exemples remarquables. Conséquences diverses de la so- lution 244
245-246. Le système des températures converge rapidement vers un état régulier et fmal, exprimé par la première partie de l'intégrale. Alors la somme des températures des deux points diamétralement opposés est la môme, quelle que soit la position du diamètre. Elle équivaut à la température moyenne. — Dans chaque mouvement simple, la circonférence est divisée par des nœuds équidistants. Tous ces mouvements partiels disparaissent progres- sivement, excepté le premier; et en général la chaleur distribuée dans le solide y affecte une disposition régulière, indépendante de l'état initial. , . %iS
SECTION II.
DE LA COMMUNICATION DE LA CHALEUR ENTRE DES MASSES DISJOINTES.
247-250. De la communication de la chaleur entre deux masses. Expression des tem- pératures variables. Remarque sur la valeur du coefficient qui mesure la conducibilité 253
251-255. De la communication de la chaleur entre n masses disjointes rangées en ligne droite. Expression de la température variable de chaque masse ; elle est donnée par une fonction du temps écoulé, du coefficient qui mesure la conducibilité, et de toutes les températures initiales regardées comme arbitraires 267
256-257. Conséquences remarquables de cette solution 265
258. Application au cas où le nombre des masses est infini 267
259-266. De la communication de la chaleur entre n masses disjointes rangées cir- culairement. Équations différentielles propres à la question; intégration de ces équations. La température variable de chacune des masses est
CHAPITRE V. 585
Articles Pages
exprimée en fonction du coefiBcient qui mesure la conducibilité, du temps qui s'est écoulé depuis Finstant où la communication a commencé, et do toutes les températures initiales, qui sont arbitraires ; mais, pour con- naître entièrement ces fonctions, il est nécessaire d'effectuer Télimination des coefficients 268
267-27i. Élimination des coefficients dans les équations qui contiennent ces incon- nues et les températures initiales données jlHo
272-273. Formation de la solution générale; expression analytique du résultat 287
274-276. Application et conséquences de cette solution 289
277-278. Examen du cas où Ton suppose le nombre n infini. On obtient la solution relative à Tanneau solide, rapportée dans Farticle 241, et le théorème de Tarticle 234. On connaît ainsi l'origine de l'analyse que nous avons em- ployée pour résoudre les équations relatives aux corps continus 293
279. Expression analytique des deux résultats précédents. 297
280-282. On démontre que la question du mouvement de la chaleur dans l'armille n'admet aucune autre solution. Cette intégrale de l'équalion
dv ^ . d^ i' est évidemment la plus générale que l'on puisse former 299
CHAPITRE V.
DE L.\ PROPAGATION DE LA CHALEUR DANS UNE SPHÈRE SOLIDE.
SECTION I.
SOLUTION GÉNÉRALE.
283-289. On considère en premier lieu que le rapport des températures variables des deux points du solide s'approche continuellement d'une limite déterminée. Cette remarque conduit à l'équation
qui exprime le mouvement simple de la chaleur dans la sphère. Le nombre n a une infinité de valeurs données par l'équation déterminée
nX
tang/iX
= i-//X.
On désigne par X le rayon de la sphère, et par x le rayon d'une sphère concentrique quelconque, dont v est la température après le temps
556 TABLE DES MATIÈRES.
ArUcie« Paie*
écoulé t\ h et k sont les coefGcients spécifiques; A est une constante quelconque. Constructions propres à faire connaitre la nature de l'équa- tion déterminée, les limites et les valeurs de ses racines 3o4
290-292. Formation de la solution générale; état final du solide 3i2
293. Application au cas où la sphère a été échauffée par une longue immersion. SiO
SECTION II.
REMARQUES DIVERSES SLR CETTE SOLUTION.
294-297. Conséquences relatives aux sphères d'un petit rayon et aux températures
finales d'ano sphère quelconque 3i 7
29^300. Température variable d'un thermomètre plongé dans un liquide qui se re- froidit librement. Application de ces résultats à la comparaison et à l'u- sage des thermomètres 321
301. Expression de la température moyenne de la sphère en fonction du temps
écoulé 32(>
302-304. Application aux sphères d'un très grand rayon et à celles dont le rayon est
très petit 3^7
305. Remarques sur la nature de l'équation déterminée qui donne toutes les va-
lours de /2 329
CHAPITRE VI.
DU MOUVEMENT DE LA CIULEUR DANS UN CYLINDRE SOLIDE,
306-307. On remarque en premier lieu que le rapport des températures variables de deux points du solide s'approche continuellement d'une limite détermi- née, et l'on connaît parla l'expression du mouvement simple. La fonction de X qui est un des facteurs de celte expression est donnée par une équation différentielle du second ordre. 11 entre dans cette fonction un certain nombre g, qui doit satisfaire à une équation déterminée 33?.
3^)8-309. Analyse de cette équation. On démontre, au moyen des principaux théorèmes
de l'Algèbre, que toutes les racines de l'équation sont réelles 335
310. La fonction u de la variable .r est exprimée par
u = - I cos(.rv^sinr)£/r,
et l'équation déterminée est
, du
^'" "^ t; = ^'
o.c en donnant à x sa valeur totale X 339
CHAPITRE VII. 557
Arllclas PaK«s
311-312. Le développement de la fonclion q(z) étant représenté par
3t -J rV
a a. 3 a. 3.4
la valeur de la série
■ ■ ■ ■
^ -2* a«.4«
est
— I ç(/sintt)</i/.
^".0
Remarque sur cet usage des intégrales définies 347. >
313. Expression de la fonction u de la variable x en fraction continue 345
31 i. Formation de la solution générale 3^6
315-318. Exposition de Tanalyse qui détermine les valeurs des coefficients 348
319. Solution générale 35
13
320. Conséquences de cette solution 356
CHAPITRE VII.
PROPAGATION DE LA CHALEUR DANS UN PRISME RECTANGULAIRE.
321-323. Expression du mouvement simple déterminé par les propriétés générales do la chaleur et par la figure du solide. Il entre dans celte expression un arc e qui satisfait à une équation transcendante dont toutes les racines
sont réelles 359
'^4. On détermine tous les coefficients inconnus par des intégrales définies 36-2
325. Solution générale de la question 364
326-327. La question proposée n'admet aucune autre solution 365
328-329. Température des points do Taxe du prisme 367
330. Application au cas où Tépaisseur du prisme est très petite 369
331-332. La solution fait connaître comment s'établit le mouvement uniforme de la
chaleur dans l'intérieur du solide 370
332 bis. Application à des prismes dont la base a de grandes dimensions 373
558 TABLE DES MATIÈRES.
CHAPITRE VIII.
DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR DANS UN CUBE SOUDE.
Arlicle* Pages
333-331. Expression dn mouvement simple. 11 y entre un arc e qui doit satisfaire à
une équation trigonométrique dont toutes les racines sont réelles 873
333-336. Formation de la solution générale 377
337. La question no peut admettre aucune autre solution 38o
338. Conséquence de cette solution 38 1
339. Expression de la température moyenne 38a
340. Comparaison du mouvement final de la chaleur dans le cube avec le mouve-
ment qui a lieu dans la sphère 383
341 . Application au cas simple que Ton a considéré dans l'article 100 385
CHAPITRE IX.
DE LA DIFFUSION DE LA CHALEUR
SECTION I.
DU MOUVEMENT LIBRE DE LÀ CHALEUR DANS UNE LIGNE INFINIE.
342-344. On considère le mouvement linéaire de la chaleur dans une ligne infinie dont une partie a été échauffée; Tétat initial est représenté par p = F(.r ). On démontre le théorème suivant :
-F(j:)= / coaqxdq j F(a)c08garfa. ^ */o «/o
La fonction F(x) satisfait à la condition
F(x) = F(-.r).
Expression des températures variables 387
348. Application au cas où tous les points de la partie échauffée ont reçu la même température initiale. L'intégrale
/
dq sinq cosgx -^
0 ^ ^ 9
est - 7c si l'on donne à x une valeur comprise entre i et — i ; et cette intégrale définie a une valeur nulle si jc n'est pas compris entre i et — 1 . 394
CHAPITRE IX. 559
Artielei Pagt»
349. Application au cas où réchauffement donné résulte de Tétat ûnal que déter-
mine l'action d'un foyer 394
350. Valeurs discontinues de la fonction exprimée par Tintégraie
/
COSqx 2_^ 395
351-3S3. On considère le mouvement linéaire de la chaleur dans une ligne infinie dont les températures initiales sont représentées par v =/(^) à la di- stance X vers la droite de Torigine, et par v =—f{x) à la distance x vers la gauche de l'origine. Expression de la température variable d'un point quelconque. On déduit cette solution de l'analyse qui exprime le mouvement de la chaleur dans une ligne infinie 896
354. Expression des températures variables lorsque l'état initial de la partie -
échauffée est exprimée par une fonction entièrement^ arbitraire 400
355-358. Les développements des fonctions en sinus ou cosinus d'arcs multiples se
transforment en intégrales définies 402
359. On démontre le théorème suivant :
-/(jr)= / sinqxdq j /(a) sinqada.
0 ^0
La fonction /(x) satisfait à cette condition :
f(^a:)=-fix) 4o5
360-362. Usage des résultats précédents. On démontre le théorème exprimé par cette équation générale :
^{7.)dn / co^q{x — %)dq.
Cette équation est évidemment comprise dans l'équation (0), rapportée article 231. (Voir article 397.) , 406
363. La solution précédente fait aussi connaître le mouvement variable de la chaleur dans une ligne infinie dont un point est assujetti à une tempéra- ture constante , 411
36i. On peut aussi résoudre cette même question au moyen d'une autre forme
de l'intégrale. Formation de cette intégrale 4 1 3
365-366. Application de cette solution à un prisme infini dont les températures ini- tiales sont nulles. Conséquences remarquables 41^
367-369. La même intégrale s'applique à la question de la diffusion de la chaleur. La ' solution que l'on en déduit est conforme à celle que l'on a rapportée dans les articles 317, 348 {ao
370-371. Remarques sur diverses formes de l'intégrale de l'équation
di = d7^ <^^
560 TABLE DES MATIÈRES.
SECTION II.
♦,
DU MOUVEMENT LIBRE DE LA CHALEUR DANS UN SOLIDE INFINI. Artirtos P«»e«
372-370. L'expression du mouvement variable de la chaleur dans une masse solide infinie, el selon les trois dimensions, se déduit immédiatement de celle du mouvement linéaire. L'intégrale de Téquation
dv d^v d^v d^v
ôt djc* dj^ Oz^
résout la question proposée. 11 no peut y avoir* aucune intégrale plus étendue ; elle se déduit aussi de la valeur particulièr'e
|
V = c |
'»'' cosnXy |
||
|
ou |
do celle-ci |
-x« |
|
|
i* = |
|||
|
qui |
satisfont Tune |
et l'autre à |
l'équation |
|
()('• |
O^v |
||
|
ài |
dr« |
La généralité des intégrales que Ton obtient est fondée sur la proposition suivante, que l'on peut regarder comme évidente d'elle-môme : deux fonctions des variables x, ^, z, t sont nécessairement identiques si elles satisfont à l'équation différentielle
dv d^v d^v d^v
Ot dr* dj^ âz^
et si en même temps elles ont la même valeur pour une certaine valeur
de / 4^7
377-383. La chaleur contenue dans une partie du prisme infmi, dont tous les autres points ont une température initiale nulle, commence à se distribuer dans toute la masse, et, après un certain intervalle de temps, l'état d'une partie du solide ne dépend point de la distribution do la chaleur initiale, mais seulement de sa quantité. Ce dernier résultat n'est point dû ù l'augmen- tation de la distance comprise entre un point de la masse et la partie qui avait été échauffée; il est entièrement dû à l'augmentation du temps écoulé. — Dans toutes les questions soumises au calcul, les exposants sont des nombres absolus et non des quantités. On ne doit point omettre les parties de ces exposants qui sont incomparablement plus petites que les autres, mais seulement celles qui ont des valeurs absolues extrême- ment petites {36
383-385. Les mêmes remarques s'appliquent h la distribution de la chaleur dans un
solide infini 44 î
CHAPITRE IX. 561
SECTION 111.
BBS PLUS HAUTES TEMPÉRATURES DANS UN SOLIDE LNFINI.
Articles Pagos
386-387. La chaleur contenue dans une partie du prisme se distribue dans toute la masse. La température d'un point éloigné s'élève progressivement, arrive à sa plus grande valeur et décroît ensuite. Le temps après lequel ce maxi- mum a lieu est une fonction de la distance x. Expression de cette fonc- tion pour un prisme dont les points échauffés ont reçu la même tempé- rature initiale 448
388-391. Solution d'une question analogue à la précédente. Conséquences diverses
de cette solution 45 1
392--395. On considère le mouvement de la chaleur dans un solide inûni^ et Ton dé- termine les plus hautes températures des points très éloignés de la partie primitivement échauffée 4^^
SECTION IV.
COMPARAISON DES INTÉGRALES.
«
396. Première intégrale (a) de l'équation .
Cette intégrale exprime le mouvement de la chaleur dans Farmille 4^1
397. Seconde intégrale O) do cette môme équation (a). Elle exprime le mouve-
ment linéaire de la chaleur dans un solide infîni 463
398. On en déduit deux autres formes (y) et (8) de l'intégrale, qui dérivent,
comme la précédente, de l'intégrale (a). 46 *
399-400. Premier développement de la valeur de v, selon les puissances croissantes du temps /. Deuxième développement, selon les puissances de x. Le pre- mier doit contenir une seule fonction arbitraire de / 4^^
401. Notation propre à représenter ces développements. Le calcul qui en dérive
dispense d'effectuer le développement en série 4^8
402. Application aux équations
(^^^ 57^-^5?=^ 4^^
403. Application aux équations
F. 7'
562 TABLE DES MATIÈRES.
Articles Pare*
404. Usage du théorème (E) de l'arlicle 361 pour former Tinlégrale do Téqiia-*
tion (/) de rarticio précédent 474
403. Usage du môme théorème pour former l'intégrale de l'équation ( d ), qui
convient aux lames élastiques 476
406. Seconde forme de cette môme intégrale 479
407. Lemmos qui servent à effectuer ces transformations 480
408. Notre théorème exprimé par l'équation (E), p. 408, convient à un nombre
quelconque de variables : 4821
409. Usage de celte proposition pour former l'intégrale de l'équation (r) de l'ar-
ticle 402 i83
410. Application du môme théorème à l'équation
411. Intégrale de l'équation (c) des surfaces élastiques vibrantes {87
412. Seconde forme de cette intégrale 488
413. Usage du même théorème pour obtenir les intégrales, en sommant les séries
qui les représentent. Application à Téquation
Intégrale sous forme finie, contenant deux fonctions arbitraires de / 4^9
414. Les expressions changent de forme lorsqu'on choisit d'autres limites des
intégrales définies ^92
415-416. Construction qui sert à démontrer l'équation générale
(B) f(x)=^J f{0L)daJ cosp{x-a)dp
494
417. On peut prendre des limites quelconques « et 6 pour l'intégrale par rapport
à a. Ces limites sont celles des valeurs de x.qui correspondent à des valeurs subsistantes de la fonction f{jc). Toute autre valeur de jc donne pour /( x) un résultat nul 499
418. La môme remarque convient à l'équation générale
f(^)= X 2 J /(a)cos^(j:-a)c?a,
dont le second membre représente une fonction périodique Soa
419. Le caractère principal du théorème exprimé par l'équation (B) consiste en
ce que le signe /de fonction est transporté à une autre indéterminée a,
et que la variable principale x n'est plus que sous le signe cosinus 5o4
420. Usage de ces théorèmes dans le calcul des quantités imaginaires 5o5
CHAPITRE IX. 563
ArtUieâ Pages
4âl. Application à réquaiioil
d* f(x) i'H. Expression générale do la fluxion de Tordre /, — '' . 607
423. Conslruclion qui sert à démontrer l'équation générale. — Conséquences relatives à retendue des équations de ce genre aux valeurs de/(^) qui répondent aux limites de x, aux valeurs infinies de /(.r) 509
i24-4â7. La méthode qui consiste à déterminer par des intégrales définies les coeffi- cients inconnus du développement d'une fonction de x sous la forme
a '^(ikix) -h b ^{[Lix) 4-ccp((jiij;)
se déduit des éléments de l'analyse algébrique. Exemple relatif à la dis- tribution de la chaleur dans la sphère solide. En examinant sous ce point de vue le procédé qui sert à déterminer les coefficients, on résout facile- ment les questions qui peuvent s'élever sur l'emploi de tous les ternies du second membre, sur la discontinuité des fonctions, sur les valeurs singulières ou infinies. — Les équations que Ton obtient par cette mé- thode expriment, ou l'état variable, ou l'état initial des masses de dimen- sions infinies. — La forme des intégrales qui conviennent à la théorie de la chaleur représente à la fois la composition des mouvements simples et celle d'une infinité d'effets partiels, dus à l'action de tous les points du solide 5 1 3
128. Remarques générales sur la méthode qui a servi à résoudre les questions
analytiques de la théorie de la chaleur 52 î
429. Remarques générales sur les principes dont on a déduit les équations diffc-
rentielles du mouvement de la chaleur 53 1
430. Dénominations relatives aux propriétés générales do la chaleur 53;
431 . Notations proposées 537
432-433. Remarques générales sur la nature des coefficients qui entrent dans les
équations différentielles du mouvement de la chaleur 538
FIN DE LA TABLE DES MATIERES DU TOME PREMIER.
iii5i Paris. — luipriDierie Gauthier- Villars et Fils, quai des Grauds-Augustins, 55.
>.-« .j*i*C'
^> 'mTfBfMb i*iig«ai>aaaaiwa
-^.1
•
PARIS. — IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS. Quai des Grands-Augastins, 55.
*
j» i
>
h...
"
The borrower must return this item on or bef ore the last date stamped below. If another user places a recall for this item, the borrower will be notified of the need for an earlier return.
Non-receipt ofoverdue notices does not exempt the borrower from overdue fines.
Harvard Collège Widener Library Cambridge, MA 02138 617-495-2413
Please handle with care.
Thank you for helping to préserve library collections ai Harvard.
PPHHH
3 2044 051 730224